Способы решения задач с окружностью

Как решать задания на окружность?

В этой теме я хотел бы рассказать об основных понятиях, которые необходимо знать при решении заданий на окружность.

Но для начала давайте разберемся с понятиями круг и окружность.

Окружность – линия, каждая точка которой равноудалена от центра.

Круг – часть плоскости, которая лежит внутри окружности.

Другими словами, окружность – это контур круга (то, что мы рисуем циркулем). Круг – та часть листа бумаги, которая остается внутри.

1. Вся окружность составляет 360°.

Это означает, что если окружность разбита на несколько дуг (дуга – часть окружности), то их сумма всегда равна 360°.

Например, в этом задании необходимо найти длину дуги АВ.

Так как сумма всех дуг равна 360°, то АВ + АС + ВС = 360. Причем две из них (АС и ВС) известны. Поэтому мы можем легко найти дугу АВ: 360 – 130 – 115.

2. Площадь круга находится по формуле: S = πr 2 (π = 3.14, r – радиус круга). Радиус – это отрезок, который соединяет центр окружности и точку, лежащую на окружности.

Най­ди­те площадь круга радиусом 4. (В от­ве­те укажите площадь, деленную на π.)

А вот здесь и главная подсказка “деленную на π“. Значит при нахождении площади не нужно подставлять 3,14.

S = π·4 2 = 16π. В ответ запишем только 16.

3. Все радиусы в одной окружности равны. Все диаметры в одной окружности равны.

4. Центральный угол равен дуге, на которую он опирается.

5. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

6. Вписанные углы, которые опираются на одну и ту же дугу равны.

Угол АВС равен углу АМС, так как они опираются на одну дугу АС.

7. Гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром, описанной около него окружности.

Это связано с тем, что угол В = 90°. При этом он является вписанным углом. Вписанный угол в 2 раза меньше дуги АС, на которую он опирается. Поэтому дуга АС = 180°, а это половина окружности. То есть АС – диаметр.

8. Радиус, проведенный из точки касания, всегда лежит под углом 90° к касательной.

Из точки А проведены две касательные к окружности – АВ и АС. Радиус ОВ будет перпендикулярен касательной АВ, а радиус ОС – перпендикулярен касательной АС.

9. Если окружность вписана в некоторый угол х, то центральный угол окружности, который опирается на те же точки находится как 180° – х.

Окружность вписана в угол А = 95°, который касается ее в точках В и С. Центральный угол ВОС будет равен 180 – 95 = 85°.

10. Если окружность вписана в некоторый угол х, то вписанный угол окружности, который опирается на те же точки находится как (180° – х)/2.

Окружность вписана в угол А = 70°, который касается ее в точках В и С. Вписанный угол ВМС будет равен (180 – 70)2 = 55°.

Эти правила помогут Вам решить практически все задания на тему Окружностей.

Источник

Планиметрия (прямая и окружность)

Планиметрия изучется в начальном курсе геометрии и зачастую сводится к решению практических задач без изучения теоретической базы.
В данной статье приводятся альтернативные (подсказкам) решения задач из первого раздела (кроме 1.5) приложения Euclidea (геометрические построения с помощью циркуля и линейки).

Решения задач 1.1, 1.2 и 1.3 основаны на том, что с помощью циркуля и линейки можно построить равносторонний треугольник.

1.1 Построить угол 60° с заданой стороной

1.2 Построить серединный перпендикуляр к отрезку

На данной ограниченной прямой построить равносторонний треугольник

1.3 Середина отрезка

всё, что можно построить с помощью циркуля и линейки, может быть построено с помощью одного циркуля.

Из точки В радиусом АВ описываем окружность.
По этой окружности откладываем от точки А расстояние АВ три раза: получаем точку С, очевидно, диаметрально противоположную А. Расстояние АС представляет собой двойное рассрастояние АВ. Проведя окружность из С радиусом ВС, мы можем таким же образом найти точку,
диаметрально противоположную В и, следовательно, удаленную от А на
тройное расстояние АВ, и т. д.

любое построение, выполнимое на плоскости циркулем и линейкой, можно выполнить одной линейкой, если нарисована хотя бы одна окружность и отмечен её центр.

Проведем прямые PA и PB и отметим точки D и C их пересечения прямой b. Пусть О — точка пересечения прямых AC и BD. Тогда, согласно предыдущей лемме, прямая PO пересечёт отрезок AB в его середине M.

Решением задачи 1.3 по методу Штейнера-Понеселе будет:

1.4 Окружность, вписанная в квадрат

Из точки A, лежащей вне данной полуокружности, опустить на её диаметр перпендикуляр, обходясь при этом без циркуля. Положение центра полуокружности не указано.

Нам пригодится здесь то свойство треугольника, что все его высоты пересекаются в одной точке. Соединим A с B и C; получим точки D и E. Прямые BE и CD, очевидно, — высоты треугольника ABC. Третья высота — искомый перпендикуляр к BC — должна проходить через пересечение двух других, т.е. через точку M. Проведя по линейке прямую через точки A и M, мы выполним требованиек задачи, не прибегая к услугам циркуля.

И опустив перпендикуляр из точки пересечения диагоналей квадрата на ребро, найдём середину ребра.
Это же построение можно использовать для решения задачи 2.9 Окружность, касающаяся прямой

1.6 Найти центр окружности

Плоский угол, опирающийся на диаметр окружности, — прямой.

Определение: касательной к окружности называется прямая, имеющая с окружностью одну общую точку. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

Рассмотрим задачу 2.8
2.8 Касательная к окружности в точке
Возвращаясь к предыдущей задаче, эту задачу можно решить построив угол, опирающийся на диаметр окружности по теореме Фалеса

Далее, построив перпендикуляр к касательной, найдём диаметр окружности, и, разделив его пополам, найдём центр окружности.

Ещё об одном способе построения касательной к окружности можно узнать из лекции 1.5 курса «Геометрия и группы» А. Савватеева ссылка

1.7 Квадрат, вписанный в окружность

Задача Наполеона

Решим задачу методом Мора-Маскерони.
Построим три окружности радиусом r и две окружности радиусом

В приложении нет такой операции, как перенос раствора циркуля (равного MO), поэтому необходимо использовать дополнительные построения.
Для того, чтобы построить касательную к исходной окружности, параллельную МО, необходимо произвести построения, которые были приведены выше (построить три окружности радиусом r и две окружности радиусом ), но вместо исходной окружности взять окружность, обозначенную на рисунке синим цветом

Т.о. мы перенесли раствор циркуля (равный МО) в точку А.
Далее из точки А необходимо провести окружность c радиусом МО

Источник

Методические рекомендации к обучению школьников решению задач в теме «Окружность»

Методические рекомендации к обучению школьников решению задач в теме «Окружность»

Определение понятия окружность и ее элементов были изучены учащимися в седьмом классе. Материал, посвященный окружности в восьмом классе, способствует расширению предыдущих фактов, вводит новые понятия, связанные с окружностью. Теоретическое содержание данной главы дает возможность учителю опираться на самостоятельную деятельность школьников, основанную на работе с учебником. Методические рекомендации к обучению школьников решению задач в теме «Окружность» обусловлены теорией и методикой обучения задач, проведенным выше анализом задачного материала и количеством часов отведенных на изучение данной темы в школьном курсе геометрии.

В структуре темы «Окружность» выделены следующие блоки изучаемого материала: взаимное расположение прямой и окружности, углы и отрезки в окружности, четыре замечательные точки треугольника, вписанная в многоугольник и описанная около многоугольника окружности.

Взаимное расположение прямой и окружности . Основные цели данного блока: рассмотреть случаи взаимного расположения прямой и окружности, ввести определения секущей и касательной к окружности, рассмотреть свойство и признак касательной к окружности, свойство отрезков касательной к окружности.

В результате изучения блока «Взаимное расположение прямой и окружности» ученик должен: выделить три случая взаимного расположения прямой и окружности, понимать, от чего зависит расположение прямой и окружности, знать определение секущей и касательной к окружности, формулировки соответствующих теорем и уметь их доказывать.

В данном блоке учащиеся должны уметь решать задачи следующих типов:

задачи, в которых доказывается, что данная прямая является секущей/касательной к окружности или не имеет общих точек с окружностью;

задачи, в которых используются свойство касательной к окружности, свойство отрезков касательных к окружности, проведенных из одной точки;

задачи, в которых необходимо построить касательную к окружности.

