Урок в 9-м классе «Система уравнений, сводящихся к квадратным»
Разделы: Математика
Цели урока:
- Повторить ранее изученные различные способы решения уравнений, сводящихся к квадратным.
- Научить сотрудничеству учеников посредством работы в малых группах, а так же взаимопомощи в процессе обучения. 3. Развитие познавательного интереса, интереса к педагогической деятельности.
Форма проведения: Работа в малых группах, с участием консультантов.
ХОД УРОКА
I. Организация начала урока.
Деление на группы
II. Сообщение учащимся цели предстоящей работы. Мотивация учения.
III. Интеллектуальная разминка. (Приложение 1)
Разминка в форме тестовых заданий. Подготовка к ЕГЭ.
IV. Проверка индивидуального домашнего задания, направленного на повторение основных понятий, основополагающих знаний, умений, способов действий. У доски работают консультанты. На предыдущем уроке им было задано индивидуальное домашнее задание.
Системы нелинейных уравнений, сводящихся к квадратным. (Приложение 2)
Решить систему уравнений 
Решение: Если вычесть второе уравнение из первого, получим 
Значит надо решить систему уравнений
откуда 
. Корнями этого квадратного уравнения служат 
. Если y1=3, то из 
находим х1=1. Если же 
.
Ответ: 
Ответ:
Метод введения новых неизвестных при решении систем уравнений. (Приложение 3)
Решить систему уравнений 
Решение. Обозначим 
через u, а 
через v. Тогда система примет вид
То есть получится система двух линейных уравнений с двумя неизвестными u и v. Из первого уравнения выражаем u через v: 
и подставляя во второе уравнение, получим 
, откуда v=2. Теперь находим u=1 и решаем уравнения 
Ответ: 
Ответ:
Решить систему уравнений 
Решение. Заметим, что для решений системы выполняется условие 
. В самом деле, из первого уравнения системы следует, что если 
, а числа 
не удовлетворяют второму уравнению системы. Разделим первое уравнение на 
. Получится уравнение
Введем вспомогательное неизвестное 
. Уравнение примет вид 
. Это квадратное уравнение, имеющее корни 
. Таким образом, из первого уравнения мы получаем, что либо 
либо 
. Осталось подставить выражения 
и 
(рассмотрев оба случая) во второе уравнение системы. В первом случае получится уравнение 
, откуда 
; соответственно 
. Во втором случае получается уравнение 
, откуда 
; соответственно 
Ответ: 
Возможный способ оформления
разделим первое уравнение на , получим
Пусть 
, тогда
Ответ:
V. Работа в малых группах.
Решите систему уравнений
Решите систему уравнений
VI. Подведение итогов урока.
VII. Задание на дом.
Задание по группам. Группа консультантов выполняет № 624 (4, 6, 8).
Источник
Системы уравнений
Прежде чем перейти к разбору как решать системы уравнений, давайте разберёмся, что называют системой уравнений с двумя неизвестными.
Системой уравнений называют два уравнения с двумя неизвестными (чаще всего неизвестные в них называют « x » и « y »), которые объединены в общую систему фигурной скобкой.
Например, система уравнений может быть задана следующим образом.
| x + 5y = 7 |
| 3x − 2y = 4 |
Чтобы решить систему уравнений, нужно найти и « x », и « y ».
Как решить систему уравнений
Существуют два основных способа решения систем уравнений. Рассмотрим оба способа решения.
Способ подстановки
или
«железобетонный» метод
Первый способ решения системы уравнений называют способом подстановки или «железобетонным».
Название «железобетонный» метод получил из-за того, что с помощью этого метода практически всегда можно решить систему уравнений. Другими словами, если у вас не получается решить систему уравнений, всегда пробуйте решить её методом подстановки.
Разберем способ подстановки на примере.
| x + 5y = 7 |
| 3x − 2y = 4 |
Выразим из первого уравнения « x + 5y = 7 » неизвестное « x ».
Чтобы выразить неизвестное, нужно выполнить два условия:
- перенести неизвестное, которое хотим выразить, в левую часть уравнения;
- разделить и левую и правую часть уравнения на нужное число так, чтобы коэффициент при неизвестном стал равным единице.
Перенесём в первом уравнении « x + 5 y = 7 » всё что содержит « x » в левую часть, а остальное в правую часть по правилу переносу.
При « x » стоит коэффициент равный единице, поэтому дополнительно делить уравнение на число не требуется.
| x = 7 − 5y |
| 3x − 2y = 4 |
Теперь, вместо « x » подставим во второе уравнение полученное выражение
« x = 7 − 5y » из первого уравнения.
| x = 7 − 5y |
| 3(7 − 5y) − 2y = 4 |
Подставив вместо « x » выражение « (7 − 5y) » во второе уравнение, мы получили обычное линейное уравнение с одним неизвестным « y ». Решим его по правилам решения линейных уравнений.
