Способы решения тригонометрических неравенств 10 класс

Способы решения тригонометрических неравенств
методическая разработка по алгебре (10 класс) по теме

Урок по теме «Способы решения тригонометрических неравенств»

Скачать:

Вложение	Размер
trigonometricheskie_neravenstva.docx	40.53 КБ

Предварительный просмотр:

Алгебра и начала анализа 10 класс Гайдук Л.В. ГБОУ СОШ №1909 г.Москва

Способы решения тригонометрических неравенств.

Образовательные: обеспечить изучение темы.

Развивающие: способствовать формированию умений применять приёмы переноса знаний в новую ситуацию, развитию мышления и речи, внимания и памяти;

Воспитательная: содействие воспитанию активности, аккуратности и внимательности.

1. Устная работа.

1. Решите уравнение: а) б) в) г) д) е)
2. Решите неравенство: а) б) в) г)

1. Объяснение нового материала.

Способы решения тригонометрических неравенств:

1. Приведение к простейшему виду. Пример 1

1. Искусственным путем. Пример 2.

Умножим данное неравенство на 0,5

1. Используя метод интервалов. Общая схема:

1. С помощью тригонометрических формул разложить на множители.
2. Найти точки разрыва и нули функции, поставить их на окружность.
3. Взять любую точку К (но не найденную ранее) и выяснить знак произведения. Если произведение положительно, то поставить точку за единичной окружностью на луче, соответствующему углу. Иначе точку поставить внутри окружности.
4. Если точка встречается четное число раз, назовем ее точкой четной кратности, если нечетное число раз – точкой нечетной кратности. Провести дуги следующим образом: начать с точки К, если следующая точка нечетной кратности, то дуга пересекает окружность в этой точке, если же точка четной кратности, то не пересекает.
5. Дуги за окружностью – положительные промежутки; внутри окружности – отрицательные промежутки.

Точки первой серии:

Точки второй серии:

Каждая точка встречается нечетное число раз, то есть все точки нечетной кратности.

Выясним знак произведения при х=0:

Отметим все точки на единичной окружности (рис.3):

Источник

Простейшие и сложные тригонометрические неравенства

Неравенства – это соотношения вида a › b, где a и b – есть выражения, содержащие как минимум одну переменную. Неравенства могут быть строгими – ‹, › и нестрогими – ≥, ≤.

Тригонометрические неравенства представляют собой выражения вида: F(x) › a, F(x) ‹ a, F(x) ≤ a, F(x) ≥ a, в которых F(x) представлено одной или несколькими тригонометрическими функциями.

Простейшие тригонометрические неравенства

Примером простейшего тригонометрического неравенства является: sin x ‹ 1/2. Решать подобные задачи принято графически, для этого разработаны два способа.

Способ 1 – Решение неравенств с помощью построения графика функции

Чтобы найти промежуток, удовлетворяющий условиям неравенство sin x ‹ 1/2, необходимо выполнить следующие действия:

1. На координатной оси построить синусоиду y = sin x.
2. На той же оси начертить график числового аргумента неравенства, т. е. прямую, проходящую через точку ½ ординаты ОY.
3. Отметить точки пересечения двух графиков.
4. Заштриховать отрезок являющийся, решением примера.

Когда в выражении присутствуют строгие знаки, точки пересечения не являются решениями. Так как наименьший положительный период синусоиды равен 2π, то запишем ответ следующим образом:

Если знаки выражения нестрогие, то интервал решений необходимо заключить в квадратные скобки – [ ]. Ответ задачи можно также записать в виде очередного неравенства:

Способ 2 – Решение тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности

Подобные задачи легко решаются и с помощью тригонометрического круга. Алгоритм поиска ответов очень прост:

1. Сначала стоит начертить единичную окружность.
2. Затем нужно отметить значение аркфункции аргумента правой части неравенства на дуге круга.
3. Нужно провести прямую проходящую через значение аркфункции параллельно оси абсциссы (ОХ).
4. После останется только выделить дугу окружности, являющуюся множеством решений тригонометрического неравенства.
5. Записать ответ в требуемой форме.

