Способы сравнения иррациональных выражений

Иррациональные выражения (выражения с корнями) и их преобразование

Статья раскрывает смысл иррациональных выражений и преобразования с ними. Рассмотрим само понятие иррациональных выражений, преобразование и характерные выражения.

Что такое иррациональные выражения?

При знакомстве с корнем в школе мы изучаем понятие иррациональных выражений. Такие выражения тесно связаны с корнями.

Иррациональные выражения – это выражения, которые имеют корень. То есть это выражения, имеющие радикалы.

Основываясь на данном определении, мы имеем, что x — 1 , 8 3 · 3 6 — 1 2 · 3 , 7 — 4 · 3 · ( 2 + 3 ) , 4 · a 2 d 5 : d 9 2 · a 3 5 — это все выражения иррационального типа.

При рассмотрении выражения x · x — 7 · x + 7 x + 3 2 · x — 8 3 получаем, что выражение является рациональным. К рациональным выражениям относят многочлены и алгебраические дроби. Иррациональные включают в себя работу с логарифмическими выражениями или подкоренными выражениями.

Основные виды преобразований иррациональных выражений

При вычислении таких выражений необходимо обратить внимание на ОДЗ. Часто они требуют дополнительных преобразований в виде раскрытия скобок, приведения подобных членов, группировок и так далее. Основа таких преобразований – действия с числами. Преобразования иррациональных выражений придерживаются строгого порядка.

Преобразовать выражение 9 + 3 3 — 2 + 4 · 3 3 + 1 — 2 · 3 3 .

Необходимо выполнить замену числа 9 на выражение, содержащее корень. Тогда получаем, что

81 + 3 3 — 2 + 4 · 3 3 + 1 — 2 · 3 3 = = 9 + 3 3 — 2 + 4 · 3 3 + 1 — 2 · 3 3

Полученное выражение имеет подобные слагаемые, поэтому выполним приведение и группировку. Получим

9 + 3 3 — 2 + 4 · 3 3 + 1 — 2 · 3 3 = = 9 — 2 + 1 + 3 3 + 4 · 3 3 — 2 · 3 3 = = 8 + 3 · 3 3
Ответ: 9 + 3 3 — 2 + 4 · 3 3 + 1 — 2 · 3 3 = 8 + 3 · 3 3

Представить выражение x + 3 5 2 — 2 · x + 3 5 + 1 — 9 в виде произведения двух иррациональных с использованием формул сокращенного умножения.

x + 3 5 2 — 2 · x + 3 5 + 1 — 9 = = x + 3 5 — 1 2 — 9

Представляем 9 в виде 3 2 , причем применим формулу разности квадратов:

x + 3 5 — 1 2 — 9 = x + 3 5 — 1 2 — 3 2 = = x + 3 5 — 1 — 3 · x + 3 5 — 1 + 3 = = x + 3 5 — 4 · x + 3 5 + 2

Результат тождественных преобразований привел к произведению двух рациональных выражений, которые необходимо было найти.

x + 3 5 2 — 2 · x + 3 5 + 1 — 9 = = x + 3 5 — 4 · x + 3 5 + 2

Можно выполнять ряд других преобразований, которые относятся к иррациональным выражениям.

Преобразование подкоренного выражения

Важно то, что выражение, находящееся под знаком корня, можно заменить на тождественно равное ему. Данное утверждение дает возможность работать с подкоренным выражением. К примеру, 1 + 6 можно заменить на 7 или 2 · a 5 4 — 6 на 2 · a 4 · a 4 — 6 . Они тождественно равные, поэтому замена имеет смысл.

Когда не существует а 1 , отличное от a , где справедливо неравенство вида a n = a 1 n , тогда такое равенство возможно только при а = а 1 . Значения таких выражений равны с любыми значениями переменных.

