Способы составления базисного плана

Грузовые автомобильные перевозки (1)

Главная > Книга >Транспорт

При полученном базисном плане закрепления поставщиков за потребителями (табл. 8.3), транспортная работа составит

200 • 11 +100 • 7 + 250 • 13 + 250 • 7 + 400 • 5 + 400 -9 = 13500 т-км.

Несколько лучшими способами составления базисного плана являют­ся способы наименьшего элемента по столбцу или наименьшего элемента по строке. При составлении базис­ного плана способом наименьшего элемента по столбцу поочередно в столбцах матрицы отмечаются клетки с минимальным значением ау и в

них заносятся поставки. Если при записи поставок спрос по столбцу удовлетворен не полностью, ищется следующий по величине показа­тель a ij , и так до полного удовлетворения спроса. Только после этого переходят на следующий столбец. Когда в столбце два или несколько одинаковых по величине минимальных показателей a ij , то поставки мо­гут быть размещены в любом из них. Результаты составления базисного плана этим способом приведены в табл. 8.4.

Базисный план, составленный способом наименьшего элемента по столбцу

При базисном плане, полученном способом наименьшего элемента по столбцу (табл. 8.4), транспортная работа составит

200-3 + 300-7 + 50-12 +100-7 +550-5 + 400-8 = 9950т-км.

Базисный план получился лучше (транспортная работа сократилась на 3550 т-км), однако нельзя сказать, является ли он оптимальным или нет. Для ответа на этот вопрос необходимо составленный базисный план проверить на оптимальность. Для этих целей разработано несколько ме­тодов. Наиболее широкое применение находят методы потенциалов (ме­тода МОДИ), Хичкока, Креко.

Идея метода потенциалов была высказана Л. В. Канторовичем в 1940 г. В 1951 г. американский ученый Дж. Д. Данциг предложил ту же идею, назвав ее модифицированным распределительным методом (МО­ДИ). Идея метода потенциалов, или метода МОДИ, заключается в том, что для проверки допустимого базисного плана на оптимальность опре­деляются особым образом числа, называемые потенциалами. Главное требование к потенциалам заключается в том, чтобы каждый показатель a ij в загруженной клетке был равен сумме потенциалов своих строки и столбца

a ij =V i +Vj, (8.38)

где: Ui — значение потенциала строки;

Vj — значение потенциала столбца.

Совершенно безразлично, с какой строки или столбца начинать опре­деление потенциалов. Безразлично также, каким по величине взять пер­вый по счету потенциал, так как произвольно определяется только пер­вый потенциал. Все остальные потенциалы жестко связаны с ним, и по­сле того, как первый потенциал установлен, он определяется единственно возможным способом. Определенные потенциалы строк и столбцов должны обеспечить значение потенциалов загруженных клеток равными нулю.

Потенциалы незагруженных (свободных) клеток определяются по формуле

где: Е ij — потенциал свободной клетки.

При решении задач на минимум оптимальный вариант допустимо­го плана получается в том случае, когда во всех загруженных клетках стоят нулевые потенциалы, а потенциалы всех свободных клеток являют­ся положительными величинами. Наличие свободных клеток с отрица­тельными значениями потенциалов показывает, что имеются резервы улучшения варианта решения.

При решении задач на максимум оптимальный вариант допустимо­го плана получается тогда, когда во всех загруженных клетках стоят ну­левые потенциалы, а потенциалы всех свободных клеток являются от­рицательными величинами.

Проверим на оптимальность базисный план, составленный способом наименьшего элемента по столбцу. Для этого матрицу распределительно­го метода дополним одним столбцом и строкой (табл. 8.5). Поставим в строке A 1 величину потенциала, равную нулю. Тогда, согласно форму­ле (8.38), потенциал столбца В 2 будет равен 7. Потенциал строки A 3 будет равен 5, а столбца B 3 — 0 и т. д. Потенциалы незагруженных кле­ток находим по формуле (8.39).

