Способы решения задачи коши

Порядок дифференциального уравнения и его решения, задача Коши

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию этой переменной и её производные (или дифференциалы) различных порядков.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, содержащейся в нём.

Кроме обыкновенных изучаются также дифференциальные уравнения с частными производными. Это уравнения, связывающие независимые переменные , неизвестную функцию этих переменных и её частные производные по тем же переменным. Но мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения и поэтому будем для краткости опускать слово «обыкновенные».

Примеры дифференциальных уравнений:

(1) ;

(2) ;

(3) ;

(4) ;

(5) .

Уравнение (1) — четвёртого порядка, уравнение (2) — третьего порядка, уравнения (3) и (4) — второго порядка, уравнение (5) — первого порядка.

Дифференциальное уравнение n-го порядка не обязательно должно содержать явно функцию, все её производные от первого до n-го порядка и независимую переменную. В нём могут не содержаться явно производные некоторых порядков, функция, независимая переменная.

Например, в уравнении (1) явно нет производных третьего и второго порядков, а также функции; в уравнении (2) — производной второго порядка и функции; в уравнении (4) — независимой переменной; в уравнении (5) — функции. Только в уравнении (3) содержатся явно все производные, функция и независимая переменная.

Решением дифференциального уравнения называется всякая функция y = f(x), при подстановке которой в уравнение оно обращается в тождество.

Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется его интегрированием.

Пример 1. Найти решение дифференциального уравнения .

Решение. Запишем данное уравнение в виде . Решение состоит в нахождении функции по её производной. Изначальная функция, как известно из интегрального исчисления, есть первообразная для , т. е.

.

Это и есть решение данного дифференциального уравнения. Меняя в нём C, будем получать различные решения. Мы выяснили, что существует бесконечное множество решений дифференциального уравнения первого порядка.

Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка называется его решение, выраженное явно относительно неизвестной функции и содержащее n независимых произвольных постоянных, т. е.

Решение дифференциального уравнения в примере 1 является общим.

Частным решением дифференциального уравнения называется такое его решение, в котором произвольным постоянным придаются конкретные числовые значения.

Пример 2. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение при .

Решение. Проинтегрируем обе части уравнения такое число раз, которому равен порядок дифференциального уравнения.

,

,

.

В результате мы получили общее решение —

данного дифференциального уравнения третьего порядка.

Теперь найдём частное решение при указанных условиях. Для этого подставим вместо произвольных коэффициентов их значения и получим

.

Если кроме дифференциального уравнения задано начальное условие в виде , то такая задача называется задачей Коши. В общее решение уравнения подставляют значения и и находят значение произвольной постоянной C, а затем частное решение уравнения при найденном значении C. Это и есть решение задачи Коши.

Пример 3. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения из примера 1 при условии .

Решение. Подставим в общее решение значения из начального условия y = 3, x = 1. Получаем

.

Записываем решение задачи Коши для данного дифференциального уравнения первого порядка:

.

При решении дифференциальных уравнений, даже самых простых, требуются хорошие навыки интегрирования и взятия производных, в том числе сложных функций. Это видно на следующем примере.

Пример 4. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Уравнение записано в такой форме, что можно сразу же интегрировать обе его части.

.

Применяем метод интегрирования заменой переменной (подстановкой). Пусть , тогда .

Требуется взять dx и теперь — внимание — делаем это по правилам дифференцирования сложной функции, так как x и есть сложная функция («яблоко» — извлечение квадратного корня или, что то же самое — возведение в степень «одна вторая», а «фарш» — самое выражение под корнем):

Возвращаясь к переменной x, получаем:

.

Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения первой степени.

Не только навыки из предыдущих разделов высшей математики потребуются в решении дифференциальных уравнений, но и навыки из элементарной, то есть школьной математики. Как уже говорилось, в дифференциальном уравнении любого порядка может и не быть независимой переменной, то есть, переменной x. Помогут решить эту проблему не забытые (впрочем, у кого как) со школьной скамьи знания о пропорции. Таков следующий пример.

Пример 5. Найти общее решение дифференциального уравнения .

