Способы решения вычислительных задач
Методы решения вычислительных задач зависят от многих причин: их сложности, математической подготовки учащихся, поставленных учителем целей и т. д.
В зависимости от применяемого математического аппарата различают следующие методы или способы решения вычислительных задач: арифметический, алгебраический, геометрический и графический. По характеру логических операций, используемых в процессе решения, различают аналитический, синтетический и аналитико-синтетический методы.
Арифметический метод. При этом методе над физическими величинами производят только арифметические действия. Физические задачи решают примерно так же, как задачи на уроках арифметики: по вопросам, без применения формул. Арифметический способ применяют в основном на первой ступени обучения физике, когда учащиеся еще не имеют достаточных знаний по алгебре или еще не уяснили достаточно глубоко зависимость между величинами, входящими в физические формулы.
Иногда считают, что отличительная черта арифметического метода — отсутствие буквенных выражений. Дело как раз не в буквенных выражениях, а в том, что при этом методе не составляют и не решают уравнений. Приведем пример решения задачи арифметическим способом, но с применением буквенных выражений. Возьмем задачу на закон Архимеда, когда с буквенными обозначениями соответствующих величин учащиеся уже знакомы.
20. Какой максимальный груз может выдержать в пресной воде плот, связанный из 25 сосновых бревен. Объем каждого бревна составляет в среднем 
Разобрав условие задачи, делаем сначала чертеж (рис. 5). Решение выполняем по вопросам.
1. Каков объем бревен плота? 
2. Чему равна масса плота? По таблице находим, что масса 
древесины равна 
3. Каков вес плота? 
.
4. Чему равна масса вытесненной воды при полном погружении плота в воду? По таблице находим, что масса 
воды равна 
5. Каков вес вытесненной воды? 
6. Чему равен вес груза? 
.
Алгебраический метод. При этом методе применяют имеющиеся у учащихся знания по алгебре, используют формулы, составляют и решают уравнения. Наиболее простой случай применения алгебраического метода состоит в решении задач по готовой формуле. Рассмотрим для примера следующую задачу.
21. Определить сопротивление километра медного провода сечением 
Сопротивление провода находят по формуле 
Удельное сопротивление находят по таблице 
В более сложных задачах окончательную зависимость, с помощью которой вычисляют искомую величину, определяют, используя несколько формул или системы уравнений.
Геометрический метод. При решении задач геометрическим методом искомую величину находят на основании известных учащимся геометрических соотношений. Геометрический метод широко применяют в статике, геометрической оптике, электростатике и других разделах курса физики средней школы.
Приведем пример решения задачи геометрическим методом. 22. Посредине троса длиной 
подвесили фонарь массой 
Определить силу натяжения троса, если стрела прогиба 
Сделаем чертеж (рис. 6,а). Силу тяжести 
разложим на две составляющие и 
направленные вдоль частей троса (рис. 6,б). Нетрудно доказать, что 
Из подобия треугольников следует: 
как стрела прогиба невелика, примем, что 
тогда 
Отсюда 
Искомое натяжение троса равно по величине и противоположно по направлению силе 
В случае геометрического метода решения задач можно использовать не только геометрические соотношения, но и тригонометрические формулы (№ 411, 905).
Графический метод. С геометрическим методом решения задач тесно связан метод графический, при котором для определения искомых величин используют графики. Ввиду значительной специфики этих задач рассматриваем их отдельно (см. стр. 24).
По характеру логических операций различают аналитический и синтетический способы рассуждения при решении задач. При аналитическом способе рассуждения начинают с определения искомой величины, выясняют, как связана эта величина с другими величинами и, последовательно применяя физические формулы, приходят кратчайшим путем к искомой величине (№ 12).
При синтетическом способе рассуждения сначала устанавливают промежуточные зависимости между данными физическими величинами, стараясь подготовить почву для определения искомой величины. В итоге всех операций, часть из которых может оказаться лишней, получают выражение, из которого и находят искомую величину.
Учащиеся чаще всего становятся на путь синтетического решения: они пробуют различные зависимости между величинами, пока не установят такую, которая дает возможность найти искомую величину. При этом, естественно, вначале возможны пути, не приводящие к желаемому результату. Синтетический способ решения наиболее простой, но не всегда короткий.
Аналитический способ труден, так как требует строгой логической последовательности в действиях, но он быстрее приводит к конечной цели.
При решении задач, особенно в старших классах, предпочтение нужно отдать аналитическому способу, так как этот способ имеет большое значение для развития логического мышления. Приведем пример решения задачи аналитическим и синтетическим способами.
23. В шахту равноускоренно опускается бадья массой 280 кг. За первые 10 сек она прошла 35 м. Определить натяжение каната.
