Способы увеличения запасов устойчивости систем управления

Методы повышения запаса устойчивости

Повышение запаса устойчивости или демпфирование системы управления сводится в конечном счете к рациональному перераспределению полюсов и нулей передаточной функции замкнутой системы для задающего или возмущающего воздействия. Передаточная функция замкнутой системы связана с передаточной функцией разомкнутой системы жестким соотношением. Поэтому под демпфированием можно понимать также рациональное перераспределение полюсов и нулей передаточной функции разомкнутой системы.

Ответить на вопрос, каким образом необходимо перераспределить полюсы и нули передаточной функции замкнутой или разомкнутой системы, можно на основании применения критериев устойчивости и критериев качества. Наиболее полно этот вопрос решается при помощи синтеза корректирующих средств.

Здесь будут рассмотрены только основные идеи, которые используются при изменении динамических свойств системы с целью повышения запаса устойчивости. Рассмотрение может вестись на основании различных критериев качества Здесь это будет сделано па наиболее наглядных приерах, использующих амплитудно-фазовую характеристику разомкнутой системы,

Деформация амплитудно-фазовой характеристики с целью получения устойчивости, а также запаса устойчивости может производиться посредством использования корректирующих звеньев различного типа: последовательных, параллельных и обратных связей. Так как в линейной системе для каждого звена какого-либо типа может быть найдено эквивалентное звено другого тина, то достаточно рассмотреть действие звеньев одного определенного типа. Наиболее наглядно может быть прослежено действие последовательных корректирующих звеньев, и для них наиболее просто могут быть вычислены требуемые параметры. Поэтому в дальнейшем в основном будут рассматриваться последовательные корректирующие звенья.

Деформация амплитудно-фазовой характеристики может быть произведена четырьмя основными способами, которые будут рассмотрены ниже в отдельности.

, соответствующую некоторой точке а па характеристике. Тогда амплитудно-фазовая характеристика примет вид, изображенный на рис. 10.13 пунктиром. Как видно из этого рисунка, деформированной характеристике будет соответствовать замкнутая система, которая является не только устойчивой, но и имеющей необходимый запас устойчивости,

Подавление усиления на высоких частотах всегда сопровождается появлением отрицательных фазовых сдвигов. Поэтому этот метод демпфирования может также называться демпфированием с внесением отрицательных фазовых сдвигов.

Подавление высоких частот может осуществляться различными способами. Наиболее просто это получается при введении последовательно в цепь управления апериодического звена первого порядка с относительно большой постоянной времени и коэффициентом передачи к = 1. Передаточная функция такого звена

Легко показать, что подобное звено может всегда привести к получению желаемого запаса устойчивости в статических системах с минимально-фазовыми звеньями. Пусть, например, передаточная функция разомкнутой статической системы имеет вид

отличны от нуля.

. Тогда имеет место -1 переход через критический отрезок и замкнутая система неустойчива.

будет мало отличаться от своей первой асимптоты, а

выберем так, чтобы частота среза

появится асимптота,

делает все остальные постоянные времени относительно малыми, в результате чего и достигается эффект демпфирования.

Для этого нужно только выполнить условие

Демпфирование статических систем может быть осуществлено и более сложными корректирующими звеньями, вносящими подавление высоких частот и отрицательные фазовые сдвиги, например при помощи пассивного интегрирующего звена (табл. 10.1) или его аналогов (табл. 10.3).

Также можно показать, что в астатических системах первого порядка, состоящих из минимально-фазовых звеньев, желаемый запас устойчивости может быть всегда получен при введении последовательного пассивного интегрирующего звена, имеющего передаточную функцию вида

результирующая передаточная функция разомкнутой системы с любой степенью точности может быть представлена в виде произведения (10.36) и сомножителя К/р, а постоянные времени системы оказываются относительно малыми. В астатических системах второго порядка требуемый запас устойчивости может быть получен при помощи подавления высоких частот только в некоторых случаях. Достоинством демпфирования с подавлением высоких частот является то, что система оказывается менее подверженной действию высокочастотных помех, так как корректирующее звено представляет собой фильтр низких частот.

Недостатком демпфирования с подавлением высоких частот является то, что снижение полосы пропускания системы означает понижение быстродействия. Поэтому такой метод демпфирования может применяться в тех случаях, когда снижение быстродействия системы является допустимым.

Источник

Способы увеличения запасов устойчивости систем управления

Способы придания системам автоматического регулирования устойчивости и достаточного запаса устойчивости (способы стабилизации и демпфирования) разнообразны. В § 5.2 рассматривалась возможность решения этой задачи выбором основных элементов регулятора и изменением их динамических свойств с помощью местных обратных связей. Выясним, как влияет на устойчивость изменение наиболее характерного параметра — постоянной времени апериодического звена.

На рис. 5.16 сплошными линиями изображены логарифмические частотные характеристики разомкнутой системы с передаточной функцией (5.26). При увеличении с 0,5 до 1 с характеристики принимают положение, показанное пунктирными линиями. Увеличение постоянной времени приводит к увеличению запаса устойчивости по фазе с до . Заметим, что сопрягающая частота расположена левее частоты среза

Если же сопрягающая частота апериодического звена расположена правее частоты среза то увеличение постоянной времени этого звена уменьшит запас устойчивости. Очевидно, что изменение постоянной времени колебательного звена влияет на запас устойчивости аналогичным образом. Влияние постоянной времени форсирующего звена [звена с передаточной функцией противоположно.