Решение. Как видим, переменная x в уравнении отсутствует. Вспоминаем из курса дифференциального исчисления, что производная может быть записана также в виде . В результате уравнение приобретает вид

,

то есть, в нём в некотором виде появился x.

Теперь вспомнаем одно из свойств пропорции: из пропорции выткают следующие пропорции:

,

то есть в пропорции можно менять местами крайние и средние члены или те и другие одновременно.

Применяя это свойство, преобразуем уравнение к виду

,

после чего интегрируем обе части уравнения:

.

Оба интеграла — табличные, находим их:

и получаем решение данного дифференциалного уравнения первого порядка:

.

Эта статья представила необходимый минимум сведений о дифференциальных уравнениях и их решениях и должна помочь вам уверенно и увлечённо перейти к изучению различных видов дифференциальных уравнений.

Источник

Задача Коши для дифференциального уравнения

Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения — это значит, найти общее решение, удовлетворяющее дополнительным условиям. Конкретно говоря, необходимо численно определить в общем решении все константы, количество которых равно порядку ДУ. Для понимания рассмотрим примеры задач.

Перед нами ДУ с разделяющимися переменными. Чтобы это понять достаточно записать производную в виде $y’=\frac$. Затем по переносим переменные по разные стороны уравнения. $$\frac=\frac<1><\sqrt>$$ $$dy = \frac<\sqrt>$$Интегрируем обе части равенства, используя таблицу интегрирования $$\int dy = \int \frac<\sqrt>,$$ получаем общее решение дифференциального уравнения $$y = \ln|x+\sqrt| + C.$$

Зная общее решение можно перейти к задаче Коши. Необходимо найти чем равна константа $C$. Для этого воспользуемся данными, указанными в условии к заданию $y(1)=0$. В нём $x=1$ и $y=0$. Берем и подставляем эти значения в общее решение ДУ $$\ln|1+\sqrt<1^2-1>| + C = 0,$$ $$\ln1+C=0,$$ $$C=0.$$

Теперь, зная, что $C=0$ можно записать найденное решение задачи Коши в окончательном виде $$y=\ln|x+\sqrt|.$$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Пример 1

Решить задачу Коши для дифференциального уравнения $y’=\frac<1><\sqrt>$ с дополнительным условием $y(1)=0$.

Решение

Ответ

$$y=\ln|x+\sqrt|$$

Перед нами линейное ДУ первого порядка. Решим его методом Бернулли с помощью подстановки $y=uv \Rightarrow y’ = u’v+uv’$. Получаем: $$u’v+uv’+uv\cos x=e^<-\sin x>.$$ Выносим за скобки $u$ и составляем систему уравнений путем приравнивания скобок к нулю. $$u’v+u(v’+v\cos x)=e^<-\sin x>$$ $$\begin v’+v\cos x=0 \\ u’v=e^ <-\sin x>\end$$

В первом уравнении необходимо разделить переменные и найти чему равно $v$, чтобы подставить во второе уравнение для нахождения $u$. $$\begin \frac+v\cos x=0 \\ u’v=e^ <-\sin x>\end \Leftrightarrow \begin \frac=-\cos x dx \\ u’v=e^ <-\sin x>\end$$ Интегрируем первое уравнение $$\begin \int \frac=-\int \cos x dx \\ u’v=e^ <-\sin x>\end \Leftrightarrow \begin \ln|v|=-\sin x \\ u’v=e^ <-\sin x>\end,$$ $$\begin v=e^ <-\sin x>\\ u’v=e^ <-\sin x>\end \Leftrightarrow \begin v=e^ <-\sin x>\\ u’ = 1 \end.$$Обратите внимание что во второе уравнение подставили полученное $v=e^<-\sin x>$ и после сокращения получилась единица. В итоге система имеет решение $$\begin v=e^ <-\sin x>\\ u = x+C \end.$$

Вспоминаем про подстановку, которую проводили в самом начале решения задачи $y=uv$. Зная теперь $u$ и $v$ можно записать общее решение ДУ $$y=(x+C)e^<-\sin x>.$$ В условии задания просят найти решение дифференциального уравнения удовлетворяющее условию $y(0)=0$, поэтому вместо $x$ и $y$ подставим нули и вычислим $C$ из последнего уравнения: $$(0+C)e^ <-\sin 0>= 0,$$ $$C=0.$$ Вот теперь можно записать окончательный ответ решения задачи Коши $$y = xe^<-\sin x>$$

Пример 2

Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения $y’+y\cos x=e^<-\sin x>$ с условием $y(0)=0$.

