Способы решения поставленной экономической задачи

Доклад «Общая схема решения экономических задач профильного ЕГЭ по математике»

Краснодарский край, г. Сочи

ОБЩАЯ СХЕМА РЕШЕНИЯ

Научный руководитель: Ильина Зоя Николаевна, у читель математики МОБУ СОШ №13

ГЛАВА 1. ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ПРОЦЕНТА.…… …………… …..….…….…5

ГЛАВА 2. ПРОЦЕНТЫ В МАТЕМАТИКЕ…………………..……….………..……………6

2.3.Три основные задачи на дроби..…………………………………….……………8

ГЛАВА 3.СХЕМА РЕШЕНИЯ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ. …………………………….…….…9

ГЛАВА 4. РАСЧЕТ БАНКОВСКИХ КРЕДИТОВ. ВЫВОД ФОРМУЛ……………………12

Вывод формул для решения задач на равные размеры выплат. ………………12

Решение задач на сокращение остатка на одну долю от целого……………. 18

Общая схема решения задач……………………………………………………..25

ГЛАВА 5: ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ…….…………………….28

В связи с преобразованием России из системы централизованного планирования в экономику рыночной ориентации экономические знания стали необходимыми как в профессиональной сфере, так и в повседневной жизни. Сегодня жизнь настоятельно требует, чтобы выпускник имел развитое экономическое мышление и был готов к жизни в условиях рыночных отношений.

Эффективному постижению азов экономики поможет решение задач, в содержании которых идет речь о процентах. Решение многих задач школьного курса, нестандартных задач, практических задач помогает разобраться в новых экономических веяниях жизни.

Понятие «проценты» буквально вошло в нашу жизнь. Сами проценты не дают экономического развития, но их знание помогает в развитии практических способностей, а также умение решать экономические задачи. Обдуманное изучение процентов может способствовать развитию таких навыков как экономичность, расчетливость.

. Учащихся при подходе к итоговой аттестации в 9-х и 11-х классах сталкиваются с проблемой решения задач на проценты, а они есть в ЕГЭ. На данный момент я являюсь ученицей 11 класса. Как и многим другим учащимся, мне предстоит сдать ЕГЭ. Ещё с 10 класса я была ознакомлена с заданиями данного экзамена. Среди них оказались задачи экономической направленности повышенного уровня сложности, которые в курсе старшей общеобразовательной школы не рассматриваются. Для меня стал актуален вопрос: каким образом подойти к решению таких задач?

Проблема: практические задачи задания № 17 сложны для обучающихся отсутствием унифицированных формул в курсе математики школьной программы.

Гипотеза: существует множество видов «экономических» задач на проценты и способов их решения, но их можно объединить по типам для облегчения усвоения материала.

Работа посвящена исследованию экономических задач и выводу единой схемы для их решения.

Данная работа может представлять интерес для всех, кто сталкивается с математическими расчетами. Кроме того, при решении задачи удалось вывести общую схему решения задач, которую можно будет применять в последующих жизненных ситуациях.

научиться понимать и использовать информацию, представленную в процентах;

обобщить методы решения задач с экономическим содержанием повышенного уровня сложности;

сформировать навыки перевода реальных предметных ситуаций в различные математические модели;

облегчить работу по подбору задач экономического содержания

изучить теоретические аспекты решения «экономических» задач;

познакомиться с видами «экономических» задач из сборников для подготовки к ЕГЭ 2015, 2016, 2017, 2018 гг. и открытого банка задач по математике;

углубить знания по теме проценты;

рассмотреть различные способы решения задач;

выявить структуру экономических задач на проценты;

провести анализ решений;

обобщить и систематизировать способы решения задач.

«Экономические» задачи на проценты повышенного уровня сложности.

Методы решения задач на проценты повышенного уровня сложности.

поисковый метод с использованием научной и учебной литературы, интернета;

исследовательский метод при определении видов задач, их решения различными способами;

практический метод решения задач;

анализ полученных в ходе исследования данных.

ГЛАВА 1. ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ПРОЦЕНТА

Процент[1] (лат. per cent «на сотню; сотая») – сотая часть числа, обозначаемся знаком «%». Используют как обозначение соотношения доли чего-либо к целому.

В Древнем Риме, задолго до существования десятичной системы счисления, вычисления часто производились с помощью дробей, которые были кратны 1/100. При деноминации валюты в средние века вычисления со знаменателем 100 стали более привычными, а с конца XV века до начала XVI века данный метод расчёта стал повсеместно использоваться, судя по содержанию изученных материалов, содержащих арифметические вычисления. Впервые опубликовал таблицы для расчета процентов в 1584 г. Симон Стевин — инженер из города Брюгге (Нидерланды). Стевин известен замечательным разнообразием научных открытий, в том числе — особой записи десятичных дробей. Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль или убыток на каждые 100 рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике. Во многих из этих материалов данный метод применялся для расчёта прибыли и убытка, процентных ставок, а также в правиле трёх, которое широко применялось индийскими математиками. В XVII веке данная форма вычислений стала стандартом для представления процентных ставок в сотых долях.

