Способы удобного действия над числами

Способы устных умножений и делений

В работе рассмотрены способы умножения (деления), которые позволяют выполнять эти действия устно. Знания этих приемов помогут рационально выполнять арифметические действия и раскроют некоторые «секреты» быстрых вычислений.

Скачать:

Вложение	Размер
sposoby_ustnyh_umnozheniy_i_deleniy.doc	70.5 КБ

Предварительный просмотр:

Муниципальное образовательное учреждение

«Гимназия № 36 «Золотая горка».

Способы устных умножений и делений

ученик 6 класса

МОУ «Гимназия № 36 «Золотая горка»

Руководитель: Шапеева Анфиса Васильевна,

учитель математики 1 — ой квалификационной категории МОУ «Гимназия № 36

В учебнике «Арифметика» (Авторы С.М. Никольский, М.К.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В. Шевкин) есть иллюстрация картины «Устный Счет» русского художника Н.П. Богданова — Бельского, ученика С.А.Рачинского. Крестьянские дети напряженно ищут в уме решение примера .

И мне стало интересно, как можно в уме вычислить такой пример и кто — такой Сергей Александрович Рачинский. ( В учебнике есть много задач, где есть ссылки «Задачи С.А.Рачинского»).

Я прочитал книгу И.И.Баврина «Сельский учитель С.А.Рачинский и его задачи для умственного счета» и мне захотелось ознакомить моих одноклассников с приемами умножения и деления, которые позволяют выполнять эти действия устно.

А еще, почему выбрал эту тему?

На уроках математики я заметил, что ученики нашего класса при решении задач и вычислении значений выражений тратят больше времени на выполнении арифметических действий, и у меня возникла мысль, а есть ли такие приёмы умножения и сложения, которые облегчили бы работу на уроках.

Я считаю, что эта тема актуальна, так как на уроках математики постоянно выполняем арифметические действия над числами (не используя, калькуляторы) и умения быстро вычислять, облегчает понимание темы и повышает нашу успешность в учебе.

Поэтому целью моей работы стало – найти способы устных вычислений для повышения скорости работы и интереса к урокам математики.

Гипотеза исследования состоит в следующем: различные способы устных вычислений существуют и они влияют на скорость работы на уроках математики. Владение навыками устного счёта даёт возможность учащимся выбрать в каждом отдельном случае наиболее рациональные пути вычислений, что приводит не только к дополнительному выигрышу времени при устном счёте, но и к облегчению выполнения письменного и полу-письменного счёта. Ученикам будет интересно использовать эти способы.

1) найти и изучить материал по данной теме

2) выделить основные способы, которых легко можно использовать на уроках

3) сделать выводы, по использованию данных видов устных вычислений.

Чтобы навыки устных вычислений постоянно совершенствовались, необходимо установить правильное соотношение в применении устных и письменных приёмов вычислений, а именно: вычислять письменно только тогда, когда устно вычислять трудно.

Цель устных упражнений: активизировать внимание детей на уроках математики, сделать процесс учения более интересным, повышать с помощью них познавательный интерес к уроку математики. Задания в занимательной форме более доступны и привлекательны для детей. Учащиеся незаметно для себя выполняют большее число арифметических действий, упражняются в устных вычислениях.

Я решил рассмотреть приемы быстрого умножения и деления (сложение и вычитание — особого труда не составляют) . Часто нам приходится, применяя полученные знания, действовать не только по образцу, но и в нестандартных ситуациях, комбинируя известные способы решения учебной задачи.

Самые простые приемы, основанные на свойствах арифметических действий, (переместительное и сочетательное свойства сложения и умножения, распределительное свойство умножения относительно сложения) представлены в учебниках математики, но их мы, ученики, часто используем лишь для несложных вычислениях, т.е. применяем лишь в знакомой ситуации.

Правила для устного умножения и деления более сложны и представляют особый интерес. Облегчают эту работу знание признаков делимости чисел. Поэтому интересно рассмотреть приемы быстрого умножения, которые позволяют вычислять рациональным способом, т.е. легче и быстрее приводят к результату арифметического действия. Применение свойств арифметических действий вызывает желание научиться вычислять наиболее быстрыми, лёгкими и удобными способами.