Решение

Ответ

$$y = xe^<-\sin x>$$

Дано неоднородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение которого будет иметь вид $y_ <о.н.>= y_ <о.о.>+ y_<ч.н.>$. Для начала находим общее решение однородного уравнения $y_$, затем частное решение неоднородного уравнения $y_<ч.н.>$ с помощью метода подбора правой части уравнения.

На первом этапе решаем уравнение в качестве однородного без правой части, то есть меняем её на ноль. Заменяем все $y$ на новую переменную $\lambda$, показатель степени которой будет равен порядку производной. $$y»-y=0,$$ $$\lambda^2 — 1 = 0,$$ $$(\lambda-1)(\lambda+1)=0,$$ $$\lambda_1 = -1, \lambda_2 = 1.$$ Теперь можно записать общее решение однородного ДУ. $$y_ <о.о.>= C_1e^<\lambda x>+C_2e^ <-\lambda x>= C_1e^+C_2e^<-x>$$

Переходим к получению $y_<ч.н.>$. Смотрим на правую часть уравнения, данного в условии задачи. В неё входят синус и косинус, умноженные на многочлены нулевой степени. Значит, частное решение ищем в виде $y_ <ч.н.>= A\sin x — B\cos x$. Находим вторую производную данного выражения. $$y’ = A\cos x + B\sin x,$$ $$y»=-A\sin x + B\cos x.$$ Подставляем $y$ и $y»$ в исходное уравнение из условия задачи, чтобы найти неизвестные коэффициенты $A$ и $B$. $$-A\sin x + B\cos x — A\sin x + B\cos x = 2\sin x — 4\cos x$$ После приведения подобных получаем $$-2A\sin x + 2B\cos x = 2\sin x — 4\cos x.$$ Далее составляем систему из двух уравнений благодаря коэффициентам перед синусом и косинусом левой и правой части уравнения. $$\begin -2A = 2 \\ 2B = -4 \end \Leftrightarrow \begin A = -1 \\ B = -2 \end$$ Благодаря полученным коэффициентам $A$ и $B$ записываем $$y_ <ч.н.>= -\sin x + 2\cos x$$

Итак, общее решение неоднородного дифференциального уравнения в итоге будет иметь вид $$y_ <о.н.>= y_ <о.о.>+ y_ <ч.н.>= C_1e^+C_2e^ <-x>-\sin x + 2\cos x.$$

Так как требуется найти решение задачи Коши, то ход действий на этом не закончен. Переходим к вычислению коэффициентов $C_1$ и $C_2$.

Берём первую производную $y’ = C_1e^x — C_2e^ <-x>— \cos x — 2\sin x$.

Теперь можно составить систему уравнений $$\begin y'(0)=0 \\ y(0) = 0 \end \Leftrightarrow \begin C_1 — C_2 — 1 = 0 \\ C_1 + C_2 + 2 = 0 \end.$$ Решаем систему уравнений. $$\begin C_1 = C_2 + 1 \\ C_2 + 1 + C_2 + 2 = 0 \end \Leftrightarrow \begin C_1 = C_2 + 1 \\ C_2 = -\frac<3> <2>\end \Leftrightarrow \begin C_1 = -\frac<1> <2>\\ C_2 = -\frac<3> <2>\end.$$

Теперь подставляя полученные константы в общее решение дифференциального уравнения записываем решение задачи Коши в окончательном виде $$y = -\frac<1><2>e^x — \frac<3><2>e^ <-x>-\sin x + 2\cos x.$$

Источник

Пример 3

Решить задачу Коши для дифференциального уравнения $y»-y=2\sin x-4\cos x$ с начальным условием $y(0)=0, y'(0)=0$.

Решение