В России понятие процента впервые ввёл Пётр I. Но считается, что подобные вычисления начали применяться в Смутное время, как результат первой в мировой истории привязки чеканных монет 1 к 100, когда рубль сначала состоял из 10 гривенников, а позже из 100 копеек

Наибольшую популярность проценты приобрели в банковской сфере. Прообразом современных банковских учреждений стали банки, которые основались в Венеции с 1171 года. В России такие банки появились в 1774 году. Эти банки давали деньги в долг королям, купцам, ремесленникам, они финансировали дальние путешествия, строительство крупных сооружений и т.п. Как и менялы в древности, банки брали плату за пользование предоставленными деньгами. Эта плата традиционно выражается в виде процентов к величине, выданной в долг сумме денег.

ГЛАВА 2. ПРОЦЕНТЫ В МАТЕМАТИКЕ

Процент — одна сотая часть величины или числа. Обозначается символом “%”.

В некоторых вопросах иногда применяют и более мелкие, тысячные доли, так называемые “промилле” ( от латинского pro mille – “с тысячи” ), обозначаемые ‰, по аналогии процентов.

Проценты -это “международный язык”: в бизнесе, в банковской системе, на производстве, в сельском хозяйстве, в быту.

В школьном курсе математики мы знакомимся с процентами в 5 классе, и уже практически с ними не расстаемся.

2.2.Проценты и дроби

С процентами мы сталкиваемся при изучении дробных чисел. Так, чтобы перевести проценты в дробь, надо разделить число на 100. Например: 2% = 2:100 = 0,02.

Чтобы перевести дробь в проценты, нужно дробь умножить на 100 и добавить знак %. Например: 0,14 = 0,14*100% = 14%.

Итак, проценты тесно связаны с обыкновенными и десятичными дробями. Поэтому стоит запомнить несколько простых равенств. В повседневной жизни нужно знать о числовой связи дробей и процентов. Так, половина — 50%, четверть — 25%, три четверти — 75%, одна пятая — 20%, а три пятых — 60%.

Знание наизусть соотношений из таблицы внизу облегчит решение многих задач.

Действия с процентами.
Проценты можно складывать и вычитать только с самими процентами. Проценты складываются и вычитаются друг с другом как обычные числа.

Например:
1% + 37% − 25% = 38% − 25% = 13%
70% − (42% + 3%) = 70% − 45% = 25%

В повседневной жизни полезно знать разные формы выражения одного и того же изменения величин, сформулированных без процентов и с помощью процентов.

Например, увеличить в 2 раза, значит увеличить на 100%. Разберёмся, почему это так.

Пусть x – это 100%.

Тогда, увеличив x в 2 раза, получим 2x

Сравним полученные результаты.

Получилось, что общее количество процентов равно 200%. Увеличить в 2 раза означает увеличить на 100% и наоборот.

Рассуждая таким же образом, можно доказать, что увеличить на 50%, значит увеличить в 1,5 раза.

Уменьшение числа также может быть выражено в процентах.
Пусть x — 100%.
Известно, что x уменьшилось на 80%. Найдём, во сколько раз уменьшилось x.
Вначале найдём, сколько процентов от x осталось.
100% − 80% = 20%
20% осталось от x. Обозначим остаток x за y.

Составим пропорцию.
По числовому коэффициенту определяем, во сколько раз уменьшился x.

Таким образом, мы установили, что уменьшить на 80%, значит уменьшить в 5 раз.

Поняв связь между процентами и “разами”, без труда можно понять, о чём так часто говорят в новостях и в газетах, приводя различные статические данные. Некоторые, наиболее часто употребляемые фразы, желательно просто запомнить, чтобы всегда точно понимать, о чём идёт речь. Список таких фраз представлен ниже.

Значение фраз “увеличить и уменьшить на . процентов”

Увеличить на 50%, значит увеличить в 1,5 раза.
на 100% → в 2 раза
на 150% → в 2,5 раза
на 200% → в 3 раза
на 300% → в 4 раза

Уменьшить на 80%, значит уменьшить в 5 раз.
на 75% → в 4 раза
на 50% → в 2 раза
на 25% → в ≈ 1,33 раза
на 20% → в 1,25 раза

2.3.Три основные задачи на проценты .

Различают три типа задач на проценты:

1. Нахождение процента от числа.

Чтобы найти процент от числа, надо проценты перевезти в дробь, а затем число умножить на эту дробь.

Задача: Предприятие изготовило за квартал 500 насосов, из которых 60 % имели высшую категорию качества. Сколько насосов высшей категории качества изготовило предприятие?

500 * 0,6 = 300 (насосов высшей категории качества).
Ответ: 300 насосов .

2. Нахождение числа по его части.

Чтобы найти число по его проценту, надо проценты перевести в дробь. Затем число поделить на эту дробь.

Задача: Ученик прочитал 138 страниц, что составляет 23 % числа всех страниц в книге. Сколько страниц в книге?

138 : 0, 23 = 600(страниц в книге)
Ответ: 600 (стр.) — общее количество страниц в книге.

3. Нахождение процентного отношения двух чисел

1) Найти отношение двух чисел
2) Умножить это отношение на 100 и приписать знак %

Задача. Из винтовки было сделано 50 выстрелов, при этом в цель попало 45 пуль. Сколько процентов пуль попала в цель?

