Способы решения неоднородных дифференциальных уравнений

Способы решения неоднородных дифференциальных уравнений

Если общее решение \(\) ассоциированного однородного уравнения известно, то общее решение неоднородного уравнения можно найти, используя метод вариации постоянных .

Пусть общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид: \[\left( x \right) = \left( x \right) + \left( x \right).\] Вместо постоянных \(\) и \(\) будем рассматривать вспомогательные функции \(\left( x \right)\) и \(\left( x \right).\) Будем искать эти функции такими, чтобы решение \[y = \left( x \right)\left( x \right) + \left( x \right)\left( x \right)\] удовлетворяло неоднородному уравнению с правой частью \(f\left( x \right).\)

Неизвестные функции \(\left( x \right)\) и \(\left( x \right)\) определяются из системы двух уравнений: \[\left\< \begin \left( x \right)\left( x \right) + \left( x \right)\left( x \right) = 0\\ \left( x \right) \left( x \right) + \left( x \right) \left( x \right) = f\left( x \right) \end \right..\]

Правая часть \(f\left( x \right)\) неоднородного дифференциального уравнения часто представляет собой многочлен, экспоненциальную или тригонометрическую функцию, или некоторую комбинацию указанных функций. В этом случае решение удобнее искать с помощью метода неопределенных коэффициентов .

Подчеркнем, что данный метод работает лишь для ограниченного класса функций в правой части, таких как

\(f\left( x \right) = \left[ <\left( x \right)\cos\left( <\beta x>\right) + \left( x \right)\sin\left( <\beta x>\right)> \right]>,\) где \(<\left( x \right)>\) и \(<\left( x \right)>\) − многочлены степени \(n\) и \(m,\) соответственно.

В обоих случаях выбор частного решения должен соответствовать структуре правой части неоднородного дифференциального уравнения.

В случае \(1,\) если число \(\alpha\) в экспоненциальной функции совпадает с корнем характеристического уравнения, то частное решение будет содержать дополнительный множитель \(,\) где \(s\) − кратность корня \(\alpha\) в характеристическом уравнении.

В случае \(2,\) если число \(\alpha + \beta i\) совпадает с корнем характеристического уравнения, то выражение для частного решения будет содержать дополнительный множитель \(x.\)

Неизвестные коэффициенты можно определить подстановкой найденного выражения для частного решения в исходное неоднородное дифференциальное уравнение.

Если правая часть неоднородного уравнения представляет собой сумму нескольких функций вида \[ <\left( x \right)>\;\;\text<и/или>>\;\; <\left[ <\left( x \right)\cos\left( <\beta x>\right) + \left( x \right)\sin\left( <\beta x>\right)> \right]>,> \] то частное решение дифференциального уравнения также будет являться суммой частных решений, построенных отдельно для каждого слагаемого в правой части.

Сначала мы решим соответствующее однородное уравнение \(y» + y = 0.\) В данном случае корни характеристического уравнения являтся чисто мнимыми: \[ <+ 1 = 0,>\;\; <\Rightarrow = — 1,>\;\; <\Rightarrow > = \pm i.> \] Следовательно, общее решение однородного уравнения определяется выражением \[\left( x \right) = \cos x + \sin x.\] Вернемся снова к неоднородному уравнению. Будем искать его решение в виде \[y\left( x \right) = \left( x \right)\cos x + \left( x \right)\sin x,\] используя метод вариации постояных.

Функции \(\left( x \right)\) и \(\left( x \right)\) можно найти из следующей системы уравнений: \[\left\< \begin \left( x \right)\cos x + \left( x \right)\sin x = 0\\ \left( x \right) <\left( <\cos x>\right)^\prime > + \left( x \right) <\left( <\sin x>\right)^\prime > = \sin 2x \end \right..\] Тогда \[\left\< \begin \left( x \right)\cos x + \left( x \right)\sin x = 0\\ \left( x \right)\left( < - \sin x>\right) + \left( x \right)\cos x = \sin 2x \end \right..\] Выразим производную \(\left( x \right)\) из первого уравнения: \[\left( x \right) = — \left( x \right)\frac<<\sin x>><<\cos x>>.\] Подставляя во второе уравнение, находим производную \(\left( x \right):\) \[ <\left( < - \left( x \right)\frac<<\sin x>><<\cos x>>> \right)\left( < - \sin x>\right) + \left( x \right)\cos x = \sin 2x,>\;\; <\Rightarrow \left( x \right)\left( <\frac<<<<\sin >^2>x>><<\cos x>> + \cos x> \right) = \sin 2x,>\;\; <\Rightarrow \left( x \right)\frac<<<<\sin >^2>x + <<\cos >^2>x>><<\cos x>> = \sin 2x,>\;\; <\Rightarrow \left( x \right)\frac<1><<\cos x>> = \sin 2x,>\;\; <\Rightarrow \left( x \right) = \sin 2x\cos x.> \] Отсюда следует, что \[ <\left( x \right) = — \sin 2x\cos x \cdot \frac<<\sin x>><<\cos x>> > = < - \sin 2x\sin x.>\] Интегрируя выражения для производных \(\left( x \right)\) и \(\left( x \right),\) получаем: \[ <\left( x \right) = \int <\left( < - \sin 2x\sin x>\right)dx> > = < - 2\int <<<\sin >^2>x\cos xdx> > = < - 2\int <<<\sin >^2>xd\left( <\sin x>\right)> > = < - 2 \cdot \frac<<<<\sin >^3>x>> <3>+ > = < - \frac<2><3><\sin ^3>x + ,> \] \[ <\left( x \right) = \int <\left( <\sin 2x\cos x>\right)dx> > = <2\int <\sin x\,<<\cos >^2>xdx> > = < - 2\int <<\cos^2>xd\left( <\cos x>\right)> > = < - 2 \cdot \frac<<<\cos^3>x>> <3>+ > = < - \frac<2><3><\cos^3>x + .> \] где \(,\) \(\) − постоянные интегрирования.