В результате проверки допустимого плана на оптимальность получе­на клетка А 2 В 2 , имеющая отрицательный потенциал. Это указывает на то, что план не оптимален и необходимо выполнить перераспределение закрепления поставщиков за потребителями. Это выполняется сле­дующим образом. Строится контур. Контуром называется замкнутая ломаная линия, образованная прямыми отрезками, углы со­единений между которыми равны 90°. Строится контур так, чтобы все углы, кроме одного, располагались в загруженных клетках, а один угол в свободной, наиболее потенциальной клетке. При соблюдении этих правил для каждой свободной (незагруженной) клетки можно построить только один контур. Определяют положительные (+) и отрицательные (-)углы контура. Первый положительный угол лежит в незагруженной клетке, для которой строится контур, рядом с ним находятся отрица­тельные углы и т. д.

Определяется наименее загруженная клетка, занятая отрицательным углом контура. Количество груза, указанное в этой клетке, отнимается из всех клеток, занятых отрицательными углами контура, и прибавляется во все клетки контура с положительными углами.

Ранее загруженные клетки, которые не оказались расположенными в углах контура, переносятся в матрицу нового варианта закрепления по­требителей груза за поставщиками без изменения (табл. 8.6).

Проверка этого варианта допустимого плана показывает, что получен оптимальный вариант, так как все незагруженные клетки имеют положи­тельные потенциалы, а потенциалы загруженных клеток равны нулю. Объем транспортной работы при оптимальном закреплении поставщи­ков за потребителями составляет

200-3 + 300-7 + 50-13 + 50-7 + 600-5 + 400-8 = 9900 т-км.

Последовательность решения транспортной задачи методом по­тенциалов схематически показана на рис. 8.7.

Другие способы составления базисного плана.

При решении транспортных задач методом потенциалов число ите­раций можно значительно сократить за счет более удачного составле­ния первоначального — базисного плана поставок.

Ранее отмечалось, что способ северо-западного угла является самым неудачным способом со­ставления базисного плана. Распределение поставок способом наимень­шего элемента по столбцу или по строке значительно улучшает базисный план поставок. Помимо этих приемов, улучшающих базисный план, рас­смотрим еще три способа: способ аппроксимации У. Фогеля, способ по­следующего анализа (способ стрелок) и способ двойного предпочтения.

Способ аппроксимации У. Фогеля. По мнению У. Фо­геля, его способ может заменить во многих случаях методы линейного программирования. На самом деле его можно применять только для со­ставления базисного плана, а затем для решения задачи использовать обычную процедуру линейного программирования.

При составлении базисного плана поставок способом аппроксимации У. Фогеля исходные данные заносятся в таблицу, которая отличается от матрицы метода потенциалов тем, что имеет дополнительную строку и столбец разностей (табл. 8.7).

Процесс составления базисного плана начинается с определения раз­ностей между двумя наименьшими элементами каждой строки и каждого столбца матрицы.

Так, в столбце минимальный элемент равен 3 в клетке А 3 В 1 . Сле­дующий за ним по величине элемент, равный 5, находится в клетке А 2 В 1 . Разность между ними равна 2. Эта и другие разности по строкам и столбцам записаны в табл. 8.7.

Затем из всех разностей столбцов и строк выбирается наибольшая. В нашем примере это цифра 5 в столбце В 2 . Клетка с наименьшим расстоянием (при решении задачи на минимум), расположенная в строке или столбце, имеющая наибольшую разницу, загружается мак­симально возможным количеством груза (с учетом потребности грузопотребляющего и возможности грузообразующего пунктов).

Смысл способа У. Фогеля заключается в следующем. Найденные разности показывают, насколько больше будут расстояния, если в со­ответствующем столбце или строке поставка будет записана не в клетку, где находится минимальный в этом столбце или строке элемент, а в клетку, где находится элемент, следующий за ним по величине. Там, где разность оказывается наивысшей, будут наибольшие потери на единицу продук­ции, если поставка не попадет в клетку с наименьшим оптимизирую­щим элементом.