Решение:
1) (попало в цель)
2)

ГЛАВА 3. СХЕМА РЕШЕНИЯ ТЕКСТОВЫХ ЗАДАЧ.

Не случайно были упомянуты текстовые задачи ЕГЭ по математике под № 11, т.к. решая их, я имею уже сформировавшуюся схему и алгоритм решения. Рассмотрим следующие задачи.

3.1.Задача на смеси. [2]

Смешали 4 л 15-процентного водного раствора некоторого вещества с 6 л 25-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Источник

Научно-исследовательская работа «Некоторые способы и приемы решения задач экономического содержания»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

Муниципальный этап Всероссийского открытого конкурса

научно-исследовательских и творческих работ молодежи

«Меня оценят в XXI веке»

НАПРАВЛЕНИЕ: ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ, МАТЕМАТИКА

Некоторые способы и приемы решения задач

Автор: Захаркина Юлия,

ученица 11 класса

Васильева Ирина Александровна,

г. Старый Оскол, 2016

Основные способы решения задач с экономическим содержанием……………………… 5

Обучение решению математических задач с экономическим содержанием актуально, так как на повестку дня ставится вопрос качественной подготовки специалистов во всех отраслях, реализуемых в экономике. Исследование применения математических методов для решения прикладных задач с экономическим содержанием в школе привело к необходимости разработки дидактических основ решения указанных задач. Специфические особенности задач с экономическим содержанием заключаются в применяемых методах решения, которые разработаны в ходе исследования. К ним относятся: элементарные алгебраические и геометрические методы по отысканию экстремумов, методы классического анализа для отыскания оптимальных значений величин.

Применение математических методов для решения задач с экономическим содержанием приводит к различиям в применяемых терминах задач: они либо экономические, либо математические. Так, с алгебраической точки зрения рассматривается система уравнений и неравенств, с геометрической – область арифметического пространства и её точки, с экономической – ограничения, определяющие множество планов.

Актуальность данной темы обусловлена тем, что в курсе математики, изучаемой в школе, не упоминается напрямую тема о решении задач с экономическим содержанием. В связи с преобразованием России из системы централизованного планирования в экономику рыночной ориентации экономические знания стали необходимыми как в профессиональной сфере, так и в повседневной жизни. Элементарные экономические знания позволят понять роль и права человека в обществе, готовят учеников к адекватному восприятию общества и производства, помогают им определить для себя сферу деятельности, профессию в будущем.

Цель: изучение и выработка рекомендаций по решению экономических задач и увеличение доли выпускников МБОУ «Гимназия №18» получивших максимальный балл за экономические задачи ЕГЭ.

Изучить теоретический материал и провести классификацию экономических задач, входящих в контрольно-измерительные материалы единого государственного экзамена по математике профильного уровня.

Выявить достоинства и недостатки различных приемов решения экономических задач.

Составить методические рекомендации учащимися по приемлемому способу решения экономических задач ЕГЭ для получения максимальных баллов.

1) анкетирование старшеклассников по вопросу решения задач с экономическим содержанием;

2) подборка и классификация задач и их решения;

3) показать использование актуальных приемов решения экономических задач.

Теоретическая и практическая значимость работы .

Изучение и распространения опыта решения задач по финансовой математике для учащихся 8 — 11 классов, проявляющих интерес к разработке, анализу и применению математических алгоритмов в экономике. Развитие у учащихся умений строить математические модели экономических ситуаций, исследовать эти модели, получать и интерпретировать выводы.

Одним из важнейших потребностей современной школы является воспитание делового человека, компетентного в сфере социально-трудовой деятельности, а также в бытовой сфере. Сегодня жизнь настоятельно требует, чтобы выпускник имел развитое экономическое мышление и был готов к жизни в условиях рыночных отношений.

В связи с преобразованием России из системы централизованного планирования в экономику рыночной ориентации экономические знания стали необходимыми как в профессиональной сфере, так и в повседневной жизни. Элементарные экономические знания позволят понять роль и права человека в обществе, готовят учеников к адекватному восприятию общества и производства, помогают им определить для себя сферу деятельности, профессию в будущем.

Согласно статистике, почти каждая семья берет кредит на приобретение того или иного товара! В сегодняшние дни потребительские кредиты, кредитные карты, автокредиты, ипотека, вклады, банковские карты и другие финансовые услуги очень распространены и играет важную роль в экономике страны и каждой семьи.

Семья выполняет важнейшую экономическую функцию. Совместно проживающие супруги, их дети и родители не просто объединяются для совместного проживания, но и решают важные экономические задачи. Семья находится в постоянных связях с государственными учреждениями, предприятиями и фирмами. Она является важнейшим поставщиком рабочей силы для предприятий и фирм, которые в свою очередь выплачивают им заработную плату, различные социальные пособия, пенсию. Домашние хозяйства являются основными потребителями товаров и услуг, поставляемых предприятиями и частными лицами.