Использование свойств корней

Свойства корней применяют для упрощения выражений. Чтобы применить свойство a · b = a · b , где a ≥ 0 , b ≥ 0 , тогда из иррационального вида 1 + 3 · 12 можно стать тождественно равным 1 + 3 · 12 . Свойство . . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 · , . . . , · n k , где a ≥ 0 говорит о том, что x 2 + 4 4 3 можно записать в форме x 2 + 4 24 .

Имеются некоторые нюансы при преобразовании подкоренных выражений. Если имеется выражение, то — 7 — 81 4 = — 7 4 — 81 4 записать не можем, так как формула a b n = a n b n служит только для неотрицательного a и положительного b . Если свойство применить правильно, тогда получится выражение вида 7 4 81 4 .

Для правильного преобразования используют преобразования иррациональных выражений с использованием свойств корней.

Внесение множителя под знак корня

Внести под знак корня – значит заменить выражение B · C n , а B и C являются некоторыми числами или выражениями, где n – натуральное число, которое больше 1 , равным выражением, которое имеет вид B n · C n или — B n · C n .

Если упростить выражение вида 2 · x 3 , то после внесения под корень, получаем, что 2 3 · x 3 . Такие преобразования возможны только после подробного изучения правил внесения множителя под знак корня.

Вынесение множителя из-под знака корня

Если имеется выражение вида B n · C n , тогда его приводят к виду B · C n , где имеется нечетные n , которые принимают вид B · C n с четными n , В и C являются некоторыми числами и выражениями.

То есть, если брать иррациональное выражение вида 2 3 · x 3 , вынести множитель из-под корня, тогда получим выражение 2 · x 3 . Или x + 1 2 · 7 даст в результате выражение вида x + 1 · 7 , которое имеет еще одну запись в виде x + 1 · 7 .

Вынесение множителя из-под корня необходимо для упрощения выражения и его быстрого преобразования.

Преобразование дробей, содержащих корни

Иррациональное выражение может быть как натуральным числом, так и в виде дроби. Для преобразования дробных выражений большое внимание обращают на его знаменатель. Если взять дробь вида ( 2 + 3 ) · x 4 x 2 + 5 3 , то числитель примет вид 5 · x 4 , а, использовав свойства корней, получим, что знаменатель станет x 2 + 5 6 . Исходную дробь можно будет записать в виде 5 · x 4 x 2 + 5 6 .

Необходимо обратить внимание на то, что необходимо изменять знак только числителя или только знаменателя. Получим, что

— x + 2 · x — 3 · x 2 + 7 4 = x + 2 · x — ( — 3 · x 2 + 7 4 ) = x + 2 · x 3 · x 2 — 7 4

Сокращение дроби чаще всего используется при упрощении. Получаем, что

3 · x + 4 3 — 1 · x x + 4 3 — 1 3 сокращаем на x + 4 3 — 1 . Получим выражение 3 · x x + 4 3 — 1 2 .

Перед сокращением необходимо выполнять преобразования, которые упрощают выражение и дают возможность разложить на множители сложное выражение. Чаще всего применяют формулы сокращенного умножения.

Если взять дробь вида 2 · x — y x + y , то необходимо вводить новые переменные u = x и v = x , тогда заданное выражение поменяет вид и станет 2 · u 2 — v 2 u + v . Числитель следует разложить на многочлены по формуле, тогда получим, что

2 · u 2 — v 2 u + v = 2 · ( u — v ) · u + v u + v = 2 · u — v . После выполнения обратной замены придем к виду 2 · x — y , которое равно исходному.

Допускается приведение к новому знаменателю, тогда необходимо числитель умножать на дополнительный множитель. Если взять дробь вида x 3 — 1 0 , 5 · x , тогда приведем к знаменателю x . для этого нужно умножить числитель и знаменатель на выражение 2 · x , тогда получаем выражение x 3 — 1 0 , 5 · x = 2 · x · x 3 — 1 0 , 5 · x · 2 · x = 2 · x · x 3 — 1 x .

Сокращение дробей или приведение подобных необходимо только на ОДЗ указанной дроби. При умножении числителя и знаменателя на иррациональное выражение получаем, что мы избавляемся от иррациональности в знаменателе.