В результате изучения данного блока учащиеся должны знать и уметь применять следующие эвристики:

если проведена касательная к окружности, то необходимо провести радиус в точку касания;

если даны две касательные к окружности, пересекающиеся в одной точке, то можно использовать тот факт, что равны отрезки касательных и равны углы, заключенные между соответствующей касательной и прямой, проходящей через центр окружности и данную точку;

если даны две касательные к окружности, пересекающиеся в одной точке, то можно использовать факт, что биссектриса угла между данными касательными лежит на прямой, проходящая через центр окружности и данную точку.

На изучение блока «Взаимное расположение прямой и окружности» в теме «Окружность» предусмотрено три урока. Материал данного блока следует изложить следующим образом: один урок — взаимное расположение прямой и окружности, два урока – касательная к окружности.

В соответствии с этим, рассмотрим систему задач данного блока.

1ый урок. Взаимное расположение прямой и окружности. Теоретический материал (случай взаимного расположения прямой и окружности, определение секущей и касательной к окружности) следует изложить на одном уроке. Можно организовать соответствующую поисковую деятельность учащихся по установлению случаев взаимного расположения прямой и окружности.

Важно на данном уроке решить хотя бы одну дидактическую и одну ключевую задачу.

Дидактическая задача. №631. Пусть d – расстояние от центра окружности радиуса r до прямой p . Каково взаимное расположение прямой p и окружности, если: а) r =16 см, d =12 см; б) r =5 см, d =4,2 см; в) r =7,2 дм, d =3,7 дм; г) r =8 см, d =1,2 дм; д) r =5 см, d =50 мм.

Ключевая задача. №633. Даны квадрат ОАВС, сторона которого равна 6 см, и окружность с центром в точке О радиуса 5 см. Какие из прямых ОА, АВ, ВС, и АС являются секущими по отношению к этой окружности?

Касательная к окружности . Материал, содержащий теоремы о свойстве касательной к окружности, свойстве отрезков касательных, проведенных из одной точки, признак касательной, стоит излагать компактно. Предлагается следующая модель построения уроков изучения данной темы: на первом уроке изложить теоретический материал, второй урок посвятить решению задач.

Известно, что многие теоретические факты учащиеся лучше усваивают в процессе решения задач. В связи с этим, свойства касательной и отрезков касательных, проведенных из одной точки, можно сформулировать в виде задач, в процессе решения которых учащиеся «откроют» теоремы о свойстве касательной, о свойстве отрезков касательных, проведенных из одной точки, и сформулируют соответствующие эвристики.

Т. к. на изучение темы «Касательная к окружности» отводится только два урока, необходимо не заострять внимание учеников на доказательстве соответствующих теорем, достаточно обсудить его устно и записать в тетради базис доказательства (как в случае с теоремой об отрезках касательных) или предложить учащимся изучить данный вопрос самостоятельно с помощью учебника. Отметим, что решение задачи о построении касательной к окружности в данной точке есть в учебнике, его также можно дать ученикам на самостоятельное изучение с последующей проверкой усвоенного материала. Таким образом, на первом уроке необходимо с целью усвоения изученных теорем решить дидактические задачи на прямое их применение, второй урок непосредственно посвятить решению ключевых задач.

2ой урок. Касательная к окружности.

№ 1. Прямая p является касательной к окружности с центром в точке О. выяснить взаимное расположение прямой p и радиуса окружности, проведенного в точку касания.

№ 2. Прямая АВ касательная в точке А к окружности с центром в точке О. Найдите длину отрезка ОВ, если АВ = 24 дм, а радиус окружности равен 7 дм.

№ 3. Используя рисунок (рис. 1) сравните а) отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, б) углы заключенные между данными касательными и прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

№ 646. В треугольнике АВС угол В прямой. Докажите, что: а) прямая ВС является касательной к окружности с центром А радиуса АВ; в) прямая АС не является касательной к окружности с центром В радиусами ВА и ВС.

3ий урок. Касательная к окружности . Урок решения ключевых задач.

№ 636. Через концы хорды АВ, равной радиусу окружности проведены две касательные, пересекающиеся в точке С. Найдите угол АСВ.

№ 648 . Постройте касательную к окружности: а) параллельную данной прямой; б) перпендикулярную к данной прямой.

Углы и отрезки в окружности . Цель данного блока – ввести понятия градусной меры дуги окружности, центрального и вписанного углов, доказать теорему о вписанном угле и об отрезках пересекающихся хорд.

В результате изучения блока «Углы и отрезки в окружности» ученик должен: знать определения понятий полуокружности, центрального и вписанного углов окружности, формулировки теоремы о вписанном угле, следствий из данной теоремы, теоремы о пересечении отрезков хорд; уметь доказывать данные теоремы.

В данном блоке учащиеся должны уметь решать задачи следующих типов:

задачи, в которых необходимо находить градусные меры дуг окружности, центрального и вписанного углов;

задачи, в которых используются свойство отрезков пересекающихся хорд;

В результате изучения блока «Углы и отрезки в окружности» учащиеся должны знать и уметь применять следующие эвристики: если даны центральный или вписанный углы окружности то можно попытаться использовать тот факт, что:

центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается;

вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Уроки изучения данной темы следует распределить следующим образом: три урока на изучение теоретического материала в соответствии с пунктами учебника, включающих в себя решение дидактических задач, один урок на решение ключевых задач.

Вписанный угол окружности . Данный урок можно провести на основе разработки урока, описанного в работе Г. И. Саранцева.[27, c . 179-182]. Урок начинается с решения задачи, показывающей связь вписанного и центрального углов окружности. Затем формулируется определение понятия вписанного угла окружности, решаются дидактические задачи на усвоение данного понятия. Далее на основе первой задачи урока выявляется связь вписанного угла и дуги, на которую он опирается, формулируется и доказывается соответствующая теорема. Заканчивается данный урок решением дидактических задач, способствующих усвоению теоремы о вписанном угле окружности.

Теорема о пересечении отрезков хорд. Т. к. тема «Теорема о пересечении отрезков хорд» содержит большое количество задач-фактов, на решение которых нет времени, удобно провести данный урок в соответствии с технологией, описанной в работе Т. А. Ивановой «Современный урок математики» [11, c . 55-57]. Его суть: урок начинается с построения чертежа, аналогичного в изучаемой теореме, на основе которого учащиеся и учитель формулируют различные задачи. Результатом является «открытие» теоремы о пересечении отрезков хорд. Устанавливается связь произведения отрезков хорд с расстоянием между центром окружности и точкой их пересечения. В дальнейшем получают еще один вывод: произведение секущей на ее внешнюю часть равно квадрату касательной. Очевидно, что такое количество теоретических фактов нуждается в закреплении соответствующими простыми задачами.

Система задач блока «Углы и отрезки в окружности»:

4ый урок. Градусная мера дуги окружности.

Центральный угол окружности.

№ 1. По данным рисунка выпишите

центральные углы окружности. (рис. 4) рис. 4

№ 2. Выпишите все дуги

на рисунке и найдите их

градусные меры. (рис. 5)

№ 651: Хорды AB и CD окружности с центром в точке О равны. а) Докажите, что две дуги с концами А и В соответственно равны двум дугам с концами С и D. 6) Найдите дуги с концами С и D, если угол АОВ равен 112º.

5ый урок. Вписанный угол окружности.

№ 1. Найдите угол АВС, если дуга АС равна 50º.

№ 2. Какие из углов изображенные на рисунке 7 являются вписанными?

№ 3. Укажите изображенные на рисунке 8 вписанные углы.

№ 653. Найдите вписанный угол АВС, если дуга АС, на которую он опирается, равна: а) 48º; б) 57 º; в) 90º; г) 124º; д) 180º.

№ 654. По данным рисунка 9 найдите х .

6ой урок. Теорема о пересечении отрезков хорд.

№ 666. Хорды АВ и CD пересекаются в точке Е. Найдите Е D если а) АЕ=5, ВЕ=2, СЕ=2,5; б) АЕ=16, ВЕ=9, СЕ= ED .

№ 671. Через точку А проведены касательная АВ (В – точка касания) и секущая, которая пересекает окружность в точках C и D . Найдите С D , если: а) АВ=4 см, АС=2 см; б) АВ=5 см, А D =10 см.

№ 667. Диаметр АА ₁ окружности перпендикулярен к хорде ВВ ₁ и пересекает ее в точке С. Найдите ВВ ₁ , если АС=4 см, СА ₁ =8 см.

7ой урок. Центральный и вписанный углы окружности. Урок решения ключевых задач.

№ 655. Центральный угол АОВ на 30º больше вписанного угла опирающегося на дугу АВ. Найдите каждый из этих углов.

№ 661. Найдите острый угол, образованный двумя секущими, проведенными из точки, лежащей вне окружности, если дуги, заключенные между секущими равны 140º и 52º.

