Способы решения простейших тригонометрических неравенств

Простейшие тригонометрические неравенства

п.1. Решение неравенств с синусом

Алгоритм решения неравенства \(sinx\gt a\)

Шаг 1. В числовой окружности на оси синусов отметить точку с ординатой \(a\). Провести горизонталь \(y=a\), отметить точки её пересечения с окружностью.

Шаг 2. Решить уравнение \(sin⁡x=a\). Про решение простейших тригонометрических уравнений – см. §19 данного справочника. Полученные базовые решения являются значениями точек пересечения, подписать их.

Шаг 3. Дуга числовой окружности над проведенной горизонталью – искомое решение. Записать ответ, обходя дугу против часовой стрелки. Добавить к концам полученного интервала полный период.
Решение имеет вид: \((arcsina+2\pi k;\ \pi-arcsin a+2\pi k)\)

$$ sin x\gt \frac12 $$ 1. Проводим горизонталь \(y=\frac12\), отмечаем точки пересечения (незакрашенные, т.к. неравенство строгое). 2. Решаем уравнение \(sinx=\frac12\) \begin x=(-1)^k\frac\pi6+\pi k= \left[ \begin \frac\pi6+2\pi k\\ \frac<5\pi><6>+2\pi k \end \right. \end Подписываем точку справа \(\frac\pi6\) и точку слева \(\frac<5\pi><6>\). 3. При обходе полученной дуги против часовой стрелки получаем интервал: \((\frac\pi6;\ \frac<5\pi><6>)\). Добавляем к концам интервала полный период. Ответ: \(\left(\frac\pi6;+2\pi k;\ \frac<5\pi><6>+2\pi k\right)\)

Алгоритм решения неравенства \(sinx\geq a\) будет таким же, только точки на числовой окружности будут закрашенными, и в ответе будет отрезок (с квадратными скобками).

Алгоритм решения неравенства \(sin⁡x\lt a\) будет отличаться тем, что в ответе нужно записывать дугу под горизонталью \(y=a\). При этом не забываем, что дугу нужно обходить в сторону возрастания. Поэтому угол слева пишут отрицательным (отсчитывая период назад).

Наконец, в неравенстве \(sin⁡x\leq a\) всё будет то же, что и в \(sin⁡x\lt a\). Только точки на концах будут закрашенными и войдут в ответ (с квадратными скобками).

$$ sin x\leq -\frac<\sqrt<2>> <2>$$ 1. Проводим горизонталь \(y=-\frac<\sqrt<2>><2>\), отмечаем точки пересечения (закрашенные, т.к. неравенство нестрогое). 2. Решаем уравнение \(sinx=-\frac<\sqrt<2>><2>\) \begin x=(-1)^k\left(-\frac\pi4\right)+\pi k= \left[ \begin -\frac<3\pi><4>+2\pi k\\ -\frac<\pi><4>+2\pi k \end \right. \end Подписываем точку справа \(-\frac<3\pi><4>\) и точку слева \(-\frac<\pi><4>\). 3. При обходе полученной дуги против часовой стрелки получаем отрезок: \(\left[-\frac<3\pi><4>;-\frac<\pi><4>\right]\). Добавляем к концам отрезка полный период. Ответ: \(\left[-\frac<3\pi><4>+2\pi k;-\frac<\pi><4>+2\pi k\right]\)

п.2. Решение неравенств с косинусом

Алгоритм решения неравенства \(cosx\gt a\)

Шаг 1. В числовой окружности на оси косинусов отметить точку с абсциссой \(a\). Провести вертикаль \(x=a\), отметить точки её пересечения с окружностью.

Шаг 2. Решить уравнение \(cos⁡x=a\). Полученные базовые решения являются значениями точек пересечения, подписать их.

Шаг 3. Дуга числовой окружности справа от проведенной вертикали – искомое решение. Записать ответ, обходя дугу против часовой стрелки. Добавить к концам полученного интервала полный период.
Решение имеет вид: \((-arccos⁡a+2\pi k;\ arccos⁡a+2\pi k)\)

$$ cosx\gt \frac<\sqrt<3>> <2>$$ 1. Проводим вертикаль \(x=\frac<\sqrt<3>><2>\), отмечаем точки пересечения (незакрашенные, т.к. неравенство строгое). 2. Решаем уравнение \(cosx=\frac<\sqrt<3>><2>\) \begin x=\pm\frac\pi6+2\pi k \end Подписываем точку снизу \(-\frac\pi6\) и точку сверху \(\frac<\pi><6>\). 3. При обходе полученной дуги против часовой стрелки получаем интервал: \(\left(-\frac\pi6;\frac\pi6\right)\). Добавляем к концам интервала полный период. Ответ: \(\left(-\frac\pi6;+2\pi k;\ \frac<\pi><6>+2\pi k\right)\)

Алгоритм решения неравенства \(cosx\geq a\) будет таким же, только точки на числовой окружности будут закрашенными, и в ответе будет отрезок (с квадратными скобками).

