Способы решения неравенств конспект
Ключевые слова: определение неравенства, строгие и нестрогие неравенства, свойства неравенств, примеры решения задач на неравенства. Раздел ОГЭ по математике: 3.2.1 Числовые неравенства и их свойства.
Этому определению можно дать геометрическую иллюстрацию: из двух чисел a и b большим является то, которому на координатной прямой соответствует точка, расположенная правее, и меньшим то, которому соответствует точка, расположенная левее.
Неравенства а >b и а b или a =b
Свойство (3) читают так: к обеим частям неравенства можно прибавить любое число. Слово «можно» здесь (и далее) означает, что при таком преобразовании получается неравенство, равносильное данному, т. е. оно будет верным, если данное неравенство было верным, и неверным, если исходное неравенство было неверным. Из этого свойства следует, что любое слагаемое можно переносить из одной части неравенства в другую, изменив знак этого слагаемого на противоположный.
Свойство (4) читается так: обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число, оставив знак неравенства без изменения; обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, поменяв знак неравенства на противоположный. В частности, если поменять знаки обеих частей неравенства на противоположные (т. е. умножить обе части неравенства на –1), то надо заменить на противоположный и знак неравенства. Например, поменяв знаки обеих частей неравенства –10 –2. Полезно также уметь работать с двойными неравенствами: при изменении знаков всех трёх частей двойного неравенства оба знака неравенства заменяются на противоположные. Так, заменив знаки в двойном неравенстве а ≥ b –с, или в более привычной записи –с ,
Примеры решения задач на неравенства
Пример 1. На координатной прямой отмечены числа a и
b. Выберите из следующих утверждений верное.
При выполнении задания используется определение понятий «больше» и «меньше» и свойство транзитивности. Из рисунка видно, что а > b. Отсюда а – b > 0. Значит, неравенства 1 и 2 не являются верными. Рассмотрим неравенство 3. Так как a – b > 0 и 0 > – 2, то a – b > – 2, т. е. это утверждение верно. Убедимся на всякий случай в том, что неравенство под номером 4 не является верным. Действительно, из а – b > 0 не следует, что a – b >2, так как, например, при а=1, b = 0 разность а – b равна 1, т. е. меньше 2.
Пример 2. Известно, что х > 10, y > 20. Какие из следующих неравенств верны при любых значениях х и у, удовлетворяющих этому условию: I. ху > 200; II. ху > 100; III. ху > 400 ?
1) I и II 2) I и III 3) II и III 4) I, II и III
Все члены двух данных неравенств – положительные числа. Перемножим почленно эти неравенства, получим ху > 200. Итак, неравенство I является верным. Неравенство II следует из неравенства I на основании свойства транзитивности: ху > 200, 200 > 100, значит, ху > 100. Неравенство III при некоторых значениях х и у, удовлетворяющих заданному условию, выполняется, a при некоторых нет, например, оно не выполняется при х = 11 и y = 21.
Пример 3. Оценим разность а – b, если известны границы a и b: 10 –b > –5, или –5
Пример 4. Докажем, что если a и b – положительные числа, то а 2 > b 2 в том и только в том случае, когда а > b.
Воспользуемся алгебраической трактовкой отношения «больше». Сначала докажем, что если а > b > 0, то а 2 > b 2 . Для этого рассмотрим разность а 2 – b 2 :
Оба множителя в правой части равенства положительны: а – b > 0, так как a > b; a + b > 0, так как a и b – положительные числа. Значит, а 2 – b 2 > 0, отсюда следует, что а 2 > b 2 . Теперь докажем обратное утверждение: если а > 0, b > 0 и а 2 > b 2 , то а > b:
Из того что а 2 > b 2 , следует, что а 2 – b 2 > 0, значит, произведение в правой части положительно. Так как a + b > 0, то второй множитель а – b также положителен, т. е. а – b > 0. Следовательно, а > b.
Это конспект по алгебре на тему «Неравенства. Общие свойства». Выберите дальнейшие действия:
Источник
Конспект урока «Основные методы решения неравенств» (10-11 класс)
Конспект урока по теме:
ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ.
Алгебра и начала анализа 11 профильный класс.
План-конспект урока (2ч.) на тему:
«Основные методы решения неравенств».
Алгебра и начала анализа 11 профильный класс.
Цель урока : обобщить и систематизировать умения и навыки решения алгебраических неравенств методом интервалов, изучить метод замены множителей.
— повторить и обобщить метод интервалов и метод сведения неравенств к совокупности неравенств;
-познакомить учащихся с методом замены множителей, как эффективным способом решения целого класса неравенств.
— подготовка учащихся к решению задач ЕГЭ повышенной степени сложности.
Оборудование : компьютер, МФУ, мультимедийный проектор.
1.Организационный этап (1 мин) .
2. Этап проверки домашнего задания (5 мин).
3. Подготовка к активной УПД.
Основными методами решения неравенств являются:
метод интервалов, метод сведения к совокупности систем, метод замены множителей. Сегодня мы повторим первые 2 метода и познакомимся с методом замены множителей, который можно использовать при решении сложных неравенств в С3 ЕГЭ.
1) Метод интервалов в том числе и обобщённый, применяемый для решения любых неравенств, содержащих элементарные функции.
Вспомним алгоритм решения неравенств «методом интервалов» для f ( x )/ g ( x )˃0
а). Найти область определения левой части неравенства, корни числителя и знаменателя.
б). Нанести найденные корни числителя и знаменателя на числовую ось в пределах ОДЗ.
в). Определить знаки левой части неравенства на полученных промежутках.
г). Выяснить принадлежность концов полученных промежутков (критических точек) множеству решений неравенства.
д). Выбрать промежутки, соответствующие знаку неравенства, записать ответ.
Этап 4. Проверка усвоения и коррекция знаний.
Задание №1. Выполнить решение следующих неравенств с помощью «метода интервалов». После решения осуществляется проверка.
На экран выводятся примеры решения неравенств:
1). Решить неравенство: 
Корни числителя: 
Корни знаменателя : 
Ответ: 
Задание №2. Решить неравенство: 
Корни числителя: 
Корни знаменателя : 
Ответ: 
Задание №3. Решить систему неравенств:
Ответ: 
Этап 5. Выполнить решение показательных и логарифмических неравенств из сборника заданий для подготовки к ЕГЭ. Для решения этих неравенств воспользуемся «методом интервалов» и методом сведения к совокупности систем. Решается неравенства №2.2 и №3.3 из сборника «Задача С3» под редакцией И.Н.Сергеева, В.А.Панферова. После выполнения заданий учащиеся анализируют методы решения, обобщают и систематизируют умения и навыки, которые можно применять при решении различных неравенств.
Этап 6. Углубление и расширение новых знаний.
Метод замены множителей.
Самым легким способом решения неравенств является способ решения рациональных неравенств методом интервалов, но не все неравенства имеют структуру, которая позволяет решать их этим методом. Поэтому цель сегодняшнего урока – изучить методы решения сложных неравенств (неравенства, содержащие логарифмические, показательные, иррациональные выражения и выражения с модулями) путем замены множителей. Идея этого метода заключается в том, что неравенства повышенной сложности сводятся к решению рациональных неравенств. Оказывается, достаточно широкий класс неравенств подобную попытку допускает. Как было сказано выше, решение неравенства – это объединение конечного числа непересекающихся промежутков. Их легко задать одним рациональным неравенством, что во многих ситуациях позволяет быстрее двигаться к ответу, а иногда получать более эффективные схемы решения типовых неравенств.
Вспоминаем определения возрастающей и убывающей функций.
Функция 
называется возрастающей (убывающей) на множестве M , если для любых 
из множества М выполняется условие: 
( 
.
Определения возрастающей и убывающей функций можно сформулировать по-другому. Функция называется возрастающей (убывающей) на множестве M , если для любых 
из множества М выражения 
и 
имеют одинаковый (противоположный) знак.
Этот факт можно использовать при решении неравенств, в правой части которых стоит ноль. Можно в левой части (числителе и/или знаменателе левой части) заменить разность значений монотонной функции разностью значений аргумента. При этом, если функция возрастающая, то знак неравенства сохранится, а если функция убывающая, то знак неравенства поменяется на противоположный. Такой прием решения неравенств и называется методом замены множителей .
Замена множителей с показательными и логарифмическими выражениями.
Можно установить, что разность степеней по одному и тому же основанию всегда по знаку совпадает с произведением разности показателей этих степеней на отклонение основания степени от единицы. Другими словами, выражение вида 
имеет тот же знак, что и выражение ( f – g )(а – 1) при а> 0 (если а = 1, то выражения равны нулю). Сказанное равносильно тому, что разность логарифмов по одному и тому же основанию всегда по знаку совпадает с произведением разности чисел этих логарифмов на отклонение от единицы. Другими словами выражение вида ( log a f – log a g ) имеет тот же знак (в области существования логарифмов) что и выражение ( f — g )(α-1).
В частности, легко получить следующие полезные схемы неравенств:
На экране демонстрируются формулы и 2 примера
Рассмотрим несколько неравенств.
№ 1. Решить неравенство 
В числителе левой части стоит разность значений возрастающей на R функции 
.
В знаменателе тоже можно увидеть разность значений функции 
, если представить единицу как 
. Эта функция убывает на R . Значит, исходное неравенство равносильно неравенству
Решим полученное неравенство методом интервалов.
Источник