№ 664. Прямая АМ – касательная к окружности, АВ – хорда этой окружности. Докажите, что угол МАВ измеряется половиной дуги АВ, расположенной внутри угла МАВ.

Четыре замечательные точки треугольника . Основные цели изучения данного блока: рассмотрение свойств биссектрисы угла и серединного перпендикуляра к отрезку; доказательство следствий: биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке, высоты треугольника (или их продолжения пересекаются в одной точке. Необходимо также напомнить учащимся ранее доказанную теорему о точке пересечения медиан треугольника.

В результате изучения блока «Четыре замечательные точки треугольника» ученик должен: знать определение серединного перпендикуляра к отрезку, формулировки теорем о свойстве биссектрисы угла и серединного перпендикуляра к отрезку, теоремы и следствия о четырех замечательных точках треугольника; уметь доказывать данные теоремы и следствия.

В данном блоке учащиеся должны уметь решать задачи следующих типов:

задачи, в которых используются теорем о свойстве биссектрисы угла и серединного перпендикуляра к отрезку;

задачи, в которых необходимо доказать, что данная прямая (отрезок) является серединным перпендикуляром к отрезку;

задачи, в которых используются теоремы и следствия о четырех замечательных точках треугольника.

В результате изучения блока «Четыре замечательные точки треугольника» учащиеся должны знать и уметь применять следующие эвристики:

если точка лежит на биссектрисе угла, то можно использовать тот факт, что она равноудалена от его сторон (и наоборот);

если точка лежит на серединном перпендикуляре к отрезку, то можно использовать тот факт, что она равноудалена от концов этого отрезка (и наоборот).

Уроки изучения данной темы следует распределить следующим образом: свойство биссектрисы угла, свойство серединного перпендикуляра к отрезку, теорема о пересечении высот треугольника.

На каждом уроке следует включать соответствующие дидактические задачи, которые в дальнейшем поспособствуют усвоению темы «Вписанная и описанная окружность».

Система задач блока «Четыре замечательные точки треугольника».

8ой урок. Свойство биссектрисы угла.

№ 1. Луч МЕ является биссектрисой угла ТМ P . Верно ли, что:

а) точка А равноудалена от сторон угла ТМ P ;

б) точка В не равноудалена от сторон угла ТМ P ;

) точка Н равноудалена от сторон угла ТМ P ;

г) точка С не равноудалена от сторон угла ТМ P ?

№ 675. Стороны угла О касаются каждой из двух окружностей, имеющих общую касательную в точке А. Докажите, что центры этих окружностей лежат на прямой ОА.

№ 678. Биссектрисы АА ₁ и ВВ ₁ треугольника АВС пересекаются в точке М. Найдите углы АСМ и ВСМ, если: а) АМВ=136º, б)АМВ=111º.

9ый урок. Свойство серединного перпендикуляра к отрезку.

№

1. В треугольнике АВС изображенном на рисунке, АС=ВСАВ, ВМ=МС, ВТАС, АСО=ВСО. Какая из прямых АМ, СО, ВТ является серединным перпендикуляром к стороне треугольника АВС.

№ 679. Серединный перпендикуляр к стороне ВС треугольника АВС пересекает сторону АС в точке D . Найдите: а) AD и CD , если В D =5см, АС=8,5 см, б) АС, если В D =11,4 см, А D =3,2 см.

№ 682. Равнобедренные треугольники АВС и АВ D имеют общее основание АВ. Докажите, что прямая С D проходит через середину отрезка АВ.

10ый урок. Теорема о пересечении высот треугольника.

№ 685 . Высоты АА ₁ и ВВ ₁ равнобедренного треугольника АВС, проведенные к боковым сторонам, пересекаются в точке М. Докажите, что прямая МС – серединный перпендикуляр к отрезку АВ.

Вписанная в многоугольник и описанная около многоугольника окружности.

Основные цели изучения данного блока: введение понятий вписанной в многоугольник и описанной около многоугольника окружностей, вписанного и описанного многоугольников, доказательство теорем об окружности, вписанной в треугольник, об окружности, описанной около треугольника окружности, ознакомление учеников со свойствами вписанного и описанного четырехугольников.

В результате изучения блока «Вписанная и описанная окружность» ученик должен: знать определения понятий вписанной в многоугольник и описанной около многоугольника окружностей, вписанного и описанного многоугольников; где находится центр вписанной в многоугольник и описанной около многоугольника окружностей; формулировки теорем об окружности, вписанной в треугольник, об окружности, описанной около треугольника окружности, теорем о свойствах вписанного и описанного четырехугольников; уметь доказывать данные теоремы.

В данном блоке учащиеся должны уметь решать задачи следующих типов:

задачи, в которых используются определения вписанной в многоугольник и описанной около многоугольника окружностей, вписанного и описанного многоугольников;

задачи, в которых используются свойства вписанного и описанного четырехугольников.

В результате изучения блока «Вписанная и описанная окружность» учащиеся должны знать и уметь применять следующие эвристики:

если даны вписанная в многоугольник или описанная около многоугольника окружности, то можно попытаться использовать

центр вписанной в многоугольник окружности, как точку пересечения биссектрис его углов;

центр описанной около многоугольника окружности как точку пересечения серединных перпендикуляров к сторонам этого многоугольника;

если даны вписанный или описанный четырехугольники, то можно попытаться использовать:

равенство 180º суммы противоположных углов вписанного в окружность четырехугольника;

равенство суммы противоположных сторон четырехугольника описанного около окружности.

На изучение свойств вписанной в многоугольник и описанной около данного многоугольника окружностей отводится наибольшее количество уроков. Материал данной темы распределяется следующим образом: урок посвященный изучению вписанной в многоугольник окружности, урок посвященный изучению описанной около треугольника окружности, урок решения ключевых задач, урок отработки навыков решения ключевых задач.

Для наилучшего усвоения учащимися понятий вписанного и описанного многоугольников, а также расположения центров данных окружностей необходимо вместо теорем, выражающих связи треугольника и окружности предложить решить следующие задачи: «Постройте окружность, вписанную в данный треугольник. (описанную около данного треугольника».

Система задач блока «Вписанная в многоугольник и описанная около многоугольника окружности».

11ый урок. Вписанная окружность.

№ 1. На каких рисунках а)-д) изображены многоугольник и вписанная в него окружность?

№ 2. Окружность, вписанная в треугольник АВС, касается его сторон в точках Н, М и Т. Найдите периметр треугольника АВС, если АМ=5 м, СН=3 м, ВТ=6 м.

№ 695. Сумма двух противоположных сторон описанного четырехугольника равна 15 см. Найдите периметр этого четырехугольника.

12ый урок. Описанная окружность.

№ 1 . На каких рисунках а)-д) изображены многоугольник и описанная около него окружность?

№ 702. В окружность вписан треугольник АВС так, что АВ – диаметр окружности. Найдите углы треугольника, если: а) ВС=134º; б) АС=70º.

№ 708. Докажите, что можно описать окружность: а) около любого прямоугольника; б) около любой равнобедренной трапеции.

13ый урок. Вписанная и описанная окружности. Урок решения ключевых задач.

№ 689. В равнобедренном треугольнике основание равно 10 см, а боковая сторона 13 см. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

№ 697. Докажите, что площадь описанного многоугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

№ 704. Окружность с центром О описана около прямоугольного треугольника. а) Докажите, что точка О середина гипотенузы. б) Найдите стороны треугольника, если диаметр окружности равен d , а один из острых углов треугольника равен α.

№ 707. Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 120º, боковая сторона треугольника равна 8 см. Найдите диаметр окружности, описанный около этого треугольника.

14ый урок. Вписанная и описанная окружности. Урок отработки навыков решения ключевых задач.

№ 733 . Найдите радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности, если радиус описанной окружности равен 10 см.

№ 735 . В трапецию с основаниями а и b можно вписать окружность и около этой трапеции можно описать окружность. Найдите радиус вписанной окружности.

№ 736 . Даны прямая а , точка А, лежащая на этой прямой и точка В, не лежащая на ней. Постройте окружность, проходящую через точку В и касающуюся прямой а в точке А.

Учитывая все вышесказанное, отметим, что для осознанного усвоения учащимися основных дидактических единиц данной темы необходимо сразу после их изучения предъявлять ученикам так называемые дидактические задачи, направленные на формирование умений выведения следствий и подведения под понятия. Решение данных задач не нуждаются в особых комментариях, работу с ними можно проводить фронтально, что будет способствовать одновременному контролю усвоения учащимися знаний. Теоретический материал темы не вызывает особых проблем для изучения его учащимися, но ограниченное количество уроков по каждой дидактической единице наталкивает на мысль, что там где это возможно, основываясь на способностях учащихся, решать ключевые задачи, чтобы они как можно быстрее стали для учеников стандартными.

