Способы решения задач треугольника

Решение треугольников онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно решить треугольники, т.е. найти неизвестные элементы (стороны, углы) треугольника. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Решение треугольников − это нахождение всех его элементов (трех сторон и трех углов) по трем известным элементам (сторонам и углам). В статье Треугольники. Признаки равенства треугольников рассматриваются условия, при которых два треугольника оказываются равными друг друга. Как следует из статьи, треугольник однозначно определяется тремя элементами. Это:

1. Три стороны треугольника.
2. Две стороны треугольника и угол между ними.
3. Две стороны и угол противостоящий к одному из этих сторон треугольника.
4. Одна сторона и любые два угла.

Заметим, что если у треугольника известны два угла, то легко найти третий угол, т.к. сумма всех углов треугольника равна 180°.

Решение треугольника по трем сторонам

Пусть известны три стороны треугольника a, b, c (Рис.1). Найдем .

(1)

(2)

Из (1) и (2) находим cosA, cosB и углы A и B (используя калькулятор). Далее, угол C находим из выражения

.

Пример 1. Известны стороны треугольника ABC: Найти (Рис.1).

Решение. Из формул (1) и (2) находим:

.

.

, .

И, наконец, находим угол C:

Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними

Пусть известны стороны треугольника a и b и угол между ними C (Рис.2). Найдем сторону c и углы A и B.

Найдем сторону c используя теорему косинусов:

.

.

Далее, из формулы

.

.

(3)

Далее из (3) с помощью калькулятора находим угол A.

Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:

.

Пример 2. Известны две стороны треугольника ABC: и (Рис.2). Найти сторону c и углы A и B.

Решение. Иcпользуя теорму косинусов найдем сторону c:

,

.

Из формулы (3) найдем cosA:

.

Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:

.

Решение треугольника по стороне и любым двум углам

Пусть известна сторона треугольника a и углы A и B (Рис.4). Найдем стороны b и c и угол C.

Так как, уже известны два угла, то можно найти третий:

.

Далее, для находждения сторон b и c воспользуемся тероемой синусов:

, .

, .

Пример 3. Известна одна сторона треугольника ABC: и углы (Рис.3). Найти стороны b и c и угол С.

Решение. Поскольку известны два угла, то легко можно найти третий угол С:

Найдем сторону b. Из теоремы синусов имеем:

Найдем сторону с. Из теоремы синусов имеем:

Источник

Способы решения задач треугольника

Наглядная геометрия 7 класс. Ключевые задачи по теме Треугольники

Запомните!

1. Признаки равенства треугольников.

• 1-й. По двум сторонам и углу между ними.
• 2-й. По стороне и двум прилежащим к ней углам.
• 3-й. По трем сторонам.

2. Свойство углов равнобедренного треугольника.

Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

3. Обратная теорема.

Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.

4. Свойство биссектрисы равнобедренного треугольника.

Биссектриса, высота и медиана равнобедренного треугольника, проведенные из вершины к основанию, совпадают.

5. Признаки равнобедренного треугольника. Треугольник является равнобедренным, если:

• а) высота является и медианой;
• б) высота является и биссектрисой;
• в) биссектриса является и медианой.

6. Теорема о свойстве точек серединного перпендикуляра.

• Любая точка серединного перпендикуляра равноудалена от концов отрезка.
• Если точка равноудалена от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к нему.

7. Теорема о пересечении серединных перпендикуляров.

Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке — центре описанной около треугольника окружности.

Простые вопросы по теме «Треугольники»

1. В треугольнике провели медиану. Сколько треугольников изображено на рисунке?
2. Если стороны треугольника продлить, то сколько углов всего образуется, не считая развернутых? А считая и развернутые?
3. Верно ли, что биссектриса треугольника лежит на биссектрисе угла?
4. Может ли высота треугольника делить сторону пополам?
5. Может ли биссектриса треугольника быть перпендикулярной стороне треугольника?
6. Верно ли утверждение: «Биссектриса равнобедренного треугольника является высотой и медианой»?
7. Является ли любой равнобедренный треугольник равносторонним?
8. Является ли любой равносторонний треугольник равнобедренным?
9. Может ли биссектриса некоторого равнобедренного треугольника, проведенная к боковой стороне, быть медианой?
10. Может ли высота треугольника быть равна его медиане, проведенной из той же вершины?
11. Может ли биссектриса треугольника быть равна его высоте, проведенной из той же вершины?
12. Существует ли треугольник, периметр которого в 3 раза больше одной из сторон?
13. Если медиана образует равные углы с соседними сторонами треугольника, то какой угол она образует с третьей стороной?
14. Что для студентов означает слово «медиум»?
15. Сколько всего теорем в данной теме?

Непростые вопросы по теме «Треугольники»

16* В треугольнике провели 2 медианы. Сколько треугольников изображено на рисунке?
17* В треугольнике провели 3 медианы. Сколько треугольников изображено на рисунке?
18* Может ли в треугольнике высота являться медианой, но не являться биссектрисой?
19* Как звучит теорема о свойстве углов равнобедренного треугольника в форме «Если …, то …»?
20* Как звучит утверждение, обратное теореме о свойстве углов равнобедренного треугольника, в форме «Если …, то …»?
21* Может ли медиана треугольника равняться соседней стороне?
22* Может ли биссектриса треугольника равняться соседней стороне?
23* Может ли высота треугольника равняться соседней стороне?
24* Может ли серединный перпендикуляр к стороне треугольника иметь общую точку с каждой из двух других сторон?
25* Может ли серединный перпендикуляр к стороне треугольника делить противоположный угол треугольника пополам?

Ответы на простые и непростые вопросы

1. Три. Два маленьких и один данный.
2. 12; 24.
3. Да.
4. Да. В равнобедренном треугольнике.
5. Да. В равнобедренном треугольнике.
6. Нет. Только биссектриса, проведенная из вершины к основанию.
7. Нет.
8. Да.
9. Да. Если треугольник равносторонний.
10. Да. В равнобедренном треугольнике это высота, проведенная к его основанию.
11. Да. В равнобедренном треугольнике это биссектриса, проведенная к его основанию.
12. Да. Например, равносторонний.
13. 90°. Если медиана является биссектрисой, то треугольник равнобедренный и эта медиана является и высотой, проведенной к основанию.
14. Медиум — студенческий праздник, знаменующий середину учебы.
15. Тринадцать теорем, включая задачу о пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

16* 8.
17* 16.
18* Нет. Если высота является медианой, то треугольник равнобедренный и эта высота является и биссектрисой.
19* «Если треугольник равнобедренный, то углы при основании равны». 20* «Если у треугольника два угла равны, то треугольник равнобедренный».
21* Да.
22* Да.
23* Да. В прямоугольном треугольнике.
24* Да. В равнобедренном прямоугольном треугольнике.
25* Да. Если треугольник равнобедренный.

Это конспект по геометрии «Ключевые задачи по теме Треугольники». Выберите дальнейшие действия:

Источник

Методический сборник «Решение треугольников», 9 класс

Методический сборник по геометрии «Решение треугольников», 9 класс

обобщить и систематизировать изученное на предыдущих уроках;

научить учащихся решать задачи на использование теоремы синусов и теоремы косинусов(задачи подобраны для табличных углов);

повторить методы решения прямоугольных треугольников, познакомить учащихся с основными алгоритмами решения произвольных треугольников;

проконтролировать степень усвоения материала; продолжить работу по развитию мыслительной деятельности – выделять главное, ставить и разрешать проблемы, сравнивать и строить аналогии;

способствовать развитию логического мышления учащихся;воспитание интереса к предмету.

Оборудование:- учебник АтанасянаЛ.С «.Геометрия 7-9», классы, издательство Дрофа, Сборник Ершова и Голобородько «Самостоятельные и контрольные работы. Алгебра и геометрия», 9 класс, сборник Алтынов П.И. Тесты. Геометрия 7-9.

Формы организации учебной деятельности: фронтальная, индивидуальная, парная, коллективная.

Методы обучения: словесные, частично-поисковые, практические, наглядные, самостоятельной.

Урок 1 Тема «Синус, косинус и тангенс угла. Площадь треугольника.

1.Актуализация опорных знаний.

Вспомнить определение синуса, косинуса и тангенса угла. Основное тригонометрическое тождество, формулы приведения. Выполнить №1012-1016(1).

2.Формирование новых знаний.

Формулировка и доказательств формулы площади треугольника

3. Закрепление знаний, формирование умений.

Устно. Формулы для вычисления площадей треугольников, значения тригонометрических функций табличных углов.

5.Домашнее задание №1.

Урок 2. Теорема синусов и теорема косинусов.

1.Актуализация опорных знаний.

Устно. Площади треугольник, параллелограмма и ромба. , ,

1человек у доски. Доказать теорему синусов.

2.Формирование новых знаний.

1. Формулировка и доказательство теоремы косинусов.

2.Таблица Брадиса. Знакомство( в дальнейшем будем работать с табличными углами 30,45,60, 120,150 градусов)

3. Закрепление знаний, формирование умений.

Задача. В треугольнике АВС АС=20, угол А равен углу С и равны по 30, угол В равен 120. Найти ВС. Решить задачу двумя способами.

Формулировки теоремы синусов и косинусов, формулы приведения.

5. Домашнее задание №2.

1.В треугольнике АВС АВ= 6см, АС= 8 см, Угол А= 60. Найти S треугольника.

2.Две стороны треугольника равны 7см и см, а угол, противолежащий большей из

них , равен 45.Найти другие углы треугольника.

3.В треугольнике две стороны равны 5 см и 16 см, а угол между ними 120 Найти третью сторону

Урок 3. Решение треугольников.

1.Актуализация опорных знаний.

1)Устно : теоремы и формулы для нахождения площадей фигур.

2) Из домашнего задания задачи 2 и 3 на доске выполняют 2 человека.

2. Закрепление знаний, формирование умений.

Задача 1. В треугольнике АВС угол АВС=120, АВ=6, площадь треугольника равна . Найти ВС.

Задача 2. В параллелограмме АВСД ВС=, угол ВАД=30, ВД=ВС. Найти площадь параллелограмма.

Задача 3. В прямоугольном треугольнике АВС угол С=90, СД – биссектриса, угол А=15, АС=.

Задача 4 Найти сторону треугольника , лежащую против угла в 135, если две другие стороны и 3.

Задача 5 ( дополнительно) В остроугольном треугольнике АВС ВД перпендикулярно АС, уголА=, угол В=, ВД=h. Найти АС.

3.Домашнее задание №3

1.В треугольнике АВС угол А=45, угол С=15, ВС = 4. Найти АС

2. В равнобедренном треугольнике АВС (АВ=ВС) .Угол А = , АС = в, АЕ – биссектриса. Найти АЕ

3. В равнобедренном треугольнике АВС угол при вершине В равен 120, АС = 2.Найти медиану АМ

Урок 4 Решение треугольников.

1.Актуализация опорных знаний.

Проверка дз. Задача 1- 2 человека у доски, задача 2- 1ч по желанию, задача 3 – 1 ч по желанию.

Класс самостоятельно . Задача. В треугольнике АВС угол А=45, угол В=120. Найти АС, если ВС=12.

2.Формирование новых знаний.

3. Закрепление знаний, формирование умений.

Задача 1. В треугольнике АВС АВ=18см, =6.

Найти угол, противолежащий стороне АВ. Сколько решений имеет задача?

Задача 2 № 1031 (а,б)

1.В треугольнике АВС угол А=45, угол В=60. Найти сторону ВС.

2.В параллелограмме АВСД АВ=7, АД=17, угол А=45. Найти сторону АС и площадь параллелограмма.

3. В треугольнике АВС АВ=20, ВС=10, угол В=30. Найти АС, угол А, угол С.

1.В треугольнике АВС угол А=60 АВ=3, ВС=3. Найти угол С.

2.В параллелограмме АВСД АВ=3, АД=11, угол В=150. Найти диагональ ВД и площадь параллелограмма.

3. В треугольнике АВС АС=7, ВС=4, угол С=45. Найти АВ, синус угла А, синус угла В.

5.Домашнее задание №4

2.Диаметр окружности равен 12 см, а сторона вписанного треугольника равна 6см. Найти

угол, противолежащий данной стороне. Сколько решений имеет задача?

3.В параллелограмме стороны равны 4 и 5см, острый угол равен 45. Найти диагонали и площадь параллелограмма

Урок 5. Решение треугольников.

1.Актуализация опорных знаний.

1)Устно. Определение синуса, косинуса, значения тригонометрических функций табличных углов и 120, 135и 150 градусов: нахождение синуса, если дан косинус

2)Из дз № 1031(в)- 1 человек у доски, задача 2-1человек, задача 3 – 1 человек.

3) Класс в это время : Задача В треугольнике АВС угол А=, угол В=, а радиус описанной окружности равен . Найти стороны треугольника и его площадь.

2. Закрепление знаний, формирование умений.

Задача 1. В треугольнике АВМ АВ = 4, ВМ = 8, АМ = 10. С-середина АМ, К – середина ВМ. Найти косинус угла ВСК.

Задача 2. Две стороны треугольника 4 и 7 см, а косинус угла между ними равен . Определить синусы всех углов треугольника и его третью сторону.

3.Домашнее задание №5

1Стороны треугольника равны 7, 37 и 40 см. Найти угол, противолежащий средней стороне треугольника.

2.Решите треугольник АВС, если ВС = 5, АС = 7 см, угол С = 135

Урок 6. Решение треугольников.

1.Проверка опорных знаний. Решение задач 1-6 из теста «Теоремы синусов и теоремы косинусов»( сборник Алтынов П.И. Тесты. Геометрия 7-9 классы, издательство Дрофа)

5.Домашнее задание №6

2. В треугольнике две стороны равны 5 и 12 см, а косинус угла между ними равен . Найти а) третью сторону, б) площадь треугольника, в) синус большего угла , в) радиус описанной около треугольника.

Урок 7. Решение треугольников.

1.Актуализация опорных знаний.

1)Итоги выполнения теста

3) задача 8 из теста 1 варианта. АВСД – трапеция(смотри рисунок). АВ = 4 см, ВС=2см, угол В=120, диагональ АС перпендикулярна СД. Найти основание АД.

2. Проверка опорных знаний .Самостоятельная работа. Сборник Ершова и Голобородько,С-6. Теорема о площади треугольника. Теорема синусов.( 2 задачи).

2. Домашнее задание №7

1. В треугольнике АВС АС = 5, ВС = 6, cosC =. Найти площадь треугольника, сторону АВ, синус меньшего угла и радиус описанной окружности.

Урок 8. Решение треугольников.

1.Актуализация опорных знаний.

1) выборочная проверка дз

2) устно :формулы для нахождения площадей, теоремы синусов и косинусов, как найти R , диагонали в параллелограмме, если известны стороны и угол

2. Закрепление знаний и умений.

Задача 1 Две стороны треугольника 3 и 7см, а угол, противолежащий большей из них равен 60.Найти третью сторону. Доказать, что угол, противолежащий третьей стороне – тупой.

Задача 2. В параллелограмме биссектриса тупого угла, равного 120, делит сторону параллелограмма на отрезки, равные 15 см и 10 см, начиная от вершины острого угла. Найти биссектрису и большую диагональ параллелограмма.

3. Проверка опорных знаний .Самостоятельная работа СА-7. Теорема косинусов. Решение треугольников.

5. Домашнее задание №8

1. В треугольнике две стороны равны 5 и 7 см, а угол, противолежащий большей из них, равен 60 . Найти третью сторону и доказать, что угол, противолежащий третьей стороне — острый .

2. В параллелограмме биссектриса острого угла , равного 60, делит сторону параллелограмма на

отрезки 25 и 15 см, начиная от вершины тупого угла. Найти биссектрису и меньшую диагональ

Урок 9. Контрольная работа. «Решение треугольников»

1.Диагонали параллелограмма равны 12 см и 20 см, а угол между ними 60. Найти стороны параллелограмма.

2.Дан треугольник АВС, угол А=45, угол В=75, АВ = 2 см. Найти : угол С и сторону ВС.

3. В треугольнике АВС ВА = 6 см, АС = 8 см, а его площадь 12 . Найти синус угла А, градусную меру угла А, если известно, что угол А – тупой.

4. Стороны треугольника 3см, 5 см и 7 см. Найти угол треугольника, противолежащий стороне, равной 7 см.

5.Дополнительно. В прямоугольном треугольнике один из углов равен a . Выразить через и а биссектрису прямого угла треугольника.

1.Стороны параллелограмма равны 10 см и 16 см, а угол между ними 60. Найти диагонали параллелограмма.

2.Дан треугольник АВС, угол С=105, угол В=30, АС = 4 см. Найти : угол А и сторону ВС.

3. В треугольнике КМР КМ = 4 см, МР = 5 см, а его площадь 5 . Найти синус угла М, градусную меру угла М, если известно, что угол М – тупой.

4. Стороны треугольника 3см, 8 см и 7 см. Найти угол треугольника, противолежащий стороне, равной 7 см.

5.Дополнительно. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна с, один из острых углов равен . Выразить через с и биссектрису второго острого угла треугольника.

5. Домашнее задание №9

Задача № 314907 (ОГЭ). Стороны АС, АВ, ВС треугольника АВС равны 3, и 1 соответственно. Точка К расположена вне треугольника АВС, причем отрезок КС пересекает сторону АВ в точке, отличной от В.Известно, что треугольник с вершинами К, А и С подобен исходному. Найдите косинус угла АКС, если угол КАС .

Источник