При решении задач трудно выделить в чистом виде анализ или синтез, они выступают всегда во взаимосвязи. Поэтому часто говорят об аналитико-синтетическом способе рассуждения при решении задач.
Однако в первом случае, когда мы начинаем рассуждение с вопроса задачи, на первый план выступает все же анализ. Правда, в конце, когда «собирают» общую формулу для решения задачи, проводят синтез. Все же данный способ рассуждения при решении задач можно называть аналитическим.
Во втором способе вначале на первый план выступает синтез, так как синтезируются различные соотношения, которые могут быть установлены по данным и условию задачи. Хотя определенные элементы анализа есть и здесь, все же данный способ рассуждения при решении задачи можно назвать синтетическим.
Источник
Вычислительная математика копия 1
Основные понятия
В повседневной жизни, на производстве, в научно-исследовательской, инженерной или любой другой деятельности человек постоянно сталкивается с решением задач. Задачи, которые мы решаем, по своему назначению можно разделить на две категории: вычислительные задачи, целью которых является определение некоторой величины, и функциональные задачи, предназначенные для создания некого аппарата, выполняющего определенные действия – функции. Например, проектирование нового здания требует решения задачи расчета прочности его фундамента, несущих опорных конструкций, расчета финансовых затрат на строительство, определение оптимального числа работников и т.д. Для повышения производительности труда строителей создано немало машин функционального назначения (решены функциональные задачи), такие как экскаватор, бульдозер, подъемный кран и др.
История развития средств вычислительной техники повествует о том, что мощным толчком для создания первых вычислительных машин стала вторая мировая война. Для успешного ведения войны требовалось решать множество вычислительных задач. Немецкий инженер Конрад Цузе сконструировал вычислительную машину Z2 ( 1941 г .) для выполнения необходимых расчетов при проектировании самолетов и баллистических снарядов. Английские инженеры создали вычислительную машину «Колосс» ( 1943 г .) для дешифровки перехваченных сообщений вражеской армии. Американский инженер Говард Эйкен для выполнения баллистических расчетов создал компьютер «Марк I » ( 1944 г .). Компьютеры первого и второго поколения использовались для решения вычислительных задач, для инженерных, научных, финансовых расчетов, для обработки больших объемов данных. Начиная с третьего поколения, область применения ЭВМ включает и решение функциональных задач: это обработка баз данных, управление, проектирование. Современный компьютер может выполнять практически любые задачи, а массовое использование персональных компьютеров и повсеместное применение новых информационных технологий отводит ему особую роль для решения любых задач.
С точки зрения информатики, решение любой задачи представляет замкнутую технологическую последовательность (рис. 1):
В этом ряду каждый элемент играет свою особую роль. Объектом (от лат. objectum — предмет) называется все то, что противостоит субъекту в его практической и познавательной деятельности, все то, на что направлена эта деятельность. Под объектами понимаются предметы и явления, как доступные, так и недоступные чувственному восприятию человека, но имеющие видимое влияние на другие объекты (например, гравитация, инфразвук или электромагнитные волны). Объективная реальность, существующая независимо от нас, является объектом для человека в любой его деятельности и взаимодействует с ним. Поэтому объект всегда должен рассматриваться во взаимодействии с другими объектами, с учетом их взаимовлияния.
Деятельность человека обычно идет по двум направлениям: исследование свойств объекта с целью их использования (или нейтрализации); создание новых объектов, имеющих полезные свойства. Первое направление относится к научным исследованиям и большую роль при их проведении имеет гипотеза, т .е. предсказание свойств объекта при недостаточной его изученности. Второе направление относится к инженерному проектированию. При этом важную роль играет понятие аналогии – суждении о каком-либо сходстве известного и проектируемого объекта. Аналогия может быть полной или частичной. Это понятие относительно и определяется уровнем абстрагирования и целью построения аналогии. Любой аналог (образ) какого-либо объекта, процесса или явления, используемый в качестве заменителя (представителя) оригинала, называется моделью (от лат. modulus — образец).
Исследование объектов, процессов или явлений путем построения и изучения их моделей для определения или уточнения характеристик оригинала называется моделированием. Моделирование может быть определено как представление объекта моделью для получения информации об этом объекте путем проведения экспериментов с его моделью. Теория замещения объектов-оригиналов объектом-моделью называется теорией моделирования.
Если результаты моделирования подтверждаются и могут служить основой для прогнозирования поведения исследуемых объектов, то говорят, что модель адекватна объекту. Степень адекватности зависит от цели и критериев моделирования.
