- Преобразование выражений с дробями: примеры, решения
- Выражения с дробями и дробные выражения
- Работа с отдельными дробями
- Выполнение действий с дробями
- Применение свойств корней, степеней, логарифмов и т.п.
- Как упростить выражение (ЕГЭ 2022)
- Как упростить алгебраическое выражение — коротко о главном
- Как упростить выражение — подробно
- Приведение подобных
- Читать далее…
- Разложение на множители
- Читать далее…
- Сокращение дроби
- Читать далее…
- Сложение и вычитание дробей. Приведение дробей к общему знаменателю
- Читать далее…
- Читать далее…
- Читать далее…
- Читать далее…
- Читать далее…
- Читать далее…
- Читать далее…
- Читать далее…
- Читать далее…
- Умножение и деление дробей
- Бонус: Вебинары из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике
- Вебинар: Выделение полного квадрата
- Вебинар: Формулы сокращенного умножения. Разбор 119 задач
Преобразование выражений с дробями: примеры, решения
Давайте рассмотрим основные преобразования, которые могут применимы для выражений с дробями.
Выражения с дробями и дробные выражения
Судя по заявленной в заголовке статьи теме, речь пойдет о преобразовании выражений с переменными числовых выражений, запись которых содержит хотя бы одну дробь.
Отдельные дроби в данном материале мы рассматривать не будем, так как уделили им достаточно внимания в статье «Преобразование дробей: общий взгляд». Остановимся лишь на разнице смысла словосочетаний «дробные выражения» и « выражения с дробями».
Выражение с дробями – это более общее понятие по сравнению с «дробным выражением». Далеко не любое выражение, содержащее дробь, является дробным выражением. Так, например, выражение x 2 — 1 является целым рациональным числом.
Основные тождественные преобразования выражений с дробями: перестановка местами слагаемых и множителей, раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых. Все эти приемы мы разбирали для выражений различных видов.
Важно при проведении преобразований соблюдать принятый порядок действий.
Упростите выражение 3 · x + 1 x 2 — 4 — 1 — 2 · x + 1 x 2 — 4 + 3 .
Решение
Раскроем скобки: 3 · x + 1 x 2 — 4 — 3 — 2 · x + 1 x 2 — 4 + 3 . Мы получили выражение, в котором присутствуют подобные слогаемые 3 · x + 1 x 2 — 4 и — 2 · x + 1 x 2 — 4 , а также − 3 и 3 . Методом приведения получим дробь x + 1 x 2 — 4 .
Решение можно записать кратко:
3 · x + 1 x 2 — 4 — 1 — 2 · x + 1 x 2 — 4 + 3 = = 3 · x + 1 x 2 — 4 — 3 — 2 · x + 1 x 2 — 4 + 3 = x + 1 x 2 — 4
Ответ: 3 · x + 1 x 2 — 4 — 1 — 2 · x + 1 x 2 — 4 + 3 = x + 1 x 2 — 4 .
Представьте выражение 1 x 2 + 6 · 1 x + 9 в виде квадрата суммы.
Решение
Мы можем записать число 6 как 2 · 3 , а 9 как 3 2 . Тогда исходное выражение примет следующий вид:
1 x 2 + 2 · 3 · 1 x + 3 2
Теперь используем формулу сокращенного умножения квадрат суммы: 1 x 2 + 2 · 3 · 1 x + 3 2 = 1 x + 3 2 .
Ответ: 1 x 2 + 6 · 1 x + 9 = 1 x + 3 2 .
Работа с отдельными дробями
Предлагаем вам обсудить преобразование отдельных дробей, которые входят в запись выражения. Это необходимо для того, чтобы в следующем пункте мы могли перейти к выполнению действий с дробями, которые входят в исходное выражение.
С дробями, являющимися частью выражения, можно выполнять все те преобразования, которые мы подробно описали в материале «Преобразование дробей». Любое преобразование должно давать нам тождественную дробь, а исходное выражение при этом должно давать тождественно равное выражение.
