Способы решения системы двух линейных неравенств

Система неравенств

Чтобы щелкать задачки, нам пригодятся свойства числовых неравенств. Вот они:

Если а > b , то b а.

Если а > b и b > c, то а > c. И также если а b, то а + c > b+ c (и а – c > b – c).
Если же а b и c > d, то а + c > b + d.
Если а 8 почленно вычесть 3 > 2, получим верный ответ 9 > 6. Если из 12 > 8 почленно вычесть 7 > 2, то полученное будет неверным.

Если а > b и c b – d.
Если а d, то а – c b, m — положительное число, то mа > mb и

Обе части можно умножить или разделить на одно положительное число (знак при этом остаётся тем же).
Если же а > b, n — отрицательное число, то nа .

Обе части можно умножить или разделить на одно отрицательное число, при этом знак поменять на противоположный.

Если а > b и c > d, где а, b, c, d > 0, то аc > bd.
Если а 0, то аc b, где а, b > 0, то а 2 > b 2 , и если а 2 2 . На множестве положительных чисел обе части можно возвести в квадрат.

1. Если а > b, где а, b > 0, то b, где а, b > 0″ height=»37″ src=»https://lh3.googleusercontent.com/LF-ukOvvfm3VyVfIMauqN5t80Q55yYM4nvHAT7F8gLqvUqWPsNtXxG7aRF79Foq7MwyONaIRQCIRGQPToOh2YpQYIp2skOqQnhUydgHSJPHX07U-US5MHuxZpH15nzz2Kxq4mv4u» width=»37″> .
   Если а .

Таблица числовых промежутков

Полезна тем, что с ее помощью удобно записывать множество решений.

Источник

Линейные неравенства с двумя переменными и их системы

Линейное неравенство с двумя переменными и его решение

Неравенство вида ax+by $ \begin \lt \\ \gt \\ \le \\ \ge \end $ c , где a, b, c — данные числа, называется линейным неравенством с двумя переменными x и y.

Например: $2x+5y \lt 6; -x+1, 5y \ge 0; \frac<1> <2>x-8y \gt 7$

Решением неравенства с двумя переменными называется упорядоченная пара значений переменных (x,y), обращающая это неравенство в истинное выражение.

Например: для неравенства $2x+5y \lt 6$

пара (-1;-2) является решением, т.к. $2\cdot(-1)+5 \cdot (-2) = -12 \lt 6$ – истина

пара (1;2) не является решением, т.к. $2\cdot1+5\cdot2=12 \not\lt 6$ – ложь

Графическое представление линейного неравенства с двумя переменными

Графическим представлением линейного неравенства с двумя переменными вида ax+by$ \begin \lt \\ \gt \\ \le \\ \ge \end $ c является полуплоскость с границей ax+by = c .

Для строгого неравенства граница не входит в представление, для нестрогого неравенства – входит.

Графическое решение системы линейных неравенств с двумя переменными

Графическим решением системы линейных неравенств с двумя переменными является пересечение их графических представлений на плоскости.

Пересечение двух множеств – это множество, которому принадлежат только те элементы, которые одновременно входят в оба множества.

Пересечение обозначают знаком $\cap$.

Найдём графическое решение системы линейных неравенств:

Решением является треугольник ABC, где A(-1;2), B(0;4), C(2;0).

Примеры

Пример 1. Найдите графическое представление линейного неравенства:

Представление – полуплоскость под границей, сама граница не входит

Представление – полуплоскость под границей, сама граница входит

Представление – полуплоскость справа от границы, сама граница входит

Представление – полуплоскость под границей, сама граница не входит

Пример 2*. Найдите графическое решение системы линейных неравенств:

Решением является квадрат ABCD, где A(-3;-1), B(0;2), C(3;1), D(0;-4)

Пример 3*. Автоперевозчику поступил заказ на перевозку 30 т груза. У него есть 5 машин грузоподъёмностью 3 т и 5 машин грузоподъёмностью 5 т.

Расход топлива для каждого типа грузовиков соответственно 20 и 24 л, общий расход не должен превышать 170 л.

Подберите состав грузовиков для выполнения заказа.

Пусть x — количество грузовиков по 3т, y – по 5т.

