Способы сокращенного умножения многочленов

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Калькулятор онлайн.
Упрощение многочлена.
Умножение многочленов.

С помощью данной математической программы вы можете упростить многочлен.
В процессе работы программа:
— умножает многочлены
— суммирует одночлены (приводит подобные)
— раскрывает скобки
— возводит многочлен в степень

Программа упрощения многочленов не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс решения для того чтобы вы могли проконтролировать свои знания по математике и/или алгебре.

Данная программа может быть полезна учащимся общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Немного теории.

Произведение одночлена и многочлена. Понятие многочлена

Среди различных выражений, которые рассматриваются в алгебре, важное место занимают суммы одночленов. Приведем примеры таких выражений:
\( 5a^4 — 2a^3 + 0,3a^2 — 4,6a + 8 \)
\( xy^3 — 5x^2y + 9x^3 — 7y^2 + 6x + 5y — 2 \)

Сумму одночленов называют многочленом. Слагаемые в многочлене называют членами многочлена. Одночлены также относят к многочленам, считая одночлен многочленом, состоящим из одного члена.

Например, многочлен
\( 8b^5 — 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 — 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
можно упростить.

Представим все слагаемые в виде одночленов стандартного вида:
\( 8b^5 — 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 — 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\( = 8b^5 — 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16 \)

Приведем в полученном многочлене подобные члены:
\( 8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Получился многочлен, все члены которого являются одночленами стандартного вида, причем среди них нет подобных. Такие многочлены называют многочленами стандартного вида.

За степень многочлена стандартного вида принимают наибольшую из степеней его членов. Так, двучлен \( 12a^2b — 7b \) имеет третью степень, а трехчлен \( 2b^2 -7b + 6 \) — вторую.

Обычно члены многочленов стандартного вида, содержащих одну переменную, располагают в порядке убывания показателей ее степени. Например:
\( 5x — 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 — 18x^3 + 5x + 1 \)

Сумму нескольких многочленов можно преобразовать (упростить) в многочлен стандартного вида.

Иногда члены многочлена нужно разбить на группы, заключая каждую группу в скобки. Поскольку заключение в скобки — это преобразование, обратное раскрытию скобок, то легко сформулировать правила раскрытия скобок:

Если перед скобками ставится знак «+», то члены, заключаемые в скобки, записываются с теми же знаками.

Если перед скобками ставится знак «-», то члены, заключаемые в скобки, записываются с противоположными знаками.

Преобразование (упрощение) произведения одночлена и многочлена

С помощью распределительного свойства умножения можно преобразовать (упростить) в многочлен произведение одночлена и многочлена. Например:
\( 9a^2b(7a^2 — 5ab — 4b^2) = \)
\( = 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\( = 63a^4b — 45a^3b^2 — 36a^2b^3 \)

Произведение одночлена и многочлена тождественно равно сумме произведений этого одночлена и каждого из членов многочлена.

Этот результат обычно формулируют в виде правила.

Чтобы умножить одночлен на многочлен, надо умножить этот одночлен на каждый из членов многочлена.

Мы уже неоднократно использовали это правило для умножения на сумму.

Произведение многочленов. Преобразование (упрощение) произведения двух многочленов

Вообще, произведение двух многочленов тождественно равно сумме произведении каждого члена одного многочлена и каждого члена другого.

Обычно пользуются следующим правилом.

Чтобы умножить многочлен на многочлен, надо каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого и сложить полученные произведения.

Формулы сокращенного умножения. Квадраты суммы, разности и разность квадратов

С некоторыми выражениями в алгебраических преобразованиях приходится иметь дело чаще, чем с другими. Пожалуй, наиболее часто встречаются выражения \( (a + b)^2, \; (a — b)^2 \) и \( a^2 — b^2 \), т. е. квадрат суммы, квадрат разности и разность квадратов. Вы заметили, что названия указанных выражений как бы не закончены, так, например, \( (a + b)^2 \) — это, конечно, не просто квадрат суммы, а квадрат суммы а и b. Однако квадрат суммы а и b встречается не так уж часто, как правило, вместо букв а и b в нем оказываются различные, иногда довольно сложные выражения.

Выражения \( (a + b)^2, \; (a — b)^2 \) нетрудно преобразовать (упростить) в многочлены стандартного вида, собственно, вы уже встречались с таким заданием при умножении многочленов:
\( (a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\( = a^2 + 2ab + b^2 \)

Полученные тождества полезно запомнить и применять без промежуточных выкладок. Помогают этому краткие словесные формулировки.

