Текстовые задачи и их решение арифметическим способом
Решить задачу арифметическим способом — это значит найти ответ на требование задачи посредством выполнения арифметических действий над данными в задаче числами.
Текстовые задачи — это
- задачи на движение;
- задачи на применение действий сложения и вычитания натуральных чисел;
- задачи, приводящие к делению, умножению натуральных чисел;
- задачи на отработку отношений «на какое-то число больше», «на какое-то число меньше», «в какое-то число раз больше», «в какое-то число раз меньше», «всего»;
- задачи на части;
- задачи на совместную работу;
- задачи на предполагаемое и фактически выполненное;
- задачи с использованием рисунков, диаграмм.
Выполняя решение задачи, нужно провести анализ текста задачи и последовательно ответить на вопросы:
- какие величины надо знать, чтобы ответить на вопрос задачи?
- Какая из величин известна, а какая нет?
- Что нужно знать, чтобы найти эту величину?
- Как это узнать, исходя из условия задачи?
Задача #1. Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу с одинаковой скоростью. Через какое время они встретятся, если расстояние между ними — 72 км, а скорость — 12 км/ч?»
Решение:
1. Cкорость сближения велосипедистов: 12 + 12 = 24 км/ч.
2. Время через которое велосипедисты встретятся: 72 : 24 = 3 ч.
Ответ: велосипедисты встретятся через 3 часа.
Задача #2. В первый день продали 25 кг яблок, во второй — 40 кг, а в третий день продали 55 кг яблок. Сколько всего яблок продали за три дня?
Решение:
25 + 40 + 55 = 120 кг.
Ответ: всего яблок продали за три дня 120 кг.
Задача #3. В одном куске — 150 м проволоки, а в другом — на 35 м меньше. Сколько метров проволоки в двух кусках вместе?
Решение:
1. во втором куске проволки: 150 − 35 = 115 м.
2. Проволоки в двух кусках вместе: 150 + 115 = 265 м.
Ответ: проволоки в двух кусках вместе — 265 м.
Задача #4. В фермерском хозяйстве 2 га заняты усадьбой и постройками, под посевами — 379 га, под сенокосом — 319 га, под лесом — 40 га и под выгоном — 120 га. Сколько всего земли в пользовании у фермера?
Решение
2 + 379 + 319 + 40 + 120 = 860 га.
Ответ: в пользовании у фермера всего 860 га земли.
Задача #5. Часы спешат на 12 мин. и 34 с. и показывают 8 ч. 23 мин. 13 с. Запиши правильное время.
Для определения правильного времени нужно отнять время, на которое спешат часы, от показываемого на часах времени.
Получим:
8 ч. 23мин. 13с. − 12мин. 34с. = 8ч. 22мин. 73с. − 12мин. 34с. = 8ч. 10мин. 39с.
Ответ: правильное время: 8 ч. 10 мин. 39 с.
1. скорость моторной лодки по течению реки: 48 : 2 = 24 км/ч.
2. скорость течения реки, или скорость плота: 48 : 24 = 2 км/ч.
3. Собственная скорость лодки: 24 − 2 = 22 км/ч.
4. Скорость моторной лодки при движении против течения реки: 22 − 2 = 20 км/ч.
Ответ: скорость моторной лодки при движении против течения реки равна 20 км/ч.
Задача #7. В магазине имеется два бочонка сельди одного сорта. Стоимость сельди в одном бочонке равна 1820 р., а во втором — 2345 р., причём во втором бочонке сельди на 15 кг больше, чем в первом. Определи массу сельди в каждом бочонке.
1. стоимость сельди во втором бочонке больше по сравнению с первым на: 2345 − 1820 = 525 руб.
2. Один килограмм сельди стоит: 525 : 15 = 35 руб.
3. Масса сельди в первом бочонке: 1820 : 35 = 52 кг.
4. Масса сельди во втором бочонке: 2345 : 35 = 67 кг.
Ответ: масса сельди в первом бочонке равна 52 кг, а масса сельди во втором бочонке равна 67 кг.
1. Какова прибыль магазина от продажи лыж за первую неделю?
2. Какова прибыль магазина от продажи лыж за вторую неделю?
3. Как изменилась прибыль магазина за вторую неделю по сравнению с первой неделей?
1. на какую сумму были проданы лыжи за первую неделю?
4722⋅18 = 84996 руб.
2. Какую сумму заплатили за это количество пар лыж при закупке товара?
3710⋅18 = 66780 руб.
3. Какова прибыль магазина за первую неделю от продажи лыж?
84996−66780 = 18216 руб.
4. Какова новая цена одной пары лыж?
4722−350 = 4372 руб.
5. Сколько пар лыж продали на второй неделе?
18+13 = 31 п.
6. На какую сумму было продано это количество пар лыж за вторую неделю?
4372⋅31 = 135532 руб.
7. Какую сумму заплатили за это количество пар лыж при закупке товара?
3710⋅31 = 115010 руб.
8. Какова прибыль магазина за вторую неделю от продажи лыж?
135532−115010 = 20522 руб.
9. Как изменилась прибыль магазина за вторую неделю по сравнению с первой неделей?
Она стала больше на 20522−18216 = 2306 руб.
Ответ:
1. Прибыль магазина за первую неделю — 18216 р.
2. Прибыль магазина за вторую неделю — 20522 р.