Эффективному постижению азов экономики поможет решение задач, в содержании которых идет речь о процентах. Понятие «проценты» буквально вошло в нашу жизнь, оно атакует нас в пору утверждения рыночных отношений в экономике, в пору банкротств, инфляций, финансовых кризисов. Сами проценты не дают экономического развития, но их знание помогает в развитии практических способностей, а также умение решать экономические задачи. Обдуманное изучение процентов может способствовать развитию таких навыков как экономичность, расчетливость.

С 2015 года в экзаменационную работу ЕГЭ по математике добавлена текстовая задача экономического профиля. Хотя для решения данных задач достаточны знания и навыки на уровне 6 класса, м ногие школьники не в состоянии воспринимать и понимать речевые обороты взрослых, испытывают затруднения при решении задач экономического характера, а также определить для себя сферу деятельности, профессию в будущем.

Изучение статистических сборников показывает, что разница между предполагаемым процентом решаемости задачи с экономическим содержанием и фактической решаемостью свыше 32% (фактически решили задачу 7%, ожидаемое решение – 40%)

В 2015 году из 62 выпускников МБОУ «Гимназия №18» получили баллы за экономическую задачу только 7% , в 2016 году из 65 выпускников лишь 11% справились с подобной задачей.

Мы считаем, что подобранные рекомендации в данном направлении и проработка экономических задач на уроках математике будет способствовать координальному повышению качества выполнения экономических задач выпускниками.

Основные способы решения задач с экономическим содержанием

Обучение решению математических задач с экономическим содержанием актуально, так как на повестку дня ставится вопрос качественной подготовки специалистов во всех отраслях, реализуемых в экономике. Исследование применения математических методов для решения прикладных задач с экономическим содержанием в школе привело к необходимости разработки дидактических основ решения указанных задач. Специфические особенности задач с экономическим содержанием заключаются в применяемых методах решения, которые разработаны в ходе исследования. К ним относятся: элементар ные алгебраические и геометрические методы по отысканию экстремумов, методы классического анализа для отыскания оптимальных значений величин.

Применение математических методов для решения задач с экономическим содержанием приводит к различиям в применяемых терминах задач: они либо экономические, либо математические. Так, с алгебраической точки зрения рассматривается система уравнений и неравенств, с геометрической – область арифметического пространства и её точки, с экономической – ограничения, определяющие множество планов.

В курсе математики, изучаемой в школе, не упоминается напрямую тема о решении задач с экономическим содержанием. В связи с преобразованием России из системы централизованного планирования в экономику рыночной ориентации экономические знания стали необходимыми как в профессиональной сфере, так и в повседневной жизни. Элементарные экономические знания позволят понять роль и права человека в обществе, готовят учеников к адекватному восприятию общества и производства, помогают им определить для себя сферу деятельности, профессию в будущем.

Целью данной работы является изучение и выработка рекомендаций по решению экономических задач и увеличение доли выпускников МБОУ «Гимназия №18» получивших максимальный балл за экономические задачи ЕГЭ.

Для этого мы ставим следующие задачи:

Изучить теоретический материал и провести классификацию экономических задач, входящих в контрольно-измерительные материалы единого государственного экзамена по математике профильного уровня.

Выявить достоинства и недостатки различных приемов решения экономических задач.

Составить методические рекомендации учащимися по приемлемому способу решения экономических задач ЕГЭ для получения максимальных баллов.

В работе нами использованы методы исследования:

1) опрос старшеклассников по вопросу решения задач с экономическим содержанием;

2) подборка и классификация задач и их решения;

3) показать использование актуальных приемов решения экономических задач.

Изучение и распространения опыта решения задач по финансовой математике для учащихся 8 — 11 классов, проявляющих интерес к разработке, анализу и применению математических алгоритмов в экономике. Развитие у учащихся умений строить математические модели экономических ситуаций, исследовать эти модели, получать и интерпретировать выводы.

Объектами исследования являются способы и приемы решения задач с экономическим содержанием, входящие в контрольно-измерительные материалы единого государственного экзамена по математике профильного уровня (Задания 10 и 17)

Рассмотрим основные способы решения нового типа задач ЕГЭ по математике – задач с « экономическим содержанием ».

Решение задач по формуле.

Мы знаем, что если число А увеличить на р %, станет А(1+).Если число А уменьшить на р %, станет А(1-.)

Цена товара А руб. была повышена на 25%. На сколько процентов надо теперь ее снизить, чтобы получить первоначальную цену товара.

Решение: Цена товара после повышения стала А(1+). Допустим надо снизить на р %, тогда цена товара после снижения станет А(1+)(1-) и получим первоначальную цену товара: А(1+)(1-) = А. Откуда получим ответ: 20%

Банк под определенный процент принял некоторую сумму. Через год четверть накопленной суммы была снята со счета. Но банк увеличил процент годовых на 40%. К концу следующего года накопленая сумма в 1,44 раза превысила первоначальный вклад. Каков процент новых годовых?

Решение: Положим в банк А рублей под р% годовых. Через год сумма на счету станет равной А(1+) рублей. Сняв четверть данной суммы, получим А(1+). Т еперь на эту сумму начисляют новый процент А(1+) (1+), который стал 1,44А. Решив данное уравнение, получим ответ р=20%, тогда новый процент равен 60%.