Алгоритм решения неравенства \(cosx\lt a\) будет отличаться тем, что в ответе нужно записывать дугу слева от вертикали \(x=a\). При этом не забываем, что дугу нужно обходить в сторону возрастания, сверху вниз. Значение угла снизу должно быть больше, чем угла сверху.

Наконец, в неравенстве \(cos⁡x\leq a\) всё будет то же, что и в \(cosx\lt a\). Только точки на концах будут закрашенными и войдут в ответ (с квадратными скобками).

п.3. Решение неравенств с тангенсом

Алгоритм решения неравенства \(tgx\gt a\)

Шаг 1. На оси тангенсов (касательной к числовой окружности в точке (1,0)) отметить точку с ординатой \(a\). Провести луч из начала координат через отмеченную точку, отметить точку её пересечения с окружностью.

Шаг 2. Решить уравнение \(tg⁡x=a\). Полученное базовое решение является значением точки пересечения.

Шаг 3. Дуга числовой окружности от отмеченной точки до \(\frac\pi2\) (в которой \(tgx\rightarrow +\infty\)) – искомое решение. Записать ответ, обходя дугу против часовой стрелки. Добавить к концам полученного интервала полный период.
Решение имеет вид: \(\left(arctga+\pi k;\ \frac\pi2+\pi k\right)\)

$$ tg x\gt -\frac<1><\sqrt<3>> $$ 1. На оси тангенсов отмечаем точку \(-\frac<1><\sqrt<3>>\). Проводим луч из начала координат через эту точку. 2. Решаем уравнение \(tgx=-\frac<1><\sqrt<3>>\) \begin x=-\frac\pi6+\pi k \end Подписываем точку снизу \(-\frac\pi6.\) Верхней границей интервала будет \(\frac\pi2\), угол, в котором \(tgx\rightarrow +\infty .\) 3. При обходе полученной дуги против часовой стрелки получаем интервал: \(\left(-\frac\pi6;\frac\pi2\right)\). Добавляем к концам интервала период для тангенса. Строго говоря, на числовой окружности длиной \(2\pi\) получим две дуги для тангенса с периодом \(\pi\). Ответ: \(\left(-\frac\pi6;+\pi k;\ \frac<\pi><2>+\pi k\right)\)

Алгоритм решения неравенства \(tg⁡x\lt a\) будет отличаться тем, что в ответе нужно записывать дугу от точки \(-\frac\pi2\) (в которой \(tgx\rightarrow -\infty\)) до найденного арктангенса.

Для нестрогих неравенств будут получаться полуинтервалы, в которых точки \(\pm\frac\pi2\) (\(tgx\rightarrow \pm\infty\)) будут ограничены круглой скобкой, а найденные арктангенсы – квадратной.

п.4. Решение неравенств с котангенсом

Решение неравенств с котангенсом аналогично решению с тангенсом. Для решения используется ось котангенсов (касательная к числовой окружности в точке (0;1)).

В неравенствах вида \(ctgx\gt a\) пределу \(ctgx\rightarrow +\infty\) соответствует угол 0.

В неравенствах вида \(ctgx\lt a\) пределу \(ctgx\rightarrow -\infty\) соответствует угол \(\pi\).

п.5. Примеры

Пример 1. Решите неравенства:

a) \(sinx\leq \frac<\sqrt<2>><2>\) $$ x\in\left[-\frac<5\pi><4>+2\pi k;\ \frac<\pi><4>+2\pi k\right] $$	б) \(cosx\lt -\frac<1><2>\) $$ x\in\left(\frac<2\pi><3>+2\pi k;\ \frac<4\pi><3>+2\pi k\right) $$
в) \(sinx\gt -\frac<\sqrt<3>><2>\) $$ x\in\left(-\frac<\pi><3>+2\pi k;\ \frac<4\pi><3>+2\pi k\right] $$	г) \(tgx\geq 1\) $$ x\in\left.\left(-\frac<\pi><2>+\pi k;\ \frac<\pi><4>+\pi k\right.\right] $$

Пример 2*. Решите неравенства:

a) \(cosx\gt -1\) Справа от вертикали \(x=-1\) расположена вся числовая окружность, кроме точки \(\pi\).