Теперь подставим найденные функции \(\left( x \right)\) и \(\left( x \right)\) в формулу для \(\left( x \right)\) и запишем общее решение неоднородного уравнения: \[ \left( x \right)\cos x + \left( x \right)\sin x > = <\left( < - \frac<2><3><\sin^3>x + > \right)\cos x + \left( < - \frac<2><3><\cos^3>x + > \right)\sin x > = <\cos x + \sin x — \frac<2><3><\sin ^3>x\cos x — \frac<2><3><\cos^3>x\sin x > = <\cos x + \sin x — \frac<2><3>\sin x\cos x\left( <\underbrace <<<\sin >^2>x + <<\cos >^2>x>_1> \right) > = <\cos x + \sin x — \frac<1> <3>\cdot 2\sin x\cos x > = <\cos x + \sin x — \frac<1><3>\sin 2x.> \]

Сначала решим соответствующее однородное уравнение \(y» — 5y’ + 4y = 0.\) Корни характеристического уравнения равны: \[ <— 5k + 4 = 0,>\;\; <\Rightarrow D = 25 - 4 \cdot 4 = 9,>\;\; <\Rightarrow > = \frac<<5 \pm \sqrt 9 >> <2>> = <\frac<<5 \pm 3>> <2>= 4,1.> \] Следовательно, общее решение однородного уравнения записывается как \[\left( x \right) = > + ,\] где \(,\) \(\) − постоянные числа.

Найдем теперь частное решение неоднородного дифференциального уравнения. Заметим, что показатель экспоненциальной функции в правой части совпадает с корнем \( = 4\) характеристического уравнения. Поэтому будем искать частное решение в виде \[ = Ax>.\] Производные равны: \[ <= <\left( >> \right)^\prime > > = > + 4Ax> > = <\left( \right)>;> \] \[ <= <\left[ <\left( \right)>> \right]^\prime > > = <4A> + \left( <4a + 16ax>\right)> > = <\left( <8a + 16ax>\right)>.> \] Подставляя функцию \(\) и ее производные в дифференциальное уравнение, получаем: \[\require <\left( <8a + 16ax>\right)> — 5\left( \right)> + 4Ax> = >,>\;\; <\Rightarrow 8A + \cancel<16ax>— 5A — \cancel <20ax>+ \cancel <4ax>= 1,>\;\; <\Rightarrow 3A = 1,\;\; \Rightarrow A = \frac<1><3>.> \] Таким образом, частное решение имеет вид: \[ = \frac<3>>.\] Теперь можно записать полное решение неоднородного уравнения: \[ + > = <> + + \frac<3>>.> \]

Найдем решение соответствующего однородного уравнения \(y» + y = 0.\) Характеристическое уравнение имеет корни: \[ + 1 = 0,\;\; \Rightarrow > = \pm i.\] Следовательно, общее решение однородного уравнения записывается в виде: \[\left( x \right) = \cos x + \sin x.\] Найдем теперь общее решение исходного неоднородного уравнения. В соответствии с методом вариации постоянных , будем рассматривать коэффициенты \(\) и \(\) как функции \(\left( x \right)\) и \(\left( x \right).\)

Рассмотрим соответствующее однородное уравнение \(y» — 7y’ + 12y = 0.\) Корни вспомогательного характеристического уравнения равны: \[ <— 7k + 12 = 0,>\;\; <\Rightarrow D = 49 - 4 \cdot 12 = 1,>\;\; <\Rightarrow > = \frac<<7 \pm 1>> <2>= 4,3.> \] Следовательно, общее решение однородного уравнения определяется выражением: \[\left( x \right) = > + >.\] Видно, что правая часть представляет собой сумму двух функций. Согласно принципу суперпозиции , частное решение можно представить в виде: \[\left( x \right) = \left( x \right) + \left( x \right),\] где \(\left( x \right)\) − частное решение дифференциального уравнения \(y» — 7y’ + 12y = 8\sin x,\) а \(\left( x \right)\) − частное решение дифференциального уравнения \(y» — 7y’ + 12y = >.\)

