Способы быстрого сложения и вычитания натуральных чисел
Главная > Документ
| Информация о документе | |
| Дата добавления: | |
| Размер: | |
| Доступные форматы для скачивания: |
Способы быстрого сложения и вычитания натуральных чисел.
Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, то из полученной суммы надо вычесть столько же единиц.
364+592=364+(592+8) – 8=364+600 – 8=956.
Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, а второе уменьшить на столько же единиц, то разность не изменится.
Если вычитаемое увеличить на несколько единиц и уменьшаемое увеличить на столько же единиц, то разность не изменится.
1351 – 994=(1351+6) – (994+6)=1357 – 1000=357.
Если от суммы двух чисел отнять разность тех же чисел, то в результате получится удвоенное меньшее число, т. е. (a+b) – (a – b)=2b.
Если к сумме двух чисел прибавить их разность, то в результате получится удвоенное большее число, т. е. (a+b) + (a – b)=2a.
Сложение столбцами . Сумма цифр каждого разряда складывается отдельно. Цифра десятков в сумме предыдущего разряда складывается с цифрой единиц последующей суммы.
Способы быстрого умножения и деления натуральных чисел.
Применение распределительного закона умножения относительно сложения и вычитания к множителям, один из которых представлен в виде суммы или разности.
7·196=7·(200 – 4)=1400 – 28=1372.
Умножение методом Ферроля . Для получения единиц произведения перемножают единицы множителей, для получения десятков умножают десятки одного на единицы другого множителя и наоборот и результаты складывают, для получения сотен перемножают десятки. Этот способ умножения следует из тождества (10a+b)(10c+d)=100ac+10(ad+bc)+bd.
37·48=1776 а) 8·7=56, пишем 6, помним 5;
б) 8·3+4·7+5=57, пишем 7, помним 5;
в) 4·3+5=17, пишем 17.
Методом Ферроля легко перемножать устно двузначные числа от 10 до 20.
12·14=168. Умножаем так:
а)2·4=8; б) 1·2+1·4=6; в) 1·1=1.
Можно умножить и трехзначное число на двузначное.
а)3·5=15, пишем 5, помним 1;
б) (3·2+2·5)+1=17, пишем 7, помним 1;
в) (3·1+2·2)+1=8, пишем 8;
Умножение чисел, у которых число десятков одинаково, а сумма единиц равна 10 . Число десятков любого множителя умножить на число, которое больше на 1, затем перемножить отдельно единицы этих чисел и, наконец, к первому результату справа приписать второй. Этот способ основан на тождестве (10a+b)·(10a+c)=100a(a+1)+bc, где b+c=10.
13·17=221, а)1·(1+1)=2, пишем 2;
б) 3·7=21, приписываем справа 21.
204·206=42024, а)20·(20+1)=420, пишем 420;
б)6·4=24, приписываем справа 24.
Умножение чисел на 11. Записать последнюю цифру числа (цифру из разряда единиц), затем последовательно, справа налево записывать суммы соседних двух цифр множимого и, наконец, первую цифру множимого.
54·11=594; а) пишем 4;
Если одна из сумм соседних цифр окажется больше 9, то на соответствующем месте записывают цифру единиц полученной суммы, а к следующей сумме прибавляют 1. Прибавляют единицу и к последней цифре множителя, если предыдущая сумма превышала 9.
58·11=638, а) пишем 8;
б) 5+8=13, пишем 3, помним 1;
3765·11=41415, а) пишем 5;
б) 5+6=11, пишем 1, помним 1;
в) (7+6)+1=14, пишем 4, помним 1;
г) (3+7)+1=11, пишем 1, помним 1;
Умножение на числа вида aa . Умножить данное число сначала на а, потом на 11.
Умножение двузначного числа на 111. Справа налево нужно последовательно записать: последнюю цифру первого множителя (т. е. цифру из разряда единиц), сумму цифр первого множителя, снова сумму его цифр и, наконец, его первую цифру. Если сумма цифр двузначного числа больше 9, то записываем цифру единиц каждой суммы, а к следующему результату прибавляем 1.
68·111=7548, а) пишем последнюю цифру 8;
б) 6+8=14, пишем 4, помним 1;
в) (6+8)+1=15, пишем 5, помним 1;
Умножение на 5, 25, 125. Разделить число соответственно на 2, 4, 8 и результат умножить на 10, 100, 1000.
Если множитель не делится на 2, 4 или на 8, то деление производится с остатком. Затем частное умножают соответственно на 10, 100 или 1000, а остаток – на 5, 25 или 125.
53·5=26·10+1·5=265 (53:2=26 и 1 в остатке);
43·25=10·100+3·25=1075 (43:4=10 и 3 в остатке);
66·125=8·1000+2·125=8250 (66:8=8 и 2 в остатке).