3. Прибыль магазина за вторую неделю по сравнению с первой неделей увеличилась.
Задача #9. Из пунктов A и B, расстояние между которыми 696 км, одновременно навстречу друг другу выехали автомобилист и мотоциклист. Скорость автомобиля равна 98 км/ч, а скорость мотоцикла равна 76 км/ч. Узнай, через какое время после начала движения автомобилист и мотоциклист могут встретиться?
2. Через какое время после начала движения автомобилист и мотоциклист могут встретиться?
696 км:174 км/ч=4 ч.
Правильный ответ: автомобилист и мотоциклист могут встретиться через 4 часа после начала движения.
Задача #10. Летом Наташа отдыхала на даче и помогала родителям ухаживать за участком. В подарок своей подруге она привезла в город варенье. Клубничного варенья было 750 г, вишнёвого — в 2 раза больше, а варенья из сливы — на 350 г больше, чем клубничного. Найди массу варенья, которое Наташа привезла в подарок.
2. Какова масса варенья из сливы?
750+350 = 1100 г.
3. Какова масса варенья, которое Наташа привезла в подарок?
750+1500+1100 = 3350 г.
Правильный ответ: масса варенья, которое Наташа привезла в подарок — 3350 г.
Задача #11. Двигаясь против течения реки, теплоход за 3 ч. прошёл расстояние в 69 км. Вычисли скорость течения реки, если собственная скорость теплохода — 28 км/ч.
1. какова скорость теплохода против течения реки?
69:3=23 км/ч.
2. Какова скорость течения реки?
28−23=5 км/ч.
Правильный ответ: скорость течения реки равна 5 км/ч.
Задача #12. Работая один, насос может откачать 1512 л воды за 72 ч., а работая вместе с другим насосом — за 18 ч.
За какое время может откачать это количество воды второй насос?
2. Сколько литров воды могут откачать два насоса, работая совместно, за один час?
1512:18=84 л.
3. Сколько литров воды может откачать второй насос, работая один, за один час?
84−21 = 63 л.
4. За какое время может откачать это количество воды второй насос?
1512:63=24 ч.
Правильный ответ: второй насос может откачать это количество воды за 24 ч.
Источник
Решение текстовых задач арифметическим способом
Разделы: Математика
Обучение решению текстовых задач играет важную роль в формировании математических знаний. Текстовые задачи дают большой простор для развития мышления учащихся. Обучение решению задач – это не только обучение технике получения правильных ответов в некоторых типичных ситуациях, сколько обучение творческому подходу к поиску решения, накопление опыта мыслительной деятельности и демонстрация учащимися возможностей математики в решении разнообразных задач. Однако при решении текстовых задач в 5-6 классах чаще всего используется уравнение. Но мышление пятиклассников еще не готово к формальным процедурам, выполняемым при решении уравнений. Арифметический способ решения задач имеют ряд преимуществ по сравнению с алгебраическим потому, что результат каждого шага по действиям нагляднее и конкретнее, не выходит за рамки опыта пятиклассников. Школьники лучше и быстрее решают задачи по действиям, чем с помощью уравнений. Детское мышление конкретно, и развивать его надо на конкретных предметах и величинах, затем постепенно переходить к оперированию абстрактными образами.
Работа над задачей предусматривает внимательное прочтение текста условия, вникания в смысл каждого слова. Приведу примеры задач, которые легко и просто можно решить арифметическим способом.
Задача 1. Для приготовления варенья на две части малины берут три части сахара. Сколько килограммов сахара нужно взять на 2 кг 600 г малины?
При решении задачи на “части” надо приучить наглядно представлять условие задачи, т.е. лучше опираться на рисунок.
- 2600:2=1300 (г) — приходится на одну часть варенья;
- 1300*3= 3900 (г) — сахара нужно взять.
Задача 2. На первой полке стояло в 3 раза больше книг, чем на второй. На двух полках вместе стояло 120 книг. Сколько книг стояло на каждой полке?
1) 1+3=4 (части) — приходится на все книги;
2) 120:4=30 (книг) — приходится на одну часть ( книги на второй полке);
3) 30*3=90 (книг)- стояло на первой полке.
Задача 3. В клетке сидят фазаны и кролики. Всего в ней 27 голов и 74 ноги. Узнать число фазанов и число кроликов в клетке.
Представим, что на крышку клетки, в которой сидят фазаны и кролики, мы положили морковку. Тогда все кролики встанут на задние лапки, чтобы дотянуться до нее. Тогда:
- 27*2=54 (ноги) — будут стоять на полу;
- 74-54=20 (ног) — будут наверху;
- 20:2=10 (кроликов);
- 27-10=17 (фазанов).
Задача 4. В нашем классе 30 учащихся. На экскурсию в музей ходили 23 человека, а в кино – 21, а 5 человек не ходили ни на экскурсию, ни в кино. Сколько человек ходили и на экскурсию, и в кино?
Для анализа условия и выбора плана решения можно использовать “круги Эйлера”.
- 30-5=25 (человек) – ходили или в кино, или на экскурсию,
- 25-23=2 (человек) – ходили только в кино;
- 21-2=19 ( человек) – ходили и в кино, и на экскурсию.
Задача 5. Три утенка и четыре гусенка весят 2 кг 500 г, а четыре утенка и три гусенка весят 2кг 400г. Сколько весит один гусенок?