Разберем этапы решения на примере неравенства sin x › 1/2. На круге отмечены точки α и β – значения

Точки дуги, расположенные выше α и β, являются интервалом решения заданного неравенства.

Если нужно решить пример для cos, то дуга ответов будет располагаться симметрично оси OX, а не OY. Рассмотреть разницу между интервалами решений для sin и cos можно на схемах приведенных ниже по тексту.

Графические решения для неравенств тангенса и котангенса будут отличаться и от синуса, и от косинуса. Это обусловлено свойствами функций.

Арктангенс и арккотангенс представляют собой касательные к тригонометрической окружности, а минимальный положительный период для обеих функций равняется π. Чтобы быстро и правильно пользоваться вторым способом, нужно запомнить на какой из оси откладываются значения sin, cos, tg и ctg.

Касательная тангенс проходит параллельно оси OY. Если отложить значение arctg a на единичном круге, то вторая требуемая точка будет расположено в диагональной четверти. Углы

являются точками разрыва для функции, так как график стремится к ним, но никогда не достигает.

В случае с котангенсом касательная проходит параллельно оси OX, а функция прерывается в точках π и 2π.

Сложные тригонометрические неравенства

Если аргумент функции неравенства представлен не просто переменной, а целым выражением содержащим неизвестную, то речь уже идет о сложном неравенстве. Ход и порядок его решения несколько отличаются от способов описанных выше. Допустим необходимо найти решение следующего неравенства:

Графическое решение предусматривает построение обычной синусоиды y = sin x по произвольно выбранным значениям x. Рассчитаем таблицу с координатами для опорных точек графика:

В результате должна получиться красивая кривая.

Для простоты поиска решения заменим сложный аргумент функции

Пересечение двух графиков позволяет определить область искомых значений, при которых выполняется условие неравенства.

Найденный отрезок является решением для переменной t:

Однако, цель задания найти все возможные варианты неизвестной x:

Решить двойное неравенство достаточно просто, нужно перенести π/3 в крайние части уравнения и произвести требуемые вычисления:

Ответ на задание будет выглядеть как интервал для строгого неравенства:

Подобные задачи потребует опыта и сноровки учащихся в обращении с тригонометрическими функциями. Чем больше тренировочных заданий будет решено в процессе подготовке, тем проще и быстрее школьник найдет ответ на вопрос ЕГЭ теста.

Источник

Конспект урока на тему «Решение тригонометрических неравентсв»

Решение тригонометрических неравенств.

Тема “Тригонометрические неравенства” является объективно сложной для
восприятия и осмысления учащимися 10-го класса. Поэтому очень важно последовательно, от простого к сложному формировать понимание алгоритма и
вырабатывать устойчивый навык решения тригонометрических неравенств.

Успех освоения данной темы зависит от знания основных определений и свойств
тригонометрических и обратных тригонометрических функций, знания
тригонометрических формул, умения решать целые и дробно-рациональные неравенства, основные виды тригонометрических уравнений. Особый упор нужно делать на методике обучения решения простейших тригонометрических неравенств, т.к. любое тригонометрическое неравенство сводится к решению простейших неравенств

Первичное представление о решении простейших тригонометрических неравенств предпочтительно вводить, используя графики синуса, косинуса, тангенса и котангенса. И только после учить решать тригонометрические
неравенства на окружности.

Остановлюсь на основных этапах рассуждения при решении простейших
тригонометрических неравенств.

Находим на окружности точки, синус (косинус) которых равен данному числу.

В случае строгого неравенства отмечаем на окружности эти точки, как выколотые, в случае нестрогого – как заштрихованные.

Точку, лежащую на главном промежутке монотонности функции синус (косинус), называем Р _t1, другую точку – Р _t2 .

Отмечаем по оси синусов (косинусов) промежуток удовлетворяющий данному неравенству.

Выделяем на окружности дугу, соответствующую данному промежутку.