Фермер получил кредит в банке под определённый процент годовых. Через год фермер в счёт погашения кредита вернул в банк 3/4 от всей суммы, которую он был должен банку к этому времени, а ещё через год счёт полного погашения кредита он внёс в банк сумму, на 21% превышающую величину полученного кредита. Каков процент годовых по кредиту в данном банке?

Решение: Допустим фермер получил А рублей под р% годовых. Через год долг будет А(1+)руб. Т.к. фермер вернул долга, то осталось А(1+). После 2-го года долг вырос на р% и стал А(1+)А(1+)=А(1+) 2 .Теперь, чтобы погасить долг, фермер внес сумму на 21% большую, т.е. А(1+) и погасил кредит, т.е А(1+) 2 — А(1+)=0. Решив данное уравнение, получим р=120%.

Некоторые задачи лучше решать в общем виде, не подставляя первоначальные данные, так как можно запутаться в вычислениях.

В банк помещена сумма 3900 тысяч рублей под 50% годовых. В конце каждого из первых четырех лет хранения после вычисления процентов вкладчик дополнительно вносил на счет одну и ту же фиксированную сумму. К концу пятого года после начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 725% . Какую сумму вкладчик ежегодно добавлял к вкладу?

Решение: пусть первоначальный вклад составил А рублей и вкладчик ежегодно добавлял х рублей. К началу 2-года величина вклада составила А (1+)= 1,5А рублей;

К началу 3-года величина вклада составила (1,5А +х)1,5+х рублей;
К началу 4-года величина вклада составила ((1,5А +х)1,5+х)1,5+х рублей;
К началу 5-года величина вклада составила (((1,5А +х)1,5+х)1,5+х)1,5+х рублей;
К концу 5-года величина вклада составила((((1,5А +х)1,5+х)1,5+х)1,5+х)1,5 рублей. По условию задачи размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 725% , т.е стал А(1+).

Раскрыв скобки, получим следующее выражение:

() 5 А+() 4 х+() 3 х+() 2 х+()х=А=А

х=А

Отсюда, подставив вместо А= 3900 тысяч, получим х=210000.

Применение свойства степеней

За время хранения вклада в банке проценты по нему начислялись ежемесячно сначала в размере 5%, затем 12%, потом 11 1/9 % и, наконец, 12,5% в месяц. Известно, что под действием каждой новой процентной ставки вклад находился целое число месяцев, а по истечении срока хранения первоначальная сумма вклада увеличилась на 104 1/6%. Определите срок хранения вклада.

Решение: Пусть первоначальная сумма вклада будет А рублей то через месяц эта сумма станет А(1+ )руб. Если ставку не менять, то сумма увеличится опять на 5% и станет А(1+ ) 2 и т.д. Пусть первая ставка продержалась k , вторая — m , третья — n , последняя — t месяцев.

Тогда сумма увеличилась в А(1+ ) к (1+ ) m (1+ ) n (1+ ) t раз. И по истечении срока хранения первоначальная сумма стала А (1+)

А(1+ ) к (1+ ) m (1+ ) n (1+ ) t . Применяя свойства степеней, получим 2 -3 .3 -1 .5 0 .7 2

приравнять показатели при одинаковых основаниях и решить систему:

Откуда k=m=1. n=3, t=2. Тогда срок хранения вклада 1+1+3+2=7 месяцев.

Решение задач с помощью математического анализа

В январе 2000 года ставка по депозитам в банке «Возрождение» составляла х % годовых, тогда как в январе 2001 года — y % годовых, причем известно, что x+y=30%. В январе 2000 года вкладчик открыл счет в банке «Возрождение», положив на него некоторую сумму. В январе 2001 года, по прошествии года с того момента, вкладчик снял со счета пятую часть этой суммы. Укажите значение x при котором сумма на счету вкладчика в январе 2002 года станет максимально возможной.

Решение: Пусть в январе 2000 года вкладчик открыл счет в банке на сумму А руб. Тогда через год при х % годовых на счету окажется сумма А (1 +х/100) руб.

Далее вкладчик снимает со счета пятую часть первоначальной суммы. То есть на счету оказывается сумма 4/5 А (1 +х/100) руб. В банке меняется процентная ставка и составляет теперь у %, т.е (30-х)%. Тогда еще через год у вкладчика на счету окажется 4/5 А (1 +х/100) (1 +(30-х)/100). Нас интересует значение х, при котором значение f(x) будет максимальным. Исследуем данную функцию методами математического анализа.

f / (x )=0 или максимальное значение функция f(x) примет в точке х ₀ (вершина параболы), то есть в точке 25.

Задачи на сравнение.

В конце августа 2001 года администрация Приморского края располагала некой суммой денег, которую предполагалось направить на пополнение нефтяных запасов края. Надеясь на изменение конъюнктуры рынка, руководство края, отсрочив закупку нефти, положила эту сумму 1 сентября 2001 года в банк. Далее известно, что сумма вклада в банке увеличивалась первого числа каждого месяца на 26% по отношению к сумме на первое число предыдущего месяца, а цена баррели сырой нефти убывала на 10% ежемесячно. На сколько процентов больше (от первоначального объема закупок) руководство края смогло пополнить нефтяные запасы края, сняв 1 ноября 2001 года всю сумму, полученную из банка вместе с процентами, и направив ее на закупку нефти?

Вложенная сумма уменьшится и

станет А(1-0,1) 2 руб

Тогда сумма увеличится в 1,96 , т.е. на 96%

Задачи с экономическим содержанием являются практическими задачами. А их решение, бесспорно, способствует более качественному усвоению содержания курса математики средней школы, позволяет осуществлять перенос полученных знаний и умений в экономику, что в свою очередь, активизирует интерес к задачам прикладного характера и изучению математики в целом. Такие задачи позволяют наиболее полно реализовывать прикладную направленность в обучении и способствуют более качественному усвоению самого учебного материала и формированию умения решать задачи данного типа.

Задачи на проценты.

Что такое проценты в математике ? Единственно, что нужно запомнить – что такое один процент . Это понятие — и есть главный ключ к решению задач на проценты, да и к работе с процентами вообще.

Один процент – это одна сотая часть какого-то числа .

Существует три основных типа задач на проценты:

Вклад в банке имеет годовой прирост 6%. Начальная сумма вклада равнялась 10000 руб. На сколько рублей возрастёт сумма вклада в конце года?

10000 : 100∙ 6 = 600

Найти число по заданному другому числу и его величине в процентах от искомого числа.

Заданное число делится на его процентное выражение

и результат умножается на 100.

Зарплата в январе равнялась 1500 руб., что составило 7,5% от годовой зарплаты. Какова была годовая зарплата?

1500 : 7,5 ∙ 100 = 20000 рублей

Найти процентное выражение одного числа от другого.

Меньшее число делится на большее и результат умножается на 100.

Завод произвёл за год 40000 автомобилей, а в следующем году – только 36000 автомобилей. Сколько процентов это составило по отношению к выпуску предыдущего года?

36000 : 40000 ∙ 100 = 90%

В ЕГЭ задачи на проценты очень популярны. От самых простых до сложных. В простых задачах, как правило, нужно перейти от процентов к тем величинам, о которых идёт речь в задаче. К рублям, килограммам, секундам, метрам, и так далее. Или наоборот. После этого задача становится понятной и легко решается. (Приложение 1)

П роценты называют простыми, если они начисляются только на первоначальный капитал (один раз), и сложными, если они начисляются на наращенный капитал (несколько раз). Решение задач на вычисление сложных процентов основано на использовании следующих формул: величина S ₀ , увеличиваемая на p % в течение n периодов в конце n -го этапа становится равной

Укажем общую формулу, соответствующую заданию при последовательном изменении величины S ₀ на р _n % в течение n периодов, она становится равной

где величины р _n могут быть как положительными при увеличении величины на p %, так и

отрицательными при уменьшении величины на p %.

Пример: Представим, что вы положили 10 000 рублей в банк под 10 % годовых. Через год на вашем банковском счету будет лежать сумма 10000 + 10000*10% = 11 000 руб. Ваша прибыль — 1000 рублей.

Вы решили оставить 11 000 руб. на второй год в банке под те же 10%.

Через 2 года в банке накопится 11000 + 11000*10% = 12 100 руб.

Прибыль за первый год (1000 рублей) прибавилась к основной сумме (10000р) и на второй год уже сама генерировала новую прибыль. Тогда на 3-й год прибыль за 2-й год прибавится к основной сумме и будет сама генерировать новую прибыль. И так далее.

Этот эффект и получил название сложный процент. Когда вся прибыль прибавляется к основной сумме и в дальнейшем уже сама производит новую прибыль.

Кроме того, необходимо понимать, как находить процент от числа и число по его проценту, а также понимать эквивалентность утверждений «больше на 10%» и «больше в 1,1 раза», «меньше на 75%» и «меньше в 4 раза». Взаимосвязь этих утверждений можно записать в виде формул (*):

Эти соотношения являются основными во всем курсе, проверить их понимание и осознанное применение можно на примере следующих задач.

Четыре рубашки дешевле куртки на 8%. На сколько процентов пять рубашек дороже куртки?

Арифметическое решение. Цена четырех рубашек составляет 92% цены куртки. Значит, цена одной рубашки составляет 23% цены куртки. Поэтому цена пяти рубашек составляет 115% цены куртки. Это превышает цену куртки на 15%.

Алгебраическое решение. Пусть цена одной рубашки P , а цена куртки К .

Разделим одно уравнение на другое, получим 0,8=0,92/Х, Х=0,92:0,8=1,15.

то есть 5 рубашек дороже куртки на 15%.

Задание 2. Семья состоит из отца, матери и их дочери-студентки. Если бы зарплата отца увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 4%. Сколько процентов от общего дохода семьи составляет зарплата матери?

Решение1. Условие «если бы зарплата отца увеличилась вдвое, доход семьи вырос бы на 67%» означает, что зарплата отца составляет 67% дохода семьи. Условие «если бы стипендия дочери уменьшилась втрое, доход семьи сократился бы на 4%», означает, что 2/3 стипендии составляют 4% дохода семьи, то есть вся стипендия дочери составляет 6% дохода семьи. Таким образом, доход матери составляет 100% — 67% — 6%= 27% дохода семьи.