Приведенная система задач к теме «Окружность» способствует развитию мыслительных операций учащихся, поскольку:

а) решение любой геометрической задачи предполагает анализ ее формулировки и построение чертежа, т. е. формируются операции анализа и синтеза;

б) решение некоторых задач построено таким образом, что на их основе происходит выделение признаков понятий, формулирование соответствующих теорем (теоретических фактов), т. е. формируется операция обобщения;

в) в процессе решения задач происходит выделение (отделение) необходимых признаков и свойств (выраженных в теоремах) понятий, т. е. формируется операция абстрагирования;

г) рассмотрение понятий, его свойств в отдельной задаче можно определить как переход от более общего к менее общему, т. е. формируется операция конкретизации (наиболее ярким примером формирования данного умения является тема «Вписанная и описанная окружности»);

д) наиболее ярким примером формирования операции сравнения являются задачи темы «Центральный и вписанный углы окружности», «Вписанная и описанная окружности», предполагающие установление сходных и различных свойств данных понятий.

Обучение учащихся решению задач в теме идет в соответствие с этапами, выделенными в пункте 1.3 данной работы, при их активном включении в стадии поиска и анализа решения каждой отдельной задачи.

Представленная система задач к теме «Окружность» разрабатывалась в соответствие с временными рамками данной темы, поэтому в ней отсутствуют исследовательские задачи. Данные задачи можно найти на страницах 221-224 учебника [ 5 ] . В связи с этим, данную систему задач нельзя считать полноценной. Во всем остальном она соответствует принципам, сформулированным Я. И. Груденовым.

2.3. Проектирование уроков решения задач.

2ой урок. Касательная к окружности.

Учебник. Геометрия. 7-9 классы : учеб. для общеобразоват. учреждений/ [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк]. – 20-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 384 с.

Тип урока. Урок изучения нового.

Сформулировать и доказать теоремы: свойство касательной к окружности, свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки, признак касательной к окружности.

Сформулировать эвристики: а) если проведена касательная к окружности, то необходимо провести радиус в точку касания; б) если даны две касательные к окружности, пересекающиеся в одной точке, то можно использовать тот факт, что равны отрезки касательных и равны углы, заключенные между соответствующей касательной и прямой, проходящей через центр окружности и данную точку; в) если даны две касательные к окружности, пересекающиеся в одной точке, то можно использовать факт, что биссектриса угла между данными касательными лежит на прямой, проходящая через центр окружности и данную точку.

Формировать мыслительные операции: анализ, синтез, обобщение, абстрагирование, конкретизация.

Диагностируемые цели. В результате урока ученик

знает: а) формулировки теорем о свойстве касательной к окружности, свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки, признак касательной к окружности; б) знает формулировку указанной эвристики;

понимает, как применять данные эвристики при решении задач;

умеет а) доказывать теоремы о свойстве касательной к окружности, свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки, признак касательной к окружности; б) доказывать, что данная прямая является касательной к окружности, в) применять свойство касательной к окружности, основанную на ней эвристику, признак касательной при решении задач.

На данном этапе проходит повторение изученного на прошлом уроке материала: случаи взаимного расположения прямой и окружности, определение секущей окружности, определение касательной к окружности.

Решается дидактическая задача: укажите рисунки, на которых изображена касательная к окружности.

— Сегодняшний урок мы с вами посвятим изучению свойств касательной к окружности. Это и будет целью нашего урока. Записываем тему урока «Касательная к окружности».

— Для начала решим следующую задачу.

№ 1. Прямая p является касательной к окружности с центром в точке О. выяснить взаимное расположение прямой p и радиуса окружности, проведенного в точку касания.

После осознания учащимися условий задачи можно предложить им составить краткую запись условия и сделать чертеж. Если они не могут этого сделать, необходимо задать следующие вопросы:

— О каких объектах говорится в задаче? ( В задаче говорится об окружности с центром в точке О и о касательной р .)

— Сделайте соответствующий рисунок к задаче. Обозначьте точку касания буквой А.

— Что необходимо установить в задаче? ( Взаимное расположение касательной р и радиуса ОА данной окружности, проведенного в точку касания )

окружность (О, ОА),

p – касательная, А р .

айти : взаимное расположение р и ОА.

— Как могут быть расположены две прямые (а в частности прямая и отрезок) на плоскости? ( Две прямые на плоскости могут быть параллельными, пересекаться, в частности быть перпендикулярными )

— Являются ли прямые p и ОА параллельными? Почему? ( Нет, т. к. данные прямые имеют общую точку – точку касания, следовательно они пересекаются. )

— Тогда, что нам необходимо установить? ( Будут ли прямые АО и р перпендикулярными. )

— Предположим, что ОА и p не перпендикулярны. Тогда что является расстоянием от центра окружности О до данной прямой? ( Расстоянием от центра окружности О до прямой р является отрезок (ОН) перпендикулярный к данной прямой и проходящий через точку О.)

— Сравните расстояние от центра окружности до прямой p с радиусом данной окружности. Обоснуйте свой ответ. ( Расстояние ОН от центра окружности до прямой p меньше радиуса окружности ОА, т. к. в данном случает ОА является наклонной, а наклонная больше перпендикуляра , проведенного к данной прямой )

— Каково взаимное расположение прямой р и окружности? Какой название в этом случае имеет прямая р ? ( Прямая р и окружность имеют две общие точки, следовательно р является секущей по отношению к данной окружности )

— Может ли прямая р быть секущей по отношению к окружности? ( Нет, т.к. по условию она является касательной к данной окружности. )

— Верно ли предположение, что прямая р не перпендикулярна радиусу ОА? О чем это говорит? ( Данное предположение неверно. Следовательно касательная р и радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярны )

— Сформулируйте полученное утверждение – свойство касательной. ( Касательная перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания. )

ОА р ρ(О, р )=ОН, ОН р .

ОН р , ОН р , А р ОА – наклонная

ОН p – секущая – противоречие условию « p – касательная» ОА р.

Ответ: ОА р.

Свойство касательной : Касательная перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

— Попробуйте спрогнозировать: в каких случаях возможно применение данной теоремы. (Применение данного свойства возможно во всех задачах связанных с окружностью)

— Таким образом, можно сделать вывод: что если в задаче нам дана касательная к окружности, целесообразно провести, радиус в точку касания.

В математике способ, помогающий решить ту или иную задачу, называют эвристикой. В данном случае мы с вами получили эвристику: если проведена касательная к окружности, то необходимо провести радиус в точку касания, и использовать факт, что данные касательная и радиус будут перпендикулярны. Попробуем использовать ее при решении следующей задачи.

2. Прямая АВ касательная в точке А к окружности с центром в точке О. Найдите длину отрезка ОВ, если АВ = 24 дм, а радиус окружности равен 7 дм.

— АВ является касательной к окружности. Объясните, как воспользоваться полученной эвристикой? ( Провести радиус ОА окружности в точку касания .)

— Какую фигуру получили в результате дополнительного построения? Обоснуйте свой ответ. ( В результате получили прямоугольный треугольник АОВ, т. к. отрезки ОА и АВ перпендикулярны, исходя из свойства касательной.)

— Каким образом мы найдем искомый отрезок ОВ? ( Отрезок ОВ является гипотенузой в данном треугольнике, его можно найти по теореме Пифагора. Данный отрезок равен 25 дм)

АВ- касательная, проведем ОА – радиус ОААВ (свойство касательной)

ОАВ=90º ΔОАВ – прямоугольный.

ΔОАВ: ОВ=, ОВ=25 дм.

Далее на основе построения теоремы, обратной теореме о свойстве касательной, формулируется и записывается в тетрадь признак касательной к окружности: если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной.

— Рассмотрим еще одно понятие, связанное с понятием касательной к окружности. Для этого необходимо сделать рисунок. Изобразите в тетрадях окружность с центром в точке О произвольного радиуса. Через точку А лежащую вне окружности проведите касательные к данной окружности, касающиеся ее в точках В и С.

— Отрезки АВ и АС называют отрезками касательных, проведенных из точки А. Запишем данное определение в тетради: отрезки АВ и АС — отрезки касательных, проведенных из точки А.

— Решите следующую задачу.

№ 3. Используя рисунок (рис. 1) сравните: а) отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки; б) углы, заключенные между прямой, проходящей через эту точку и центр окружности, и отрезками касательных.

Учащиеся выполняют данное задание с помощью линейки транспортира. Если у учеников вызывает трудности выполнение пункта б), можно задать наводящие вопросы:

— Еще раз внимательно прочитайте пункт б) и ответьте на вопрос: о какой прямой на данном рисунке идет речь? Тогда какие углы необходимо сравнить в данной задаче? (В данной задаче речь идет о прямой ОА. Необходимо сравнить углы ВАО и САО.)

— Какие выводы вы получили в результате решения данной задачи? (Отрезки касательных равны, углы, заключенные между прямой, проходящей через эту точку и центр окружности, и отрезками касательных также равны.)

— Интуиция подсказывает нам, что данные отрезки и углы равны. Но в математике мы не поможет доверять только одной интуиции, необходимо доказывать полученные выводы. Какую задачу мы должны теперь решить? ( Используя рисунок (рис. 1) докажите, что равны а) отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки; б) углы, заключенные между прямой, проходящей через эту точку и центр окружности, и отрезками касательных.)

Запишите краткую запись условия.

окружность (О, ОВ),

АВ, АС – отрезки касательных.

) АВ=АС; б) ВАО =САО.

— АВ и АС являются отрезками касательных. На основе свойства касательной, какие дополнительные построения целесообразно сделать? ( Провести радиусы ОВ и ОС окружности .)

— Какой вид имеют треугольники АВО и АСО? Сравните данные треугольники. ( Данные треугольники являются прямоугольными. Они равны по катетам ОВ и ОС и гипотенузе АО.)

— Какой вывод следует из равенства данных треугольников? ( Отрезки АВ и АС равны, угла ВАО и САО равны. )

— Какой вывод можно сделать о прямой АО, исходя из данной задачи? ( Прямая АО является биссектрисой угла ВАС. )

— Сформулируйте утверждение, полученное в результате решения задачи, – свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки. ( Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности)

АВ – касательная к окружности (О, ОВ) ОВАВ АВО=90º; аналогично АСО=90º ΔАВО, ΔАСО – прямоугольные.

ΔАВО=ΔАСО (по катету и гипотенузе: ОВ=ОС – радиусы, ОА – общая)

а) АВ=АС; б) ВАО=САО.

— Используя начальные условия задачи и последний результат, сделайте вывод о прямой, проходящей через данную точку и центр окружности, и ее связи с касательными, проведенными к окружности из одной точки. ( Если даны две касательные к окружности, проведенные из одной точки, то прямая проходящая через данную точку и центр окружности является биссектрисой угла, образованного этими касательными. )

— При решении каких задач мы можем использовать полученные теоретические факты? ( Данные теоретические положения мы можем использовать в решении задач, в которых одним из элементов являются две касательные к окружности, проведенные из одной точки. )

— Попробуйте на основе данной теоремы сформулировать эвристики, т. е. способы, которые помогут в решении вышеуказанных задач.

(Если даны две касательные к окружности, пересекающиеся в одной точке, то можно использовать тот факт, что равны отрезки касательных и равны углы, заключенные между соответствующей касательной и прямой, проходящей через центр окружности и данную точку.

Если даны две касательные к окружности, пересекающиеся в одной точке, то можно использовать факт, что биссектриса угла между данными касательными лежит на прямой, проходящая через центр окружности и данную точку.)

Данные эвристики можно записать вместе с учащимся в тетрадь или выдать, содержащие их карточки.

— Измените формулировку задачи №2 так, чтобы при ее решении нужно было использовать последнюю теорему.

В результате формулируется задача, которую ученики должны включить в домашнее задание. Задача может быть например такой:

Прямые АВ и АС являются касательными к окружности, радиус которой равен 5 см. Найдите: а) отрезки АВ и АС, б) углы САО и АОС, если угол ВОА равен 60º.

— Какова была цель сегодняшнего урока? Достигли ли мы ее? (Изучить свойства касательной к окружности. Мы достигли данной цели.)

— Какие свойства касательной к окружности мы изучили на сегодняшнем уроке? Сформулируйте их. (Свойство касательной к окружности, свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки, признак касательной к окружности. Соответствующие свойства формулируются)

— Сегодня на уроке прозвучало ранее неизвестное слово – эвристика. Кто запомнил, что оно означает? (Эвристика это способ, помогающий решить ту или иную задачу)

— Какие эвристики мы сформулировали на уроке? (Если проведена касательная к окружности, то необходимо провести радиус в точку касания.

Если даны две касательные к окружности, пересекающиеся в одной точке, то можно использовать тот факт, что равны отрезки касательных и равны углы, заключенные между соответствующей касательной и прямой, проходящей через центр окружности и данную точку.

Если даны две касательные к окружности, пересекающиеся в одной точке, то можно использовать факт, что биссектриса угла между данными касательными лежит на прямой, проходящая через центр окружности и данную точку.)

— При решении каких задач мы использовали эвристики? (При решении задач, в которых была дана касательная к окружности)

— Подумайте для каждого ли теоретического факта, мы подобрали и решили соответствующую задачу? (Мы не решили задачу, связанную с теоремой признаком касательной к окружности.)

— Исправим это упущение – решим следующую задачу.

№ 646. В треугольнике АВС угол В прямой. Докажите, что: а) прямая ВС является касательной к окружности с центром А радиуса АВ; в) прямая АС не является касательной к окружности с центром В радиусами ВА и ВС.

Дано : ΔАВС, В=90º,

окружность (А, АВ),

окружность (В, АВ),

окружность (В, ВС),

а) ВС – касательная к окружности (А, АВ),

в) АС не является касательной

к окружности (В, АВ) и окружности (В, ВС).

— Каким теоретическим фактом необходимо воспользоваться для доказательства того, что данная прямая является касательной к окружности? ( Признаком касательной к окружности .)

— Сформулируйте данный признак. (Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна к этому радиусу, то она является касательной .)

— Какие условия должные выполняться, чтобы прямая ВС была касательная к окружности с центом в точке А и радиуса АВ. ( Прямая ВС должна проходить через точку В и быть перпендикулярной к отрезку АВ.)

— Выполняется ли последнее условие в данной задаче? Обоснуйте свой ответ. ( Да, угол В – прямой, следовательно, прямая ВС и отрезок АВ перпендикулярны.)

— Тогда какой вывод мы можем сделать о прямой ВС? ( ВС является касательной к окружности с центом в точке А и радиуса АВ .)

— Можем ли мы воспользоваться признаком касательной для доказательства пункта в) задачи? Какое в этом случае необходимо составить утверждение? ( Можно, в данном случае необходимо воспользоваться утверждением: если прямая не является касательной к данной окружности, то она либо не проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, либо не перпендикулярна радиусу в данной точке .)

— Какое из условий утверждения не выполняется для прямой АС и окружности с центром в точке В и радиусами АВ и ВС? ( Не выполняется условие: прямая АС перпендикулярна радиусам АВ и ВС .)

— Запишите полученные выводы.

а) В=90ºВСАВ (АВ – радиус окружности (А, АВ)) ВС – касательная к окружности (А, АВ) (по признаку).

в) АСокружности (В, АВ)=А, АС окружности (В, ВС)=С,

ΔАВС: В=90ºАСАВ и АСВС — противоречие признаку касательной АС не является касательной к окружности (В, АВ) и окружности (В, ВС).

Домашнее задание. В него обязательно включить п. 69 учебника, задача в данном пункте, задача сформулированная на уроке.

3ий урок. Касательная к окружности.

Учебник. Геометрия. 7-9 классы : учеб. для общеобразоват. учреждений/ [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк]. – 20-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 384 с.

Тип урок. Урок решения ключевых задач.

1) Формировать умения применять свойства касательной к окружности и основанные на них эвристики в решении задач.

2) Выделить в виде схем, способов методы решения задач (синтетический и аналитический — метод нисходящего анализа).

3) Формировать мыслительные операции: анализ, синтез, обобщение, абстрагирование, конкретизация.

Диагностируемые цели. В результате урока ученик

знает: а) формулировки теорем о свойстве касательной к окружности, свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки, признак касательной к окружности; б) знает формулировки основанных на них эвристик;

осознает методы поиска решения (метод синтеза и нисходящего анализа);

понимает, как применять выделенные эвристики при решении задач; как применять полученные синтетический и аналитический методы при решении задач.

— Вспомните, какой объект, связанный с окружностью, мы изучали на прошлом уроке? (Касательную к окружности)

— Какие свойства касательной мы рассмотрели на прошлом уроке? Сформулируйте их. (С войство касательной к окружности, свойство отрезков касательных к окружности, признак касательной к окружности. Соответствующие теоремы формулируются)

— На прошлом уроке мы с вами рассмотрели очень важное понятие, относящееся к решению задач – эвристика. Кто помнит определение этого понятия? (Эвристика это способ, помогающий решить ту или иную задачу)

— Какие эвристики мы с вами выделили для решения задач по теме «Окружность»? (Если проведена касательная к окружности, то необходимо провести радиус в точку касания.

Если даны две касательные к окружности, пересекающиеся в одной точке, то можно использовать тот факт, что равны отрезки касательных и равны углы, заключенные между соответствующей касательной и прямой, проходящей через центр окружности и данную точку.

Если даны две касательные к окружности, пересекающиеся в одной точке, то можно использовать факт, что биссектриса угла между данными касательными лежит на прямой, проходящая через центр окружности и данную точку.)

— Как мы уже выяснили, эвристики оказывают нам существенную помощь при решении задач. Представьте, что вам необходимо самому решить задачу. Какие проблемы/ вопросы возникают у вас в этом случае? (С чего начать решение задачи? Как догадаться, какие действия необходимо выполнить для ее решения?)

— Предлагаю посвятить сегодняшний урок поиску ответа на данный вопрос. Тогда как можно сформулировать цель нашего урока? (Учиться осуществлять поиск задачи)

— Предлагаю вам решить следующую задачу.

№ 636. Через концы хорды АВ, равной радиусу окружности проведены две касательные, пересекающиеся в точке С. Найдите угол АСВ.

Дано :

окружность (О, ОА),

А, СВ – касательные.

Найти: АСВ.

— АС и ВС касательные к окружности в точках А и В. Что из этого следует? ( Необходимо провести радиусы ОА и ОВ в точки касания. Радиус ОА и касательная АС будут перпендикулярны, аналогично будут перпендикулярны радиус ОВ и касательная ВС. )

-Выполните данные построения. Сделайте необходимые обозначения на чертеже. Какие фигуры получили в результате? Установите вид треугольника ОАВ. ( Треугольник ОАВ, четырехугольник ОАСВ. Треугольник ОАВ – равносторонний )

— Сделайте вывод об углах треугольника ОАВ и четырехугольника ОАСВ. (Углы треугольника АОВ равны 60º. Углы САО и СВО четырехугольника ОАСВ равны 90º, т. к. АС и ОА, СВ и ОВ перпендикулярны, угол АОС равен 60º, как угол равностороннего треугольника АОВ.)

— Как найти искомый угол АСВ? Чему он равен? (Поскольку сумма углов четырехугольника равна 360º, то угол АСВ можно найти из разности 360º и углов АОВ, ОАС и ОВС. Искомый угол АСВ равен 120º)

Проведем ОА, ОВ – радиусы.

АС, ВС – касательные, (ОА и ОВ – радиусы) АСОА, ВСОВ, (свойство касательной) ОАС=90º, ОВС=90º,

ΔОАВ – равносторонний (АВ=ОА по условию, ОА=ОВ – радиусы) АОВ=60º.

ОАСВ: АСВ=360º-90º-90º-60º=120º.

Ответ : АСВ=120º

— Какие теоретические положения мы использовали при решении данной задачи? Сформулируйте соответствующую теорему.

— Какие из эвристик, полученных на прошлом уроке мы применили в решении данной задачи? (Если проведена касательная к окружности, то необходимо провести радиус в точку касания.)

— Представим решение задачи в виде схемы. С какого факта начали решение задачи? ( АС и ВС касательные к окружности в точках А и В. )

— Что сделали далее? (Применили эвристику : провели радиусы ОА и ОВ в точки касания.)

— Какие фигуры в итоге получили? Как расположены прямые АС и ВС и радиусы ОА и ОВ? ( Равносторонний треугольник АОВ, четырехугольник ОАСВ. АС и ОА перпендикулярны, ВС и ОВ перпендикулярны.)

— Что сделали далее? (Нашли углы АОВ, САО и ВСО)

— Как нашли искомый угол? (На основе свойства суммы углов четырехугольника

Схема решения задачи №636:

АС, ВС – касательные (дано)

АВ=ОА (дано) провели радиусы ОА и ОВ

ΔОАВ – равносторонний ОАСВ АСОА, ВСОВ

АОВ=60º АСО=90º, ВСО=90º

АСВ=120º (ответ/требование).

— Рассмотрим еще одну задачу.

№ 641. Отрезки АВ и АС являются отрезками касательных к окружности с центром в точке О, проведенными из точки А. Найдите угол ВАС, если середина отрезка ОА лежит на окружности.

Дано :

окружность (О, ОВ),

АВ, АС – отрезки касательных

М лежит на окружности (О, ОВ).

Найти: ВАС.

— В задаче даны касательные к окружности. Какой способ решения мы применяем в данном случае? (Проводим радиус в точку касания. Радиус ОВ и касательная АВ перпендикулярны, аналогично перпендикулярны радиус ОС и касательная АС.)

— Сделайте соответствующие дополнительные построения на чертеже к задаче. Не забудьте соответствующие обозначения для перпендикулярных прямых и радиусов окружности, а также равных отрезков.

— Рассмотрим треугольник ОАВ. Какие элементы в нем известны? Сравните отрезки ОВ и ОА данного треугольника. (Угол АВО равен 90º, отрезок (катет) ОВ в два раза меньше отрезка (гипотенузы) АО.)

-Что из этого следует? (Угол ВАО равен 30º, т. к. катет, лежащий напротив данного угла меньше гипотенузы в 2 раза)

— В каком отношении находятся углы ВАО и САО? Обоснуйте свой ответ

Тогда чему равен искомый угол ВАС? (Данные углы равны, по свойству отрезков касательных проходящих из одной точки. Угол ВАС равен 60º.)

Решение :

Проведем ОВ, ОС – радиусы.

АВ, АС – касательные, (ОВ и ОС – радиусы) АВОВ, АСОС, (свойство касательной) АВО=90º, АСО=90º ΔАВО — прямоугольный

АВО: ОВ=ОМ – радиусы, ОМ=МА (по условию) ОА=ОВ ВАО=30º.

АВ, АС – отрезки касательныхВАО=САО=30º (свойство отрезков касательных) ВАС =60º

Ответ : ВАС =60º.

— Какие теоретические положения мы использовали при решении данной задачи? Сформулируйте соответствующую теорему. (Свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки)

— Представим решение задачи в виде схемы. С какого факта начали решение задачи? ( АС и ВС отрезки касательных к окружности в точках А и В. )

— Что сделали далее? (Применили эвристику : провели радиусы ОВ и ОС в точки касания.)

— Какие следствия из этого получили? ( АВ и ОВ перпендикулярны, АС и ОС перпендикулярны, угол АВО равен 90º, следовательно, треугольник АВО — прямоугольный)

— Что сделали далее? Какие выводы получили? (Рассмотрели элементы треугольника АВО. Получили вывод — угол ВАО равен 30º.)

— Какие факты мы использовали для установления данного вывода? (Точка М, лежащая на окружности, является серединой АО, равенство радиусов ОВ и ОМ)

— Как нашли искомый угол? (На основе свойства отрезков касательной, установили равенство углов ВАО и САО, искомый угол ВАС равен сумме этих углов)

Схема решения задачи №641:

АВ, АС – отрезки касательных (дано) М- середина АО (дано)

провели радиусы ОА и ОВ ВАО=30º

АВО=90º

Δ АВО – прямоугольный ВАС=60º

ВАО=САО

— Сравните полученные схемы и сделайте вывод? ( При решении задач мы использовали данные задачи, и на их основе делали выводы, приводящие к ответу)

— Попробуем построить схему данных задач в общем виде. Мы знаем, что каждая задача состоит из данных и требования. Какие элементы в каждой из рассмотренных задач относятся к данным? (В №636: АС, ВС – касательные, АВ=ОА, в №641: АВ, АС – отрезки касательных М- середина АО)

— На основе какого факта мы провели радиусы к касательным, т. е. сделали вывод 1, какие данные использовали? (На основе свойства касательной. Касательные или отрезки касательных.)

— Сколько следствий (выводов) из вывода 1 получили в №636? №641? (В №636 – 3 следствия, в №641 – 1 следствие, из которого потом получили еще 2 следствия)

— Запишем данные факты, как выводы 2 – выводы n . Рассмотрим схему в №636. Как мы получили вывод, что треугольник ОАВ равносторонний? (Использовали вывод 1(проведенные радиусы) и данные АВ=ОА)

— Запишем в схему данные 2, вывод m (обратите внимание: в №636 – из данного вывода мы сделали еще один вывод, в №641- только 1 вывод), проведем соответствующие связи. На основе чего мы сделали окончательный вывод? (На основе выводов 2- n и вывода m )

— Как вы думаете, использовали ли мы теоретические факты при установлении вывода m и если использовали то какие в каждой задаче? (В № 636 – определение равностороннего треугольника, в №641 – свойство угла 30º в прямоугольном треугольнике)

— Дополним на основе этого нашу схему.

— Какой факт, используемый в схеме задачи №641 мы упустили? (На основе данных 1 и теоретических положений мы сделали еще один вывод – установили равенство углов ВАО и САО)

— Отразим это в нашей схеме. Очевидно, что при решении других задач, мы также можем получить несколько, а не один вывод.

Общая схема решения

данные 1 (касательные) данные 2

теоретические факты теоретические факты

вывод 1(построили радиусы) вывод m (один или несколько)

вывод 2, …, вывод n ответ

вывод k (один или несколько)

— Как вы можете описать полученный метод решения задач? (Используя данные задачи и теоретические факты, строим цепочки выводов (следствий), в результате которой получаем ответ)

— Попробуйте записать данный метод решения в общем виде.

Схема решения: используя данные задачи→ данные + теоретические факты → следствия →требование.

— Встречали ли вы раньше задачи, которые решаются данным методом? (Да, например задачи №1 и №3 на предыдущем уроке)

— Как вы думаете, можно ли использовать данный метод в дальнейшем при решении задач? (Да, возможно)

— Далее рассмотрим задачу на построение.

№ 648 . Постройте касательную к окружности: а) параллельную данной прямой; б) перпендикулярную к данной прямой.

— Какие объекты рассматриваются в задаче? ( В задаче рассматриваются окружность произвольного радиуса, прямая )

— Что требуется построить в задаче? ( Касательную к окружности, параллельную данной прямой. )

Составляется запись условия задачи, выполняется чертеж.

окружность (О, r ), а – прямая.

Построить: а) р – касательная, р||а,

б) р – касательная, ра,

—

Напомню, при решении задач на построение целесообразно исходить изпредположения, что искомый объект построен. Т. е. пусть построена касательная р к данной окружности удовлетворяющая условию: данная касательная параллельна прямой а. Сделайте данный чертеж.

— Рассмотрим данный чертеж. Дана касательная к окружности р в точке касания А. Что из этого следует?

Необходимо провести радиус в точку касания, т. е. провести отрезок ОА. Данный отрезок будет перпендикулярен к прямой р по

— Проведите данный отрезок. Как будут расположены прямая, содержащая отрезок ОА, и прямая а ? Почему? (Они будут перпендикулярны, т. к. прямая ОА перпендикулярна к прямой р, а прямые р и а параллельны)

— Вернемся к задаче. Как построить касательную к окружности параллельную заданной прямой? (Нужно п ровести прямую перпендикулярную данной прямой. Точка пересечения этой прямой и окружности есть точка касания . Затем необходимо провести через данную точку прямую, параллельную прямой а.)

— Выполните необходимые построения и запишите план построения. Составляется план построения, строится искомая касательная.

ОА: ОА а .

ОА окружность (О, r ) = А.

р : А р , р ||a .

р – искомая касательная.

Доказательство: ОВ – радиус окружности (О, r ), Вр, рОВ р – касательная (по признаку).

рОВ, ОАа р||а

— Докажите, что построенная прямая является касательной. Каким теоретическим фактом вы воспользовались при доказательстве? ( Данная прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности и перпендикулярна к нему, следовательно, она является касательной к окружности по признаку .)

— Сколько касательных к окружности можно построить в данной задаче? Чем являются в окружности их точки касания? Как вы думаете, зависит ли способ построения касательной от расположения прямой а ? ( Две. Точки касания являются концами диаметра данной окружности. Способ построения касательной будет таким же при любом расположении прямой а. )

— Какими теоретическими положениями мы воспользовались при решении данной задачи? ( Свойством и признаком касательной к окружности, свойством параллельных прямых .)

— В чем особенность данной задачи на построения касательной? (Особенность задачи заключается в том, что нужно построить касательную в случае, когда неизвестно расположение точки касания).

— Рассмотрим еще раз решение данной задачи и составим его схему. С чего мы начинали ее решение? (Предположили, что искомая касательная построена)

— Какие следствия получили из этого условия? (Данная касательная и прямая а перпендикулярны прямой, содержащей радиус окружности.)

— Какой вывод получили из этого следствия? (Получили способ построения касательной параллельной данной прямой).

— Опишите в общем виде способ решения данной задачи. ( Предполагаем, что требование задачи выполнено, на основе этого, используя теоретический материал, выводим следствия; сравниваем полученные следствия с данными задачи, на основе этого получаем решение задачи)

— Как вы думаете, для решения каких задач можно применить данный способ? (Для решения задач на построение.)

— Решите №648(б) самостоятельно воспользовавшись полученными знаниями.

ОА: ОА|| а, А окружность (О, r ).

р : Ар, рОА.

р – искомая касательная.

Доказательство: ОА – радиус окружности (О, r ), Ар, рОА р – касательная (по признаку)

рОА, ОА || а ра

— Какова была цель сегодняшнего урока? Достигли ли мы ее? ( Учиться осуществлять поиск задачи. Мы достигли данной цели.)

— Какие методы (способы) решения задач мы получили на сегодняшнем уроке?. (Первый способ: рассматриваем условие задачи, используя его и теоретический материал, выводим следствия; сравниваем полученные следствия с требованием задачи. Второй способ: предполагаем, что требование задачи выполнено, на основе этого, используя теоретический материал, выводим следствия; сравниваем полученные следствия с данными задачи, в результате получаем решение задачи.)

— В чем отличие данных способов решения? (В первом случае мы рассматриваем данные задачи, во втором – ее требование)

— Какие свойства касательной к окружности мы применили на сегодняшнем уроке? Сформулируйте их. (Свойство касательной к окружности, свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки, признак касательной к окружности. Соответствующие свойства формулируются)

— Какие еще способы, помогающие в решении задачи мы использовали на уроке? (Эвристики: а) Если проведена касательная к окружности, то необходимо провести радиус в точку касания.)

— Предлагаю вам еще потренироваться в применении выделенных нами способов и эвристик при решении задач. Выдается домашнее задание.

7ой урок. Центральный и вписанный углы окружности.

Учебник. Геометрия. 7-9 классы : учеб. для общеобразоват. учреждений/ [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Э. Г. Позняк]. – 20-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 384 с.

Тип урок. Урок решения ключевых задач.

Формировать умения применять свойства центрального и вписанного углов окружности и основанные на них эвристики в решении задач.

Выявить свойство угла с вершиной вне окружности , свойство угла с вершиной, лежащей на окружности.

Формировать мыслительные операции: анализ, синтез, обобщение, абстрагирование, конкретизация.

Диагностируемые цели. В результате урока ученик

знает : а) формулировки теорем о свойстве центрального и вписанного углов окружности, свойств угла с вершиной вне окружности , угла с вершиной, лежащей на окружности; б) знает формулировки основанных на них эвристик;

понимает : а) как применять выделенные эвристики при решении задач; б) связь между центральным и вписанным углами окружности, опирающихся на одну и ту же дугу;

умеет: а) находить вписанный и центральные углы окружности, угол с вершиной вне окружности , угол с вершиной, лежащей на окружности; б) доказывать свойства угла с вершиной вне окружности , угла с вершиной, лежащей на окружности.

— Какие углы, связанные с окружностью, мы изучили на предыдущих уроках? (Центральные и вписанные углы окружности)

— Каким свойством обладает центральный угол окружности? (центральный угол равен дуге, на которую он опирается)

— Сформулируйте свойство вписанного угла окружности. (Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается)

— Как вы думаете, где применяются данные свойства углов окружности? (В задачах, элементами которых являются данные углы)

— Тогда чему мы должны посвятить сегодняшний урок? (Решению таких задач)

— Попробуйте сформулировать цель урока. ( Решить задачи, в которых используются свойства центрального и вписанного углов окружности)

— Решим следующую задачу.

№ 655. Центральный угол АОВ на 30º больше вписанного угла опирающегося на дугу АВ. Найдите каждый из этих углов.

После осознания учащимися условий задачи можно предложить им составить краткую запись условия и сделать чертеж. Если они не могут этого сделать, необходимо задать следующие вопросы:

— Какие объекты рассматриваются в задаче? Что известно о вписанном и центральном углах окружности? ( В задаче рассматриваются окружность с центром в точке О произвольного радиуса, центральный и вписанный углы, опирающиеся на дугу АВ. Центральный угол больше вписанного на 30º. )

— Что требуется найти в задаче? ( Центральный и вписанный углы. )

Составляется запись условия задачи, выполняется чертеж.