В нашем примере, записав максимальную поставку в клетку А 1 В 2 в количестве 300 т, исключаем показатели критерия оптимальности по этой строке, поскольку мощность поставщика А 1 полностью исчерпа­на, и вновь определяем разности между наименьшими элементами по строкам и столбцам матрицы (табл. 8.8.)

Если оказывается несколько одинаковых разностей, имеющих мак­симальное значение (в нашем примере столбцы В 1 В 3 и строки А 2 и A 3 ), то в соответствующих им столбцах или строчках находят и загружают седловую точку. Седловой точкой называют клетку таблицы, рас­стояние которой имеет наименьшее значение (при решении задачи на минимум) из всех расстояний ее строки и столбца или наибольшее значе­ние при решении задачи на максимум.

При наличии независимых седловых точек, т. е. расположенных в различных строках и столбцах, загружают их одновременно. Когда седловые точки отсутствуют, находят дополнительные разницы. Загружа­ется клетка, у строки или столбца которой дополнительная разница будет наибольшей.

В нашем примере седловой точкой будет клетка А 3 В 1 в которую за­писывается максимально возможная поставка, и т. д.

Способ последующего анализа (способ стрелок). Первоначальное закрепление потребителей за поставщиками, начиная с первого столбца с учетом наименее возможного расстояния транспор­тирования, потребности грузопотребителя и возможности поставщика (см. табл. 8.4). Полученный базисный план анализируется с целью выяв­ления возможностей его улучшения. В строке А 3 можно передвинуть из клетки А 3 В 2 в клетку A 3 В 1 50 т, а из клетки А 2 В 3 в клетку А 2 В 2 вместо это­го — 50 т. В результате этого в первом случае расстояние перевозки уве­личится на 7 км, а во втором случае сократится на 6 км. Суммарное со­кращение расстояния перевозки составит 1 км.

Закончив улучшение плана поставок по строкам матрицы, переходят к рассмотрению возможности улучшения базисного плана путем пере­движения загрузок клеток по столбцам. Передвижение будет рациональ­ным, если сумма расстояний, указанных в углах клеток, из которых пе­ремещается загрузка, будет больше, чем сумма расстояний клеток, в ко­торые передвигается поставка. Полученное распределение проверяется на оптимальность.

Способ двойного предпочтения. В первом столбце мат­рицы отыскивается минимальный элемент и проверяется, минимальный ли он также и в своей строке. Если да, то эта клетка отмечается звездоч­кой и загружается с учетом ограничений по спросу и предложению. В за­висимости от соотношения спроса и предложения из последующего рас­смотрения исключаются все элементы данного столбца или данной строки. После этого переходят к следующему столбцу. Если минимальный эле­мент столбца не является одновременно минимальным элементом строки, то сразу же переходят к рассмотрению следующего столбца. Пройдя последний столбец, переходят к первому из оставшихся и так далее, пока распределение не будет закончено. Дальнейшее решение про­изводится по алгоритму метода потенциалов.

Если при составлении базисного плана число загруженных клеток получается больше, чем m + n-1, то при проверке на оптимальность для какой-либо строки или столбца будут найдены два потенциала. Чтобы устранить такую ситуацию, нужно произвести следующие действия:

Источник

Транспортная задача линейного программирования

Транспортная задача линейного программирования

Транспортная задача линейного программирования относится к перечню классических задач, решаемых в практике деятельности людей. Эта задача методами классической математики не решается. В задаче необходимо отыскивать экстремум целевой функции. В задаче целевая функция – линейная. Ограничения на переменные (их может быть очень много) описываются также линейными зависимостями. Казалось бы чего проще. Но как раз ограничения и порождают трудности, связанные не просто с поиском max и min при отсутствии ограничений, а с необходимостью учета таких ограничений. Искать требуется не просто экстремум, а условный экстремум. Методы решения задачи позволяют учитывать особенности структуры задачи и даже отказаться от симплексного метода решения в чистом виде.