- 2500+2400=2900 (г) – весят семь утят и семь гусят;
- 4900:7=700 (г) – вес одного утенка и одного гусенка;
- 700*3=2100 (г) – вес 3 утят и 3 гусят;
- 2500-2100=400 (г) – вес гусенка.
Задача 6. Для детского сада купили 20 пирамид: больших и маленьких – по 7 и по 5 колец. У всех пирамид 128 колец. Сколько было больших пирамид?
Представим, что со всех больших пирамид мы сняли по два кольца. Тогда:
1) 20*5=100 (колец) – осталось;
2) 128-100-28 (колец) – мы сняли;
3) 28:2=14 (больших пирамид).
Задача 7. Арбуз массой 20кг содержал 99% воды. Когда он немного усох, содержание воды в нем уменьшилось до 98%. Определите массу арбуза.
Для удобства решение будет сопровождаться иллюстрацией прямоугольников.
| 99% вода | 1% сухое вещество |
| 98% вода | 2% сухое вещество |
При этом желательно рисовать прямоугольники “сухого вещества” равными, потому что масса “сухого вещества” в арбузе остается неизменной.
1) 20:100=0,2 (кг) – масса “сухого вещества”;
2) 0,2:2=0,1 (кг) – приходится на 1% усохшего арбуза;
3) 0,1*100=10 (кг) – масса арбуза.
Задача 8. Гости спросили: сколько лет исполнилось каждой из трех сестер? Вера ответила, что ей и Наде вместе 28 лет, Наде и Любе вместе 23 года, а всем троим 38 лет. Сколько лет каждой из сестер?
- 38-28=10 (лет) – Любе;
- 23-10=13 (лет) – Наде;
- 28-13=15 (лет) – Вере.
Арифметический способ решения текстовых задач учит ребенка действовать осознанно, логически правильно, потому что при решении таким способом усиливается внимание к вопросу “почему” и имеется большой развивающий потенциал. Это способствует развитию учащихся, формированию у них интереса к решению задач и к самой науке математике.
Чтобы сделать обучение посильным, увлекательным и поучительным, надо очень внимательно отнестись к выбору текстовых задач, рассматривать различные способы их решения, выбирая оптимальные из них, развивать логическое мышление, что в дальнейшем необходимо при решении геометрических задач.
Научиться решать задачи школьники смогут, лишь решая их. “Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а, если хотите научиться решать задачи, то решайте их”,- пишет Д.Пойа в книге “ Математическое открытие”.
Источник
Обобщение опыта. Текстовые задачи в школьном курсе математики. Арифметические способы решения задач.
Текстовые задачи в школьном курсе математики.
Арифметические способы решения задач.
Солдатова Светлана Анатольевна
учитель математики первой категории
МОУ Угличский физико-математический лицей
«…пока мы стараемся увязывать обучение математике с жизнью, нам будет трудно обойтись без текстовых задач – традиционного для отечественной методики средства обучения математике».
С термином «задача» мы постоянно сталкиваются в повседневной жизни. Каждый из нас решает те или иные проблемы, которые мы называем задачами. В широком смысле слова под задачей понимается некоторая ситуация, требующая исследования и решения человеком .
Задачи, в которых объекты — математические (доказательство теорем, вычислительные упражнения, свойства и признаки изучаемого математического понятия, геометрической фигуры), часто называют математическими задачами . Математические задачи, в которых есть хотя бы один объект, являющийся реальным предметом, принято называть текстовыми. В начальном обучении математике велика роль текстовых задач.
Решая текстовые задачи, учащиеся приобретают новые математические знания, готовятся к практической деятельности. Задачи способствуют развитию их логического мышления.
Существуют различные методы решения текстовых задач: арифметический, алгебраический, геометрический, логический, практический и т. д. В основе каждого метода лежат различные виды математических моделей. Например, при алгебраическом методе решения задачи составляются уравнения или неравенства, при геометрическом — строятся диаграммы или графики. Решение задачи логическим методом начинается с составления алгоритма.
Следует иметь в виду, что практически каждая задача в рамках выбранного метода допускает решение с помощью различных моделей. Так, используя алгебраический метод, ответ на требование одной и той же задачи можно получить, составив и решив совершенно разные уравнения, используя логический метод — построив разные алгоритмы. Ясно, что в этих случаях мы так же имеем дело с различными методами решения конкретной задачи, которые называю способы решения.
Решить задачу арифметическим методом — значит найти ответ на требование задачи посредством выполнения арифметических действий над числами. Одну и ту де задачу во многих случаях можно решить различными арифметическими способами. Задача считается решенной различными способами, если ее решения отличаются связями между данными и искомыми, положенными в основу решений, или последовательностью этих связей.
В традиционном российском школьном обучении математике текстовые задачи всегда занимали особое место. С одной стороны, практика применения текстовых задач в процессе обучения во всех цивилизованных государствах идет от глиняных табличек Древнего Вавилона и других древних письменных источников, то есть имеет родственные корни. С другой — пристальное внимание обучающих к текстовым задам, которое было характерно для России, — почти исключительно российский феномен.
Одной из причин большого внимания к задачам заключается в том, что исторически долгое время целью обучения детей арифметике было освоением ими определенным кругом вычислительных умений, связанных с практическими расчетами. При этом основная линия арифметики — линия числа — еще не была разработана, а обучение вычислениям велось через задачи.