Преобразовать выражение с дробью x + 1 + ( x — 1 ) 2 — 1 x к более простому виду.
Решение
Для начала поработаем с дробью ( x — 1 ) 2 — 1 x : раскроем скобки, приведем подобные слагаемые в числителе: ( x — 1 ) 2 — 1 x = x 2 — 2 · x + 1 — 1 x = x 2 — 2 · x x
Вынесем общий множитель x за скобки в числителе и произведем сокращение алгебраической дроби: x 2 — 2 · x x = x · ( x — 2 ) x = x — 2 .
Подставим полученный результат вместо дроби в выражение из условия задачи, получим:
Ответ: x + 1 + ( x — 1 ) 2 — 1 x = x + 1 + x — 2 .
Выполнение действий с дробями
Действия с дробями проводятся в соответствии с общепринятым порядком. Стоит учитывать тот факт, что любое число может быть представлено в виде дроби со знаменателем 1 .
Упростите выражение x + 2 · x — 1 x + 2 · x + 1 2 x .
Решение
Существует несколько вариантов решения данной задачи. В контексте темы мы решим ее методом выполнения действий с дробями:
x + 2 · x — 1 x + 2 · x + 1 2 x = = x + 2 · x — x + 1 2 x + 2 · x
Полученное произведение x + 2 · x запишем в виде дроби для того, чтобы нам проще был провести вычитание дробей:
x + 2 · x — x + 1 2 x + 2 · x = = x + 2 · x 1 — x + 1 2 x + 2 · x = = x + 2 · x · x + 2 · x x + 2 · x — x + 1 2 x + 2 · x = = x + 2 · x x + 2 · x — x + 1 2 x + 2 · x = = x + 2 · x — x + 1 2 x + 2 · x = x 2 + 2 · x — x 2 + 2 · x + 1 x + 2 · x = = — 1 x + 2 · x = — 1 x + 2 · x
Для того, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, можно выполнить еще одно действие:
— 1 x + 2 · x = — x + 2 · x x 2 + 2 · x
Ответ: x + 2 · x — 1 x + 2 · x + 1 2 x = — x + 2 · x x 2 + 2 · x .
Применение свойств корней, степеней, логарифмов и т.п.
Выражения с дробями могут содержать логарифмы, корни, тригонометрические функции, степени с различными показателями. Для их преобразования могут применяться соответствующие свойства.
Применимо к дробям, стоит выделить свойство логарифма разности log c a b = log c a — log c b , свойство корня из дроби a b n = a n b n , свойство модуля частного a b = a b и свойство дроби в степени a b p = a p b p .
Поясним написанное выше на примерах.
Выражение 4 x 6 — 2 · 2 x 3 + 1 можно преобразовать, заменив первую дробь степенью 2 x 3 2 на базе свойств степени. Это позволяет нам представить исходное выражение в виде квадрата разности.
В логарифмическом выражении ln x + 3 x + ln x логарифм дроби можно заменить разностью логарифмов. Далее приводим подобные слагаемые и таким образом упрощаем выражение: ln x + 3 x + ln x = ln x + 3 — ln x + ln x = ln x + 3 .
В тригонометрических выражениям отношение синуса к косинусу можно заменить тангенсом одного и того же угла.
Избавиться от аргумента-дроби можно при переходе от половинного аргумента к целому с использованием соответствующих формул. Например, 2 · sin 2 x — 3 2 = 1 — cos ( x — 3 ) .
Как видите, тема эта очень объемная. Для ее подробного изучения мы рекомендуем обратиться к материалам, изложенным в разделах, посвященных преобразованию тригонометрических выражений, иррациональных выражений с использованием свойств корня, выражений с использованием свойств степеней, логарифмических выражений с использованием свойств логарифмов.
Источник
Как упростить выражение (ЕГЭ 2022)
Хочешь узнать, что такое ДОСАДА?
Это когда на ЕГЭ ты увидишь, что знаешь, как решить неравенство, но не сможешь его упростить.