I. Основные параметры, термины и обозначения

Для ощущения масштаба задачи приведу парочку изображений того, что рассматривается в транспортной задаче линейного программирования.

Все суда на одной карте в режиме онлайн

Зеленый цвет — пассажирские суда, желтые — грузовые, розовый — частные яхты, оранжевый — танкеры и др. Аналогичная картина наблюдается и для авиационных перевозок, перевозок по железной дороге или автотранспортом. Изображения получены в начальном периоде Пандемии короновируса, что привело к огромным пробкам в узостях мирового Океана (Панамский, Суэцкий и др. каналы). Танкеры отправили отстаиваться на рейде, экипажам судов на берег сойти не разрешалось. Это форс-мажорные обстоятельства, которые в теории должны рассматриваться и учитываться специальным образом, что пока к сожалению перевозчиков не сделано.

Все самолеты мира в режиме онлайн

В теории в тексте задачи Хичкока ничего не говорится о равенстве имеющегося общего запаса судов в портах отправления и общей потребности в судах в портах прибытия (назначения). Если такого равенства нет, то система ограничений несовместна. В случае равенства

транспортная задача называется «сбалансированной». Задачи, в которых условие баланса не задано, должны быть приведены к «сбалансированному» виду. Это можно выполнить использованием «фиктивных» перевозок. Рассматриваем два случая:

Поэтому ранг системы равен не n+m, а n+m – 1, т.е с mn неизвестными. Общее число опорных планов равно числу сочетаний из mn по n+m – 1.. Применение симплекс метода для решения задачи возможно, но требует большого объема вычислений уже при n и m ≈ 10 -15. Заметим также, что каждая неизвестная входит лишь в два уравнения системы (матрица коэффициентов системы ограничений имеет в каждой строке и каждом столбце только два ненулевых элемента). Более того, транспортная задача всегда имеет допустимое решение. Все сказанное вызвало потребность попытаться учесть специфику задачи и создать метод ее решения более простой, чем симплекс метод. Такие методы были найдены и получили названия метода потенциалов и распределительного метода. Это разновидности симплексного метода. Они удобно реализуются, если условие задачи представлено в виде таблиц.

ТАБЛИЦА 1 — Вид данных транспортной задачи линейного программирования

Метод содержит три последовательных этапа:

Формирование опорного плана;

Проверка опорного плана на оптимальность;

Переход к новому опорному плану, если предыдущий не оптимален.

Рисунок 1 — Структурно-логическая схема алгоритма метода потенциалов

II. Формирование опорного плана перевозок

Рассмотрим способ получения начального опорного плана транспортной задачи, названный способом северо-западного (С-З) угла. Способ заключается в заполнении ячеек таблицы m×n значениями переменной x_ij, таким образом, чтобы удовлетворялись условия задачи. При этом план решения Х[m, n] может быть и не оптимальным, но обязательно должен быть допустимым.

В этом способе формируют опорный план, двигаясь по таблице: сверху вниз по строкам и слева направо вдоль строки. Начинают с левого верхнего угла (ячейки), куда вписывают значение x₁₁ =min<a₁, b₁>.Первые строка и столбец из рассмотрения далее исключаются.

Затем, если a₁ > b₁, то определяется остаток (a₁ – b₁) продукта на первом пункте отправления и его запас реализуется на 2-м пункте назначения. Остаток потребностей 2-го пункта назначения удовлетворяется за счет 2-го пункта отправления, остатки которого направляются в 3-й пункт назначения и т.д. Ниже метод будет иллюстрирован числовым примером.