Вторая причина повышенного внимания к использованию текстовых задач в России заключается в том, что в России не только переняли и развили старинный способ передачи с помощью текстовых задач математических знаний и приемов рассуждений, но и научились формировать с помощью задач важные общеучебные умения, связанные с анализом текста, выделением условий задачи и вопроса, составлением плана решения, постановкой вопроса и поиском условий, из которых можно получить на него ответ проверкой полученного результата.
К середине 50-х годов XX в. текстовые задачи были хорошо систематизированы, сложилась развитая типология задач, включавшая задачи на части, на нахождение двух чисел по их сумме и разности, по их отношению и сумме (разности), на дроби, на проценты, на совместную работу, на растворы и сплавы, на прямую и обратную пропорциональность и т. д.
К этому времени была хорошо разработана методика их применения в учебном процессе, но при проведении реформы математического образования конца 60-х годов отношение к ним изменилось. Пересматривая роль и место арифметики в системе школьных предметов, стремясь повысить научность изложения математики за счет более раннего введения уравнений и функций, математики и методисты-математики посчитали, что на обучение арифметическим способам решения задач тратится слишком много времени.
А ведь именно текстовые задачи и арифметические способы их решения готовят ребенка к овладению алгеброй. А когда это произойдет, то алгебра научит более простым, чем арифметические, способам решения некоторых (но не всех!) задач. Другие же арифметические способы решения так и останутся в активном багаже ученика. Например, если ученика учили делить число в данном отношении, то он и в старших классах не будет делить число 15 в отношении 2:3 с помощью уравнения, он выполнит арифметические действия:
1) 
,
2) 
,
Хочу отметить, что я являюсь представителем именно того поколения школьников, которые были участниками вышеуказанной реформы. Я пошла в школу в 1968 году, и мой учебник в первом классе назывался «Арифметика». Оказывается, мы были последние, кто по нему учился. Во втором классе для меня было удивительным и необычным то, что предмет, а соответственно и учебник, моих подружек-первоклассниц назывался «математика». В третьем классе и мы уже учились по «математике». В среднем звене, а соответственно в старших классах, основным способом решения текстовых задач являлся алгебраический. Влияние реформы конца 60-х я ощущаю по сей день, т.к. у родителей, принимающих участие в учебном процессе детей, в силу того, что у них выработался определённый стереотип, сформировалось мнение, что задачи нужно решать именно с помощью уравнений. Мамы и папы, не зная других приёмов, настойчиво пытаются дома объяснить по-своему, что не всегда приносит пользу, даже порой только усложняет работу учителя.
Ни в коем случае нельзя умалять ценность алгебраического способа решения задач, который является универсальным и порой единственным при решении более сложных задач. К тому же, довольно часто именно уравнение даёт подсказку для нахождения способа решения по действиям. Но практика показала, что раннее применение этого перспективного, с точки зрения дальнейшего использования в обучении, способа решения задач без достаточной подготовки малоэффективно.
В 5-6 классах арифметическому способу решения текстовых задач необходимо уделять максимальное внимания и не торопиться переходить к решению задач с помощью уравнения. Как только ученик научился алгебраическому способу, его практически невозможно вернуть к «решению по действиям». Составив уравнение, главное – правильно его решить, не допустить вычислительной ошибки. И совсем не нужно задумываться над тем, какие производятся арифметические действия по ходу решения, что находится в результате каждого действия. А если проследить по шагам решение уравнения, мы увидим те же действия, что в арифметическом способе.
Очень часто можно видеть, что ребенок не готов к решению задачи алгебраическим способом, когда вводится абстрактная переменную и появляется фраза «пусть икс…». Откуда взялся этот «икс», какие слова надо рядом с ним написать – на данном этапе ученику непонятно. И происходит это потому, что у детей такого возраста развито наглядно-образное мышление. А уравнение — абстрактная модель. Да и инструменты для решения уравнений у детей пятого, начала шестого класса отсутствуют. Исторически люди пришли к применению уравнений, обобщая решения задач, в которых приходилось оперировать такими понятиями как «часть», «куча» и т.п. Ребенок должен пройти тот же путь!
Для успешной работы важно, чтобы учитель имел глубокое представление о текстовой задаче, о ее структуре, умел решать такие задачи различными способами.
Много лет назад у меня в руках оказалось уже давно выпущенное пособие для учителей 5-8 классов (в современной школе – 5-9 классов) «Сборник московских математических олимпиад (с решениями)» 1967 г.в., автор которого — Галина Ивановна Зубелевич. Подавляющее большинство задач в нем решено арифметически, что меня очень заинтересовало. Позднее моё внимание привлекли два учебных пособия «Арифметика,6» , и «Арифметика,6» автор А.В. Шевкин, и пособие для учителя «Обучение решению текстовых задач в 5-6 классах» того же автора. Эти источники стали для меня началом работы над данной темой. Предложенные идеи мне показались очень актуальными и созвучными с моим пониманием заявленной темы, а именно:
1) отказ от использования уравнений на ранней стадии обучения и возвращение к более широкому применению арифметических способов решения задач;
2) более широкое использование «исторических» задач и Старинных способов их решения;
3) отказ от хаотичного предложения учащимся задач на разные темы и рассмотрение цепочки задач от самых простых, доступных всем учащимся, до сложных и очень сложных.