Все многообразие способов моделирования, рассматриваемого теорией моделирования, можно условно разделить на две группы: аналитическое и имитационное моделирование. Аналитическое моделирование заключается в построении модели, основанной на описании поведения объекта или системы объектов в виде аналитических выражений — формул. При таком моделировании объект описывается системой линейных или нелинейных алгебраических или дифференциальных уравнений, решение которых может дать представление о свойствах объекта. К полученной аналитической модели, с учетом вида и сложности формул применяются аналитические или приближенные численные методы. Реализация численных методов обычно возлагается на вычислительные машины, обладающие большими вычислительными мощностями. Тем не менее, применение аналитического моделирования ограничено сложностью получения и анализа выражений для больших систем.
Имитационное моделирование предполагает построение модели с характеристиками, адекватными оригиналу, на основе какого-либо его физического или информационного принципа. Это означает, что внешние воздействия на модель и объект вызывают идентичные изменения свойств оригинала и модели. При таком моделировании отсутствует общая аналитическая модель большой размерности, а объект представлен системой, состоящей из элементов, взаимодействующих между собой и с внешним миром. Задавая внешние воздействия, можно получить характеристики системы и провести их анализ. В последнее время имитационное моделирование все больше ассоциируется с моделированием объектов на компьютере, что позволяет в интерактивном режиме исследовать модели самых разных по природе объектов.
Системный подход в моделировании систем
Классический (или индуктивный) подход к моделированию рассматривает систему, переходя от частного к общему, и синтезирует ее путем слияния компонент, разрабатываемых отдельно. Системный подход предполагает последовательный переход от общего к частному, когда в основе рассмотрения лежит цель, при этом объект выделяется из окружающего мира.
При создании нового объекта с полезными свойствами (например, системы управления) задаются критерии, определяющие степень полезности полученных свойств. Так как любой объект моделирования представляет собой систему взаимосвязанных элементов, введем понятие системы. Система S есть целенаправленное множество взаимосвязанных элементов любой природы. Внешняя среда Е представляет собой множество существующих вне системы элементов любой природы, оказывающих влияние на систему или находящихся под ее воздействием.
При системном подходе к моделированию, прежде всего, четко определяется цель моделирования. Создание модели полного аналога оригинала дело трудоемкое и дорогое, поэтому модель создается под определенную цель.
Важным для системного подхода является определение структуры системы — совокупности связей между элементами системы, отражающих их взаимодействие. Существует ряд походов к исследованию систем и ее свойств, к которым следует отнести структурный и функциональный. При структурном подходе выявляется состав выделенных элементов системы S и связи между ними. Совокупность элементов и связей позволяет судить о свойствах выделенной части системы. При функциональном подходе рассматриваются функции (алгоритмы) поведения системы, причем, каждая функция описывает поведение одного свойства при внешнем воздействии Е. Такой подход не требует знания структуры системы, а ее описание состоит из набора функций ее реакции на внешние воздействия.
Классический метод построения модели использует функциональный подход, при котором в качестве элемента модели принимается компонента, описывающая поведение одного свойства и не отображающая реальный состав элементов. Кроме этого компоненты системы являются изолированными друг от друга, что плохо отражает моделируемую систему. Такой метод построения модели применим лишь для простых систем, так как требует включения в состав функций, описывающих свойства системы, отношения между свойствами, которые могут быть плохо определены или неизвестны.
С усложнением моделируемых систем, когда невозможно учесть все взаимовлияния свойств, применяется системный метод, основанный на структурном подходе. При этом система S разбивается на ряд подсистем Si ; со своими свойствами, которые, естественно, проще описать функциональными зависимостями, и определяются связи между подсистемами. В этом случае система функционирует в соответствии со свойствами отдельных подсистем и связей между ними. Это избавляет от необходимости описывать функционально взаимосвязи между свойствами системы S , делает модель более гибкой, так как изменение свойств одной из подсистем автоматически изменяет свойства системы.
Классификация видов моделирования
В зависимости от характера изучаемых процессов в системе S и цели моделирования существует множество типов моделей и способов их классификации, например, по цели использования, наличию случайных воздействий, отношению ко времени, возможности реализации, области применения и др. (таблица).
По цели использования модели классифицируются на научный эксперимент, в котором осуществляется исследование модели с применением различных средств получения данных об объекте, возможности влияния на ход процесса, с целью получения новых данных об объекте или явлении; комплексные испытания и производственный эксперимент, использующие натурное испытание физического объекта для получения высокой достоверности о его характеристиках; оптимизационные, связанные с нахождением оптимальных показателей системы (например, нахождение минимальных затрат или определение максимальной прибыли).
По наличию воздействий на систему модели делятся на детерминированные (в системах отсутствуют случайные воздействия) и стохастические (в системах присутствуют вероятностные воздействия). Эти же модели некоторые авторы классифицируют по способу оценки параметров системы: в детерминированных системах параметры модели оцениваются одним показателем для конкретных значений их исходных данных; в стохастических системах наличие вероятностных характеристик исходных данных позволяет оценивать параметры системы несколькими показателями.
Источник