Избавление от иррациональности в знаменателе

Когда выражение избавляется от корня в знаменателе путем преобразования, то это называется избавлением от иррациональности. Рассмотрим на примере дроби вида x 3 3 . После избавления от иррациональности получаем новую дробь вида 9 3 · x 3 .

Переход от корней к степеням

Переходы от корней к степеням необходимы для быстрого преобразования иррациональных выражений. Если рассмотреть равенство a m n = a m n , то видно, что его использование возможно, когда a является положительным числом, m –целым числом, а n – натуральным. Если рассматривать выражение 5 — 2 3 , то иначе имеем право записать его как 5 — 2 3 . Эти выражения равнозначны.

Когда под корнем имеется отрицательное число или число с переменными, тогда формула a m n = a m n не всегда применима. Если нужно заменить такие корни ( — 8 ) 3 5 и ( — 16 ) 2 4 степенями, тогда получаем, что — 8 3 5 и — 16 2 4 по формуле a m n = a m n не работаем с отрицательными а. для того, чтобы подробно разобрать тему подкоренных выражений и их упрощений, необходимо изучать статью о переходе от корней к степеням и обратно. Следует помнить о том, что формула a m n = a m n применима не для всех выражений такого вида. Избавление от иррациональности способствует дальнейшему упрощению выражения, его преобразованию и решению.

Источник

Тематическое планирование ( 34 часа)

Название	Тематическое планирование ( 34 часа)
страница	1/4
Дата	28.06.2013
Размер	258.3 Kb.
Тип	Тематическое планирование
скачать >>>

3

Групповая форма работы

Групповая форма работы

Групповая форма работы

Групповая форма работы

4

Групповая форма работы

Обучающая самостоятельная работа.

Работа в парах. Самостоятельная работа (проверочная).

Групповая форма работы.

Традиционные способы решения уравнений.

Способ сопряжённого умножения.

Оригинальные способы решения иррациональных уравнений

Групповая форма работы

3

1. Сравнение значений иррациональных выражений.

Предлагается провести небольшой тест на понятие иррационального числа

Число А является иррациональным, еслиА=;

1. А=;
2. А=2,5(6);
3. А=;
4. А=;
5. А=

Сравнение значений иррациональных выражений

При преобразовании иррациональных выражений предварительно следует выяснить , существует ли это выражение, т.е. все ли величины под корнями чётной степени неотрицательные. Поэтому возникает необходимость сравнивать значения иррациональных выражений. Эта необходимость возникает и при решении многих других задач.

Признак сравнения двух положительных иррациональных выражений.

Пусть А > 0 и B > 0;

Тогда из неравенства А² ≥ B² следует, что А ≥ B, и наоборот.

Т.к .А+В > 0, то из неравенства А² — В² ≥ 0 следует, что А – В ≥ 0,т. е. А ≥ В.

Наоборот, из А – В ≥ 0, следует, что А² — В² ≥ 0, т.е. из А ≥ В следует, что

Какое из чисел больше

√ 5 + √ 7 или √ 3 + √ 8.

Найдём квадраты этих чисел

(√ 5 + √ 7 )² = 12 + 2√ 35

Так как 12 + 2√ 35 >11+2√ 24, то (√ 5 + √ 7) > (√ 3 + √ 8).

Если оба иррациональных выражения отрицательны, то для их сравнения по указанному признаку можно сначала сравнить их абсолютные величины.

Сравните по величине числа

и √ 6 ;

Возведём в степень сравнение

()² = 2 + √ 3 + 2 + 2 — √ 3 = 4 + 2= 4 + 2=6

Получили равенство 6=6, поэтому числа равны.

Ответ: числа равны.

и 2

Пусть а = и b = 2

Тогда а² = 1990 + 2 + 1992 =2 и b² = 4∙1991.

Так как 1990 ∙ 1992 = ( 1991-1)(1991+1) = 1991² — 1

Источник

Иррациональные выражения

Выражения, содержащие корень, который нельзя извлечь, называются иррациональными или радикальными.