\( (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) — квадрат суммы равен сумме квадратов и удвоенного произведения.

\( (a — b)^2 = a^2 + b^2 — 2ab \) — квадрат разности равен сумме квадратов без удвоенного произведения.

\( a^2 — b^2 = (a — b)(a + b) \) — разность квадратов равна произведению разности на сумму.

Эти три тождества позволяют в преобразованиях заменять свои левые части правыми и обратно — правые части левыми. Самое трудное при этом — увидеть соответствующие выражения и понять, чем в них заменены переменные а и b. Рассмотрим несколько примеров использования формул сокращенного умножения.

Источник

Формулы сокращённого умножения

Продолжаем изучать многочлены. В данном уроке мы научимся перемножать многочлены с помощью формул сокращённого умножения.

Квадрат суммы двух выражений

Существует ряд случаев, когда умножение многочлена на многочлен можно значительно упростить. Таковым к примеру является случай (2x + 3y) 2 .

Выражение (2x + 3y) 2 это перемножение двух многочленов, каждый из которых равен (2x + 3y)

Получили умножение многочлена на многочлен. Выполним его:

То есть выражение (2x + 3y) 2 равно 4x 2 + 12xy + 9y 2

Решим аналогичный пример, который попроще:

Выражение (a + b) 2 это перемножение двух многочленов, каждый из которых равен (a + b)

Выполним это умножение:

То есть выражение (a + b) 2 равно a 2 + 2ab + b 2

Оказывается, что случай (a + b) 2 можно распространить для любых a и b . Первый пример, который мы решили, а именно (2x + 3y) 2 можно решить с помощью тождества (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 . Для этого нужно подставить вместо переменных a и b соответствующие члены из выражение (2x + 3y) 2 . В данном случае переменной a соответствует член 2x , а переменной b соответствует член 3y

И далее можно воспользоваться тождеством (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 , но вместо переменных a и b нужно подставлять выражения 2x и 3y соответственно:

Как и в прошлый раз получили многочлен 4x 2 + 12xy + 9y 2 . Решение обычно записывают покороче, выполняя в уме все элементарные преобразования:

Тождество (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 называют формулой квадрата суммы двух выражений. Эту формулу можно прочитать так:

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Рассмотрим выражение (2 + 3) 2 . Его можно вычислить двумя способами: выполнить сложение в скобках и возвести полученный результат в квадрат, либо воспользоваться формулой квадрата суммы двух выражений.

Первый способ:

(2 + 3) 2 = 5 2 = 25

Второй способ:

(2 + 3) 2 = 2 2 + 2 × 2 × 3 + 3 2 = 4 + 12 + 9 = 25

Пример 2. Преобразовать выражение (5a + 3) 2 в многочлен.

Воспользуемся формулой квадрата суммы двух выражений:

(5a + 3) 2 = (5a) 2 + 2 × 5a × 3 + 3 2 = 25a 2 + 30a + 9

Попробуем решить данный пример, не пользуясь формулой квадрата суммы. У нас должен получиться тот же результат:

Формула квадрата суммы двух выражений имеет геометрический смысл. Мы помним, что для вычисления площади квадрата нужно возвести во вторую степень его сторону.

Например, площадь квадрата со стороной a будет равна a 2 . Если увеличить сторону квадрата на b , то площадь будет равна (a + b) 2

Рассмотрим следующий рисунок:

Представим, что сторону квадрата, изображённого на данном рисунке увеличили на b . У квадрата все стороны равны. Если его сторону увеличить на b , то остальные стороны тоже увеличатся на b

Получился новый квадрат, который больше предыдущего. Чтобы хорошо увидеть его, достроим отсутствующие стороны:

Чтобы вычислить площадь этого квадрата, можно по отдельности вычислить квадраты и прямоугольники, входящие в него, затем сложить полученные результаты.

Сначала можно вычислить квадрат со стороной a — его площадь будет равна a 2 . Затем можно вычислить прямоугольники со сторонами a и b — они будут равны ab . Затем можно вычислить квадрат со стороной b

В результате получается следующая сумма площадей:

Сумму площадей одинаковых прямоугольников можно заменить на умножение 2ab , которое буквально будет означать «повторить два раза площадь прямоугольника ab» . Алгебраически это получается путём приведения подобных слагаемых ab и ab . В результате получается выражение a 2 + 2ab + b 2 , которое является правой частью формулы квадрата суммы двух выражений:

Квадрат разности двух выражений

Формула квадрата разности двух выражений выглядит следующим образом:

Эту формулу можно прочитать так:

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Формула квадрата разности двух выражений выводится таким же образом, как и формула квадрата суммы двух выражений. Выражение (a − b) 2 представляет собой произведение двух многочленов, каждый из которых равен (a − b)

Если выполнить это умножение, то получится многочлен a 2 − 2ab + b 2

Пример 1. Преобразовать выражение (7x − 5) 2 в многочлен.