Типы текстовых задач по способу решения.
Текстовые задачи можно условно разделить на арифметические и алгебраические. Данное разделение обусловлено выбором способа решения, более характерного (рационального) для той или иной задачи.
Арифметические задачи таят в себе огромные возможности для того, чтобы научить школьников самостоятельно думать, анализируя неочевидные жизненные ситуации. Арифметика — самый короткий путь к пониманию природы, так как имеет дело с самыми простыми, самыми фундаментальными, экспериментальными фактами (например, что пересчёт
камней «по строкам» и «по столбцам» всегда приводит к одному
Рассмотрим некоторые виды задач.
«Куплено на одинаковую сумму два сорта товара, первого сорта вдвое меньше, чем второго. Их смешали и продали половину смеси по цене высшего, остальное — по цене низшего сорта. Сколько процентов прибыли или убытка получено при продаже?»
Это, по существу, типичная задача, решающаяся введением произвольных единиц меры. Однако и при этом условии необходимое для решения оперирование неизвестными величинами носит здесь отчётливо выраженный алгебраический характер. Наряду с этим часто встречаются задачи, в которых, наоборот, арифметический путь решения значительно проще алгебраического. Это может зависеть от двух причин. В одних случаях переход от известного к неизвестному настолько прост, что составление уравнений (переход от неизвестного к известному) внесло бы ненужную громоздкость, замедляющую процесс решения. Такова, например, следующая задача:
«Однажды Черт предложил Бездельнику заработать. — Как только ты перейдёшь через этот мост, — сказал он – деньги удвоятся. Можешь переходить по нему сколько хочешь раз, но после каждого перехода отдавай мне за это 24 копейки. Бездельник согласился и … после третьего перехода остался без гроша. Сколько денег было у него сначала?»
Вторая — классическая задача, интересная парадоксальностью формулировки условия. Этапы «синтетического» решения развёртываются в ней, как и в предыдущей задаче, в порядке, противоположном ходу описанных событий.
«Торговка яйцами продала первому покупателю половину всего числа имевшихся в её корзине яиц и ещё пол-яйца; второму покупателю — половину остатка и ещё пол-яйца, третьему — половину остатка и ещё пол-яйца, после чего у неё ничего не осталось. Сколько яиц было в корзине в начале?»
В других случаях составление уравнения требует проведения такого рассуждения, которое само по себе достаточно для достижения цели. Это—арифметические задачи в полном смысле этого слова: алгебраическое их решение не легче, а труднее и обычно сопряжено с введением лишних неизвестных, которые потом приходится исключать, и т.п.
Так, если, например, в задаче «Таня сказала: у меня на 3 брата больше, чем сестёр. На сколько в Таниной семье братьев больше, чем сестёр?» обозначить число братьев через x, число сестёр через y, то уравнение будет x − (y − 1) = 3, но если мы уже догадались, что надо написать y−1 (сестра сама себя не считала), то и так ясно, что братьев не на 3, а только на 2 больше, чем сестёр.
Приведём ещё несколько примеров.
«Я грёб вверх по течению и, проезжая под мостом, потерял шляпу. Через 10 мин я это заметил и, повернув и гребя с той же силой, нагнал шляпу в 1 км ниже моста. Какова скорость течения реки?»
Решение: 1 
(60:(10+10))=3(км/ч)
«К моему приезду на станцию за мной обычно высылали машину. Приехав однажды на час раньше, я пошёл пешком и, встретив посланную за мной машину, прибыл с ней на место на 10 мин раньше обычного срока. Во сколько раз машина идёт быстрее, чем я пешком?»
Рассмотрим решение данной задачи по действиям:
1) 10:2=5 (мин) – время, которое оставалось машине для приезда на станцию в срок от места встречи.
2) 60-5=55 (мин) — время, которое затратил пешеход на то же расстояние.
3) 55:5=11(раз) машина едет быстрее.
«Чтобы проплыть некоторое расстояние по течению на лодке, требуется времени втрое меньше, чем против течения. Во сколько раз скорость движения лодки больше скорости течения?»
В этой задаче надо догадаться перейти от времени к расстояниям.
Это очень хорошие арифметические задачи: они требуют ясного представления о соответствующей конкретной ситуации, а не действий по заученным формальным образцам.
Вот ещё пример арифметической задачи, для решения которой не надо производить никаких «действий»:
« Какой-то озорник из бутылки с дегтем перелил ложку дегтя в банку с медом. Перемешал тщательно, а затем такую же ложку смеси перелил из банки в бутылку с дегтем. Затем он проделал это ещё раз. Чего получилось больше: меда в бутылке с дегтем или дегтя в банке с медом? »
Для решения задачи достаточно задать себе вопрос: куда девался из бутылки дёготь, который был вытеснен мёдом?
Это не алгебра, не приведение подобных членов и не «перенесение из одной части в другую с обратным знаком». Это как раз та логика, связанная с воображаемыми, но имеющими в области изучаемых величин вполне реальное значение операциями, развитие и совершенствование которой входит в прямые задачи арифметики.
Разграничения между арифметическими и алгебраическими по своему характеру задачами являются как бы несколько размытыми, так как они зависят от количественных признаков, в оценке которых можно расходиться, подобно тому как нельзя провести грань между «несколькими зёрнами» и «кучей зёрен».