И «проедешь мимо кассы».
Чтобы этого не случилось, нужно освоить преобразование алгебраических выражений.
Приведение подобных, разложение на множители, сокращение, сложение и вычитание, деление и умножение дробей – вот это вот всё…
Кстати, от 30 до 40% ошибок на ЕГЭ – это ошибки именно в подобных простых вещах.
Отнесись к ним серьезно!
Как упростить алгебраическое выражение — коротко о главном
Базовые операции упрощения
Приведение подобных: чтобы сложить (привести) подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и приписать буквенную часть.
Разложение на множители: вынесение общего множителя за скобки, применение формул сокращенного умножения и т.д.
Сокращение дроби: числитель и знаменатель дроби можно умножать или делить на одно и то же ненулевое число, от чего величина дроби не изменяется.
1) числитель и знаменатель разложить на множители
2) если в числителе и знаменателе есть общие множители, их можно вычеркнуть.
ВАЖНО: сокращать можно только множители!
Сложение и вычитание дробей:
Умножение и деление дробей:
Как упростить выражение — подробно
Часто мы слышим эту неприятную фразу: «упростите выражение». Обычно при этом перед нами какое-то страшилище типа этого:
Сейчас я научу тебя не бояться никаких подобных задач.
Более того, в конце занятия ты сам упростишь этот пример до (всего лишь!) обычного числа −1.
Но прежде чем приступить к этому занятию, тебе необходимо уметь обращаться с дробями и раскладывать многочлены на множители. Освежи эти темы, если подзабыл.
Вспомнил? А сейчас разберем основные приемы, которые используются при упрощении выражений.
Самый простой из них – это…
Приведение подобных
Что такое подобные? Ты проходил это в 7 классе, как только впервые в математике появились буквы вместо чисел.
Подобные – это слагаемые (одночлены) с одинаковой буквенной частью.
Например, в сумме \( \displaystyle 2ab+3ab+b\) подобные слагаемые – это \( \displaystyle 2ab\) и \( \displaystyle 3ab\).
Привести подобные – значит сложить несколько подобных слагаемых друг с другом и получить одно слагаемое.
А как же нам сложить друг с другом буквы? – спросишь ты.
Это очень легко понять, если представить, что буквы – это какие-то предметы.
Например, буква \( \displaystyle a\) – это стул. Тогда чему равно выражение \( \displaystyle 2a+3a\)?
Два стула плюс три стула, сколько будет? Правильно, \( \displaystyle 5\) стульев: \( \displaystyle 2a+3a=5a\).
А теперь попробуй такое выражение: \( \displaystyle 2a+3b-a+8b+7a\).
Чтобы не запутаться, пусть разные буквы обозначают разны предметы.
Например, \( \displaystyle a\) – это (как обычно) стул, а \( \displaystyle b\) – это стол.
\( \displaystyle 2a+3b-a+8b+7a=2\)стула\( \displaystyle+3\)стола\( \displaystyle-\)стул\( \displaystyle+8\)столов\( \displaystyle +7\)стульев\( \displaystyle=8\)стульев\( \displaystyle +11\)столов\( \displaystyle=8a+11b\)
Числа, на которые умножаются буквы в таких слагаемых называются коэффициентами.
Например, в одночлене \( \displaystyle 3a<^<2>>\) коэффициент равен \( \displaystyle 3\). А в \( \displaystyle -7bx\) он равен \( \displaystyle \left( -7 \right)\).
Итак, правило приведения подобных:
Чтобы сложить (привести) подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и приписать буквенную часть.
Потренируйтесь приводить подобные на следующих примерах:
Примеры.
Ответы:
Читать далее…
Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:
Разложение на множители
Это обычно самая важная часть в упрощении выражений.
После того как ты привел подобные, чаще всего полученное выражение нужно разложить на множители, то есть представить в виде произведения.
Особенно это важно в дробях: ведь чтобы можно было сократить дробь, числитель и знаменатель должны быть представлены в виде произведения.