Умение рационально выполнять вычисления опирается на осознанное использование законов арифметических действий, применение этих законов в нестандартных условиях, использование искусственных (универсальных) приемов упрощения вычислений. Это означает, что в процессе обучения на конкретных простых числовых примерах рассматриваются различные способы прибавления числа к сумме, суммы к числу; вычитания числа из суммы, суммы из числа; умножения суммы на число и др. с целью формирования умения осознанно выбирать те способы, которые позволяют рационально осуществлять процесс вычислений. Опираясь на конкретный смысл арифметических действий, их свойства, связи и зависимости между результатами и компонентами действий, а также десятичный состав чисел, раскрываются приемы устных и письменных вычислений. Такой подход к изучению приемов вычислений обеспечивает, с одной стороны, формирование осознанных умений и навыков, т.к. учащиеся смогут обосновать любой вычислительный прием, а с другой стороны, при такой системе лучше усваиваются свойства действий, их законы и т.д.

Вычислительное умение предполагает усвоение вычислительного приема. Любой вычислительный прием можно представить в виде последовательности операций, выполнение каждой из которых связано с определенным математическим понятием или свойством.

Источник

Арифметические операции над действительными числами

Множество действительных чисел является объединением множеств рациональных и иррациональных чисел. Буква R является обозначением рассматриваемого множества. Множество R представляется промежутком вида ( — ∞ ; + ∞ ).

Стоит заметить, что любое рациональное число всегда может принимать вид бесконечной десятичной периодической дроби, любое иррациональное число бесконечной десятичной непериодической дроби, исходя из вышесказанного следует вывод, что множество, включающее в себя конечные и бесконечные периодические и непериодические десятичные дроби принадлежит множеству R .

Геометрическая модель действительных чисел

Координатная прямая непосредственно представляет собой геометрическую модель множества R . Следовательно, каждой точке на координатной прямой всегда можно поставить в соответствие некоторое действительное число.

Сравнение действительных чисел

Сравнение действительных чисел можно производить воспользовавшись либо геометрической моделью, либо их можно сравнивать аналитически. Рассмотрим оба способа сравнения. На координатной прямой расположено в произвольном порядке два числа. Определить, какое из них больше достаточно просто. Большее число всегда находится правее другого.

Аналитически определись какое число является большим или меньшим какого либо числа тоже возможно, для этого достаточно найти разность этих чисел и затем сравнить ее с нулем. Если полученная разность будет иметь положительный знак, то первое число (уменьшаемое разности) будет больше чем второе число (вычитаемое разности); если же разность будет иметь отрицательный знак, то первое число (уменьшаемое разности) будет меньше, чем второе число (вычитаемое разности).

Ниже рассмотрим примеры, демонстрирующие оба способа сравнения:

Сравнить числа f r a c 185 и 4 .

Для сравнения данных чисел найдем разность этих чисел.

f r a c 185 — 4 = f r a c 185 — f r a c 205 = — f r a c 25 чтобы вычислить данную разность, надо привести данные числа к общему знаменателю, воспользовавшись правилом приведения к общему знаменателю. Проделав данную операцию, видим, что знаменатель в данном примере равен 5. После этого опираясь на правило вычитания дробей с одинаковым знаменателем, вычтем из числителя первой дроби числитель второй дроби, а знаменатель оставим прежним. Обратим внимание, что разность приведенных чисел является отрицательной, значит первое число (уменьшаемое) меньше второго (вычитаемого), т. е. f r a c 185 4 .

Сравнить числа f r a c 185 и 4 с помощью координатной прямой.

Чтобы сравнить данные числа, следует определить геометрическое место точек этих чисел на координатной прямой. Т.е. сравниваемые действительные числа будут соответствовать определенным координатам на координатной прямой, а именно числам f r a c 185 и 4 . Для начала преобразуем неправильную дробь frac185 в смешанное число т.е. выделим целую часть, следовательно, получим 3 f r a c 35 .