Остановимся подробнее на видах текстовых задач и способах их решения. Рассмотрим те задачи, которые многие склонны решать с помощью уравнений, а они при этом имеют простые и порой очень красивые решения по действиям.
1. Нахождение задач по их кратному отношению и сумме или разности ( на «части»).
Знакомство с такими задачами надо начинать с тех, где речь идёт о частях в чистом виде. При их решении создаётся основа для решения задач на нахождение двух чисел по их отношению и сумме (разности). Учащиеся должны научиться принимать подходящую величину за 1 часть, определять, сколько таких частей приходиться на другую величину, на их сумму (разность).
а) Для варенья на 2 части клубники берут 3 части сахара. Сколько сахара нужно взять на 3 кг клубники?
б) Купили 2700 г сухофруктов. Яблоки составляют 4 части, груши – 3 части, сливы – 2 части. Сколько граммов яблок, груш и слив в отдельности?
в) Девочка прочитала в 3 раза меньше страниц, чем ей осталось. Сколько страниц в книге, если она прочитала на 42 страницы меньше?
Решение данной задачи желательно начинать с чертежа:
1) 
– приходиться на 42 страницы.
2) 
– 1 часть, или столько страниц прочитала девочка.
3) 
– в книге.
В дальнейшем ученики смогут решать и более сложные задачи.
в) Задача С.А. Рачинского. Я провел год в Москве, в деревне и в дороге — и притом в Москве в 8 раз больше времени, чем в дороге, а в деревне в 8 раз более, чем в Москве. Сколько дней я провел в дороге, в Москве и в деревне?
г) При уборке урожая в совхозе ученики собрали помидоров в 2 раза больше, чем огурцов, и в 3 раза меньше, чем картофеля. Сколько овощей в отдельности собрали ученики, если картофеля было собрано на 200 кг больше, чем помидоров?
д) Говорит дед внукам: «Вот вам 130 орехов. Разделите их на 2 части так, чтобы меньшая часть, увеличенная в 4 раза, равнялась бы большей части, уменьшенной в 3 раза».
е) Сумма двух чисел 37,75. Если первое слагаемое увеличить в 5 раз, а второе слагаемое – в 3 раза, то новая сумма окажется равной 154,25. Найти эти числа.
Задачи на делении числа в данном отношении относятся к данному типу.
2. Нахождение двух чисел по их сумме и разности.
а) В двух пачках 50 тетрадей, причём в первой пачке на 8 тетрадей больше. Сколько тетрадей в каждой пачке?
Решение задач такого вида я обязательно начинаю с чертежа. Затем предлагаю уравнять величины. Ребята предлагают два способа: убрать из первой пачки или добавить во вторую. Так определяются основные два способа: через удвоенное меньшее число или удвоенное большее число.
Когда эти способы будут отработаны, уместно показать «старинный» способ решения задач такого вида. После вопроса «Каким образом можно уравнять стопки тетрадей, и при этом общее количество тетрадей не изменилось?» учащиеся догадываются, как это сделать, и делают вывод: чтобы найти меньшее число, надо из полусуммы вычесть полуразность, а, чтобы найти большее число, надо к полусумме прибавить полуразность. Сильные учащиеся могут обосновать этот способ с помощью преобразования буквенных выражений:
, 
С применением данного способа следующая задача решается в одно действие:
б) Среднее арифметическое двух чисел равно 3, а их полуразность равна 1. Какова величина меньшего числа?
– меньшее число.
Приём уравнивания применим и в задаче:
в) 8 телят и 5 овец съели 835 кг корма. За это время каждому телёнку дали на 28 кг корма больше, чем овце. Сколько корма съел каждый телёнок и каждая овца?
3. Задачи на «предположение».
Задачи такого типа связаны с предполагаемыми действиями с предметами и величинами. В традиционной методике задачи такого типа имели и другие названия по наиболее известным задачам: на «синее и красное сукно», на «смешение ΙΙ рода». Думаю, что самой известной среди задач на «предположение» является старинная китайская задача.
а) В клетке сидят фазаны и кролики. Известно, что у них 35 голов и 94 ноги. Узнать число фазанов и число кроликов.
— Представьте, что в клетке сидят только фазаны. Сколько у них ног?
— Почему ног меньше? (Не все фазаны, среди них есть кролики). На сколько ног больше?
— Если одного фазана заменить на кролика, то на сколько увеличится число ног? (На 2)
Можно выбрать другой способ, представив, что все кролики.
Очень интересно другое рассуждение, данное старыми мастерами методики математики и вызывающее у детей большой интерес.
— Представим, что на верх клетки, в которой сидят фазаны и кролики, мы положили морковку. Все кролики встанут на задние лапки, чтобы дотянуться до морковки. Сколько ног в этот момент будет стоять на земле?
2·35= 70(н.)
— Но в условии задачи даны 94 ноги, где же остальные?
— Остальные не посчитаны — это передние лапы кроликов.
Усвоив алгоритм рассуждения, ребята легко решают и следующие задачи:
б) Смешали 135 фунтов чая двух сортов общей стоимостью 540р. Сколько фунтов того и другого сорта в отдельности взяли, если фунт первого сорта стоил 5р., а фунт второго сорта стоил 3р.?
в) На 94р. купили 35 аршин синего и красного сукна. За аршин синего сукна платили по 2р., а за аршин красного сукна платили по 4р. Сколько аршин того и другого сукна в отдельности купили?