Пример 1. Построение опорного плана методом Северо-Западного угла

Заданы значения: m = 3, n = 4; a₁ = 60, a₂ = 80, a₃ =100, b₁ = 40,b₂ = 60, b₃ = 80, b₄ = 60. Слева в таблице приведены d_ij удельные стоимости перевозок; справа — В_ij стоимости совместно с предложениями a_i и потребностями b_{j .}

Требуется найти план Х [m,n] перевозок, удовлетворяющий условиям на целевую функцию Q и переменные х_ij задачи Q.

РЕШЕНИЕ Построить исходный опорный план способом северо-западного угла. Строим симплексную таблицу: Таблица 3. Опорный план задачи

В таблице способом северо-западного угла получен опорный план. Базисные переменные (их число = 6): x₁₁ = 40, x₁₂= 20, x₂₂= 40, x₂₃= 40, x₃₃= 40, x₃₄= 60. Свободные переменные: x₁₃= x₁₄= x₂₁= x₂₄= x₃₁= x₃₂= 0 (их число равно 6).

Ячейки таблицы, соответствующие базисным переменным, называют базисными, остальные – свободными. Далее в алгоритме будем следовать идее симплекс метода. Суммарная стоимость перевозок Q, соответствующая плану Х[m,n], получает представление

Q = d₁₁∙x₁₁ + d₁₂∙x₁₂ + d₂₂∙x₂₂ + d₂₃ ∙x₂₃+ d₃₃ ∙x₃₃+ d₃₄ ∙x₃₄ = = 5∙40 + 2∙20 + 10∙40 + 2∙40 + 8∙40 + 5∙60 = 200+40+400 + 80 + 320+ 300 = 1340 ед

Коэффициенты d_ij называются фиктивными или косвенными стоимостями; их выражают через косвенные величины α и β, d’_ij = α_i +β_j . Здесь параметры α_i и ( — β_j ), по аналогии с механикой называют потенциалами i-го пункта отправления и j-го пункта прибытия. Значения потенциалов определяется из системы линейных уравнений: α_i + β_j = d_ij

Каждому из таких уравнений соответствует какая-либо базисная переменная х_ij Система уравнений с потенциалами содержит m+n неизвестных потенциалов, число же уравнений равняется числу базисных ячеек таблицы, т.е. (m + n – 1). Следовательно, один из потенциалов можно задать произвольно, положив его равным, например, нулю.

Решая далее систему уравнений для потенциалов, находим значения потенциалов строк и столбцов, все фиктивные стоимости d_ij и коэффициенты γ_ij. Если для всех свободных клеток γ_rs ≤ 0, то перевод в базис любой свободной переменной не уменьшит значения целевой функции и, следовательно, выбранный опорный план не является оптимальным. Если же некоторые γ_rs >0, то данный план можно улучшить путем перевода в базис свободной переменной, соответствующей max γ_rs, а также путем исключения из базиса, принадлежащей ему переменной, первой обращающейся в нуль. Переход к новому опорному плану и поиск оптимального плана рассмотрим на примере. Другой способ формирования опорного плана предложен Фогелем. Этот способ при первом чтении можно пропустить, так как дальше он в тексте не используется.

Пример 2. Способ аппроксимации Фогеля

В большинстве случаев этот способ дает опорный план наиболее близкий к оптимальному. Удобен для матриц большой размерности. Используется концепция штрафов, взимаемых за выбор не самого оптимального с точки зрения транспортных издержек маршрута. Штраф по каждой строке и каждому столбцу определяется из анализа маршрутов с различными показателями издержек (как разность двух различных уровней транспортных издержек). Первой заполняется клетка матрицы (таблицы), в которой фиксируется самый крупный штраф. После заполнения клетки штрафы пересчитываются и так до тех пор, пока все ресурсы не будут распределены. Исходные данные для этого примера заполняют таблицу слева вверху.

Этапы алгоритма: 1. Вычисление разностей в каждой строке и в каждом столбце между наименьшей стоимостью и ближайшей к ней по величине. Разности по строкам записываются справа в столбце разностей, разности по столбцам – внизу в строке разностей. Например, для строк А₁ разность равна А₁В₂ – А₁В₃ = 38 – 24 = 14 и т. д.