Далее на координатной прямой отметим точки, координаты которых будут равны 3 f r a c 35 и 4 . f r a c 185 содержит в себе 3 целых, значит данное число расположено левее 4. Как уже известно, меньшее число лежит левее, исходя из этого напрашивается вывод, что f r a c 185 4 .

Можно сделать вывод, что вне зависимости от внешнего вида сравнения действительных чисел можно реализовать все арифметические операции, а именно сложение, вычитание, умножение и деление. Однако перед выполнением действий с действительными числами следует учитывать исходные знаки данных чисел т.е. определить является каждое число положительными или отрицательными.

Сложение действительных чисел

Чтобы сложить два действительных числа с одинаковыми знаками следует сначала сложить их модули и затем перед суммой поставить их общий знак. Например:

( + 8 ) + ( + 2 ) = + 10 ; ( — 5 ) + ( — 4 ) = — 9 .

Чтобы сложить два действительных числа с разными знаками следует для начала обратить внимание на знак числа, если знак одного из чисел отрицательный, тогда это число следует вычитать из другого, если положительный – сложить с другим. Далее нужно сложить либо вычесть данные числа и поставить знак большего модуля. Например

( + 2 ) + ( — 7 ) = — 5 ; ( + 10 ) + ( — 4 ) = + 6 .

Вычитание действительных чисел

Вычитание действительных чисел можно представить в виде сложения: a — b = a + ( — b ) , то есть, чтобы вычесть из числа а число b, достаточно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому.

Например: ( + 5 ) — ( — 7 ) = ( + 3 ) + ( + 7 ) = 12 ; ( + 6 ) — ( + 4 ) = ( + 6 ) + ( — 4 ) = + 2 .

Умножение действительных чисел

Чтобы умножить (разделить) два действительных числа необходимо умножить (разделить) их модули. И затем перед результатом поставить знак по приведенному в таблице правилу знаков ниже.

При умножении и делении действительных чисел желательно помнить пословицу: «Друг моего друга — мой друг, враг моего врага — мой друг, друг моего врага — мой враг, враг моего друга — мой враг».

( + 2 ) ( + 7 ) = + 14 ; ( — 2 ) ( + 6 ) = — 12 ; ( — 2 ) ( — 8 ) = 16 ;

Свойства арифметических действий над действительными числами (основные законы алгебры)

В алгебре существуют так называемые основные законы алгебры. Они практически всегда принимаются за истину (случаи ложности данных законов не рассматриваем) и сформулированы в виде следующих свойств-тождеств:

1. a + b = b + a ;
2. ( a + b ) + c = a + ( b + c ) ;
3. a + 0 = a ;
4. a + ( — a ) = 0 ;
5. a b = b a ;
6. ( a b ) c = a ( b c ) ;
7. a ( b + c ) = a b + a c ;
8. a · 1 = a ;
9. a · 0 = 0 ;
10. a · 1 a = 1 , ( a ≠ 0 ) .

Свойства 1 и 5 выражают переместительный закон (коммутативность) сложения и умножения соответственно;

Cвойства 2 и 6 выражают сочетательный закон (ассоциативность);

Cвойство 7 — распределительный закон (дистрибутивность) умножения относительно сложения;

Cвойства 3 и 8 указывают на наличие нейтрального элемента для сложения и умножения соответственно;

Cвойства 4 и 10 – на наличие нейтрализующего элемента соответственно.

Источник

Презентация «Свойство действий над числами»

Описание презентации по отдельным слайдам:

Математика 5 б класс МОУ ИРМО «Мамоновская СОШ» Красноженова ОВ Упрощение выражений

Свойства действий над числами Переместительное свойство сложения умножение Сочетательное свойство a + b+ c = a +( b+ c) = (a +b) +c a b c =(a b ) c= a (b c) a+ b = b + a а b =b a

Свойства действий над числами Распределительное свойство умножения относительно сложения Относительно вычитания (a + b) c = a c + b c (a — b) c = a c — b c