Ответ: \(x\ne \pi+2\pi k\) б) \(4cos^2\frac x2-3\leq 0\)
\(4\cdot \frac<1+cosx><2>\leq 3\)
\(2+2cosx\leq 3\)
\(cosx\leq\frac12\)

Ответ: \(\left[\frac\pi3+2\pi k;\ \frac<5\pi><3>+2\pi k\right]\)

в) \(-\sqrt<3>\lt tgx\leq 5\)
\(-arctg\sqrt<3>+\pi k\lt x\leq arctg5+\pi k\)
\(-\frac\pi3+\pi k\lt x\leq arctg5+\pi k\)
Ответ: \(\left.\left(-\frac<\pi><3>+\pi k;\ arctg5+\pi k\right.\right]\)

г) \(tg\left(x-\frac\pi4\right)\gt\sqrt<3>\)
\(arctg\sqrt<3>+\pi k\lt x-\frac\pi4\lt\frac\pi2+\pi k\)
\(\frac\pi4+\frac\pi3+\pi k\lt x\lt\frac\pi4+\frac\pi2+\pi k\)
\(\frac<7\pi><12>+\pi k\lt x\lt\frac<3\pi><4>+\pi k\)
Ответ: \(\left(\frac<7\pi><12>+\pi k;\ \frac<3\pi><4>+\pi k\right)\)

Источник

О тригонометрических неравенствах: понятие, типы и особенности решения

Что такое тригонометрические неравенства

Тригонометрические неравенства — неравенства, в которых переменные находятся только под знаком тригонометрической функции.

Тригонометрические функции обозначаются как:

При доказательстве тригонометрических неравенств применяют общие приемы доказательства алгебраических неравенств.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

При этом в тригонометрии спектр применяемых математических методов богаче.

К ним относятся:

• метод от обратного;
• аналитико-синтетический метод;
• методы математического анализа;
• метод математической индукции;
• элементы геометрии;
• векторная алгебра;
• графический метод.

Виды тригонометрических неравенств

Неравенства в тригонометрии подразделяются на два вида:

По однородности они делятся на два типа:

В однородных неравенствах у всех слагаемых степень одинакова по сумме.

Примеры таких неравенств:

В неоднородных — степени слагаемых будут отличаться друг от друга.

Простейшие

Простейшие тригонометрические неравенства имеют вид:

sin х m, cos x m, tg x m, ctg >m; ctg Пример

\(sin 3x — sin x > 0; \)

\(cos x — 5x + 2 > 0.\)

Методы решения тригонометрических неравенств

Общие сведения по решению тригонометрических неравенств

При решении тригонометрических неравенств используют свойство монотонности тригонометрических функций и промежутки их знакопостоянства.

Монотонность характерна как для убывающих, так и для возрастающих функций. Она означает, что в определенном промежутке большему по значению аргумента будет соответствовать большее или меньшее значение функции в зависимости от возрастания или убывания функции, соответственно.

О промежутках знакопостоянства говорят, когда множеству значений аргумента соответствуют только положительные или только отрицательные значения функции.

Чтобы решить простейшее тригонометрическое неравенство, необходимо найти множество всех значений аргумента, которые обращают данное неравенство в верное числовое неравенство.

Важные моменты в решении простейших тригонометрических неравенств:

sin x = 0, если \(\mathrm x=\mathrm<πR>, \ R\in Z;\)

sin x = -1, если \(x=-\frac\pi R+2\pi R\,, \ R\in Z;\)

sin x = 1, если \(x=\frac\pi2+2\pi R, \ R\in Z;\)

sin x > 0, если \(2\pi R

для cos x:

cos x = 0, если \(x=\frac\pi2+\pi R,\ R\in Z;\)

cos x = -1, если \ \(x=\pi+2\pi R, \ R\in Z;\)

cos x = 1, если \(x=2\pi R, \ R\in Z;\)

cos x > 0, если \(2\pi R-\frac\pi2

cos x \(2\pi R+\frac\pi2

tg x > 0, если \(\pi R

tg x \(\pi R-\frac\pi2

тангенс не существует, если \(x=\frac\pi2+\pi R, \ R\in Z.\)

Нестандартные способы решения тригонометрических неравенств включают в себя несколько методик:

1. Графический метод.
2. Метод постановки.
3. Метод интервалов.
4. Метод секторов.
5. Метод концентрических окружностей для систем тригонометрических неравенств.

Для решения простейших тригонометрических неравенств применяют графический способ решения и решение с помощью числовой окружности.

Решение тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности

Решите неравенство: sin x > ½.

Построим единичную окружность. Построим на ней дуги AC и \(AC_1\) . Их синус должен быть равен ½.

Из окружности видно, что все дуги, начинающиеся в точке А и заканчивающиеся в любой внутренней точке дуги \(CBC_1\) , удовлетворяют данному неравенству.