Деление на 5, 25, 125 . Умножить число соответственно на 2, 4, 8 и разделить на 10, 100, 1000.
Иногда удобно менять порядок действий, выполняя сначала деление на 10, 100, 1000, а потом умножение.
Умножение на 9, 99 и 999 . К первому множителю приписать столько нулей, сколько девяток во втором множителе, и из результата вычесть первый множитель.
Возведение в квадрат двузначных чисел, имеющих 5 десятков. К 25 прибавить цифру в разряде единиц и к результату приписать справа квадрат числа единиц так, чтобы получилось четырехзначное число. Этот способ основан на тождестве (50+а) 2 =100·(25+а)+а 2 .
51 2 =2601, а) 25+1=26, пишем 26;
б) 1 2 =1, приписываем 01.
58 2 =3364, а) 25+8=33, пишем 33;
б) 8 2 =64, приписываем 64.
Возведение в квадрат двузначных чисел, оканчивающихся цифрой 5. Число десятков умножаем на следующее за ним натуральное число, справа приписываем число 25.
Источник
Способы быстрого сложения и вычитания
Способы быстрого сложения и вычитания упрощают и облегчают вычисления, развивают быстроту счета в уме.
Просмотр содержимого документа
«Способы быстрого сложения и вычитания»
Способы быстрого сложения и вычитания
Во все времена математика была и остается одним из основных предметов в школе, потому что математические знания необходимы всем людям. Сейчас, на этапе стремительного развития информатики и вычислительной техники, современные школьники не хотят утруждать себя счетом в уме. Поэтому некоторые приемы быстрого сложения и вычитания помогут сделать сам процесс выполнения действия не только важным, но и интересным занятием.
Сложение: Основное правило для выполнения сложения в уме звучит так: Чтобы прибавить к числу 9, прибавьте к нему 10 и отнимите 1;чтобы прибавить 8, прибавьте 10 и отнимите 2; чтобы прибавить 7, прибавьте10 и отнимите 3 и т.д.
Например: 56+8=56+10-2=64; 65+9=65+10-1=74.
СЛОЖЕНИЕ В УМЕ ДВУЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ
Если цифра единиц в прибавляемом числе больше 5, то число необходимо округлить в сторону увеличения, а затем вычесть ошибку округления из полученной суммы. Если же цифра единиц меньше, то прибавляем сначала десятки, а потом единицы.
Например: 34+48=34+50-2=82; 27+31=27+30+1=58.
Шаг 1: сложим все десятки: 3 + 8 + 2 + 4 = 17. 17 десятков – это 170.
Шаг 2: сложим все единицы: 7 + 5 + 9 + 2 = 23.
Шаг 3: 170 + 23 = 193.
СЛОЖЕНИЕ ТРЕХЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ
Складываем слева на право, то есть сначала сотни, потом десятки, а затем единицы.
Например: 359+523= 300+500+50+20+9+3=882;
228 + 39 + 485 + 91
Шаг 1: сложим все десятки: 22 + 3 + 48 + 9 = (22 + 48) + (3 + 9) = 70 + 12 = 82. 82 десятка- это 820
Шаг 2: сложим все единицы: 8 + 9 + 5 + 1 = (8 + 5) + (9 + 1) = 13 + 10 = 23.
Вычитание: Чтобы вычесть два числа в уме, нужно округлить вычитаемое, а затем подкорректируйте полученный ответ.
ВЫЧИТАНИЕ ЧИСЛА МЕНЬШЕ 100 ИЗ ЧИСЛА БОЛЬШЕ 100 Если вычитаемое меньше 100, а уменьшаемое больше 100, но меньше 200, есть простой способ вычислить разность в уме.
134-76=58 76 на 24меньше 100. 134 на 34 больше 100.
Прибавим 24 к 34 и получим ответ: 58. 152-88=64
88 на 12 меньше 100, а 152 больше 100 на 52, значит 152-88=12+52=64
Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, то из полученной суммы надо вычесть столько же единиц.
Пример. 364+592=364+(592+8) – 8=364+600 – 8=956.
Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, а второе уменьшить на столько же единиц, то разность не изменится.
Пример. 997+856=(997+3)+(856 – 3)=1000+853=1853.
Если вычитаемое увеличить на несколько единиц и уменьшаемое увеличить на столько же единиц, то разность не изменится.
Пример. 1351 – 994=(1351+6) – (994+6)=1357 – 1000=357.
Если от суммы двух чисел отнять разность тех же чисел, то в результате получится удвоенное меньшее число, т. е. (a+b) – (a – b)=2b.
Пример. (57+23) – (57 – 23)=46.
Если к сумме двух чисел прибавить их разность, то в результате получится удвоенное большее число, т. е. (a+b) + (a – b)=2a.
Пример. (74+26)+(74 – 26)=148.