ТАБЛИЦА 2 — Метод Фогеля для получения опорного плана транспортной задачи

2. Поиск из всех разностей, как по строкам, так и по столбцам максимальный. В нашем примере максимальная разность равна 38 и находится в строке А₂. Обведем максимальную разность рамкой.

3. Размещение в клетку, где находится наименьшая стоимость (А₂В₂ = 18) (строка с наибольшей разностью), максимально возможного количества ресурсов. Оно равно 20, т.е. всему ресурсу отправителя А₂. Поскольку все ресурсы отправителя А₂ исчерпаны, строку А₂ исключаем из дальнейших расчетов, для чего отметим все клетки этой строки точками.

4. Вычисление разностей столбцам и строкам, не принимая во внимание стоимость в клетках, имеющих ресурсы и клетках с точкой (исключенную строку или столбец) и определение максимальной разности в строке или столбце (В₃ = 76).

5. Поиск минимального элемента в строке или в столбце с максимальной разностью (А₁В₃ = 24) и размещения в данную клетку максимально возможного количества ресурса, возвращение к этапу №4 и т.д. Окончательно

ЦФ Q=23∙19 + 7∙3 + 20∙18 + 2∙10 + 14∙24 + 1∙100 +3∙48 = = 437 + 21 + 360 + 20 +3 36 + 100 + 272 =1546 ед. Это значение соответствует опорному плану Фогеля.

III. Транспортная задача линейного программирования

Как основной метод решения транспортной задачи – используется метод потенциалов. Ни симплексный метод, ни распределительный метод здесь не рассматриваются. У них имеются свои плюсы и минусы, но объем изложения достаточно велик. Возможно этому позднее я уделю внимание и время, но пока отвечаю на пожелание читателя Хабра.

Пример 3 — Транспортная задача. Метод потенциалов

Исходные данные задачи удобно представить двумя матрицами.

ТАБЛИЦА — Исходные данные

Требуется найти план Х [m,n] перевозок, удовлетворяющий условиям на целевую функцию Q и переменные х_ij задачи

Решение задачи:

1. Формирование начального опорного плана способом Северо-Западного угла.

Базисные n + m – 1 = 3 + 4 – 1 = 6 переменные:
x₁₁ =70, x₁₂ = 20, x₂₂ = 10, x₂₃ = 20, x₂₄ = 0, x₃₄ = 40.
Остальные переменные nm – n + m – 1 = 12 – 6 = 6 свободные:
x₁₃ = x₁₄ = x₂₁ = x₂₄ = x₃₁= x₃₂ = 0 .
Суммарная стоимость перевозок для опорного плана получает представление:
Q = d₁₁ ∙x₁₁ + d₁₂∙x₁₂ + d₂₂∙x₂₂ + d₂₃∙x₂₃+ d₂₄∙x₂₄+ d₃₄∙x₃₄ =
=2∙70 + 3∙20 + 3∙10 + 1∙20 + 2∙0 + 2∙40 = 140 + 60 + 30 + 20 + 0 +80 = 330 ед.

2. Проверка опорного плана на оптимальность

Является ли найденный опорный план оптимальным? Ответ может быть получен после составления и решения системы уравнений для потенциалов. Определим систему уравнений для потенциалов и вычислим их значения:

α₁ + β₁ = d₁₁ = 2;
α₁ + β₂ = d₁₂ = 3;
α₂ + β₂ = d₂₂ = 3;
α₂ + β₃ = d₂₃ = 1;
α₂ + β₄ = d₂₄ = 2;
α₃ + β₄ = d₃₄ = 2.

Каждое из этих значений соответствует одной базисной ячейке. Одну из неизвестных в системе можно задавать произвольно. Пусть β₁ = 0. Тогда после решения системы получены значения потенциалов: α₁= 2, α₂= 2, α₃= 2, β₁ =0, β₂=1, β₃ =–1, β₄ =0,

Формируем матрицу фиктивных стоимостей D'[m, n] и матрицу Г [m, n].

