Способы упрощения выражений с корнями

Как упростить подкоренное выражение

В создании этой статьи участвовала наша опытная команда редакторов и исследователей, которые проверили ее на точность и полноту.

Команда контент-менеджеров wikiHow тщательно следит за работой редакторов, чтобы гарантировать соответствие каждой статьи нашим высоким стандартам качества.

Количество просмотров этой статьи: 114 028.

Подкоренное выражение – это алгебраическое выражение, которое находится под знаком корня (квадратного, кубического или более высокого порядка). Иногда значения разных выражений могут быть одинаковыми, например, 1/(√2 — 1) = √2 + 1. Упрощение подкоренного выражения призвано привести его к некоторой канонической форме записи. Если два выражения, которые записаны в канонической форме, по-прежнему различны, их значения не равны. В математике считается, что каноническая форма записи подкоренных выражений (а также выражений с корнями) соответствует следующим правилам:

• Если можно, избавьтесь от дроби под знаком корня
• Избавьтесь от выражения с дробным показателем
• Если можно, избавьтесь от корней в знаменателе
• Избавьтесь от операции умножения корня на корень
• Под знаком корня нужно оставить только те члены, из которых нельзя извлечь целочисленный корень

Эти правила можно применить к выполнению тестовых заданий. Например, если вы решили задачу, но результат не совпадает ни с одним из приведенных ответов, запишите результат в канонической форме. Имейте в виду, что ответы к тестовым заданиям даются в канонической форме, поэтому если записать результат в той же форме, вы с легкостью определите правильный ответ. Если в задаче требуется «упростить ответ» или «упростить подкоренные выражения», необходимо записать результат в канонической форме. Более того, каноническая форма упрощает решение уравнений, хотя с некоторыми уравнениями легче справиться, если на время забыть о канонической форме записи.

Источник

Упрощение выражений, содержащих корни и степени

При упрощении выражений, содержащих корни и степени, прежде чем воспользоваться свойствами степени, полезно совершить такие предварительные действия:

1. Записать корни в виде степени. Для этого нужно воспользоваться следующим свойством:

2. Десятичную дробь записать в виде обыкновенной.

Например:

3. Смешанные числа записать в виде неправильных дробей.

Например:

4. Разложить основания степеней на простые множители. Или, по крайней мере, разложить на множители так, чтобы количество различных оснований было минимальным.

Решим несколько задач из Задания В11 из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике , воспользовавшись этим правилом.

1 . Задание В10 ( 26745) Найдите значение выражения .

Запишем корни в виде степени и воспользуемся свойствами степеней с одинаковым основанием:

Ответ: 1.

2 . Задание В10 ( 26748) Найдите значение выражения

Разложим число 10 в знаменателе дроби на простые множители и воспользуемся свойствами степеней:

Ответ: 5.

3 . Задание В10( 26749) Найдите значение выражения .

Представим число 0,8 в виде обыкновенной дроби, разложим число 20 на множители и воспользуемся свойствами степеней:

Ответ: 20.

4 . Задание В10 ( 26749) Найдите значение выражения .

Разложим число 42 на множители и воспользуемся свойствами степеней.

Ответ: 42.

5 . Задание В10 ( 26749) Найдите значение выражения при 0″ title=»m>0″/>.

1. Запишем корни в виде степени:

2. Воспользуемся свойствами степени, получим:

Источник

Действие с корнями: сложение и вычитание

Извлечение квадрантного корня из числа не единственная операция, которую можно производить с этим математическим явлением. Так же как и обычные числа, квадратные корни складывают и вычитают.

Правила сложения и вычитания квадратных корней

Такие действия, как сложение и вычитание квадратного корня, возможны только при условии одинакового подкоренного выражения.

Можно сложить или вычесть выражения 2 3 и 6 3 , но не 5 6 и 9 4 . Если есть возможность упростить выражение и привести его к корням с одинаковым подкоренным числом, то упрощайте, а потом складывайте или вычитайте.

Действия с корнями: основы

6 50 — 2 8 + 5 12

1. Упростить подкоренное выражение. Для этого необходимо разложить подкоренное выражение на 2 множителя, один из которых, — квадратное число (число, из которого извлекается целый квадратный корень, например, 25 или 9).
2. Затем нужно извлечь корень из квадратного числа и записать полученное значение перед знаком корня. Обращаем ваше внимание, что второй множитель заносится под знак корня.
3. После процесса упрощения необходимо подчеркнуть корни с одинаковыми подкоренными выражениями — только их можно складывать и вычитать.
4. У корней с одинаковыми подкоренными выражениями необходимо сложить или вычесть множители, которые стоят перед знаком корня. Подкоренное выражение остается без изменений. Нельзя складывать или вычитать подкоренные числа!

Если у вас пример с большим количеством одинаковых подкоренных выражений, то подчеркивайте такие выражения одинарными, двойными и тройными линиями, чтобы облегчить процесс вычисления.

Давайте попробуем решить данный пример:

6 50 = 6 ( 25 × 2 ) = ( 6 × 5 ) 2 = 30 2 . Для начала необходимо разложить 50 на 2 множителя 25 и 2, затем извлечь корень из 25, который равен 5, а 5 вынести из-под корня. После этого нужно умножить 5 на 6 (множитель у корня) и получить 30 2 .