Определяем направление движения по дуге (от точки Р _t1 к точке Р _t2 по дуге ),
изображаем стрелку по направлению движения, над которой пишем знак “+” или “-” в зависимости от направления движения. (Этот этап важен для
контроля найденных углов. Ученикам можно проиллюстрировать распространенную ошибку нахождения границ интервала на примере решения
неравенства по графику синуса или косинуса и по окружности ).

Находим координаты точек Р _t1 (как арксинус или арккосинус данного числа)и Р _t2 т.е. границы интервала, контролируем правильность нахождения углов, сравнивая t ₁ и t _2.

Записываем ответ в виде двойного неравенства (или промежутка) от меньшего угла до большего.

Конспект урока по теме: “Решение
тригонометрических неравенств”.

– изучить тему решение тригонометрических неравенств,содержащих функции синус и косинус, перейти от простейших неравенств к более сложным.

 закрепление знаний тригонометрических формул, табличных значений тригонометрических функций, формул корней тригонометрических уравнений;

 формирование навыка решения простейших тригонометрических неравенств;

 освоение приёмов решения более сложных тригонометрических неравенств;

 развитие логического мышления, смысловой памяти, навыков самостоятельной работы,
самопроверки;

 воспитание аккуратности и чёткости в оформлении решения, интереса к предмету,
уважения к одноклассникам.

 формирование учебно-познавательных,информационных, коммуникативных компетенций.

Проектор, компьютер,раздаточные карточки с готовыми чертежами тригонометрических кругов, переносная доска, карточки с домашним заданием.

Форма организации обучения – урок — лекция.

Методы обучения, используемые на уроке – словесные, наглядные, репродуктивные, проблемнопоисковые,индивидуального и фронтального опроса, устного иписьменного самоконтроля, самостоятельной работы. Учебная дисциплина: Математика.

Тема: «Решение простейших тригонометрических неравенств»

Тип урока: урок усвоения нового материала с элементами первичного закрепления.

показать алгоритм решения тригонометрических неравенств с использованием единичной окружности.

учить решать простейшие тригонометрические неравенства.

развитие умения обобщать полученные знания;

развитие логического мышления;

развитие у учащихся грамотной устной и письменной математической речи.

учить высказывать свои идеи и мнения;

формировать умения помогать товарищам и поддерживать их;

формировать умения определять, чем взгляды товарищей отличаются от собственных.

Методическая цель: показать технологию овладения знаниями на уроке изучения новых знаний.

Дидактическая цель урока: Создание условий:

для соединения новой информации с уже изученным материалом;

для развития умения осуществлять анализ и отбор необходимой информации;

для развития умений делиться своими идеями и мнениями.

для развития логики, навыков рефлексии.

Форма организации учебной деятельности: коллективная, индивидуальная.

учебник Никольского «Алгебра и начала анализа», 10-11 класс;

презентация MS PowerPoint.

Оргмомент 1 мин

Проверка д\з 3 мин

Объяснение нового материала 35 мин

Подведение итогов 3 мин

2. Проверка д\з у доски №11.29-11.31(в,г)

3.Объяснение нового материала

На этом занятии мы будем решать графическим способом тригонометрические неравенства одного какого-то вида. Сегодня мы решим тригонометрических неравенства вида sint . Вот они:

Составим алгоритм решения.

1. Если аргумент — сложный (отличен от х ), то заменяем его на t .

2. Строим в одной координатной плоскости tOy графики функций y=sint и y=a .

3. Находим такие две соседние точки пересечения графиков (поближе к оси Оу), между которыми синусоида располагается ниже прямой у=а . Находим абсциссы этих точек.

4. Записываем двойное неравенство для аргумента t , учитывая период синуса ( t будет между найденными абсциссами).

5. Делаем обратную замену (возвращаемся к первоначальному аргументу) и выражаем значение х из двойного неравенства, записываем ответ в виде числового промежутка.

Решение тригонометрических неравенств с помощью графиков надежно страхует нас от ошибок только в том случае, если мы грамотно построим синусоиду.

Для построения графика функции y=sinx выберем единичный отрезок, равный двум клеткам. Тогда по горизонтальной оси Ох значение π (≈3,14) составит шесть клеток. Рассчитываем остальные значения аргументов (в клетках).

Вот как будет выглядеть координатная плоскость.