По условию задачи:

$$ <\left\< \begin 3x+5y \ge 30 \\ 20x+24y \le 170 \\ x \le 5 \\ y \le 5 \end \right.> $$

Решением системы неравенств является заштрихованный треугольник. Единственным целочисленным решением является точка A(2;5) Таким образом, для выполнения заказа нужно 2 грузовика по 3т и 5 грузовиков по 5т.

Их суммарная грузоподъёмность: $3 \cdot 2+5 \cdot 5 = 31 \gt 30$ достаточна

Суммарный расход топлива: $ 20 \cdot 2+24 \cdot 5 = 160 \lt 170 $ не превышает лимит

Ответ: 2 грузовика по 3т и 5 грузовиков по 5т

Источник

Неравенство. Система линейных неравенств.

Системой линейных неравенств называется любая совокупность двух или более линейных неравенств, содержащих одну и туже неизвестную величину

Вот образцы подобных систем:

Решить систему неравенств означает установить все значения неизвестной величины, при которых реализуются все неравенство системы, либо доказать, что таких не существует.

Все решения системы неравенств формируют множество решений. Если система неравенств не реализуется ни при каких значениях х, то обозначают, что такие системы неравенств несовместимы.

Установим область определения функции .

Область определения или область допустимых значений –это множество всех х при которых функция существует.

Функция существует, когда существуют оба квадратных корня, т.е. под корнем стоит не отрицательное число.

Как рассчитать такую систему? Следует установить все x, одновременно выполняющие условия и первого и второго неравенства.

Воспроизведем на оси x множество решений первого и второго неравенства.

Промежуток пересечения двух лучей и есть наше решение. Следовательно решением данного неравенства выступают все х расположенные между двойкой и восьмеркой.

Ответ: х[2;8]

Применение такого типа отображения решения системы неравенств иногда именуют методом крыш.

Решением системы неравенств выступает пересечение двух множеств. Понять смысл пересечения помогает нижеследующий рисунок. Есть множество А произвольной природы и множество В произвольной природы, которые пересекаются. Если х принадлежит множеству А, то он может находится как любой области А, в том числе и там где данная область пересекается с областью В – xA. Аналогично и для х принадлежащего области В — хB И если х одновременно принадлежит и множеству А и множеству В, то мы получаем систему а значит х принадлежит пересечению двух множеств.

Определение: Пересечением двух множеств А и В называется такое третье множество, которое включает все элементы, входящих и в А и в В. Это смысл пересечения множеств произвольной природы. Нами сейчас детально рассматриваются числовые множества, поэтому при нахождении линейных неравенств такими множествами являются лучи – сонаправленные, противонаправленные и так далее.

Выясним на реальных примерах нахождение линейных систем неравенств, как определить пересечения множеств решений отдельных неравенств, входящих в систему.

Вычислим систему неравенств:

1.

Поместим одну под другой две силовые прямые. На верхней нанесем те значения х, которые выполняют первое неравенство x>7, а на нижней – которые выступают решением второго неравенства x>10 Соотнесем результаты числовых прямых, выясним, что оба неравенства будут удовлетворятся при x>10.

2.

Делаем по аналогии с первым образцом. На заданной числовой оси наносим все те значения х при которых существует первое неравенство системы, а на второй числовой оси, размещенной под первой, — все те значения х , при которых выполняется второе неравенство системы. Соотнесем эти два результата и определим, что оба неравенства одновременно будут выполнятся при всех значениях х расположенных между 7 и 10 с учетом знаков получаем 7 -∞ ; 7].

4.Решить систему

Откуда может взяться второе неравенство системы? Например, из неравенства x 2 + 1 ≥ 0,

x 2 ≥ ­ -1 – верно для всех хR, то есть .х (-∞; ∞).

Графически обозначим решения каждого неравенства и найдем промежуток их пересечения.

Таким образом, если мы имеем систему, в которой одно из неравенств удовлетворяет любому значению x, то его можно отбросить.

5.

Ответ:x система противоречива.

Источник

Вам также может понравиться

Ясень семена способ распространения

Ясень обыкновенный Fraxinus excelsior – так в ботанической

Ярлыки способы создания ярлыков ос windows

Создаем ярлыки на рабочем столе Windows Создаем ярлыки

Японское удобрение фуджима способ применения

Удобрения Фуджима Знаете потрясающее удобрение, палочка

Японский чай способ заварки

Технология заваривания японского чая Известно, что