2 8 = 2 ( 4 × 2 ) = ( 2 × 2 ) 2 = 4 2 . Сперва необходимо разложить 8 на 2 множителя: 4 и 2. Затем из 4 извлечь корень, который равен 2, а 2 вынести из-под корня. После этого нужно умножить 2 на 2 (множитель у корня) и получить 4 2 .

5 12 = 5 ( 4 × 3 ) = ( 5 × 2 ) 3 = 10 3 . Сперва необходимо разложить 12 на 2 множителя: 4 и 3. Затем извлечь из 4 корень, который равен 2, и вынести его из-под корня. После этого нужно умножить 2 на 5 (множитель у корня) и получить 10 3 .

Результат упрощения: 30 2 — 4 2 + 10 3

30 2 — 4 2 + 10 3 = ( 30 — 4 ) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

В итоге мы увидели, сколько одинаковых подкоренных выражений содержится в данном примере. А сейчас попрактикуемся на других примерах.

• Упрощаем ( 45 ) . Раскладываем 45 на множители: ( 45 ) = ( 9 × 5 ) ;
• Выносим 3 из-под корня ( 9 = 3 ) : 45 = 3 5 ;
• Складываем множители у корней: 3 5 + 4 5 = 7 5 .

• Упрощаем 6 40 . Раскладываем 40 на множители: 6 40 = 6 ( 4 × 10 ) ;
• Выносим 2 из-под корня ( 4 = 2 ) : 6 40 = 6 ( 4 × 10 ) = ( 6 × 2 ) 10 ;
• Перемножаем множители, которые стоят перед корнем: 12 10 ;
• Записываем выражение в упрощенном виде: 12 10 — 3 10 + 5 ;
• Поскольку у первых двух членов одинаковые подкоренные числа, мы можем их вычесть: ( 12 — 3 ) 10 = 9 10 + 5 .

Как мы видим, упростить подкоренные числа не представляется возможным, поэтому ищем в примере члены с одинаковыми подкоренными числами, проводим математические действия (складываем, вычитаем и т.д.) и записываем результат:

( 9 — 4 ) 5 — 2 3 = 5 5 — 2 3 .

Советы:

• Перед тем, как складывать или вычитать, необходимо обязательно упростить (если это возможно) подкоренные выражения.
• Складывать и вычитать корни с разными подкоренными выражениями строго воспрещается.
• Не следует суммировать или вычитать целое число или корень: 3 + ( 2 x ) 1 / 2 .
• При выполнении действий с дробями, необходимо найти число, которое делится нацело на каждый знаменатель, потом привести дроби к общему знаменателю, затем сложить числители, а знаменатели оставить без изменений.

Источник

Иррациональные выражения

Выражения, содержащие корень, который нельзя извлечь, называются иррациональными или радикальными.

— иррациональные выражения.

Сложение и вычитание корней

При сложении или вычитании иррациональных выражений их пишут одно за другим с сохранением их знаков.

В некоторых случаях с помощью преобразования можно сделать иррациональные выражения подобными, то есть, имеющими одинаковые показатели корней и подкоренные числа (или выражения), а затем сделать приведение.

Умножение и деление корней

При умножении иррациональных выражений с одинаковыми показателями корней перемножаются их подкоренные числа или выражения:

При делении иррациональных выражений с одинаковыми показателями корней подкоренное число или выражение делимого делится на подкоренное число или выражение делителя:

Возведение корня в степень

Чтобы возвести в степень иррациональное выражение, следует возвести в степень подкоренное число или выражение:

При возведении в n-ю степень знак корня отбрасывается, так как возведение числа (или выражения) в n-ю степень и извлечение из него корня n-ой степени — это взаимно сокращающиеся действия:

Извлечение корня

Чтобы извлечь корень из иррационального выражения, следует показатели корней перемножить:

, так как

С помощью таких преобразований можно упростить извлечение корней 4-й, 6-й, 8-й, 9-й и т. п. степеней из чисел.

Сокращение корней

Величина иррационального выражения не изменится, если показатель корня и подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же число:

так как извлечение корня и возведение в степень — это взаимно сокращающиеся действия, если их показатели равны.

На этом свойстве основано сокращение корней и приведение их к общему показателю.

Сокращение корней — это деление показателей корня и подкоренного числа (или выражения) на одно и то же число, если оно является общим множителем для всех показателей.

Приведение корней к общему показателю

Приведение корней к общему показателю имеет большое сходство с приведением дробей к общему знаменателю. Рассмотрим два способа:

Показатели корней не имеют общих множителей. В этом случае показатель каждого корня и его подкоренное число (или выражение) умножают на произведение остальных корней.

Рассмотрим три выражения:

,

Так как у данных показателей нет общего множителя, то просто перемножаем все показатели между собой. Полученный результат и станет общим показателем. После приведения к общему показателю выражения будут иметь следующий вид:

Показатели корней имеют общий множитель. В этом случае надо найти НОК показателей и умножить показатель каждого корня на недостающий множитель.

Рассмотрим два выражения:

,

НОК (4, 6) = 12, значит, для первого выражения дополнительным множителем будет 3, а для второго 2. После приведения к общему показателю выражения будут иметь следующий вид:

При умножении и делении иррациональных выражений с разными показателями их приводят к общему показателю, а затем уже умножают или делят их подкоренные числа или выражения.

Источник