Эти точки мы взяли из таблицы значений синуса. Также используем свойство нечетности функции y=sinx ( sin (-x)=-sinx ), периодичность синуса (наименьший период Т=2π ) и известное равенство: sin (π-x)=sinx . Проводим синусоиду

. Проводим прямую.

Теперь нам предстоит определить такие две точки пересечения синусоиды и прямой, между которыми синусоида располагается ниже, чем прямая. Крайняя точка справа определена, абсцисса ближайшей искомой отстоит от начала отсчета влево на 8 клеток. Построим ее и определим.

Между этими (выделенными) значениями аргумента и находится та часть синусоиды, которая лежит ниже данной прямой, а значит, промежуток между этими выделенными точками удовлетворяет данному неравенству. Учтем период синуса, запишем результат в виде двойного неравенства, а ответ в виде числового промежутка.

Решим второе неравенство.

Синусоиду строим так же, а прямая будет параллельна оси Оt и отстоять от нее на 1 клетку вниз.

Определяем промежуток, внутри которого точки синусоиды лежат ниже прямой.

Записываем промежуток значений введенной переменной t . Возвращаемся к первоначальному значению аргумента ( 2х ). Все части двойного неравенства делим на 2 и определяем промежуток значений х . Записываем ответ в виде числового промежутка.

Аналогично решаем и третье неравенство.

В выделенном промежутке синусоида располагается ниже прямой, поэтому, учитывая периодичность функции синуса, запишем в виде двойного неравенства значения t . Затем вместо t подставим первоначальный аргумент синуса и будем выражать х из полученного двойного неравенства.

Ответ запишем в виде числового промежутка.

И, напоследок: знаете ли вы, что математика — это определения, правила и ФОРМУЛЫ?!

Конечно, знаете! И самые любознательные, изучив эту статью и просмотрев видео, воскликнули: «Как долго и сложно! А нет ли формулы, позволяющей решать такие неравенства безо всяких графиков и окружностей?» Да, разумеется, есть!

ДЛЯ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ ВИДА: sint (-1≤ а ≤1) справедлива формула:

Примените ее к рассмотренным примерам и вы получите ответ гораздо быстрее!

Мы решили три неравенства вида sint . На этом уроке мы рассмотрим три неравенства вида sint>a , где -1≤а≤1 .

Составим алгоритм решения.

1. Если аргумент — сложный (отличен от х ), то заменяем его на t .

2. Строим в одной координатной плоскости tOy графики функций y=sint и y=a .

3. Находим такие две соседние точки пересечения графиков (поближе к оси Оу), между которыми синусоида располагается выше прямой у=а . Находим абсциссы этих точек.

4. Записываем двойное неравенство для аргумента t , учитывая период синуса (t будет между найденными абсциссами).

5. Делаем обратную замену (возвращаемся к первоначальному аргументу) и выражаем значение х из двойного неравенства, записываем ответ в виде числового промежутка.

Решаем первое неравенство:

Учитывая периодичность функции синуса, запишем двойное неравенство для значений аргумента t , удовлетворяющий последнему неравенству. Вернемся к первоначальной переменной. Преобразуем полученное двойное неравенство и выразим переменную х. Ответ запишем в виде промежутка.

Решаем второе неравенство:

При решении второго неравенства нам пришлось преобразовать левую часть данного неравенства по формуле синуса двойного аргумента, чтобы получить неравенство вида: sint≥a. Далее мы следовали алгоритму.

Решаем третье неравенство:

Имейте ввиду, что такие способы решения тригонометрических неравенств, как приведенный выше графический способ и, наверняка, вам известный, способ решения с помощью единичной тригонометрической окружности (тригонометрического круга) применимы лишь на первых этапах изучения раздела тригонометрии «Решение тригонометрических уравнений и неравенств». Думаю, вы припомните, что и простейшие тригонометрические уравнения вы вначале решали с помощью графиков или круга. Однако, сейчас вам не придет в голову решать таким образом тригонометрические уравнения. А как вы их решаете? Правильно, по формулам. Вот и тригонометрические неравенства следует решать по формулам, тем более, на тестировании, когда дорога каждая минута . Итак, решите три неравенства этого урока по соответствующей формуле.

