Способы решения рациональных чисел

Действия с рациональными числами, правила, примеры, решения.

В этой статье мы разберем основные арифметические действия с рациональными числами: сложение, вычитание, умножение и деление, дадим правила выполнения этих действий и рассмотрим решения примеров.

Навигация по странице.

Сложение рациональных чисел

Так как рациональные числа содержат натуральные числа, то смысл сложения рациональных чисел, должен быть согласован со смыслом сложения натуральных чисел. К примеру, сумма рациональных чисел вида 2+1/3 может означать такое действие: к 2 целым предметам добавили одну третью часть такого предмета, и теперь они рассматриваются совместно.

Теперь можно переходить к правилам сложения рациональных чисел, и к рассмотрению примеров применения этих правил.

Сложение нуля с другим рациональным числом

Сформулируем правило сложения рационального числа с нулем: прибавление нуля к любому числу дает это же число. С помощью букв это правило записывается так: a+0=a для любого рационального a , а в силу переместительного свойства сложения рациональных чисел также справедливо равенство 0+a=a .

Приведем пару примеров. Сумма рационального числа 0,5 и числа 0 равна 0,5 . Еще пример: .

Сложение противоположных рациональных чисел

Теперь установим, как проводится сложение противоположных рациональных чисел: сумма противоположных чисел равна нулю. В буквенном виде это правило имеет такую запись: a+(−a)=0 , для любого рационального a .

Например, рациональные числа 4,(35) и −4,(35) – противоположные, значит, их сумма равна нулю, то есть, 4,(35)+(−4,(35))=0 . Другой пример: .

Сложение положительных рациональных чисел

Любое положительное рациональное число можно записать в виде обыкновенной дроби. Таким образом, для сложения положительных рациональных чисел нужно знать, как рациональные числа приводятся к виду обыкновенных дробей, и как выполняется сложение обыкновенных дробей.

Сложите рациональные числа 0,7 и 7/8 .

Выполнив перевод десятичной дроби в обыкновенную, от суммы 0,7+7/8 приходим к сумме 7/10+7/8 . Осталось провести сложение обыкновенных дробей с разными знаменателями: .

.

Если складываемые рациональные числа можно записать как конечные десятичные дроби, либо как смешанные числа, то можно выполнить сложение десятичных дробей и сложение смешанных чисел соответственно.

Сложение рациональных чисел с разными знаками

Для сложения рациональных чисел с разными знаками используется правило сложения чисел с разными знаками: из большего модуля слагаемых надо вычесть меньший, и перед полученным числом поставить знак того числа, модуль которого больше.

Выполните сложение рациональных чисел с разными знаками 7,2 и .

Нам нужно сложить положительное число с отрицательным. По правилу сложения чисел с разными знаками нам сначала нужно найти модули слагаемых: . Сравнение рациональных чисел 7,2 и дает , значит, остается от 7,2 отнять , и перед полученным числом поставить знак плюс. Заменив десятичную дробь 7,2 смешанным числом , приходим к вычитанию смешанных чисел: . Перед полученным числом нет смысла ставить знак плюс, так как запись отвечает числу .

.

Сложение отрицательных рациональных чисел

Сложение отрицательных рациональных чисел проводится по правилу сложения отрицательных чисел: складываются модули слагаемых и перед полученным числом ставится знак минус.

Приведем пример сложения отрицательных рациональных чисел.

Сложите отрицательное число −4,0203 с отрицательным числом −12,193 .

Модули складываемых чисел равны 4,0203 и 12,193 соответственно. Сложим десятичные дроби столбиком:

Осталось перед полученным числом поставить знак минус, имеем −16,2133 .

Вычитание рациональных чисел

Переходим к рассмотрению следующего действия над рациональными числами – вычитания. Вычитание является действием, обратным к сложению. То есть, вычитание – это нахождение неизвестного слагаемого по сумме и известному слагаемому. Это также означает, что из равенства c+b=a следует, что a−b=с и a−c=b , и наоборот, из равенств a−b=с и a−c=b следует, что c+b=a .

Вычитание из большего положительного рационального числа меньшего числа сводится либо к вычитанию обыкновенных дробей, либо, если это удобно, к вычитанию десятичных дробей или вычитанию смешанных чисел.

Вычислите разность рациональных чисел вида .

Для начала будем действовать как при переводе периодической десятичной дроби в обыкновенную дробь: . Так мы приходим к вычитанию обыкновенной дроби из смешанного числа: .

.

В остальных случаях вычитание рациональных чисел заменяется сложением: к уменьшаемому прибавляется число, противоположное вычитаемому. То есть, a−b=a+(−b) .

Это равенство доказывается на основании свойств действий с рациональными числами. Они позволяют записать такую цепочку равенств: (a+(−b))+b=a+((−b)+b)=a+0=a , откуда в силу смысла вычитания следует, что сумма вида a+(−b) является разностью чисел a и b .

Выполните вычитание из рационального числа 2/7 рационального числа .

Число, противоположное вычитаемому, есть . Тогда . Так мы пришли к сложению рациональных чисел с разными знаками, имеем .

.