Чтобы получить все решения данного неравенства, прибавим к концам этого промежутка 2πR.

Ответ: \(\frac\pi6+2\pi R

Решите неравенство: cos 3x > ½.

Обозначим 3х через α.

Неравенство примет вид:

Этому неравенству удовлетворяют все точки \[P_\alpha\] единичной окружности, абсциссы которых больше или равны -1/2.

На окружности видно, что эти точки дуги лежат на прямой \(х=-1/2\) или правее ее.

Выделенная на рисунке дуга представляет собой множество всех точек, удовлетворяющих данному неравенству. Концы этой дуги входят в искомое множество. Их абсциссы равны -1/2, значит, удовлетворяют неравенству.

Учитывая периодичность косинуса, запишем решения для неравенства

\(-\frac<2\pi>3+2\pi R\leq\alpha\leq\frac<2\pi>3+2\pi R, \ R\in Z.\)

Вернемся снова к переменной х, получим искомый ответ:

Решите неравенство: tg 2x > 1.

Обозначим 2х через α.

Неравенство примет вид:

Построим окружность и проведем касательную к окружности в точке (1; 0). Эта линия является тангенсом.

Так как α является решением неравенства tg α ≥ 1, то ордината точки \(T_\alpha\) линии тангенсов tg α должна быть равна или больше 1. Луч АТ имеет все эти точки.

Точки \(P_\alpha\) окружности, соответствующие точкам \( P_\alpha\) , образуют дугу.

Для ее точек выполняется неравенство \(\frac\pi4\leq\alpha

Прибавим к этому промежутку период тангенса и получим решение неравенства \(T_\alpha\geq1:\)

Так как \(α=2х\) , получим ответ:

Графическое решение тригонометрических неравенств

Для решения простейших тригонометрических неравенств с помощью графического метода решения строят график тригонометрической функции (sin x, cos x и т. д.) и прямую у=а. Затем выделяют промежутки с помощью построенных графиков. Эти промежутки являются решением неравенства.

Решите неравенство: sin x > ½.

Построим графики функций \(y=sin\) \(x\) и \(y=1/2.\)

Из графика видно, что прямая у=1/2 пресекает синусоиду в бесконечном числе точек.

На нем выделены несколько значений аргументов, которые удовлетворяют данному неравенству: \(\frac\pi6, \frac<5\pi>6.\)

Учитывая периодичность синуса, запишем окончательный ответ:

\(\frac\pi6+2\pi R \(R\in Z.\)

Решите неравенство: tg x ≥ -1.

Построим графики функций \(y = tg\) \(x \) и \(y = -1.\)

Из графика видно, что одним из промежутков, который удовлетворяет неравенств, является:

Учтем периодичность тангенса и получим:

Решение тригонометрических неравенств методом интервалов

Решите неравенство: \(6\sin^2\left(x\right)-5\sin\left(x\right)+1\geq0.\)

Введем новую переменную:

Тогда данное неравенство можно записать в другом виде:

Это неравенство представляет собой квадратное уравнение с корнями:

\(y_1=\frac12 \ и \ y_2=\frac13.\)

Получим из данного трехчлена линейные множители, используя формулу:

Используем метод интервалов для его решения.

Объединим промежутки \(y\geq\frac12\) и \(y\leq\frac13.\)

Тогда получим, что

\(\sin\left(x\right)\leq\frac13\) и \(\sin\left(x\right)\geqslant\frac12.\) (2)

Теперь для решения полученных неравенств применим алгоритм решения по методу единичной окружности.

Решая неравенство (1), на построенной слева окружности видим, что ему удовлетворяют такие значения х:

\(-\pi-arc\sin\frac13\leq x\leq arc\sin\frac13\) . (3)

Для получения всех решений неравенства к полученному промежутку добавим \(2\pi R.\)

\(-\pi-arc\sin\;\frac13+2\pi R\leq x\leq arc\sin\;\frac13+2\pi R,\;R\in Z\) . (4)

Для решения неравенства (2) так же построим окружность и увидим, что ему удовлетворяют значения х:

\(\frac\pi6+2\pi R\leq x\leq\frac<5\pi>6+2\pi R,\;R\in Z.\) (5)

Значения х, удовлетворяющие неравенствам (4) и (5) являются решением данного неравенства.

Задача 2

Решите неравенство: \(\frac <15>

Введем новую переменную: \(у = cos x.\)

Неравенство примет вид:

После преобразований получим:

Используем метод интервалов.

Неравенство \(\cos\;x решения не имеет.

Так как \(-1\leqslant\cos\;x\leqslant\) , то неравенство \(\frac12 надо заменить другим неравенством:

Источник