г) Хозяин купил 112 баранов старых и молодых и заплатил 49р. 20 алтын. За старого барана он платил по 15 алтын и по 4 полушки, а за молодого барана по 10 алтын. Сколько и каких баранов было куплено? Алтын – 3 копейки, полушка – четверть копейки.
Интересной мне показалась задача из статьи И.В. Арнольда «Принципы отбора и составления арифметических задач» (1946г.) про вагоны:
д) «Проезжая мимо станции, я заметил стоящий на станции товарный поезд из 31 вагона и услышал разговор смазчика со сцепщиком. Первый сказал: „105 осей всего пришлось проверить“. Второй заметил, что в составе много четырёхосных вагонов—втрое больше, чем двухосных, остальные трёхосные. На следующем перегоне я захотел, от нечего делать, подсчитать, сколько каких вагонов было в этом составе. Как это сделать?»
Арифметическое решение — проще алгебраического и требует отчётливого представления о том, что двухосные и четырёхосные входят в состав (в количественном отношении) определенными группами (по 4 вагона). Воображаемая «замена» всех вагонов трёхосными— обычный и уже хорошо знакомый учащимся приём.
Вспомогательным средством может служить графическое линейное отображение условий задачи.
4. Задачи на движение.
Данные задачи являются традиционно трудными. У учащихся должны быть хорошо сформированы такие понятия как скорость сближения и скорость удаления. Когда ученики научатся решать такие задачи с помощью уравнения, им будет гораздо проще добраться до ответа. Но легче — не значит полезнее. Много лет назад один мой ученик, довольно-таки сильный в математике, на уроке увлечённо искал арифметический способ решения задачи, в то время, когда весь класс её решил с помощью уравнения. Я хорошо запомнила его слова, очень мне понятные: «А мне не интересно уравнением».
Приведу условия и решение нескольких задач.
а) Старинная задача. Из Москвы в Тверь вышли одновременно два поезда. Первый проходил в час 39 вёрст и прибыл в Тверь двумя часами раньше второго, который проходил в час 26 вёрст. Сколько вёрст от Москвы до Твери?
1) 
на столько отстал второй поезд.
2) 
– скорость удаления.
3) 
был в пути первый поезд.
4) 
расстояние от Москвы до Твери .
б) Два самолёта вылетели одновременно из Москвы в одном и том же направлении: один – со скоростью 350 км/ч, другой – со скоростью 280 км/ч. Через два часа первый уменьшил скорость до 230 км/ч. На каком расстоянии от Москвы второй самолёт догонит первый?
1) 
скорость удаления.
2) 
– на столько отстал второй самолёт.
3) 
скорость сближения.
4) 
столько времени потребуется, чтобы второй самолёт догнал первый.
5) 
(км) – на таком расстоянии до Москвы второй самолёт догонит первый.
в) Из двух городов, расстояние между которыми 560 км, вышли два автомобиля навстречу друг другу и встретились через 4 часа. Если скорость первого автомобиля уменьшить на 15%, а скорость второго увеличить на 20%, то встреча произойдёт тоже через 4 ч. Найти скорость каждого автомобиля.
Примем за 100% или за 1 скорость первого автомобиля.
1) 
скорость сближения.
2) 
– составляет скорость второго от скорости первого.
3) 
приходится на скорость сближения.
4) 
скорость первого автомобиля.
5) 
скорость второго автомобиля .
г) Поезд за четверть минуты проходит мимо телеграфного столба, а за 50 с – мост длиною 0,7 км. Вычислить среднюю скорость движения поезда и его длину.
Решение: При решении данной задачи учащиеся должны понять, что, пройти мост – пройти путь, равный длине моста и длине состава, пройти мимо телеграфного столба – пройти путь, равный длине состава.
1) 
поезд проходит путь, равный длине моста.
2) 
– скорость поезда.
3) 
длина поезда.
д) На прохождение пути между двумя пристанями пароходу необходимо на 40 мин больше, чем катеру. Скорость катера 40 км/ч, а парохода – 30 км/ч. Найти расстояние между пристанями.
Решение: 40 мин 
ч
1) 
отставание парохода.
2) 
– скорость удаления
2) 
– был в пути катер.
3) 
расстояние между пристанями.
Это лишь несколько задач на движения из их огромного многообразия. На их примере я хотела показать, как можно обойтись без уравнений, пока умения их решать у учащихся не сформированы. Естественно, такие задачи под силу сильным ученикам, но это большая возможность для их математического развития.
5. Задачи на «бассейны».
Это ещё один тип задач, вызывающий и интерес, и трудности у детей. Его можно назвать и задачами на совместную работу, к ним относится и часть задач на движение.
Название данного типа даёт не без известная старинная задача:
а) В городе Афинах был водоём, в который проведены 3 трубы. Одна из труб может наполнить бассейн в 1ч, другая, более тонкая, в 2 ч, третья, ещё более тонкая, в 3ч. Итак, узнай, за какую часть часа все три трубы вместе наполнят бассейн?
1) 
(в./ч) – скорость заполнения через ΙΙ трубу трубу.
2) 
(в./ч) – скорость заполнения через ΙΙΙ трубу.
3) 
(в./ч) – общая скорость.
4) 
(ч) – заполнят водоём 3 трубы.