Воспользуемся формулой квадрата разности двух выражений:

(7x − 5) 2 = (7x) 2 − 2 × 7x × 5 + 5 2 = 49x 2 − 70x + 25

Попробуем решить данный пример, не пользуясь формулой квадрата разности. У нас должен получиться тот же результат:

Формула квадрата разности двух выражений тоже имеет геометрический смысл. Если площадь квадрата со стороной a равна a 2 , то площадь квадрата, сторона которого уменьшена на b , будет равна (a − b) 2

Рассмотрим следующий рисунок:

Представим, что сторону квадрата, изображённого на данном рисунке уменьшили на b . У квадрата все стороны равны. Если одну сторону уменьшить на b, то остальные стороны тоже уменьшатся на b

Получился новый квадрат, который меньше предыдущего. На рисунке он выделен жёлтым. Сторона его равна a − b , поскольку старая сторона a уменьшилась на b . Чтобы вычислить площадь этого квадрата, можно из первоначальной площади квадрата a 2 вычесть площади прямоугольников, которые получились в процессе уменьшения сторон старого квадрата. Покажем эти прямоугольники:

Тогда можно написать следующее выражение: старая площадь a 2 минус площадь ab минус площадь (a − b)b

Раскроем скобки в выражении (a − b)b

Приведем подобные слагаемые:

В результате получается выражение a 2 − 2ab + b 2 , которое является правой частью формулы квадрата разности двух выражений:

Формулы квадрата суммы и квадрата разности в общем называют формулами сокращённого умножения. Эти формулы позволяют значительно упростить и ускорить процесс перемножения многочленов.

Ранее мы говорили, что рассматривая член многочлена по отдельности, его нужно рассматривать вместе со знаком, который перед ним располагается.

Но применяя формулы сокращённого умножения, знак исходного многочлена не следует рассматривать в качестве знака самого этого члена.

Например, если дано выражение (5x − 2y) 2 , и мы хотим воспользоваться формулой (a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 , то вместо b нужно подставлять 2y , а не −2y . Это особенность работы с формулами, которую не следует забывать.

Если подставлять −2y , то это будет означать, что разность в скобках исходного выражения была заменена на сумму:

и в таком случае нужно применять не формулу квадрата разности, а формулу квадрата суммы:

Исключением могут быть выражения вида (x − (−y)) 2 . В данном случае, применяя формулу (a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 вместо b следует подставить (−y)

Но возводя в квадрат выражения вида x − (−y) , удобнее будет заменять вычитание на сложение x + y . Тогда первоначальное выражение примет вид (x + y) 2 и можно будет воспользоваться формулой квадрата суммы, а не разности:

Куб суммы и куб разности

Формулы куба суммы двух выражений и куба разности двух выражений выглядят следующим образом:

Формулу куба суммы двух выражений можно прочитать так:

Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

А формулу куба разности двух выражений можно прочитать так:

Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

При решении задач желательно знать эти формулы наизусть. Если не запомнили — не беда! Их можно выводить самостоятельно. Мы это уже умеем.

Выведем формулу куба суммы самостоятельно:

Выражение (a + b) 3 представляет собой произведение из трёх многочленов, каждый из которых равен (a + b)

Но выражение (a + b) 3 также может быть записано как (a + b)(a + b) 2

При этом сомножитель (a + b) 2 является квадратом суммы двух выражений. Этот квадрат суммы равен выражению a 2 + 2ab + b 2 .

А это есть умножение многочлена на многочлен. Выполним его:

Аналогично можно вывести формулу куба разности двух выражений:

Пример 1. Преобразуйте выражение (x + 1) 3 в многочлен.

Воспользуемся формулой куба суммы двух выражений:

(x + 1) 3 = x 3 + 3 × x 2 × 1 + 3 × x × 1 2 + 1 3 = x 3 + 3x 2 + 3x + 1

Попробуем решить данный пример, не используя формулу куба суммы двух выражений. У нас получится тот же результат, но решение станет длиннее:

Пример 2. Преобразовать выражение (6a 2 + 3b 3 ) 3 в многочлен.