Итак, если сопрягающая частота апериодического или колебательного звена расположена левее частоты среза логарифмической амплитудно-частотной характеристики разомкнутой системы, а сопрягающая частота форсирующего звена расположена правее частоты среза, то увеличение постоянной времени каждого из этих звеньев ведет к увеличению запаса устойчивости [4]. Указанная зависимость справедлива лишь при условии, что сопрягающая частота расположена

на некотором удалении (около одной декады) от частоты среза.

Встречаются, однако, структуры, для которых указанное правило не выполняется. Пусть, например, передаточная функция разомкнутой системы

где

Логарифмические частотные характеристики этой системы показаны на рис. 5.17 сплошными линиями. При изменении с 1 до 10 с характеристики принимают положение, показанное на рис. 5.17 пунктиром. Запас устойчивости по фазе с уменьшился до — 47°.

Другой и наиболее применяемый путь стабилизации и демпфирования системы — введение в ее прямую цепь дополнительных звеньев. С этой целью используют сложные динамические звенья.

В зависимости от структуры и параметров системы введение одного и того же.звена может дать различные результаты. Так, в § 5.4 уже было показано, что введение интегрирующего звена может вести и к уменьшению, и к увеличению запаса устойчивости. Поэтому правильный выбор дополнительного звена можно сделать только зная структуру и параметры системы.

Рассмотрим наиболее характерные случаи стабилизации и демпфирования систем путем введения дополнительных звеньев. Предположим, что разомкнутая система описывается передаточной функцией (5.26) при . В разомкнутом состоянии система устойчива и ее логарифмические частотные характеристики,

изображенные на рис. 5.18 сплошными линиями, свидетельствуют о неустойчивости замкнутой системы, так как фаза достигает —180° при частоте, меньшей частоты среза.

Введем в прямую цепь системы дополнительное звено с передаточной функцией где . Тогда характеристики системы принимают положение, показанное на рис. 5.18 пунктирными линиями, и на основании их можно видеть, что замкнутая система становится устойчивой. Запас по фазе составляет . Увеличением постоянной времени дополнительного звена запас устойчивости по фазе можно увеличить.

Устойчивость достигнута введением апериодического звена, постоянная времени которого значительно больше постоянных времени имеющихся апериодических звеньев. При этом высокочастотная часть логарифмической амплитудно-частотной характеристики сместилась вниз. Так же изменилась и логарифмическая фазочастотная характеристика. Такой прием обеспечения устойчивости или повышения запаса устойчивости называют демпфированием с подавлением высоких частот (демпфированием с внесением отрицательных фазовых сдвигов).

Апериодическое звено с большой постоянной времени представляет собой фильтр низких частот и подавляет высокочастотные помехи. В этом достоинство данного вида демпфирования. Значительное уменьшение частоты среза и, следовательно, быстродействия системы является весьма существенным недостатком.

Если ось абсцисс пересекается асимптотой ЛАЧХ, имеющей наклон -20дБ/дек, и слева от частоты среза соср только одна сопрягающая частота, то система остается устойчивой и запас устойчивости не изменяется при увеличении передаточного

коэффициента k разомкнутой системы. Нужно только одновременно с увеличением k пропорционально увеличивать постоянную времени апериодического звена. Предположим далее, что в рассматриваемую систему введено дополнительно идеальное форсирующее звено с передаточной функцией , где . На рис. 5.19 изображены логарифмические частотные характеристики разомкнутой цепи исходной системы (сплошные линии) и системы с дополнительным звеном (пунктирные линии). В замкнутом состоянии система с дополнительным звеном будет устойчивой, запас по фазе составляет .

Теперь устойчивость достигнута введением не апериодического, а форсирующего звена. В результате высокочастотная часть ЛАЧХ сместилась вверх. Такое же изменение и у ЛФЧХ, поэтому данный прием называют демпфированием с поднятием высоких частот (демпфированием с внесением положительного фазового сдвига).

Введением форсирующего звена могут быть обеспечены устойчивость и необходимый запас устойчивости при любой передаточной функции исходной системы (если она становится структурно устойчивой). Одновременно увеличивается и быстродействие. Однако существенно увеличивается и влияние высокочастотных помех. Последнее обстоятельство является серьезным недостатком данного вида демпфирования и ограничивает его применение.

Предположим еще, что в рассматриваемую систему введено дополнительно сложное звено с передаточной функцией

где .

На рис. 5.20 показаны логарифмические частотные характеристики разомкнутой цепи исходной системы (сплошные линии) и системы с дополнительным звеном (пунктирные линии). В замкнутом состоянии система с дополнительным звеном устойчива, запас устойчивости по фазе .

Устойчивость достигнута смещением вниз среднечастотной части ЛАЧХ, и данный прием называют демпфированием с подавлением средних частот. Этот вид демпфирования промежуточный между двумя первыми, и применяют его наиболее часто.

Рассмотренные приемы стабилизации и демпфирования систем автоматического регулирования являются основными, но далеко не исчерпывают всех возможностей.

Источник