Способы решения уравнений четвертой степени

Решение уравнений 4-ой степени. Метод Феррари

Схема метода Феррари

Приведение уравнений 4-ой степени

Разложение на множители. Кубическая резольвента

Пример решения уравнения 4-ой степени

Схема метода Феррари

Целью данного раздела является изложение метода Феррари , с помощью которого можно решать уравнения четвёртой степени

a0x 4 + a1x 3 + a2x 2 + + a3x + a4 = 0,

(1)

где a₀, a₁, a₂, a₃, a₄ – произвольные вещественные числа, причем

Метод Феррари состоит из двух этапов.

На первом этапе уравнения вида (1) приводятся к уравнениям четвертой степени, у которых отсутствует член с третьей степенью неизвестного.

На втором этапе полученные уравнения решаются при помощи разложения на множители, однако для того, чтобы найти требуемое разложение на множители, приходится решать кубические уравнения.

Приведение уравнений 4-ой степени

Разделим уравнение (1) на старший коэффициент a₀ . Тогда оно примет вид

x 4 + ax 3 + bx 2 + + cx + d = 0,

(2)

где a, b, c, d – произвольные вещественные числа.

Сделаем в уравнении (2) замену

(3)

где y – новая переменная.

то уравнение (2) принимает вид

В результате уравнение (2) принимает вид

Если ввести обозначения

то уравнение (4) примет вид

y 4 + py 2 + qy + r = 0,

(5)

где p, q, r – вещественные числа.

Первый этап метода Феррари завершён.

Разложение на множители. Кубическая резольвента

Добавив и вычитая в левой части уравнения (5) выражение

где s – некоторое число, которое мы определим чуть позже, из (5) получим

Следовательно, уравнение (5) принимает вид

Если теперь выбрать число s так, чтобы оно являлось каким-нибудь решением уравнения

то уравнение (6) примет вид

Избавляясь от знаменателя, уравнение (7) можно переписать в виде

или, раскрыв скобки, — в виде

Полученное кубическое уравнение (9), эквивалентное уравнению (7), называют кубической резольвентой уравнения 4-ой степени (5).

Если какое-нибудь решение кубической резольвенты (9) найдено, то уравнение (8) можно решить, разложив его левую часть на множители с помощью формулы сокращенного умножения «Разность квадратов».

Таким образом, для решения уравнения (8) остаётся решить квадратное уравнение

а также квадратное уравнение

Вывод метода Феррари завершен.

Пример решения уравнения 4-ой степени

Пример . Решить уравнение

x 4 + 4x 3 – 4x 2 – – 20x – 5 = 0.

(12)

Решение . В соответствии с (3) сделаем в уравнении (12) замену

x = y – 1.

(13)

то в результате замены (13) уравнение (12) принимает вид

y 4 – 10y 2 – 4y + 8 = 0.

(14)

В соответствии с (5) для коэффициентов уравнения (14) справедливы равенства

p = – 10, q = – 4, r = 8.

(15)

В силу (9) и (15) кубической резольвентой для уравнения (14) служит уравнение

которое при сокращении на 2 принимает вид:

s 3 + 5s 2 – 8s – 42 = 0.

(16)

s = – 3.

(17)

Подставляя значения (15) и (17) в формулу (10), получаем уравнение

Подставляя значения (15) и (17) в формулу (11), получаем уравнение

В завершение, воспользовавшись формулой (13), из (18) и (19) находим корни уравнения (12):

Замечание . При решении примера мы попутно получили разложение левой части уравнения (14) на множители:

y 4 – 10y 2 – 4y + 8 = = (y 2 – 2y – 4) (y 2 + + 2y – 2).

(20)

Предоставляем посетителю нашего сайта возможность убедиться в справедливости равенства (19) в качестве несложного упражнения.

Источник

Формула решения уравнения 4 степени

Существует несколько методов нахождения корней полиномиального уравнения 4-ой степени.
Однако они не очень удобны при решении уравнений с коэффициентами, которые представляют собой выражения с параметрами.

1. Формула решения уравнения 4 степени

Рассмотрим уравнение 4-ой степени, сумма корней которого равна нулю. Коэффициенты могут быть вещественными или комплексными.

Произведение следующих двух квадратов тождественно рассматриваемому уравнению 4-ой степени.

Значение R является решением следующего кубического уравнения.

Почти такое же уравнение появляется при решении уравнения 4-ой степени путем разложения на разность полных квадратов. Будем называть данное кубическое уравнение вспомогательным.

Вычислим произведение двух квадратов new.

То же самое, но в форме коэффициентов при степенях x (в порядке убывания степеней).

Упростим выражения для коэффициентов при второй и первой степени x.

Приведенное выражение для первой степени x.

В итоге получаем k1.

Приведенное выражение для второй степени x.

Подставив выражение для R^3 получим

Итак, new тождественно уравнению 4-ой степени, сумма корней которого равна нулю.

Осталась проблема со вспомогательным кубическим уравнением.
Конечно можно использовать традиционные методы решения. Но тогда потребуется преобразовывать уравнение к каноническому виду и отдельно рассматривать три варианта решения в зависимости от значений коэффициентов. Для коэффициентов представляющих из себя выражения с параметрами это не всегда удобно.

2. Решение кубического уравнения методом преобразования Чирнгаузена

Рассмотрим решение кубического уравнения не очень широко распространенным методом преобразования Чирнгаузена.

Итак, решаем исходное уравнение

Суть метода заключается в следующих преобразованиях.

1. Вводится уравнение для y

2. Обе части равенства из п.1 умножаются на x

Затем выражение для x^3 заменяется на

В общем описанные в п.2 преобразования не являются тождественными. Но если считать интересными только значения x, которые являются корнями исходного уравнения, то данные преобразования можно считать квазитождественными. И тогда y представляется выражением, соответствующим корням исходного уравнения.

3. Для кубического уравнения операция в п.2 производится еще один раз. В итоге получается система из 3 уравнений по x, которая имеет три ненулевых решения, соответствующих корням исходного уравнения. Из коэффициентов x формируем матрицу

4. Находим определитель матрицы, который представляется кубическим выражением по y.
Вычисляем значения, обеспечивающие равенство определителя нулю.

5. В уравнении по y имеются два параметра P и Q. Вычислим их так, чтобы нулю равнялись коэффициенты при второй и первой степени y.

6. В итоге имеем уравнение c тремя кратными корнями для y

7. Остается решить квадратное уравнение с известными y, P, Q

Одно из решений будет решением исходного уравнения.

3. Параметры решения вспомогательного кубического уравнения

Для конкретных значений коэффициентов все выглядит не таким страшным образом.

Отметим, что для формулы решения уравнения 4-ой степени требуется только один корень R вспомогательного кубического уравнения.

Для конкретных коэффициентов вспомогательного уравнения имеем

При использовании формулы решения уравнения 4-ой степени необходимо ссылаться — «Метод ftvmetrics».

Интересные задачи присылайте в Direct Инстаграмм.

Источник