Воспользуемся формулой куба суммы двух выражений:

(6a 2 + 3b 3 ) 3 = (6a 2 ) 3 + 3 × (6a 2 ) 2 × 3b 3 + 3 × 6a 2 × (3b 3 ) 2 + (3b 3 ) 3 = 216a 6 + 3 × 36a 4 × 3b 3 + 3 × 6a 2 × 9b 6 + 27b 9

Пример 3. Преобразовать выражение (n 2 − 3) 3 в многочлен.

Воспользуемся формулой куба разности двух выражений:

(n 2 − 3) 3 = (n 2 ) 3 − 3 × (n 2 ) 2 × 3 + 3 × n 2 × 3 2 − 3 3 = n 6 − 9n 4 + 27n 2 − 27

Пример 4. Преобразовать выражение (2x 2 − x 3 ) 3 в многочлен.

Воспользуемся формулой куба разности двух выражений:

Умножение разности двух выражений на их сумму

Встречаются задачи, в которых требуется умножить разность двух выражений на их сумму. Например:

В этом выражении разность двух выражений a и b умножена на сумму этих же двух выражений. Выполним данное умножение:

То есть выражение (a − b)(a + b) равно a 2 − b 2

Видим, что при умножении разности двух выражений на их сумму, получается разность квадратов этих выражений.

Произведение разности двух выражений и их суммы равно разности квадратов этих выражений.

Случай (a − b)(a + b) можно распространить для любых a и b . Проще говоря, если при решении задачи потребуется умножить разность двух выражений на их сумму, то это умножение можно заменить на разность квадратов этих выражений.

Пример 1. Выполнить умножение (2x − 5)(2x + 5)

В этом примере разность выражений 2x и 5 умножена на сумму этих же выражений. Тогда согласно формуле (a − b)(a + b) = a 2 − b 2 имеем:

Вычислим правую часть, получим 4x 2 − 25

Попробуем решить данный пример, не пользуясь формулой (a − b)(a + b) = a 2 − b 2 . У нас получится тот же результат 4x 2 − 25

Пример 2. Выполнить умножение (4x − 5y)(4x + 5y)

Воспользуемся формулой умножения разности двух выражений на их сумму:

Пример 3. Выполнить умножение (2a + 3b)(2a − 3b)

Воспользуемся формулой умножения разности двух выражений на их сумму:

В данном примере сумма членов 2a и 3b располагалась раньше, чем разность этих членов. А в формуле (a − b)(a + b) = a 2 − b 2 разность располагается раньше.

Нет никакой разницы как располагаются сомножители (a − b) в (a + b) в формуле. Они могут быть быть записаны как (a − b)(a + b) , так и (a + b)(a − b) . Результат по прежнему будет равен a 2 − b 2 , поскольку от перестановки сомножителей произведение не меняется.

Так и в данном примере сомножители (2a + 3b) и (2a − 3b) можно записать как (2a + 3b)(2a − 3b) , так и (2a − 3b)(2a + 3b) . Результат всё так же будет равен 4a 2 − 9b 2 .

Пример 3. Выполнить умножение (7 + 3x)(3x − 7)

Воспользуемся формулой умножения разности двух выражений на их сумму:

Пример 4. Выполнить умножение (x 2 − y 3 )(x 2 + y 3 )

Пример 5. Выполнить умножение (−5x − 3y)(5x − 3y)

В выражении (−5x − 3y) вынесем за скобки −1 , тогда исходное выражение примет следующий вид:

Произведение (5x + 3y)(5x − 3y) заменим на разность квадратов:

Разность квадратов была заключена в скобки. Если этого не сделать, то получится, что −1 умножается только на (5x) 2 . А это приведет к ошибке и изменению значения исходного выражения.

Далее вычисляем выражение в скобках:

Теперь умножим −1 на выражение в скобках и получим окончательный результат:

Умножение разности двух выражений на неполный квадрат их суммы

Встречаются задачи, в которых требуется умножить разность двух выражений на неполный квадрат их суммы. Выглядит это произведение следующим образом:

Первый многочлен (a − b) является разностью двух выражений, а второй многочлен (a 2 + ab + b 2 ) является неполным квадратом суммы этих двух выражений.