Выделяем в Г [m, n] свободные ячейки, содержащие γ_rs. Проверяем наличие положительных переменных γ_i,j > 0. Так как в матрице (в свободных ячейках) имеем γ₃₂ = 2 > 0, то исходный опорный план может быть улучшен, он не является оптимальным.

3. Переход к новому (улучшенному) опорному плану

Переменную x₃₂ =x следует ввести в базис. Обозначим ее предварительно через x без индексов. С учетом того, что х должна быть положительна х > 0. Найдем значение max x при условии сохранения баланса перевозок. Для этого воспользуемся начальным опорным планом. Будем добавлять переменную х в ячейки таблицы так, чтобы сохранялись условия баланса перевозок

Модификация начального опорного плана

Обозначим ее предварительно через x без индексов. С учетом того, что х должна быть положительна х > 0. Найдем значение max x при условии сохранения баланса перевозок. Для этого воспользуемся начальным опорным планом. Будем добавлять переменную х в ячейки таблицы так, чтобы сохранялись условия баланса перевозок Очевидно, что наибольшее x определяется теми x_ij в базисных клетках, из которых этот х вычитается. Следовательно, x₁₁ = min<х₂₂, х₃₄> = <10, 40>= 10. При x >10 перевозка х₂₂ становится отрицательной. Переменную х₂₂ исключаем из базиса и переводим ее в разряд свободных переменных. Далее повторяются рекурсивно три пункта алгоритма.

Получаем из модифицированного плана новый опорный план

В нем объемы перевозок распределены иначе чем в начальном опорном плане.

Новый опорный план

Суммарная стоимость перевозок для этого опорного плана получает представление:
Q = d₁₁ ∙x₁₁ + d₁₂∙x₁₂ + d₂₃∙x₂₃ + d₃₂∙x₃₂ + d₂₄∙x₂₄+ d₃₄∙x₃₄ =
=2∙70 + 3∙20 + 2∙10 + 1∙20 + 1∙10 + 2∙30 = 140 + 60 + 20 + 20 + 10 + 60 = 310 ед. Затраты на перевозки при этом плане уменьшились на 330 – 310 = 20 ед.

Является ли найденный опорный план оптимальным? Ответ может быть получен после составления и решения системы уравнений для потенциалов.

2. Проверка опорного плана на оптимальность

Определим систему уравнений для потенциалов и вычислим их значения:
α₁ + β₁ = d₁₁ = 2;
α₁ + β₂ = d₁₂ = 3;
α₂ + β₃ = d₂₃ = 1;
α₂ + β₄ = d₂₄ = 2;
α₃ + β₂ = d₃₂ = 1;
α₃ + β₄ = d₃₄ = 2.

Каждое из этих значений соответствует одной базисной ячейке. Одну из неизвестных в системе можно задавать произвольно. Пустьα₁ = 0. Тогда после решения системы получены значения потенциалов: α₁= 0, α₂= – 2, α₃= –2, β₁ =2, β₂=3, β₃ = 3, β₄ =4.

Формируем матрицу фиктивных стоимостей D'[m, n] и матрицу Г [m, n].

Свободные ячейки матрицы Г [m, n] содержат γ_i,j > 0 (γ₁₄ = 1>0). План не оптимален.

3. Переход к новому (улучшенному) опорному плану

Из свободных переменных с x_ij > 0, выбираем одну x₁₄ для введения ее в базис. Обозначим ее как и ранее через x без индексов. С учетом того, что х должна быть положительна х > 0. Найдем значение max x при условии сохранения баланса перевозок. Для этого воспользуемся очередным опорным планом. Будем добавлять переменную х в ячейки таблицы так, чтобы сохранялись условия баланса перевозок

модифицированный план

Очевидно, что наибольшее x определяется теми x_ij в базисных клетках, из которых этот х вычитается. Следовательно, x₁₁ = min<х₁₂, х₃₄> = <20, 30>= 20. При х₁₂ >20 перевозка х₁₂ становится отрицательной. Переменную х₁₂ исключаем из базиса и переводим ее в разряд свободных переменных. Переходим к новой итерации

1. Получаем из модифицированного плана новый опорный план.