Можно предложить детям ещё одно интересное решение:
За 6 часов через Ι трубу заполняется 6 водоёмов, через ΙΙ трубу – 3 водоёма, через ΙΙΙ трубу – 2 водоёма. Все трубы за 6 ч заполнят 11 водоёмов, соответственно на заполнение одного водоёма потребуется 
ч.
Аналогичное решение имеет следующая задача:
б) Лев съел овцу одни часом, а волк съел овцу за два часа, а пёс съел овцу в три часа. Сколько бы они скоро, все три – лев, волк и пёс – ту овцу съели, сочти. (Математические рукописи 17 века).
в) Один человек выпьет кадь пития за 14 дней, а со женою выпьет туже кадь за 10 дней, и ведательно есть, в колико дней жена его особо выпьет ту же кадь. (из «Арифметики» Магницкого)
1) 
(ч) – выпивают в день вместе.
) 
(ч) – выпивает в день муж.
3) 
(ч) – выпивает в день жена.
4) 
(д.) – потребуется жене, чтобы выпить кадь пития.
г) Старинная задача. Дикая утка от южного моря до северного моря летит 7 дней. Дикий гусь от северного моря до южного моря летит 9 дней. Теперь дикая утка и дикий гусь вылетают одновременно. Через сколько дней они встретятся? (решение аналогичное)
д) Из пунктов А и В одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. Они встретились через 40 мин после выхода, а через 32 мин после встречи первый пришёл в В. Через сколько часов после выхода из В второй пришёл в А?
1) 
(пути/ мин) – скорость сближения.
) 
(пути/ мин) – скорость первого пешехода.
3) 
(пути/ мин) – скорость второго пешехода.
4) 
(мин) – был в пути второй пешеход.
90 мин 
1,5 ч
е) Теплоход из Нижнего Новгорода в Астрахань плывёт 5 суток, а обратно 7 суток. За сколько суток из Нижнего Новгорода в Астрахань приплывут плоты?
1) 
(пути/ сутки) – скорость по течению.
) 
(пути/ сутки) – скорость против течения.
3) 
(пути/ сутки) – удвоенная скорость течения.
4) 
(пути/ сутки) – скорость течения.
5) ( суток) – будут плыть плоты.
ж) Одна бригада могла бы разгрузить баржу за 6 ч, а вторая бригада – за 4 ч. За сколько часов была бы разгружена баржа, если бы сначала в течение 2 ч работала только одна первая бригада, а затем ей на помощь пришла вторая бригада?
1) 
(баржи/ ч) – производительность Ι бригады.
) 
(баржи/ ч) – производительность ΙΙ бригады
3) 
(баржи)– разгрузит за 2ч первая бригада.
4) 
(баржи) – останется разгрузить.
5) 
(баржи/ ч) – общая производительность.
6) 
(ч) — будут работать вместе.
7) 
– потребуется для разгрузки баржи.
6. Задача Ньютона.
Особый интерес у ребят вызывает задача о коровах, поедающих траву. Задача впервые была опубликована во «Всеобщей арифметике» И. Ньютона, но с той поры она не утратила своей актуальности и является одной из красивых арифметических задач, которую хотя и можно решить составлением уравнения, но намного красивее – сделать это с помощью последовательных рассуждений. Мне приходилось наблюдать, как над ней ломают голову старшеклассники, вводя несколько переменных, и в то же время легко разбираются в решении пятиклассники, если им подсказать идею решения.
Трава на лугу растёт одинаково густо и быстро. Известно, что 70 коров съели бы всю траву за 24 дня, а 30 коров – за 60 дней. Сколько коров съест всю траву на лугу за 96 дней?
Назовём порцией траву, которую съедает корова за 1 день.
1) 
(п.) – съедят 70 коров.
(п.) — съедят 30 коров.
Уместен вопрос, почему количество порций увеличилось? (Трава подросла)
3) 
(д) – разница в количестве дней.
4) 
(п.) – приросло за 36 дней.
5) 
(д.)
6) 
(п.) – будет съедено за 96 дней.
7) 
(п.) – буде съедено в день, а это и есть количество коров.
В данной работе приведены примеры и разобраны лишь некоторые из огромного количества текстовых задач.
В завершении хотелось бы отметить, что необходимо приветствовать различные способы решения задач. Именно решение задач разными способами – чрезвычайно увлекательное занятие для учащихся различных возрастных групп. Интерес, любопытство, творчество, желание добиться успеха – это привлекательные стороны деятельности. Если ученик справляется с текстовыми задачами на уроках математики, то есть может проследить и пояснить логическую цепочку своего решения, дать характеристику всех величин, то он также успешно может решать задачи по физике и химии, он умеет сравнивать и анализировать, преобразовывать информацию на всех учебных предметах школьного курса.
1. Арнольд И.В. Принципы отбора и составления арифметических задач // Известия АПН РСФСР. 1946. — Вып. 6 — С. 8-28.
2. Зубелевич Г. И. Сборник задач московских математических олимпиад. – М.: Просвещение, 1971.
3. Шевкин А. В. Обучение решению текстовых задач в 5-6 классах. – М.: Галс плюс,1998.
4 . Шевкин А.В. Материалы курса «Текстовые задачи в школьном курсе математики»: Лекции 1-4. – М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2006. 88 с.
Источник