— иррациональные выражения.

Сложение и вычитание корней

При сложении или вычитании иррациональных выражений их пишут одно за другим с сохранением их знаков.

В некоторых случаях с помощью преобразования можно сделать иррациональные выражения подобными, то есть, имеющими одинаковые показатели корней и подкоренные числа (или выражения), а затем сделать приведение.

Умножение и деление корней

При умножении иррациональных выражений с одинаковыми показателями корней перемножаются их подкоренные числа или выражения:

При делении иррациональных выражений с одинаковыми показателями корней подкоренное число или выражение делимого делится на подкоренное число или выражение делителя:

Возведение корня в степень

Чтобы возвести в степень иррациональное выражение, следует возвести в степень подкоренное число или выражение:

При возведении в n-ю степень знак корня отбрасывается, так как возведение числа (или выражения) в n-ю степень и извлечение из него корня n-ой степени — это взаимно сокращающиеся действия:

Извлечение корня

Чтобы извлечь корень из иррационального выражения, следует показатели корней перемножить:

, так как

С помощью таких преобразований можно упростить извлечение корней 4-й, 6-й, 8-й, 9-й и т. п. степеней из чисел.

Сокращение корней

Величина иррационального выражения не изменится, если показатель корня и подкоренного выражения умножить или разделить на одно и то же число:

так как извлечение корня и возведение в степень — это взаимно сокращающиеся действия, если их показатели равны.

На этом свойстве основано сокращение корней и приведение их к общему показателю.

Сокращение корней — это деление показателей корня и подкоренного числа (или выражения) на одно и то же число, если оно является общим множителем для всех показателей.

Приведение корней к общему показателю

Приведение корней к общему показателю имеет большое сходство с приведением дробей к общему знаменателю. Рассмотрим два способа:

Показатели корней не имеют общих множителей. В этом случае показатель каждого корня и его подкоренное число (или выражение) умножают на произведение остальных корней.

Рассмотрим три выражения:

,

Так как у данных показателей нет общего множителя, то просто перемножаем все показатели между собой. Полученный результат и станет общим показателем. После приведения к общему показателю выражения будут иметь следующий вид:

Показатели корней имеют общий множитель. В этом случае надо найти НОК показателей и умножить показатель каждого корня на недостающий множитель.

Рассмотрим два выражения:

,

НОК (4, 6) = 12, значит, для первого выражения дополнительным множителем будет 3, а для второго 2. После приведения к общему показателю выражения будут иметь следующий вид:

При умножении и делении иррациональных выражений с разными показателями их приводят к общему показателю, а затем уже умножают или делят их подкоренные числа или выражения.

Источник

1. /прикл по математике 10 класс/Дидактический материал для учащихся.doc 2. /прикл по математике 10 класс/Дидактический материал для учителя.doc 3. /прикл по математике 10 класс/Программа прикладного курса по математике в 10 Показательные и логарифмические уравнения и неравенства.doc 4. /прикл по математике 10 класс/прикладной курс по математике 10 класс 2011 гl.doc Логарифмические уравнения Тема Показательная функция, ее свойства и график (2 часа) Цель Программа прикладного курса по математике в 10-х классах по теме «Показательные, логарифмические и иррациональные уравнения и неравенства» Тематическое планирование ( 34 часа) Тематическое планирование ( 34 часа) п/п	Наименование разделов тем.	Количество часов	Форма деятельности
1	Показательная функция Показательная функция, ее свойства и график. Групповая форма работы Групповая форма работы 6	Логарифмическая функция Логарифмическая функция, ее свойства и график. Контрольная работа	Преобразование иррациональных выражений Сравнение значений иррациональных выражений. Исключение иррациональности в знаменателе ( числителе) дробного выражения. Преобразование сложного корня Некоторые приемы упрощения иррациональных выражений.
5	Решение иррациональных неравенств Виды иррациональных неравенств. Решение иррациональных неравенств нестандартного типа. Контрольная работа	Всего часов: