Способы решения задач теории упругости

Постановка и методы решения задач теории упругости

Обобщенный закон Гука завершает вывод основных уравнений линейной теории упругости. Теперь мы имеем возможность рассмотреть все эти уравнения с точки зрения постановки и решения соответствующей краевой задачи о деформировании твердого тела.

1.6.1. Сводка основных уравнений теории упругости. Классификация граничных задач. Выпишем еще раз основные уравнения, полученные при исследовании статической, геометрической и физической сторон процесса деформирования упругого тела.

уравнения локального равновесия (уравнения Навье см.(1.11)) —

(1.37)

статические граничные условия (1.9) —

(1.38)

соотношения Коши (3.17)—

(1.39)

уравнения совместности деформаций (уравнения Сен-Венана (3.30))

(1.40)

Физические уравнения: обобщенный закон Гука (1.34)

(1.41)

или в обратной форме (1.37)

(1.42)

В рамках линейной теории совокупность уравнений (1.37), (1.41) образует математическую модель упруго деформируемого тела.

Наша ближайшая цель — формулировка краевой задачи. В связи с этим напомним, что под краевой задачей понимается задача отыскания одной или нескольких функций, являющихся решением одного или нескольких дифференциальных (или иных) уравнений (обыкновенных или в частных производных) и удовлетворяющих краевым условиям — условиям на границе области.

В теории упругости (как и в других физических науках) дифференциальные уравнения краевой задачи часто называют разрешающими уравнениями, что объясняется тем, что они получаются в результате преобразования (разрешения) уравнений, составляющих математическую модель процесса деформирования упругого тела, к системе с меньшим числом уравнений. Система разрешающих уравнений краевой задачи выполняется внутри области. Поэтому вывод ее следует проводить с помощью уравнений, справедливых для внутренних точек тела. Таковыми являются (1.37) – (1.41) за исключением уравнений (1.38).

Для деформируемых тел можно ставить два типа краевых (граничных) условий: статические и геометрические. Первые формулируются для напряжений и ими, по существу, являются уравнения (1.38). Что касается геометрических граничных условий, то постановка их сводится к заданию компонент смещения на всей границе тела или же на ее части в зависимости от связей, накладываемых на тело в процессе деформирования.

Пусть — часть поверхности тела, на которой заданы смещения. Тогда геометрические граничные условия имеют вид

(1.43)

где — заданная векторная функция, а — радиус-вектор точек поверхности .

По типу краевых условий, но независимо от вида разрешающих уравнений, в теории упругости различают три граничные задачи.

Первая основная граничная задача формулируется так: по заданным внешним силам найти напряженно-деформированное состояние в теле, если на всей его границе ставятся только статические граничные условия.

Во второй граничной задаче на всей границе тела формулируются только геометрические граничные условия.

В случае третьей основной граничной задачи на поверхности тела задаются граничные условия обоих типов. По этой причине ее часто называют смешанной граничной задачей теории упругости.

Вид разрешающих уравнений зависит от того, какие величины выбраны за основные неизвестные. В связи с этим в теории упругости утвердились три метода решения задач: метод перемещений, метод напряжений и смешанный метод. В первом методе за неизвестные принимаются компоненты перемещения во втором — напряжения. В смешанном методе — как статические, так и геометрические величины.

Остановимся подробно на первых двух методах.

1.6.2. Метод перемещений. Примем за основные неизвестные, описывающие процесс деформирования упругого тела, компоненты перемещения , , . При выводе системы разрешающих уравнений необходимо позаботиться о том, чтобы удовлетворялись все уравнения линейной теории упругости (1.37)-(1.41).

Предположим, что мы получили систему разрешающих уравнений, и нашли ее решение — функции , , . Для вычисления деформаций надо воспользоваться соотношениями Коши. Как отмечалось, при этом уравнения совместности деформаций выполняются сами по себе. Следовательно, разрешающие уравнения метода перемещений должны вытекать из уравнений (1.37), (1.39) и (1.42). Чтобы получить их, необходимо, прежде всего, выразить напряжения и деформации через перемещения.

(1.44)

(1.45)

— дифференциальный оператор Лапласа.

Уравнения (1.44) называются уравнениями Ламе и образуют искомую систему разрешающих уравнений метода перемещений. Они синтезируют в себе статическую, геометрическую и физическую стороны процесса деформирования. Действительно, по своему существу — это уравнения равновесия в перемещениях. Наличие в них упругих постоянных и свидетельствует об их связи с физическими свойствами упругого тела.

Уравнения Ламе совместно с заданными геометрическими граничными условиями (1.43) и статическими условиями на поверхности (1.38), которые, предварительно, следует представить в перемещениях путем подстановки в них уравнений (1.6), образуют краевую задачу метода перемещений. По найденным в результате ее решения перемещениям напряженно-деформированное состояние тела определяется формулами (1.39) и (1.42).

1.6.3. Метод напряжений. Примем теперь за основные неизвестные напряжения , , , , , . Эти шесть величин должны удовлетворять, прежде всего, уравнениям равновесия (1.37). Выше уже отмечалось, что общая задача теории упругости статически неопределима. Это означает, что уравнений равновесия и статических граничных условий недостаточно (даже в случае первой основной задачи) для однозначного определения напряженного состояния в теле.

Обобщенный закон Гука устанавливает однозначную линейную зависимость между напряжениями и деформациями. Но последние должны удовлетворять условиям совместности деформаций. Следовательно, и напряжения должны быть связаны между собой некоторыми соотношениями, гарантирующими выполнение условий (1.40).

Для установления зависимостей между напряжениями достаточно подставить (1.41) в (1.40) и преобразовать последние с учетом уравнений равновесия (1.37).

В результате получим

(1.46)

Здесь, напомним,

Уравнения (1.46) и (1.37) образуют систему разрешающих уравнений метода напряжений. Уравнения (1.46) принято называть тождествами (уравнениями) Бельтрами-Мичелла. Они синтезируют в себе все три стороны процесса деформирования, ибо являются условиями сплошности в напряжениях и получены с учетом уравнений равновесия и обобщенного закона Гука.

Источник

Возможные способы решения задач теории упругости

В общем случае искомыми величинами в задачах теории упру­гости являются функции перемещений, компоненты напряженного и деформированного состояний среды. Следовательно, в каждой точке тела подлежат определению 15 величин: три компоненты смещений — u, v и w; шесть компонент напряжений — s_x , s_y , s_z , t_xy , t_xz и t_yz ; шесть компонент деформаций — e_x , e_y , e_z , g_xy , g_xz , g_yz .

Очевидно, что для решения задачи в общем случае необходимо 15 уравнений, связывающих искомые величины, которые выполня­лись бы не только внутри заданного тела, но и на его границе.

Полученные выражения (10.2), (10.16), (10.18), (10.19) образуют такую систему. Для однозначного решения задачи необходимо задание условий на контуре тела — граничных условий. Эти условия могут быть заданы в виде заранее определенных компонент напря­жений (статические граничные условия) или компонент перемеще­ний (кинематические граничные условия) или же комбинации тех и других (смешанные граничные условия).

Если заданы граничные условия и требуется оценить напря­женно-деформированное состояние заданного тела, то такая задача называется прямой задачей теории упругости. Если же по задан­ным функциям напряженно-деформированное состояния рассмат­риваемого тела требуется найти граничные условия им соответству­ющие, то такая задача называется обратной задачей теории упру­гости.

Решение прямой задачи теории упругости можно вести разны­ми способами. Если в качестве неизвестных принять функции пе­ремещений — u, v и w, то полную система уравнений (10.2), (10.16), (10.18), (10.19) можно свести к следующим трем дифференциаль­ным уравнениям относительно этих функций:

(10.21)

где — оператор Лапласа.

Уравнения (10.21) называются уравнениями Ляме. Граничные условия также необходимо выразить через перемещения. В итоге контурные напряжения запишутся через перемещения в следу­ющем виде:

(10.22)

Если же в качестве неизвестных принять компоненты напря­женного состояния в произвольной точке тела — s_x , s_y , s_z , t_xy , t_xz и t_yz , то к уравнениям равновесия (10.2) нужно присоединить уравнения совместности деформаций (10.17) и закон Гука (10.18-10.19). В результате совместного рассмотрения такой системы диф­ференциальных уравнений получаются так называемые уравнения Бельтрами:

(10.23)

где I₁ — первый инвариант напряженного состояния в точке.

Произвольные постоянные, получаемые в результате интегри­рования уравнений (10.23), находятся при учете граничных усло­вий, выраженных в следующем виде:

где X, Y, Z — компоненты полного напряжения на границе.

Источник