Подробно способы разложения выражений на множители ты проходил в теме «Разложение на множители», поэтому здесь тебе остается только вспомнить выученное.
Для этого реши несколько примеров (разложить на множители).
Примеры
Ответы:
Читать далее…
Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:
Сокращение дроби
Ну что может быть приятнее, чем зачеркнуть часть числителя и знаменателя, и выбросить их из своей жизни?
В этом вся прелесть сокращения.
Если числитель и знаменатель содержат одинаковые множители, их можно сократить, то есть убрать из дроби.
Это правило вытекает из основного свойства дроби:
Числитель и знаменатель дроби можно умножать или делить на одно и то же ненулевое число, от чего величина дроби не изменяется.
То есть суть операции сокращения в том, что числитель и знаменатель дроби делим (или умножаем) на одно и то же число (или на одно и то же выражение).
Чтобы сократить дробь, нужно:
- числитель и знаменатель разложить на множители;
- если в числителе и знаменателе есть общие множители, их можно вычеркнуть.
Примеры
Принцип, я думаю, понятен?
Хочу обратить внимание на одну типичную ошибку при сокращении. Хоть эта тема и простая, но очень многие делают все неправильно, не понимая, что сократить – это значит поделить числитель и знаменатель на одно и то же число.
Сокращать можно только множители.
Никаких сокращений, если в числителе или знаменателе сумма.
Например: надо упростить \( \displaystyle \frac<<
Некоторые делают так: \( \displaystyle \frac<<
Еще пример: сократить \( \displaystyle \frac<<
«Самые умные» сделают так:
Скажи мне, что здесь неверно? Казалось бы: \( \left( x+y \right)\) – это множитель, значит можно сокращать.
Но нет: \( \displaystyle \left( x+y \right)\) – это множитель только одного слагаемого в числителе, но сам числитель в целом на множители не разложен.
Вот другой пример: \( \frac
\( \displaystyle \frac
Можно и сразу поделить на \( ac\):
Чтобы не допускать подобных ошибок, запомни легкий способ, как определить, разложено ли выражение на множители:
Арифметическое действие, которое выполняется последним при подсчете значения выражения, является «главным».
То есть, если ты подставишь вместо букв какие-нибудь (любые) числа, и попытаешься вычислить значение выражения, то если последним действием будет умножение – значит, у нас произведение (выражение разложено на множители).
Если последним действием будет сложение или вычитание, это значит, что выражение не разложено на множители (а значит, сокращать нельзя).
Для закрепления реши самостоятельно несколько примеров.
Примеры:
Решения:
1. Надеюсь, ты не бросился сразу же сокращать \( <
Первым действием должно быть разложение на множители:
Читать далее…
Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:
Сложение и вычитание дробей. Приведение дробей к общему знаменателю
Сложение и вычитание обычных дробей – операция хорошо знакомая: ищем общий знаменатель, домножаем каждую дробь на недостающий множитель и складываем/вычитаем числители.
Давай вспомним:
3) \( \displaystyle 3\frac<4><7>-1\frac<2><3>\)
Ответы:
Читать далее…
Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:
Совсем другое дело, если дроби содержат буквы, например:
Начнем с простого:
Знаменатели не содержат букв
Здесь все то же, что и с обычными числовыми дробями: находим общий знаменатель, домножаем каждую дробь на недостающий множитель и складываем/вычитаем числители:
Теперь в числителе можно приводить подобные, если есть, и раскладывать на множители:
Примеры:
Ответы:
Читать далее…
Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:
Знаменатели содержат буквы
Давай вспомним принцип нахождения общего знаменателя без букв:
- в первую очередь мы определяем общие множители;
- затем выписываем все общие множители по одному разу;
- и домножаем их на все остальные множители, не общие.
Пример: \( \displaystyle \frac<1><12>+\frac<1><30>\).
Чтобы определить общие множители знаменателей, сперва разложим их на простые множители:
\( \displaystyle 12=2\cdot 2\cdot 3\);
\( \displaystyle 30=2\cdot 3\cdot 5\).