Свойства действий над числами 25 36 4 3600

Свойства действий над числами 342 21 + 658 21 21 000 ( 342 + 658) 21

Свойства действий над числами 283 + 189 + 717 1189

Свойства действий над числами 81 5 405

Свойства действий над числами 397 4 = 1588 (400 -3) 4 =1600 — 12

Вычислите удобным способом 121 * 5= 34* 101= 211*5= 79* 9= 89*6= 312*8 59*101

Раскройте скобки 8 ( а+4) = 3( 7+х)= 11 ( а+с-b)= ( 2a +y +5) 6=

Найдите значение выражения 1) 78*35 + 22*35= 2) 8*7+8*4= 3) 42*32+42*42+10*42= 4) 927*18 – 927*17 =

Бакреу Наталия Николаевна, МОУ «СОШ № 48» г.Астрахани Упрощение выражений № 1 Упростите выражение: 16m + 2m 27b + 3a — 9a + 2 b 9a – a 8c + 3c – c 15 + 11n – 4n 22 + 2х – х — 12 18 m 29b – 6а 8а 10с 7n + 15 10 + х

Бакреу Наталия Николаевна, МОУ «СОШ № 48» г.Астрахани Найдите значение выражения 134х + 567х – х, если х = 20; 90. 134х + 567х – х = 700 х Если х = 20, то 700*20 = 14000 Если х = 90, то 700*90 = 63000

Бакреу Наталия Николаевна, МОУ «СОШ № 48» г.Астрахани Решите уравнение 20х + 19 + 12х = 659 20х + 12х + 19 = 659 32х + 19 = 659 32х = 659 – 19 32х = 640 Х = 640 : 32 Х = 20 Ответ. Х = 20

Бакреу Наталия Николаевна, МОУ «СОШ № 48» г.Астрахани Решите уравнение 12*4*р = 4800 48*р = 4800 Р = 4800 : 48 Р = 100 Ответ. Р = 100

Бакреу Наталия Николаевна, МОУ «СОШ № 48» г.Астрахани Решите задачу На двух машинах перевезли 15 тонн груза. На одной из низ перевезли в 4 раза больше. Сколько тонн груза перевезли на каждой машине? 1м. – ? в 4 р. б 4х 2м. — ? х Всего – 15 т.

Бакреу Наталия Николаевна, МОУ «СОШ № 48» г.Астрахани Решение Пусть на второй машине было х т груза, тогда на первой машине – 4х т груза. Составим и решим уравнение. Х + 4х = 15 5х = 15 Х = 15 : 5 Х = 3 (т) – на второй машине 4* 3 = 12 (т) – на первой машине Ответ. На первой машине 12 т, на второй – 3т.

Бакреу Наталия Николаевна, МОУ «СОШ № 48» г.Астрахани Упрощение выражений № 1 Упростите выражение: 46m — 3m 20b + 3a + a + 4b 9*a*5 *с 4c + 13c – c 15 *n*4*х 14 + 12х – х 43m 24b + 4а 45ас 16с 60nх 14 + 11х

Решите уравнение № 2 15с + 10с = 625 25с = 625 С = 625 : 25 С = 25 Ответ.25 № 3 9*р*6 = 270 54р = 270 Р = 270 : 54 Р = 5 Ответ. 5

Спасибо за урок! Бакреу Наталия Николаевна, МОУ «СОШ № 48» г.Астрахани

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 813 человек из 76 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 287 человек из 69 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 599 человек из 75 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Номер материала: ДБ-368597

Международная дистанционная олимпиада Осень 2021

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами

Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно

ЕСПЧ запретил учителям оскорблять учеников

Время чтения: 3 минуты

Минпросвещения будет стремиться к унификации школьных учебников в России

Время чтения: 1 минута

В Москве запустили онлайн-проект по борьбе со школьным буллингом

Время чтения: 2 минуты

Студентам вузов могут разрешить проходить практику у ИП

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения разрабатывает образовательный минимум для подготовки педагогов

Время чтения: 2 минуты

Рособрнадзор откажется от ОС Windows при проведении ЕГЭ до конца 2024 года

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник