- Определитель матрицы: алгоритм и примеры вычисления определителя матрицы
- Определитель матрицы 3-го порядка: правило треугольника
- Правило Саррюса
- Методы разложения по элементам строки и столбца
- Свойства определителя
- Методы вычисления определителей
- Вычисления определителей второго порядка
- Методы вычисления определителей третьего порядка
- Правило треугольника
- Правило Саррюса
- Разложение определителя по строке или столбцу
- Разложение определителя по элементам строки или столбца
- Приведение определителя к треугольному виду
- Теорема Лапласа
- VMath
- Инструменты сайта
- Основное
- Навигация
- Информация
- Действия
- Содержание
- Определитель
- Определение
- Элементарные свойства определителя
- Миноры и алгебраические дополнения
- Теорема Лапласа
- Теорема Бине — Коши
- Методы вычисления определителей
- Метод приведения к треугольному виду (метод Гаусса)
Определитель матрицы: алгоритм и примеры вычисления определителя матрицы
Определитель (детерминант) матрицы — некоторое число, с которым можно сопоставить любую квадратную матрицу А = ( a i j ) n × n .
|А|, ∆ , det A — символы, которыми обозначают определитель матрицы.
Способ вычисления определителя выбирают в зависимости от порядка матрицы.
Определитель матрицы 2-го порядка вычисляют по формуле:
d e t A = 1 — 2 3 1 = 1 × 1 — 3 × ( — 2 ) = 1 + 6 = 7
Определитель матрицы 3-го порядка: правило треугольника
Чтобы найти определитель матрицы 3-го порядка, необходимо одно из правил:
- правило треугольника;
- правило Саррюса.
Как найти определитель матрицы 3-го порядка по методу треугольника?
а 11 а 12 а 13 а 21 а 22 а 23 а 31 а 32 а 33 = a 11 × a 22 × a 33 + a 31 × a 12 × a 23 + a 21 × a 32 × a 13 — a 31 × a 22 × a 13 — a 21 × a 12 × a 33 — a 11 × a 23 × a 32
А = 1 3 4 0 2 1 1 5 — 1
d e t A = 1 3 4 0 2 1 1 5 — 1 = 1 × 2 × ( — 2 ) + 1 × 3 × 1 + 4 × 0 × 5 — 1 × 2 × 4 — 0 × 3 × ( — 1 ) — 5 × 1 × 1 = ( — 2 ) + 3 + 0 — 8 — 0 — 5 = — 12
Правило Саррюса
Чтобы вычислить определитель по методу Саррюса, необходимо учесть некоторые условия и выполнить следующие действия:
- дописать слева от определителя два первых столбца;
- перемножить элементы, которые расположены на главной диагонали и параллельных ей диагоналях, взяв произведения со знаком «+»;
- перемножить элементы, которые расположены на побочных диагоналях и параллельных им, взяв произведения со знаком «—».
а 11 а 12 а 13 а 21 а 22 а 23 а 31 а 32 а 33 = a 11 × a 22 × a 33 + a 31 × a 12 × a 23 + a 21 × a 32 × a 13 — a 31 × a 22 × a 13 — a 21 × a 12 × a 33 — a 11 × a 23 × a 32
А = 1 3 4 0 2 1 — 2 5 — 1 1 3 0 2 — 2 5 = 1 × 2 × ( — 1 ) + 3 × 1 × ( — 2 ) + 4 × 0 × 5 — 4 × 2 × ( — 2 ) — 1 × 1 × 5 — 3 × 0 × ( — 1 ) = — 2 — 6 + 0 + 16 — 5 — 0 = 3
Методы разложения по элементам строки и столбца
Чтобы вычислить определитель матрицу 4-го порядка, можно воспользоваться одним из 2-х способов:
- разложением по элементам строки;
- разложением по элементам столбца.
Представленные способы определяют вычисление определителя n как вычисление определителя порядка n-1 за счет представления определителя суммой произведений элементов строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
Разложение матрицы по элементам строки:
d e t A = a i 1 × A i 1 + a i 2 × A i 2 + . . . + а i n × А i n
Разложение матрицы по элементам столбца:
d e t A = а 1 i × А 1 i + а 2 i × А 2 i + . . . + а n i × А n i
Если раскладывать матрицу по элементам строки (столбца), необходимо выбирать строку (столбец), в которой(-ом) есть нули.
А = 0 1 — 1 3 2 1 0 0 — 2 4 5 1 3 2 1 0
- раскладываем по 2-ой строке:
А = 0 1 — 1 3 2 1 0 0 — 2 4 5 1 3 2 1 0 = 2 × ( — 1 ) 3 × 1 — 1 3 — 2 5 1 3 1 0 = — 2 × 1 — 1 3 4 5 1 2 1 0 + 1 × 0 — 1 3 — 2 5 1 3 1 0
- раскладываем по 4-му столбцу:
А = 0 1 — 1 3 2 1 0 0 — 2 4 5 1 3 2 1 0 = 3 × ( — 1 ) 5 × 2 1 0 — 2 4 5 3 2 1 + 1 × ( — 1 ) 7 × 0 1 — 1 2 1 0 3 2 1 = — 3 × 2 1 0 — 2 4 5 3 2 1 — 1 × 0 1 — 1 2 1 0 3 2 1
Свойства определителя
- если преобразовывать столбцы или строки незначительными действиями, то это не влияет на значение определителя;
- если поменять местами строки и столбцы, то знак поменяется на противоположный;
- определитель треугольной матрицы представляет собой произведение элементов, которые расположены на главной диагонали.
Пример 6
А = 1 3 4 0 2 1 0 0 5
d e t А = 1 3 4 0 2 1 0 0 5 = 1 × 5 × 2 = 10
Определитель матрицы, который содержит нулевой столбец, равняется нулю.
Источник
Методы вычисления определителей
В общем случае правило вычисления определителей $n$-го порядка является довольно громоздким. Для определителей второго и третьего порядка существуют рациональные способы их вычислений.
Вычисления определителей второго порядка
Чтобы вычислить определитель матрицы 
второго порядка, надо от произведения элементов главной диагонали отнять произведение элементов побочной диагонали:
Задание. Вычислить определитель второго порядка $\left| \begin
Решение. $\left| \begin
Методы вычисления определителей третьего порядка
Для вычисления определителей третьего порядка существует такие правила.
Правило треугольника
Схематически это правило можно изобразить следующим образом:
Произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми, берется со знаком «плюс»; аналогично, для второго определителя — соответствующие произведения берутся со знаком «минус», т.е.
Методы вычисления определителей не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!
Задание. Вычислить определитель $\left| \begin
Решение. $\left| \begin
$$+3 \cdot 3 \cdot 1-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot(-2) \cdot 3-4 \cdot 3 \cdot(-2)=54$$
Правило Саррюса
Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком «плюс»; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком «минус»:
Задание. Вычислить определитель $\left| \begin
Решение. 
$$+(-1) \cdot 4 \cdot(-2)-(-1) \cdot 1 \cdot 1-3 \cdot 3 \cdot(-2)-3 \cdot 4 \cdot(-2)=54$$
Разложение определителя по строке или столбцу
Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения. Обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку или столбец, по которой/ому ведется разложение, будет обозначать стрелкой.
Задание. Разложив по первой строке, вычислить определитель $\left| \begin
Решение. $\left| \begin
Этот метод позволяет вычисление определителя свести к вычислению определителя более низкого порядка.
Задание. Вычислить определитель $\left| \begin
Решение. Выполним следующие преобразования над строками определителя: из второй строки отнимем четыре первых, а из третьей первую строку, умноженную на семь, в результате, согласно свойствам определителя, получим определитель, равный данному.