\( \displaystyle 12=\underline<2>\cdot 2\cdot \underline<\underline<3>>\);
\( \displaystyle 30=\underline<2>\cdot \underline<\underline<3>>\cdot 5\).
Подчеркнем общие множители:
Теперь выпишем общие множители по одному разу и допишем к ним все необщие (не подчеркнутые) множители:
\( \displaystyle \underline<\text<2>>\cdot \underline<\underline<\text<3>>>\cdot \text<2>\cdot \text<5>=60\) – это и есть общий знаменатель.
Вернемся к буквам. Знаменатели приводятся по точно такой же схеме:
- раскладываем знаменатели на множители;
- определяем общие (одинаковые) множители;
- выписываем все общие множители по одному разу;
- домножаем их на все остальные множители, не общие.
Итак, по порядку (и полезная хитрость!):
1) раскладываем знаменатели на множители:
2) определяем общие (одинаковые) множители:
3) выписываем все общие множители по одному разу и домножаем их на все остальные (неподчеркнутые) множители:
А вот и полезная хитрость:
Если в разных знаменателях есть один и тот же множитель в разной степени, то в общем знаменателе такой множитель будет в максимальной из этих степеней.
Видим в знаменателях одни и те же множители, только все с разными показателями. В общий знаменатель пойдут:
\( \displaystyle x\) в степени \( \displaystyle 3\)
\( \displaystyle b\) в степени \( \displaystyle 3\)
\( \displaystyle y\) в степени \( \displaystyle 4\).
Усложним задание:
Как сделать у дробей одинаковый знаменатель?
Если ты сейчас бросился вычитать в первой дроби из \( \displaystyle x\) единицу, то ты очень и очень неправ!
Давай вспомним основное свойство дроби:
Числитель и знаменатель дроби можно умножать или делить на одно и то же ненулевое число, от чего величина дроби не изменяется.
Нигде не сказано, что из числителя и знаменателя дроби можно вычитать (или прибавлять) одно и то же число. Потому что это неверно!
Убедись сам: возьми любую дробь, например, \( \displaystyle \frac<2><5>\) , и прибавь к числителю и знаменателю какое-нибудь число, например, \( \displaystyle 1\). Что поучилось?
Итак, очередное незыблемое правило:
Когда приводишь дроби к общему знаменателю, пользуйся только операцией умножения!
Но на что же надо домножить \( \displaystyle x\), чтобы получить \( \displaystyle x+1\)?
Вот на \( \displaystyle \left( x+1 \right)\) и домножай. А \( \displaystyle \left( x+1 \right)\) домножай на \( \displaystyle x\):
Выражения, которые невозможно разложить на множители будем называть «элементарными множителями».
Например, \( \displaystyle x\) – это элементарный множитель. \( \displaystyle \left( x+1 \right)\) – тоже. А вот \( \displaystyle <
Это как в физике: элементарная частица – это неделимая частица, то есть она не состоит ни из каких других частиц.
Например, молекула – это не элементарная частица, так как она состоит из нескольких атомов.
Атом – тоже не элементарная, так как состоит из протонов, нейтронов и электронов.
А вот эти протоны, нейтроны и электроны поделить нельзя. Значит, они – элементарные частицы.
Что скажешь насчет выражения \( \displaystyle <
Нет, поскольку его можно разложить на множители: \( \displaystyle <
(О разложении на множители ты уже читал в теме «Разложение на множители»).
Так вот, элементарные множители, на которые ты раскладываешь выражение с буквами – это аналог простых множителей, на которые ты раскладываешь числа. И поступать с ними будем таким же образом.
Решим несколько примеров
Пример №1:
Видим, что в обоих знаменателях есть множитель \( \displaystyle \left( x-1 \right)\). Он пойдет в общий знаменатель в степени \( \displaystyle 2\) (помнишь, почему?).