Неполный квадрат суммы это многочлен вида a 2 + ab + b 2 . Он похож на обычный квадрат суммы a 2 + 2ab + b 2 за исключением того, что в нём произведение первого и второго выражений не удваивается.

Например, выражение 4x 2 + 6xy + 9y 2 является неполным квадратом суммы выражений 2x и 3y .

Действительно, первый член выражения 4x 2 + 6xy + 9y 2 , а именно 4x 2 является квадратом выражения 2x , поскольку (2x) 2 = 4x 2 . Третий член выражения 4x 2 + 6xy + 9y 2 , а именно 9y 2 является квадратом выражения 3y , поскольку (3y) 2 = 9y 2 . Член находящийся в середине 6xy , является произведением выражений 2x и 3y.

Итак, умножим разность (a − b) на неполный квадрат суммы a 2 + ab + b 2

Это тождество называют формулой умножения разности двух выражений на неполный квадрат их суммы. Эту формулу можно прочитать так:

Произведение разности двух выражений и неполного квадрата их суммы равно разности кубов этих выражений.

Пример 1. Выполнить умножение (2x − 3y)(4x 2 + 6xy + 9y 2 )

Первый многочлен (2x − 3y) это разность двух выражений 2x и 3y . Второй многочлен 4x 2 + 6xy + 9y 2 это неполный квадрат суммы двух выражений 2x и 3y . Это позволяет не приводя длинных вычислений, воспользоваться формулой (a − b)(a 2 + ab + b 2 ) = a 3 − b 3 . В нашем случае умножение (2x − 3y)(4x 2 + 6xy + 9y 2 ) можно заменить на разность кубов 2x и 3y

Попробуем решить этот же пример, не пользуясь формулой (a − b)(a 2 + ab + b 2 ) = a 3 − b 3 . У нас получится тот же результат, но решение станет длиннее:

Пример 2. Выполнить умножение (3 − x)(9 + 3x + x 2 )

Первый многочлен (3 − x) является разностью двух выражений, а второй многочлен является неполным квадратом суммы этих двух выражений. Это позволяет воспользоваться формулой (a − b)(a 2 + ab + b 2 ) = a 3 − b 3

Умножение суммы двух выражений на неполный квадрат их разности

Встречаются задачи, в которых требуется умножить сумму двух выражений на неполный квадрат их разности. Выглядит это произведение следующим образом:

Первый многочлен (a + b) является суммой двух выражений, а второй многочлен (a 2 − ab + b 2 ) является неполным квадратом разности этих двух выражений.

Неполный квадрат разности это многочлен вида a 2 − ab + b 2 . Он похож на обычный квадрат разности a 2 − 2ab + b 2 за исключением того, что в нём произведение первого и второго выражений не удваивается.

Например, выражение 4x 2 − 6xy + 9y 2 является неполным квадратом разности выражений 2x и 3 y .

Вернёмся к изначальному примеру. Умножим сумму a + b на неполный квадрат разности a 2 − ab + b 2

Это тождество называют формулой умножения суммы двух выражений на неполный квадрат их разности. Эту формулу можно прочитать так:

Произведение суммы двух выражений и неполного квадрата их разности равно сумме кубов этих выражений.

Пример 1. Выполнить умножение (2x + 3y)(4x 2 − 6xy + 9y 2 )

Первый многочлен (2x + 3y) это сумма двух выражений 2x и 3y , а второй многочлен 4x 2 − 6xy + 9y 2 это неполный квадрат разности этих выражений. Это позволяет не приводя длинных вычислений, воспользоваться формулой (a + b)(a 2 − ab + b 2 ) = a 3 + b 3 . В нашем случае умножение (2x + 3y)(4x 2 − 6xy + 9y 2 ) можно заменить на сумму кубов 2x и 3y

Попробуем решить этот же пример, не пользуясь формулой (a + b)(a 2 − ab + b 2 ) = a 3 + b 3 . У нас получится тот же результат, но решение станет длиннее:

Пример 2. Выполнить умножение (2x + y)(4x 2 − 2xy + y 2 )

Первый многочлен (2x + y) является суммой двух выражений, а второй многочлен (4x 2 − 2xy + y 2 ) является неполным квадратом разности этих выражений. Это позволяет воспользоваться формулой (a + b)(a 2 − ab + b 2 ) = a 3 + b 3

Попробуем решить этот же пример, не пользуясь формулой (a + b)(a 2 − ab + b 2 ) = a 3 + b 3 . У нас получится тот же результат, но решение станет длиннее:

Источник