Определитель равен нулю, так как вторая и третья строки являются пропорциональными.
Для вычисления определителей четвертого порядка и выше применяется либо разложение по строке/столбцу, либо приведение к треугольному виду, либо с помощью теоремы Лапласа.
Разложение определителя по элементам строки или столбца
Задание. Вычислить определитель $\left| \begin
Решение. Предварительно выполним элементарные преобразования над строками определителя, сделав как можно больше нулей либо в строке, либо в столбце. Для этого вначале от первой строки отнимем девять третьих, от второй — пять третьих и от четвертой — три третьих строки, получаем:
Полученный определитель разложим по элементам первого столбца:
Полученный определитель третьего порядка также разложим по элементам строки и столбца, предварительно получив нули, например, в первом столбце. Для этого от первой строки отнимаем две вторые строки, а от третьей — вторую:
$$=4 \cdot(2 \cdot 8-4 \cdot 4)=0$$
Последний и предпоследний определители можно было бы и не вычислять, а сразу сделать вывод о том, что они равны нулю, так как содержат пропорциональные строки.
Приведение определителя к треугольному виду
С помощью элементарных преобразований над строками или столбцами определитель приводится к треугольному виду и тогда его значение, согласно свойствам определителя, равно произведению элементов стоящих на главной диагонали.
Задание. Вычислить определитель $\Delta=\left| \begin
Решение. Сначала делаем нули в первом столбце под главной диагональю. Все преобразования будет выполнять проще, если элемент $a_<11>$ будет равен 1. Для этого мы поменяем местами первый и второй столбцы определителя, что, согласно свойствам определителя, приведет к тому, что он сменит знак на противоположный:
Далее получим нули в первом столбце, кроме элемента $a_<11>$ , для этого из третьей строки вычтем две первых, а к четвертой строке прибавим первую, будем иметь:
Далее получаем нули во втором столбце на месте элементов, стоящих под главной диагональю. И снова, если диагональный элемент будет равен $\pm 1$ , то вычисления будут более простыми. Для этого меняем местами вторую и третью строки (и при этом меняется на противоположный знак определителя):
Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для этого поступаем следующим образом: к третьей строке прибавляем три вторых, а к четвертой — две вторых строки, получаем:
Далее из третьей строки выносим (-10) за определитель и делаем нули в третьем столбце под главной диагональю, а для этого к последней строке прибавляем третью:
Ответ. $\Delta=-80$
Теорема Лапласа
Пусть $\Delta$ — определитель $n$-го порядка. Выберем в нем произвольные $k$ строк (или столбцов), причем $k \leq n-1$ . Тогда сумма произведений всех миноров $k$-го порядка, которые содержатся в выбранных $k$ строках (столбцах), на их алгебраические дополнения равна определителю.
Задание. Используя теорему Лапласа, вычислить определитель $\left| \begin
Решение. Выберем в данном определителе пятого порядка две строки — вторую и третью, тогда получаем (слагаемые, которые равны нулю, опускаем):
Источник
VMath
Инструменты сайта
Основное
Навигация
Информация
Действия
Содержание
Определитель
Определение
Определитель (или детерминант 1) ) определяется для произвольной квадратной матрицы $ A^<> $, и представляет из себя полином от всех ее элементов. Обозначается — либо $ \det (A)_<> $, либо $ \det A_<> $, либо — в развернутом виде 2) — $$ \left| \begin
Области использования понятия определителя:
1. (исторически первоначальная) с помощью этой функции устанавливаются условия существования и единственности решения системы линейных уравнений от нескольких переменных; более того, эта функция позволяет компактно записать решение;
2. эта функция позволяет анализировать свойства отображений (функций) одного многомерного множества в другое, см. ☞ ЗДЕСЬ;
3. определитель имеет также ряд геометрических приложений.
Введем теперь определитель произвольного порядка $ n_<> $.