В нем объемы перевозок распределены иначе чем в предшествующем опорном плане.

Суммарная стоимость перевозок для этого опорного плана получает представление:
Q = d₁₁ ∙x₁₁ + d₁₄∙x₁₄ + d₂₃∙x₂₃ + d₃₂∙x₃₂ + d₂₄∙x₂₄+ d₃₄∙x₃₄ =
=2∙70 + 3∙20 + 1∙20 + 2∙10 + 1∙30 + 2∙10 = 140 + 60 + 20 + 20 + 30 + 20 = 290 ед. Затраты на перевозки при этом плане уменьшились на 310 – 290 = 20 ед. Является ли найденный опорный план оптимальным? Ответ может быть получен после составления и решения системы уравнений для потенциалов.

2. Проверка опорного плана на оптимальность

Определим систему уравнений для потенциалов и вычислим их значения:
α₁ + β₁ = d₁₁ = 2;
α₁ + β₄ = d₁₄ = 3;
α₂ + β₃ = d₂₃ = 1;
α₂ + β₄ = d₂₄ = 2;
α₃ + β₂ = d₃₂ = 1;
α₃ + β₄ = d₃₄ = 2. Каждое из этих значений соответствует одной базисной ячейке. Одну из неизвестных в системе можно задавать произвольно. Пусть β₁ = 0. Тогда после решения системы получены значения потенциалов: α₁= 2, α₂= 2, α₃= 2, β₁ =0, β₂=1, β₃ =–1, β₄ =0.

Формируем матрицу фиктивных стоимостей D'[m, n] и матрицу Г [m, n].

При переходе к новому опорному плану проверяем наличие положительных свободных переменных γ_i,j >0. Но таких переменных не оказалось. Отсюда следует вывод, что полученный последним модифицированный план является оптимальным и ему соответствует значение линейной формы
Q’= 2∙70 + 3∙20 + 1∙20 + 2∙10 + 1∙30 + 2∙10 = 290.

Заключение

Вся теория исследования операций с позиций математики решает неклассические задачи оптимизации целевых функций. Отличие от классики в том, что те ограничения на переменные, которые исследователи вынуждены накладывать в рамках моделей, созданы и вызваны реальностью. Отыскивать требуется экстремумы функций при многих ограничениях, так называемые условные экстремумы. Классика не позволяет этого делать. Взятие производных и приравнивание их нулю «не видит» ограничений. Лучшее, что там имеется это функция Лагранжа, но ее использование также весьма ограничено. Транспортные задачи – частный, но важный случай в исследовании операций. Надеюсь, что читатель разобравшись в приведенных примерах, лучше стал понимать логику задачи и сумеет самостоятельно постигать интересующие его вопросы по другим публикациям в учебниках и журнальных статьях.

Ваулин А. Е. Методы цифровой обработки данных.– СПб.: ВИККИ им. А. Ф. Можайского, 1993.– 106 с.

Гэри М., Джонсон Д. Вычислительные машины и трудно решаемые задачи. М.: Мир, 1982.

Корбут А.А., Финкельштейн Ю. Ю. Дискретное программирование М. Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1969.

Макаров И. М. и др. Теория выбора и принятия решений.– М.: Наука, 1982.– 328 с.

Пфанцагль И. Теория измерений. – М.: Наука, 1988.–384 с.

Таха Х. А. Введение в исследование операций. 7-е изд. М.: Изд. дом «Вильямс», 2005.

Фишберн П. С. Теория полезности для принятия решений. – М.: Наука,1978. –352 с.

Источник