Решение2. Обозначим зарплаты соответственно О, М, С, общий доход Д. Составим математическую модель задачи

(2)-(1), получим 0,67Д=О. Следовательно зарплата отца 67% дохода семьи.

(1)-(3), получим 0,04Д=2/3С. С=0,06Д. Следовательно стипендия дочери 6% дохода семьи.

Таким образом, доход матери составляет 100% — 67% — 6%= 27% дохода семьи.

Задание 3. Семья Ивановых ежемесячно вносит плату за коммунальные услуги, телефон и электричество. Если бы коммунальные услуги подорожали на 50%, то общая сумма платежа увеличилась бы на 35%. Если бы электричество подорожало на 50%, то общая сумма платежа увеличилась бы на 10%. Какой процент от общей суммы платежа приходится на телефон?

Решение 1. Если все три вида услуг подорожали бы на 50%, то общая сумма платежа увеличится на 50%. Но из-за того, что платеж за услуги телефонии останется неизменным, общая сумма платежа после подорожания по остальным двум видам услуг будет на 50%-35% — 10% = 5% меньше. Эти 5% — доля телефонии в числе 50% оплаты за все услуги.

Тем самым, доля оплаты за телефон составляет 5/50 или 10% от общей суммы.

Решение 2. Обозначим услуги соответственно К, Э, Т, общие выплаты У. Составим математическую модель задачи

(2)-(1), получим 0,35У=0,5К. К=0,7. Следовательно коммунальные слуги составляют 70% всех выплат.

(3)-(1), получим 0,1У=0,5Э. Э=0,2У. Следовательно за электричество оплачено 20%.

Таким образом, оплата за телефон составляет 100% — 70 % -20 %= 10 % всех выплат.

Задание 4. Число сотрудников предприятия увеличилось на 25%, а фонд зарплаты увеличился на 60%. На сколько процентов увеличилась заработная плата, если она одинакова у всех сотрудников?

Решение. Разделим 1,6 на 1,25, получим 1,28. Зарплата увеличилась на 28%.

Задание 5. Зарплата работника составляет 30 000 руб., налог на доходы 13%. Сколько рублей останется после уплаты налога?

Решение: у работника останется 87% зарплаты или 26 100 руб.

Задание 6. После уплаты 13% налога на доходы работник получил 30 450 руб. Каков до-

Решение: работнику было начислено 30 450 : 0,87 = 35 000 руб.

Задачи о вкладах и кредитах

Выбирая кредитную программу, потенциальные заемщики ориентируются на процентную ставку по кредиту. Однако на сумму выплачиваемых процентов влияет не только ставка, но и метод погашения кредита. Таких методов существует два: дифференцированные платежи и аннуитетные платежи.

Дифференцированные платежи характерны тем, что задолженность по кредиту погашается равномерно начиная с самых первых выплат, а проценты начисляются на фактический остаток. Таким образом, каждый последующий платеж меньше предыдущего.

Аннуитет — начисление равных платежей на весь срок погашения кредита. При этом в первой половине срока погашения задолженность по кредиту практически не гасится — выплачиваются в большей части проценты. Эта особенность делает платежи относительно небольшими, но увеличивает общую сумму начисляемых процентов.

Чтобы наглядно показать разницу в погашении кредита при разных методах начисления платежей, приведем графики погашения кредита в размере 1 000 000 руб., взятого на 20 лет при 12% годовых (серым выделена выплата процентов по кредиту, синим — выплата тела кредита).

График погашения кредита дифференцированными платежами

График погашения кредита аннуитетными платежами

Дифференцированные платежи дают линейную зависимость от погашения кредита: чем меньше должен — тем меньше начислили процентов. Сумма и срок досрочного погашения ничем не ограничены. Досрочное погашение в аннуитетной схеме лишь сокращает срок выплаты кредита: на графике «срезаются» последние платежи и отпадает необходимость платить соответствующие им проценты, которые в конце графика как раз очень малы. Таким образом, в аннуитетной схеме досрочное погашение невыгодно.

Задание 2. 1 января 2015 года бизнесмен взял в банке 1,1 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 2 процента на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 2%), затем бизнесмен переводит в банк платеж. На какое минимальное количество месяцев бизнесмен может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 220 тыс. рублей?

Решение. Ясно, что чем больше месячные выплаты, тем быстрее будет выплачен долг.

Значит, срок кредита будет минимален в том случае, когда выплаты составляют 220 тыс. рублей. Составим таблицу, в первом столбце которой будем указывать долг на первое число месяца, а во втором — долг в том же месяце, но уже после выплаты. Для упрощения расчетов будем сохранять только два знака после запятой, представляя суммы долга в тыс. рублей.

Заметим, что в последний месяц выплата составит менее 220 тыс. руб. Из таблицы вид-

но, что минимальный срок кредита в условиях задачи составляет 6 месяцев.

Решим задачу иначе. Если бы банк не брал процентов, кредит можно было бы вернуть за 5 месяцев. За эти 5 месяцев проценты по кредитам не превысят 0,05 исходной суммы или 55 тысяч рублей. Таким образом, за шестой месяц можно выплатить банку проценты за пользование кредитом, и эта сумма не превысит 220 тыс. руб.