Дано :

АОВ – центральный,

АСВ – вписанный,

АОВ>АСВ на 30º.

Найти: АОВ, АСВ.

— Мы установили, что центральный и вписанный углы опираются на дугу АВ. Чему равны градусные меры данных углов? ( Градусная мера центрального угла АОВ равна градусной мере дуги АВ, вписанный угол АСВ равен половине дуги АВ .)

— Как связаны градусные меры вписанного угла АСВ и центрального угла АОВ? ( Угол АСВ равен половине центрального угла АОВ .)

— Исходя из данных задачи, какое еще соотношение установлено между этими углами? Тогда чему равен угол АОВ? ( Центральный угол АОВ больше вписанного угла АСВ на 30º. Угол АОВ равен сумме угла АСВ и 30º )

— Найдите искомые углы АСВ и АОВ. ( Угол АСВ равен 15º, угол АОВ равен 45º .)

Оформляется решение задачи.

АОВ – центральныйАОВ=АВ

АСВ – вписанный АСВ=АВ АСВ=АОВ

АОВ=АСВ+30º (по условию) АСВ=( АСВ+30º)

АСВ=30º, АОВ=60º.

Ответ : АСВ=30º, АОВ=60º.

— Какими свойствами углов окружности мы воспользовались при решении данной задачи? Можем ли мы использовать эти свойства в качестве эвристик для решения аналогичных задач? Сформулируйте полученные эвристики. (Свойствами центрального и вписанного углов окружности. Эвристики: Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается; вписанный угол равен половине градусной мере дуги, на которую он опирается)

— Рассмотрите еще раз решение задачи и сделайте вывод о соотношении центрального и вписанного углов опирающихся на одну и ту же дугу. ( Если центральный и вписанный углы опираются но одну дугу, то вписанный угол в 2 раза больше центрального. )

№ 661. Найдите острый угол, образованный двумя секущими, проведенными из точки, лежащей вне окружности, если дуги, заключенные между секущими равны 140º и 52º.

Аналогично предыдущей задаче, после осознания учащимися условий задачи можно предложить им составить краткую запись условия и сделать чертеж. Если данный процесс вызывает у них трудности, необходимо задать соответствующие вопросы.

окружность (О, r ), А окружность (О, r ),

ВВ ₁ , СС ₁ – секущие, ВВ ₁ СС ₁ =А,

В ₁ С ₁ =140º, ВС=52º.

Найти: САВ.

— Какие углы в окружности мы умеем находить? Есть ли они в данной задаче? Можем ли мы их построить, и если да, то какой угол нужно построить для решения данной задачи – вписанный или центральный?

Обоснуйте свой ответ. ( Вписанный и центральный углы окружности. В задаче таких углов нет. Для решения данной задачи целесообразно построить вписанный угол, например, угол В ₁ ВС ₁ , т. к. он связан с дугами В ₁ С ₁ и ВС, а также с треугольником АВС ₁ , который содержит искомый угол САВ. )

Далее можно предложить учащимся решить задачу самостоятельно. Приведенные ниже вопросы рассчитаны на «слабый» класс.

— Какие теперь углы в данной задаче мы можем найти? Чему они равны? ( Угол В ₁ ВС ₁ – вписанный, следовательно, равен половине дуге В ₁ С, т. е. 70º, аналогично угол ВС ₁ С равен 26º. )

— Как найти искомый угол САВ? (Из треугольника АС ₁ В: угол ВС ₁ А равен 26º, угол АВС ₁ смежный с углом В ₁ ВС ₁ , следовательно равен 110º. Тогда искомый угол АСВ равен 44º )

Оформление решение задачи.

В ₁ ВС ₁ – вписанныйВ ₁ ВС ₁ = 70º,

аналогично ВС ₁ С=26º . (теорема о вписанном угле)

АВС ₁ : ВС ₁ А = 26º , АВС ₁ = 180º -70º =110º,

САВ=180º — 26º — 110º= 44º.

Ответ : САВ=44º.

— Какие эвристики мы применили при решении данной задачи?

— Какие аспекты данной задачи мы можем использовать при решении других задач? (Мы можем использовать при решении других задач способ отыскания угла между секущими окружности, пересекающимися в точке, лежащей вне окружности.)

— Данный угол в геометрии принято называть углом с вершиной вне окружности. Нельзя ли, вместо способа, полученного в результате решения задачи, найти правило (формулу), выражающее свойство этого угла ?

Если учащиеся затрудняются ответить на данный вопрос, можно предложить вспомогательные вопрос:

-Попробуем решить задачу в общем виде. Запишите последовательность нахождения углов в задаче и чему они равны. Сделайте окончательный вывод.

(В ₁ ВС ₁ =В ₁ С ₁ , ВС ₁ СВС, АВС ₁ =180º-В ₁ С ₁ ,

ВАС=180º — 180º — В ₁ С ₁ —В ₁ С ₁ . )

(Угол с вершиной, лежащей вне окружности, равен полуразности дуг окружности, заключенных между этими секущими)

В тетрадь записывается вывод: , где ВАС – угол между секущими окружности, пересекающимися в точке, лежащей вне окружности .

— Решим следующую задачу.

№ 664. Прямая АМ – касательная к окружности, АВ – хорда этой окружности. Докажите, что угол МАВ измеряется половиной дуги АВ, расположенной внутри угла МАВ.

После осознания учащимися условий задачи можно предложить им составить краткую запись условия и сделать чертеж. Если данный процесс вызывает у них трудности, необходимо задать соответствующие вопросы

АМ – касательная, АВ — хорда,

Доказать: МАВ= АВ.

— В данной задаче дана касательная к окружности. Какой способ решения мы применяем в данном случае? (Проводим радиус в точку касания. Радиус ОА и касательная АМ перпендикулярны)

— Какой из углов окружности, связанный с дугой АВ, мы можем использовать в данной задаче и почему? ( Центральный угол окружности, об этом подсказывает нам радиус АО, который является стороной данного угла.)

— Сделайте соответствующие дополнительные построения на чертеже к задаче. Не забудьте соответствующие обозначения для перпендикулярных прямых и радиусов окружности. Для удобства обозначим градусную меру дуги АВ через α.

— Попробуйте самостоятельно доказать, что угол МАВ измеряется половиной дуги АВ, расположенной внутри угла МАВ.

Если у учащихся решение данной задачи вызывает трудности, можно задать им следующие вопросы.

— Какие теперь углы в данной задаче мы можем найти? Чему они равны? ( Угол АОВ – центральный, следовательно, он равен дуге АВ, т. е. α. Углы ОАВ и ОВА равны, т. к. являются углами при основании равнобедренного треугольника. Они находятся следующим образом: угол ОАВ равен

(180º- α):2, т. е. угол ОАВ равен 90º- α/2.)

— Докажите, что угол с вершиной, лежащей на окружности, т. е. угол МАВ измеряется половиной дуги АВ. (Угол ОАМ равен 90º, т. к. ОА и АМ перпендикулярны. Угол ОАВ известен, он равен 90º- α/2. Следовательно, угол ВАМ находится как разность вышеуказанных углов, т. е. 90º-(90º- α/2)=а/2. Таким образом, угол с вершиной, лежащей на окружности измеряется половиной дуги АВ, расположенной внутри угла этого угла . )

Оформление решение задачи.

Проведем ОА, ОВ — радиусы. АВ= α.

АОВ – центральный АОВ = α. (свойство центрального угла окружности).

ААМ (свойство касательной) ОАМ=90º.

ΔОАВ — равнобедренный: АОВ = α, ОАВ=(180º- α):2= 90º- α/2.

МАВ=ОАМ — ОАВ = 90º — (90º- α/2)= α/2 МАВ= АВ.

— Подведем итог. Какие эвристики мы применили при решении задач, связанных с углами окружности? (Если даны центральный или вписанный углы окружности то можно попытаться использовать тот факт, что: центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается; вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.)

— Сформулируйте свойство угла с вершиной, лежащей вне окружности. (Угол с вершиной, лежащей вне окружности, равен полуразности дуг окружности, заключенных между этими секущими)

— Сформулируйте свойства угла с вершиной, лежащей на окружности. ( Угол с вершиной, лежащей на окружности измеряется половиной дуги, расположенной внутри угла этого угла . )

— Теперь проверим, как вы усвоили знания, полученные в течение предыдущих уроков, в процессе самостоятельной работы.

Источник