Умножение рациональных чисел

Понятие числа расширяется от натуральных чисел к целым, а от целых чисел к рациональным. Это объясняет тот факт, что действия с целыми числами обладают всеми свойствами действий с натуральными числами. Следовательно, действия с рациональными числами должны обладать всеми свойствами действий с целыми числами. Однако для умножения рациональных чисел характерно еще одно свойство — свойство умножения взаимно обратных чисел.

С указанным принципом согласуются все перечисленные ниже правила умножения рациональных чисел.

Умножение на нуль

Начнем с правила умножения рационального числа на нуль: произведение любого числа a на нуль есть нуль. Запишем это утверждение в буквенном виде: a·0=0 для любого рационального числа a , а в силу переместительного свойства умножения это равенство можно переписать как 0·a=0 .

Приведем примеры. Умножение рационального числа 5/12 на 0 дает 0 , произведение нуля и отрицательного рационального числа также равно нулю. В частности произведение нуля на нуль есть нуль, то есть, 0·0=0 .

Умножение на единицу

Теперь озвучим правило умножения рационального числа на единицу: умножение любого рационального числа a на 1 в результате дает число a . То есть, a·1=a или 1·a=a , для любого рационального a . Таким образом, единица является нейтральным числом по умножению.

Например, умножение рационального числа 4,73 на 1 в результате дает 4,73 . Другой пример: произведение равно .

Произведение взаимно обратных чисел

Если множители являются взаимно обратными числами, то их произведение равно единице. То есть, a·a −1 =1 .

Так произведение взаимно обратных чисел 7/8 и 8/7 равно единице. Аналогично, умножение −1,5 на −0,(6) в результате дает 1 , так как −1,5=−3/2 и −0,(6)=−2/3 , а −3/2 и −2/3 – взаимно обратные числа.

Умножение положительных рациональных чисел

В общем случае умножение положительных рациональных чисел можно свести к умножению обыкновенных дробей. Для этого множители нужно представить в виде обыкновенных дробей, если они сразу не являются таковыми.

Вычислите произведение положительных рациональных чисел 0,4 и 5/28 .

Представим десятичную дробь 0,4 в виде обыкновенной дроби: 0,4=4/10=2/5 . Таким образом, . Осталось выполнить умножение обыкновенных дробей: . На этом умножение исходных рациональных чисел завершено.

Вот все решение: .

.

Иногда удобно работать с конечными десятичными дробями, не выполняя переход к обыкновенным дробям.

Вычислите произведение рациональных чисел вида 2,121·3,4 .

Здесь мы можем выполнить умножение десятичных дробей столбиком:

Проведите умножение рациональных чисел 0,(1) и 3 .

Сначала переведем периодическую десятичную дробь в обыкновенную дробь: . Таким образом, от умножения исходных рациональных чисел 0,(1) и 3 ми переходим к умножению обыкновенной дроби 1/9 на 3 . В итоге имеем .

.

Умножение рациональных чисел с разными знаками

Для умножения рациональных чисел с разными знаками применяется правило умножения чисел с разными знаками: надо умножить модули множителей и перед полученным числом поставить знак минус. Это правило позволяет от умножения рациональных чисел с разными знаками перейти к умножению положительных рациональных чисел, с которым мы разобрались в предыдущем пункте.

Рассмотрим решение примера.

Выполните умножение отрицательного рационального числа на положительное рациональное число .

По правилу умножения чисел с разными знаками имеем . Заменив смешанные числа соответствующими неправильными дробями, завершаем вычисления .

.

Умножение отрицательных рациональных чисел

Умножение отрицательных рациональных чисел сводится к умножению положительных чисел. При этом применяется следующее правило умножения отрицательных чисел: нужно перемножить модули множителей.

Рассмотрим применение этого правила при решении примера.

Выполните умножение отрицательных рациональных чисел −3,146 и −56 .

Модули множителей равны соответственно 3,146 и 56 . Вычислим их произведение, для этого выполним умножение столбиком:

Таким образом, произведение исходных отрицательных рациональных чисел равно 176,176 .

Деление рациональных чисел

Деление представляет собой действие, обратное умножению. Иными словами, деление – это нахождение неизвестного множителя по известному произведению и другому множителю. То есть, смысл деления таков: из равенства b·c=a следует, что a:b=c и a:c=b , и, наоборот, из равенств a:b=c и a:c=b следует, что b·c=a .

На множестве рациональных чисел деление сложно считать самостоятельным действием, так как оно выполняется посредством умножения. Об этом свидетельствует следующее правило деления рациональных чисел: разделить число a на отличное от нуля число b – это все равно, что умножить делимое a на число, обратное делителю. То есть, на множестве рациональных чисел a:b=a·b −1 .

Доказать это равенство не составляет труда. Действительно, в силу свойств действий с рациональными числами справедливы равенства (a·b −1 )·b=a·(b −1 ·b)=a·1=a , которые доказывают равенство a:b=a·b −1 .

Итак, деление рационального числа на отличное от нуля рациональное число сводится к умножению рациональных чисел.

Осталось лишь рассмотреть пример деления рациональных чисел по озвученному правилу.

Выполните деление .

Найдем число, обратное делителю . Запишем это число в виде неправильной дроби: . Тогда число, обратное этой дроби есть .

Теперь мы можем по правилу деления перейти от деления рациональных чисел к умножению, что позволит нам закончить вычисления: .

.

Источник