Читать далее…
Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:
Пример №2
Прежже, чем в панике перемножать эти знаменатели, надо подумать, как их разложить на множители? Оба они представляют формулы сокращенного умножения:
\( \displaystyle <
Читать далее…
Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:
Пример №3
Как обычно, разложим знаменатели на множители. В первом знаменателе просто выносим за скобки \( \displaystyle x\); во втором – разность квадратов:
Казалось бы, общих множителей нет. Но если присмотреться, то \( \displaystyle \left( y-2x \right)\) и \( \displaystyle \left( 2x-y \right)\) так похожи… И правда:
\( \displaystyle \left( y-2x \right)=-\left( 2x-y \right)\).
Читать далее…
Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:
Пример № 4
Читать далее…
Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:
Пример №5
Пример №6
Тут надо вспомнить еще одну формулу сокращенного умножения – разность кубов:
Обрати внимание, что в знаменателе второй дроби не формула «квадрат суммы»! Квадрат суммы выглядел бы так: \( \displaystyle <<\left( x+2 \right)>^<2>>=<
А \( \displaystyle <
Неполный квадрат суммы – это один из множителей в разложении разности кубов:
Читать далее…
Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:
Что делать, если дробей аж три штуки?
Да то же самое! В первую очередь сделаем так, чтобы максимальное количество множителей в знаменателях было одинаковым:
Обрати внимание: если поменять знаки внутри одной скобки, знак перед дробью меняется на противоположный. Когда меняем знаки во второй скобке, знак перед дробью снова меняется на противоположный. В результате он (знак перед дробью) не изменился.
В общий знаменатель выписываем полностью первый знаменатель, а потом дописываем к нему все множители, которые еще не написаны, из второго, а потом из третьего (и так далее, если дробей больше). То есть получается вот так:
Читать далее…
Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:
9) \( \displaystyle 2-\frac<1><<^<2>>-1>-\frac
Хм… С дробями-то понятно что делать. Но вот как быть с двойкой?
Все просто: ты ведь умеешь складывать дроби? Значит, надо сделать так, чтобы двойка стала дробью! Вспоминаем: дробь – это операция деления (числитель делится на знаменатель, если ты вдруг забыл).
И нет ничего проще, чем разделить число на \( \displaystyle 1\). При этом само число не изменится, но превратится в дробь:
Читать далее…
Чтобы пользоваться учебником ЮКлэва без ограничений, зарегистрируйтесь один раз:
Умножение и деление дробей
Ну что же, самое сложное теперь позади. А впереди у нас самое простое, но при этом самое важное:
Порядок действий
Какой порядок действий при подсчете числового выражения? Вспомни, посчитав значение такого выражения:
Должно получиться \( \displaystyle -125\).
Первым делом вычисляется степень.
Вторым – умножение и деление. Если умножений и делений одновременно несколько, делать их можно в любом порядке.
И напоследок выполняем сложение и вычитание. Опять же, в любом порядке.
Но: выражение в скобках вычисляется вне очереди!
Если несколько скобок умножаются или делятся друг на друга, вычисляем сначала выражение в каждой из скобок, а потом умножаем или дели их.
А если внутри скобок есть еще одни скобки? Ну давай подумаем: внутри скобок написано какое-то выражение. А при вычислении выражения в первую очередь надо делать что? Правильно, вычислять скобки. Ну вот и разобрались: сначала вычисляем внутренние скобки, потом все остальное.
Итак, порядок действий для выражения выше такой:
Хорошо, это все просто.
Но это ведь не то же самое, что выражение с буквами?
Нет, это то же самое!
Только вместо арифметических действий надо делать алгебраические, то есть действия, описанные в предыдущем разделе: приведение подобных, сложение дробей, сокращение дробей и так далее.
Единственным отличием будет действие разложения многочленов на множители (его мы часто применяем при работе с дробями). Чаще всего для разложения на множители нужно применять формулы сокращенного умножения или просто выносить общий множитель за скобки.
Обычно наша цель – представить выражение в виде произведения или частного.
Например:
Упростим выражение \( \displaystyle \left( \frac
1) Первым упрощаем выражение в скобках. Там у нас разность дробей, а наша цель – представить ее как произведение или частное. Значит, приводим дроби к общему знаменателю и складываем:
Больше это выражение упростить невозможно, все множители здесь – элементарные (ты еще помнишь, что это значит?).
Умножение дробей: что может быть проще.
3) Теперь можно и сократить:
Ну вот и все. Ничего сложного, правда?
Еще пример:
Сначала попробуй решить сам, и уж только потом посмотри решение.
Решение:
Перво-наперво определим порядок действий.
Сначала выполним сложение дробей в скобках, получится вместо двух дробей одна.
Потом выполним деление дробей. Ну и результат сложим с последней дробью.
Схематически пронумерую действия:
Теперь покажу весть процесс:
Напоследок дам тебе два полезных совета:
- Если есть подобные, их надо немедленно привести. В какой бы момент у нас ни образовались подобные, их желательно приводить сразу.
- То же самое касается сокращения дробей: как только появляется возможность сократить, ей надо воспользоваться. Исключение составляют дроби, которые ты складываешь или вычитаешь: если у них сейчас одинаковые знаменатели, то сокращение нужно оставить на потом.
Разберем 4 примера
И обещанная в самом начале:
Ответы:
Решения (краткие):
Если ты справился хотя бы с первыми тремя примерами, то тему ты, считай, освоил.
Бонус: Вебинары из нашего курса подготовки к ЕГЭ по математике
Вебинар: Выделение полного квадрата
Выделение полного квадрата — самый главный навык, относящийся к формулам сокращенного умножения.
Этот навык поможет вам решать квадратные уравнения, раскладывать выражение на множители, разобраться с с уравнением окружности в задаче с параметром (18-я задача), которая дает целых 4 первичных балла.
В общем, метод выделения полного квадрата — бесценный навык.
Берите тетрадку, ручку и смотрите видео. Алексей разберет 8 примеров! Слушайте условие, ставьте на паузу, решайте и потом сравнивайте с тем, как решил Алексей.
Кстати, само видео — это отрывок из вебинара, целиком посвященного формулам сокращенного умножения (решено 119 задач). Его можно посмотреть чуть ниже.
Вебинар: Формулы сокращенного умножения. Разбор 119 задач
Зачем нужны формулы сокращенного умножения и где они применяются.
Эти формулы нужны для задачи №9 – на преобразование выражений. Также они нужны для решения уравнений и неравенств, очень часто пригождаются в задачах №13 и 15.
А в 18 задаче без них вообще нечего делать.
Цель этого видео в том, чтобы вы тему «Формулы сокращенного умножения» закрыли полностью, чтобы научились решать любую задачу на ЕГЭ. Для этого вы вместе с репетитором Алексеем Шевчуком решите 119 задач.
Какие формулы сокращенного умножения вы научитесь применять, посмотрев это видео? Да все… 🙂
- Разность квадратов
- как быстро раскрыть скобки в выражениях типа (a-b)(a+b)
- как раскладывать разность квадратов на множители (то есть на произведение двух скобок)
- как вычислять страшные числа, такие как (137^2 – 113^2).
- Квадрат суммы и квадрат разности — это очень похожие друг на друга формулы
- как быстро возводить скобки в квадрат – например, (2x+3)^2
- как распознавать, что выражение является квадратом суммы или разности.
- Например, (4x^2– 12x + 9) – это то же самое, что (2x+3)^2. 3)
- Выделение полного квадрата (есть отдельное видео по этому умению — см выше)
- это невероятно полезный и мощный метод – его можно применять от квадратных уравнений до задач с параметром
- например, из выражения 4x^2 – 12x + 8 можно выделить полный квадрат разности: 4x^2 – 12x+ 8 = (2x + 3)^2 – 1.
- как понять, что идёт в скобки, а что остаётся за ними.
- Сумма кубов, разность кубов, куб суммы и куб разности иногда встречаются в сложных уравнениях
Источник