Сложение столбцами. Сумма цифр каждого разряда складывается отдельно. Цифра десятков в сумме предыдущего разряда складывается с цифрой единиц последующей суммы.
Промежуточное приведение к «круглым» числам
Если одно из слагаемых близко к круглому числу, то часто бывает полезно округлить его, а затем учесть поправку:
198 + 53 = (200 — 2) + 53 = 200 + 53 — 2 = 253 — 2 = 251
1912 — 207 = 1912 — (200 + 7) = 1912 — 200 — 7 = 1712 — 7 = 1705
Способ «корневых» чисел
Если все слагаемые интуитивно близки к определённому «среднему» числу, то часто полезно сложить эти корневые числа и затем учесть поправки. Посчитаем число дней в нечётных месяцах года:
31 + 31 + 31 + 31 + 30 + 30 = (30 + 1) * 4 + 30 * 2 = 30 * 6 + 4 = 184
Способ «средних» чисел, или сумма арифметической прогрессии
Если каждое последующее число больше / меньше предыдущего на постоянную величину, то полезно применить формулу для суммы арифметической прогрессии. Посчитаем сумму всех чисел от 1 до 99:
1 + 2 + 3 + . + 97 + 98 + 99 = (1 + 99) + (2 + 98) + . + (49 + 51) + 50 =
100 * 49 + 50 = 4950
Использование изменения порядка счета
При сложении чисел нередко бывает полезно складывать их, начиная со старших разрядов. Тогда в ходе вычисления приходится помнить все более длинное число, но зато мы прибавляем к нему каждый раз только число одно-двузначное. Это существенно облегчает устное вычисление.
Сложим три трёхзначных числа: 173 + 270 + 656 = ((1 + 2 + 6) * 10 + 7 + 7 + 5) * 10 = 3 + 0 + 6 = (90 + 19) * 10 + 9 = 1099.
Источник
Свойства сложения и вычитания
О чем эта статья:
Свойства сложения
Сложение — это арифметическое действие, в котором единицы двух чисел объединяются в одно новое число
Для записи сложения используют знак «+» (плюс), который ставят между слагаемыми.
Слагаемые — это числа, единицы которых складываются.
Сумма — это число, которое получается в результате сложения.
Рассмотрим пример 2 + 5 = 7, в котором:
- 2 — это первое слагаемое,
- 5 — второе слагаемое,
- 7 — это сумма.
При этом саму запись (2 + 5) можно тоже назвать суммой.
Сложение двух чисел можно проверить вычитанием. Для этого вычитаем из суммы одно из слагаемых. Если разность окажется равной другому слагаемому — сложение выполнено верно.
Впервые мы сталкиваемся со свойствами сложения во 2 классе. С каждым годом задания усложняются, и появляются новые правила и законы. Рассмотрим свойства сложения для 4 класса.
- Переместительное свойство сложения
От перестановки мест слагаемых сумма не меняется.
a + b = b + a - Сочетательное свойство сложения
Чтобы к сумме двух чисел прибавить третье нужно к первому числу прибавить сумму второго и третьего числа.
(a + b) + c = a + (b + c) - Свойство нуля при сложении
Если к числу прибавить нуль, получится само число.
a + 0 = 0 + a = a
Свойства вычитания
Вычитание— это арифметическое действие, в котором отнимают меньшее число от большего.
Для записи вычитания используется знак «-» (минус), который ставится между уменьшаемым и вычитаемым.
Уменьшаемое — это число, из которого вычитают.
Вычитаемое — это число, которое вычитают.
Разность — это число, которое получается в результате вычитания.
Рассмотрим пример 9 — 4 = 5, в котором:
При этом саму запись (9 — 4) тоже можно назвать разностью.
Примеры использования свойств сложения и вычитания
Мы узнали основные свойства сложения и вычитания — осталось попрактиковаться. Чтобы ничего не забыть, используйте эту шпаргалку:
Пример 1
Вычислить сумму слагаемых с использованием разных свойств:
а) 4 + 3 + 8 = (4 + 3) + 8 = 7 + 8 = 15
б) 9 + 11 + 2 = (9 + 2) + 11 = 11 + 11 = 22
в) 30 + 0 + 13 = 30 + 13 = 43
Пример 2
Применить разные свойства при вычислении разности:
а) 25 — 0 — 2 = 25 — 2 = 23
б) 18 — (1 + 4) = 18 — 1 — 4 = 17 — 4 = 13
Пример 3
Найти значение выражения удобным способом:
а) 11 + 10 + 3 + 9 = (11 + 10) + (3 + 9) = 21 + 11 = 32
б) 16 — (4 + 3) + 7 = 16 — 4 — 3 + 7 = (16 — 4) — 3 + 7 = 12 — 3 + 7 = 9 + 7 = 16
Источник