Применим общие формулы. При решении задачи 1 были получены формулы, связывающие данные в условии величины. Заметим, что в нашей задаче после предпоследней выплаты величина S _{n -1} может быть не только равной ежемесячной выплате х , но и оказаться меньше нее: и в том, и в другом случае кредит будет погашен последним платежом.

Рассмотрим одну из экономических задач ЕГЭ 2016 года (№17, С5). В приложении 3 имеется общедоступное решение, которое предлагают авторы задачи. Однако некоторые формулировки и логические переходы почти не доступны для понимания обычных школьников.

Предлагаем альтернативное решение.

За­да­ние 17 № 514627. В июле 2016 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит в банке в раз­ме­ре S тыс. руб­лей, где S — на­ту­раль­ное число, на 3 года. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы

− каж­дый ян­варь долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на 15% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

− с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить одним пла­те­жом часть долга;

− в июле каж­до­го года долг дол­жен со­став­лять часть кре­ди­та в со­от­вет­ствии со сле­ду­ю­щей таб­ли­цей.

Долг
(в тыс. руб­лей)

Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние S , при ко­то­ром каж­дая из вы­плат будет со­став­лять целое число тысяч руб­лей.

Рассмотрим пошаговое изменение величины S .

Январь 2017 года: увеличение S на 15% или в 1,15 раза. Получим 1,15 S .

Выплата (февраль-июнь 2017 года): 1,15 S -0,7 S =0,45 S .

Январь 2018 года: увеличение 0,7 S на 15% или в 1,15 раза.

Получим 1,15*0,7 S =0,805 S .

Выплата (февраль-июнь 2018 года): 0,805 S -0,4 S =0,405 S .

Январь 2019 года: увеличение 0,4 S на 15% или в 1,15 раза.

Получим 1,15*0,4 S =0,46 S .

Выплата (февраль-июнь 2019 года): 0,46 S – остаток.

Итак, выплаты: 0,45 S , 0,405 S , 0,46 S . Теперь найдем наименьшее S , чтобы каждая выплата была целым числом.

Чтобы 0,45 S , 0,405 S , 0,46 S были целыми числами можно взять S =1000, тогда получим числа 450, 405, 460. Эти числа делятся на 5, получится 90, 81, 92 больше общих делителей нет. Значит 1000:5=200.

Таким образом, наименьшее S = 200.

Ответ: 200 тыс. руб.

Летом 2016 года в рамках профильной смены в нашем классе прошел практикум решения задач с экономическим содержанием.

Каждую задачу мы старались разобрать и решить несколькими способами. При общем обсуждении решения задачи были выработаны некоторые приемы решения, которые единогласно выбрали всем классом:

1. Необходимо понимать, как находить процент от числа и число по его проценту, а также понимать эквивалентность утверждений «больше на 10%» и «больше в 1,1 раза», «меньше на 75%» и «меньше в 4 раза .

2. Уметь переводить текст задачи на язык математики. (« Семья Ивановых ежемесячно вносит плату за коммунальные услуги, телефон и электричество». Обозначив услуги соответственно К, Э, Т, общие выплаты У, получим математическую модель задачи У=К+Э+Т)

3. Знать и понимать расчет простых и сложных процентных операций.

4. Задачи на вклады и кредиты решаются проще не по формулам, а с пошаговыми расчетами. Хотя решение может быть длиннее, но для понимания учащихся проще.

Принятие решения в большинстве случаев заключается в генерации возможных альтернатив решений, их оценке и выборе лучшей. Для подавляющего большинства человеческих решений нельзя точно рассчитать и оценить последствия. Можно лишь предполагать, что определенный вариант решения приведет к наилучшему результату.

Что же такое «наилучшее» решение? В исследованиях операций «наилучшим» будем считать решение, доставляющее оптимальные функции для достижения цели. Решения является лучшим лишь для конкретного лица принимающего решение, в отношении поставленных им целей, при заданных условиях. Эта субъективная оценка оказывается в настоящее время единственно возможной основой объединения разных подходов к решению задач, позволяющую оценивать варианты решений.

1. Финансовая грамотность: материалы для учащихся. 10-11 классы общеобразоват. Орг. /Ю.В. Брехова, А. П. Алмосов, Д. Ю. Завьялов. – М.:ВИТА-ПРЕСС,2015 – 400 с., ил. (Дополнительное образование: Серия «Учимся разумному финансовому поведению»);

2 . Финансовая грамотность: материалы для родителей. 10-11 классы общеобразоват. Орг. /Ю.В. Брехова, А. П. Алмосов, Д. Ю. Завьялов. – М.:ВИТА-ПРЕСС,2015 – 112 с., ил. (Дополнительное образование: Серия «Учимся разумному финансовому поведению»);

3.Липсиц И.В. Экономика. Базовый курс. 10-11 класс. М.: Вита–Пресс, 2013.

4.Федеральный закон от 02.12.1990 № 395-1 «О банках и банковской деятельности» Федеральный закон от 22.04.1996 № 39-ФЗ «О рынке ценных бумаг»

5. Федеральный закон от 23.12.2003 № 177-ФЗ «О страховании вкладчиков физических лиц в банках Российской Федерации»

Источник