Упорядоченная пара различных натуральных чисел $ (a,b)_<> $ образует инверсию (или нарушение порядка), если $ a>b_<> $. Будем обозначать число инверсий в паре $ (a,b)_<> $ через $ \operatorname
В разложение определителя пятого порядка входит произведение $ a_<32>a_<54>a_ <21>$ * * . Заполните места, обозначенные * * , и укажите знак произведения.
Входит ли в разложение определителя 7-го порядка произведение $ a_<71>a_<17>a_<26>a_<62>a_<53>a_<35>a_<44>^<> $? Если входит, то с каким знаком?
Пользуясь только определением, вычислить определитель
Теорема. Если $ (\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n) $ и $ (\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_n) $ — произвольные перестановки чисел $ \ < 1,2,\dots,n\>$, то в разложение определителя обязательно встретится слагаемое
Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.
Последний результат дает основание для альтернативного определения определителя — симметричного относительно его строк и столбцов.
Определитель матрицы есть сумма всевозможных произведений элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, и такому произведению приписывается знак согласно теореме.
Элементарные свойства определителя
Определитель порядка $ n_<> $, как функция своих элементов, является однородным полиномом степени $ n_<> $, этот полином неприводим над любым из множеств $ \mathbb Z, \mathbb Q, \mathbb R_<> $ или $ \mathbb C_<> $. В разложении определителя всегда присутствует произведение элементов его главной диагонали: $$ a_<11>a_<22>\times \dots \times a_
1. Определитель матрицы не меняется при ее транспонировании: $ \det A_<> = \det A^ <\top>$.
2. Определитель матрицы меняет знак при перестановке местами двух строк (столбцов): $$ \det [A_<[1]>,\dots,A_<[j]>,\dots,A_<[k]>,\dots,A_<[n]>]=- \det [A_<[1]>,\dots,A_<[k]>,\dots,A_<[j]>,\dots,A_<[n]>] \, . $$
3. Определитель матрицы равен нулю если она имеет две одинаковые строки (два одинаковых столбца).
4. Общий множитель строки (столбца) матрицы можно вынести за знак определителя: $$ \det [A_<[1]>,\dots,cA_<[j]>,\dots,A_<[n]>]= c\det [A_<[1]>,\dots,A_<[j]>,\dots,A_<[n]>] . $$
5. Сложение двух определителей, различающихся только по одной строке (столбцу), можно производить путем сложения этих строк (столбцов): $$ \det [A_<[1]>,\dots,A_ <[j]>+ \tilde_<[j]>,\dots,A_<[n]>]= $$ $$ =\det [A_<[1]>,\dots,A_<[j]>,\dots,A_<[n]>]+\det [A_<[1]>,\dots,\tilde_<[j]>,\dots,A_<[n]>] . $$
6. Определитель матрицы не меняется если к любой строке прибавить любую другую строку, домноженную на произвольную постоянную. Аналогичное утверждение справедливо для столбцов: $$ \det [A_<[1]>,\dots,A_<[j]>,\dots, A_<[k]>,\dots,A_<[n]>]= \det [A_<[1]>,\dots,A_ <[j]>+ c\cdot A_<[k]>,\dots, A_<[k]>,\dots,A_<[n]>] \ . $$
Доказательства свойств ☞ ЗДЕСЬ.
Миноры и алгебраические дополнения
Определитель $ (n-1)_<> $-го порядка, получающийся вычеркиванием из $$ \det A = \left| \begin
Пусть $ (\alpha_1,\dots,\alpha_n) $ при $ \alpha_ <1>1 $ строк с номерами $ \alpha_<1>,\alpha_2, \dots,\alpha_k $ и $ k $ столбцов с номерами $ \beta_<1>,\beta_2,\dots ,\beta_
Главным минором порядка $ k_<> $ квадратной матрицы $ A_<> $ называется определитель $$ A_k=A\left( \begin
Теорема. Определитель матрицы равен сумме произведений элементов некоторого ряда (строки или столбца) определителя на их алгебраические дополнения. Иначе говоря, справедливы следующие формулы разложения определителя по $ \mathbf j $-й строке (или по элементам $ \mathbf j $-й строки):
$$ \det A = a_
Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.