Чтобы каждый раз не писать всю систему уравнений заново, решим полученное уравнение « 3(7 − 5y) − 2y = 4 » отдельно. Вынесем его решение отдельно с помощью обозначения звездочка (*) .
| x = 7 − 5y |
| 3(7 − 5y) − 2y = 4 (*) |
Мы нашли, что « y = 1 ». Вернемся к первому уравнению « x = 7 − 5y » и вместо « y » подставим в него полученное числовое значение. Таким образом можно найти « x ». Запишем в ответ оба полученных значения.
| x = 7 − 5y |
| y = 1 |
| x = 7 − 5 · 1 |
| y = 1 |
| x = 2 |
| y = 1 |
Ответ: x = 2; y = 1
Способ сложения
Рассмотрим другой способ решения системы уравнений. Метод называется способ сложения. Вернемся к нашей системе уравнений еще раз.
| x + 5y = 7 |
| 3x − 2y = 4 |
По правилам математики уравнения системы можно складывать. Наша задача в том, чтобы сложив исходные уравнения, получить такое уравнение, в котором останется только одно неизвестное.
Давайте сейчас сложим уравнения системы и посмотрим, что из этого выйдет.
При сложения уравнений системы левая часть первого уравнения полностью складывается с левой частью второго уравнения, а правая часть полностью складывается с правой частью.
| x + 5y = 7 | (x + 5y) + (3x − 2y) = 7 + 4 |
| + => | x + 5y + 3x − 2y = 11 |
| 3x − 2y = 4 | 4x + 3y = 11 |
При сложении уравнений мы получили уравнение « 4x + 3y = 11 ». По сути, сложение уравнений в исходном виде нам ничего не дало, так как в полученном уравнении мы по прежнему имеем оба неизвестных.
Вернемся снова к исходной системе уравнений.
| x + 5y = 7 |
| 3x − 2y = 4 |
Чтобы при сложении неизвестное « x » взаимноуничтожилось, нужно сделать так, чтобы в первом уравнении при « x » стоял коэффициент « −3 ».
Для этого умножим первое уравнение на « −3 ».
При умножении уравнения на число, на это число умножается каждый член уравнения.
| x + 5y = 7 | ·(−3) |
| 3x − 2y = 4 |
| x · (−3) + 5y · (−3) = 7 · (−3) |
| 3x − 2y = 4 |
| −3x −15y = −21 |
| 3x − 2y = 4 |
Теперь сложим уравнения.
| −3x −15y = −21 | (−3x −15y ) + (3x − 2y) = −21 + 4 |
| + => | − 3x − 15y + 3x − 2y = −21 + 4 |
| 3x − 2y = 4 | −17y = −17 |:(−17) |
| y = 1 |
Мы нашли « y = 1 ». Вернемся к первому уравнению и подставим вместо « y » полученное числовое значение и найдем « x ».
| x = 7 − 5y |
| y = 1 |
| x = 7 − 5 · 1 |
| y = 1 |
| x = 2 |
| y = 1 |
Ответ: x = 2; y = 1
Пример решения системы уравнения
способом подстановки
Выразим из первого уравнения « x ».
| x = 17 + 3y |
| x − 2y = −13 |
Подставим вместо « x » во второе уравнение полученное выражение.
| x = 17 + 3y |
| (17 + 3y) − 2y = −13 (*) |
Подставим в первое уравнение полученное числовое значение « y = −30 » и найдем « x ».
| x = 17 + 3y |
| y = −30 |
| x = 17 + 3 · (−30) |
| y = −30 |
| x = 17 −90 |
| y = −30 |
| x = −73 |
| y = −30 |
Ответ: x = −73; y = −30
Пример решения системы уравнения
способом сложения
Рассмотрим систему уравнений.
| 3(x − y) + 5x = 2(3x − 2) |
| 4x − 2(x + y) = 4 − 3y |
Раскроем скобки и упростим выражения в обоих уравнениях.
| 3x − 3y + 5x = 6x − 4 |
| 4x − 2x − 2y = 4 − 3y |
| 8x − 3y = 6x − 4 |
| 2x −2y = 4 − 3y |
| 8x − 3y − 6x = −4 |
| 2x −2y + 3y = 4 |
| 2x − 3y = −4 |
| 2x + y = 4 |
Мы видим, что в обоих уравнениях есть « 2x ». Наша задача, чтобы при сложении уравнений « 2x » взаимноуничтожились и в полученном уравнении осталось только « y ».
Для этого достаточно умножить первое уравнение на « −1 ».
| 2x − 3y = −4 | ·(−1) |
| 2x + y = 4 |
| 2x · (−1) − 3y · (−1) = −4 · (−1) |
| 2x + y = 4 |
| −2x + 3y = 4 |
| 2x + y = 4 |
Теперь при сложении уравнений у нас останется только « y » в уравнении.
| −2x + 3y = 4 | (−2x + 3y ) + (2x + y) = 4 + 4 |
| + => | − 2x + 3y + 2x + y = 4 + 4 |
| 2x + y = 4 | 4y = 8 | :4 |
| y = 2 |
Подставим в первое уравнение полученное числовое значение « y = 2 » и найдем « x ».
Источник