Рассмотрим неравенства вида cost :

Составим алгоритм решения.

1. Если аргумент — сложный (отличен от х ), то заменяем его на t .

2. Строим в одной координатной плоскости tOy графики функций y=cost и y=a .

3. Находим такие две соседние точки пересечения графиков , между которыми синусоида располагается ниже прямой у=а . Находим абсциссы этих точек.

4. Записываем двойное неравенство для аргумента t , учитывая период косинуса Т=2π ( t будет между найденными абсциссами).

5. Делаем обратную замену (возвращаемся к первоначальному аргументу) и выражаем значение х из двойного неравенства, записываем ответ в виде числового промежутка.

Решение тригонометрических неравенств с помощью графиков надежно страхует нас от ошибок только в том случае, если мы грамотно построим синусоиду. (График функции y=cosx также называют синусоидой !)

Преобразуем левую часть неравенства по формуле косинуса двойного аргумента:

Координатную плоскость готовим так же, как готовили для построения графика функции y=sinx ., т.е. единичный отрезок берем равным двум клеткам, тогда значение π изображаем равным шести клеткам и т.д. Вот так должна выглядеть координатная плоскость для построения синусоид:

Воспользуемся таблицей значений косинусов некоторых углов:

а также свойствами: графиков четных функций, непрерывностью и периодичностью функции косинуса. Отмечаем точки:

Проводим через эти точки кривую — график функции y=cosx .

Определяем промежуток значений х , при которых точки синусоиды лежат ниже точек прямой.

Учтем периодичность функции косинуса и запишем в виде двойного неравенства решение данного неравенства:

Находим абсциссы точек пересечения графиков, между которыми график косинуса лежит ниже прямой.

Концы этого промежутка тоже являются решениями неравенства, так как неравенство нестрогое.

Запишем решение в виде двойного неравенства для переменной t.

Подставим вместо t первоначальное значение аргумента.

Ответ запишем в виде промежутка.

А теперь формула , которой вам следует воспользоваться на экзамен ЕГЭ при решении тригонометрического неравенства вида cost

Примените эту формулу для решения рассмотренных неравенств, и вы получите ответ гораздо быстрее и безо всяких графиков!

Рассмотрим тригонометрические неравенства вида: cost>a.

Используем алгоритм решения, как в предыдущем случае:

1. Если аргумент — сложный (отличен от х ), то заменяем его на t .

2. Строим в одной координатной плоскости tOy графики функций y=cost и y=a .

3. Находим такие две соседние точки пересечения графиков , между которыми синусоида располагается выше прямой у=а . Находим абсциссы этих точек.

4. Записываем двойное неравенство для аргумента t , учитывая период косинуса ( t будет между найденными абсциссами).

5. Делаем обратную замену (возвращаемся к первоначальному аргументу) и выражаем значение х из двойного неравенства, записываем ответ в виде числового промежутка.

Далее, по алгоритму, определяем те значения аргумента t , при которых синусоида располагается выше прямой. Выпишем эти значения в виде двойного неравенства, учитывая периодичность функции косинуса, а затем вернемся к первоначальному аргументу х .

Выделяем промежуток значений t , при которых синусоида находится выше прямой.

Записываем в виде двойного неравенства значения t, удовлетворяющих условию. Не забываем, что наименьший период функции y=cost равен 2π . Возвращаемся к переменной х , постепенно упрощая все части двойного неравенства.

Ответ записываем в виде закрытого числового промежутка, так как неравенство было нестрогое.

Нас будет интересовать промежуток значений t , при которых точки синусоиды будут лежать выше прямой.

Значения t запишем в виде двойного неравенства, перезапишем эти же значения для 2х и выразим х . Ответ запишем в виде числового промежутка.

И снова формула , которой вам следует воспользоваться на ЕГЭ при решении тригонометрического неравенства вида cost>a.

Применяйте формулы для решения тригонометрических неравенств, и вы сэкономите время на экзаменационном тестировании.

Источник