Пример. Разложение определителя третьего порядка по первому столбцу:
$$ \left| \begin
Пример. Вычислить $$ \left| \begin
Решение. В формуле берем $ j=3 $: $$ -11 (-1)^ <3+1>\left| \begin
Для этого в нашем распоряжении имеется такое средство, как преобразования строк или столбцов. В самом деле, на основании общего свойства 6 определителя, к любой его строке можно прибавить любую другую строку, домноженную на произвольное число — определитель от этого не изменится; аналогичное свойство справедливо и для столбцов. Но тогда мы можем упомянутые множители подбирать так, чтобы добиться появления как можно большего количества нулей в отдельной строке (или столбце).
Пример. Вычислить
$$ \left| \begin
Решение. Будем добиваться появления нулей во втором столбце. С этой целью прибавим вторую строку к третьей, четвертой и пятой, а также вычтем, домножив предварительно на $ 2_<> $, из первой: $$ =\left| \begin
Систематическое развитие идеи, использованной при решении последнего примера, приводит к основному методу вычисления определителя — методу Гаусса.
Следующий результат имеет исключительно теоретическое значение: используется для доказательства некоторых результатов.
Теорема. Сумма произведений элементов $ j_<> $-го ряда $ \det A $ на алгебраические дополнения элементов $ k_<> $-го ряда равна 0 если $ j\ne k $ и равна $ \det A $ если $ j=k_<> $:
Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.
Теорема Лапласа
Пусть $ (\alpha_1,\dots,\alpha_n) $ при $ \alpha_ <1>вычеркиваются строки и столбцы с указанными номерами, то получившийся определитель $ (n-k)_<> $-го порядка $$ A\left( \begin
Теорема [Лаплас]. Выделим в $ \det A_<> $ произвольные строки с номерами $ \alpha_1 ♦
Имеет место равенство
$$ \left| \begin
Пусть $ A_<1>,\dots,A_k $ — квадратные матрицы (не обязательно одинаковых порядков). Тогда
$$ \det \left( \begin
Пользуясь теоремой Лапласа, вычислить определитель, предварительно преобразовав его:
Ответ. $ 14_<> $.
Биографические заметки о Лапласе ☞ ЗДЕСЬ.
Теорема Бине — Коши
Задача. Пусть произведение двух матриц дает квадратную $ C_
Теорема [Бине, Коши].
Показать, что для квадратных матриц одинакового порядка имеют место равенства
a) $ \det (AB) = \det (BA)_<> $; б) $ \det (A^
Биографические заметки о Коши ☞ ЗДЕСЬ.
Методы вычисления определителей
Метод приведения к треугольному виду (метод Гаусса)
Напомним свойство 6 из элементарных свойств определителя : величина определителя не изменится если прибавить к любой его строке любую другую строку, умноженную на произвольную константу. Этот факт можно использовать для того, чтобы «сделать» в определителе побольше элементов равных нулю, т.к. содержащие эти элементы слагаемые выпадут из полного разложения определителя. Еще одно элементарное свойство — свойство 2 , утверждает, что перестановка строк изменит знак определителя, но не изменит его абсолютную величину. Пользуясь этими двумя преобразованиями, можем поставить целью привести определитель к треугольному виду, т.е. к виду $$ \left| \begin
Пример. Вычислить
$$ \left| \begin
Решение. Вычитаем первую строку, умноженную на соответствующие числа, из остальных строк, добиваясь появления нулей в первом столбце: $$ =\left| \begin
Вычислить $ \det \left[ \min(i,j) \right]_
Источник