Сначала определим функцию \(\left( x \right).\) В данном случае мы будем искать решение в форме \[\left( x \right) = A\cos x + B\sin x.\] Подставим функцию \(\left( x \right)\) и ее производные \[ <\left( x \right) = — A\sin x + B\cos x,>\;\; <\left( x \right) = — A\cos x — B\sin x> \] в соответствующее дифференциальное уравнение: \[ \;\; <\Rightarrow - A\cos x - B\sin x >— <7\left( < - A\sin x + B\cos x>\right) > + <12\left( \right) > = <8\sin x,>\;\; <\Rightarrow - \color — \color + \color <7A\sin x>— \color <7B\cos x>> + <\color <12A\cos x>+ \color <12B\sin x>> = <8\sin x,>\;\; <\Rightarrow \left( <11a - 7b>\right)\cos x + \left( <11b + 7a>\right)\sin x = 8\sin x.> \] Следовательно, \[\left\< \begin 11A — 7B = 0\\ 11B + 7A = 8 \end \right.,\;\; \Rightarrow \left\< \begin A = \frac<<28>><<85>>\\ B = \frac<<44>><<85>> \end \right..\] Тогда получаем: \(\left( x \right) = <\large\frac<<28>><<85>>\normalsize>\cos x + <\large\frac<<44>><<85>>\normalsize>\sin x.\)

Аналогично можно сконструировать частное решение \(\left( x \right)\) для уравнения \(y» — 7y’ + 12y = >.\) Заметим, что здесь показатель степени в экспоненциальной функции совпадает с корнем \( = 3\) характеристического уравнения соответствующего однородного уравнения. Поэтому, мы будем искать частное решение в форме \[\left( x \right) = Ax>.\] Производные имеют вид: \[ <\left( x \right) = <\left( >> \right)^\prime > > = > + 3Ax>,> \] \[ <\left( x \right) = <\left( > + 3Ax>> \right)^\prime > > = <3A> + 3A> + 9Ax> > = <6A> + 9Ax>.> \] Подставляем функцию \(\left( x \right)\) и ее производные в дифференциальное уравнение: \[ <6A> + 9Ax> — 7\left( > + 3Ax>> \right) + 12Ax> = >,>\;\; <\Rightarrow \color<6A>> + \cancel<\color<9Ax>>> — \color<7A>> — \cancel<\color<21Ax>>> + \cancel<\color<12Ax>>> = >,>\;\; <\Rightarrow - A> = >.> \] Как видно, \(A = -1.\) Следовательно, частное решение \(\left( x \right)\) можно записать в виде: \[\left( x \right) = — x>.\] В результате, общее решение исходного неоднородного уравнения определяется выражением \[ + + > = <> + > + \frac<<28>><<85>>\cos x + \frac<<44>><<85>>\sin x — x>.> \]

Источник

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Данная статья раскрывает вопрос о решении линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Будет рассмотрена теория вместе с примерами приведенных задач. Для расшифровки непонятных терминов необходимо обращаться к теме об основных определениях и понятиях теории дифференциальных уравнений.

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) второго порядка с постоянными коэффициентами вида y » + p · y ‘ + q · y = f ( x ) , где произвольными числами являются p и q , а имеющаяся функция f ( х ) непрерывная на интервале интегрирования x .

Перейдем к формулировке теоремы общего решения ЛНДУ.

Теорема общего решения ЛДНУ

Общим решением, находящимся на интервале х , неоднородного дифференциального уравнения вида y ( n ) + f n — 1 ( x ) · y ( n — 1 ) + . . . + f 0 ( x ) · y = f ( x ) с непрерывными коэффициентами интегрирования на x интервале f 0 ( x ) , f 1 ( x ) , . . . , f n — 1 ( x ) и непрерывной функцией f ( x ) равняется сумме общего решения y 0 , которое соответствует ЛОДУ и каким-нибудь частным решением y

, где исходным неоднородным уравнением является y = y 0 + y

Отсюда видно, что решение такого уравнения второго порядка имеет вид y = y 0 + y

. Алгоритм нахождения y 0 рассмотрен в статье о линейных однородных дифференциальных уравнениях второго порядка с постоянными коэффициентами. После чего следует переходить к определению y

Выбор частного решения ЛНДУ зависит от вида имеющейся функции f ( x ) , располагающейся в правой части уравнения. Для этого необходимо рассмотреть отдельно решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка при постоянных коэффициентах.

Когда f ( x ) считается за многочлен n -ой степени f ( x ) = P n ( x ) , отсюда следует, что частное решение ЛНДУ находим по формуле вида y

= Q n ( x ) · x γ , где Q n ( x ) является многочленом степени n , r – это количество нулевых корней характеристического уравнения. Значение y

является частным решением y

= f ( x ) , тогда имеющиеся коэффициенты, которые определены многочленом
Q n ( x ) , отыскиваем при помощи метода неопределенных коэффициентов из равенства y

Вычислить по теореме Коши y » — 2 y ‘ = x 2 + 1 , y ( 0 ) = 2 , y ‘ ( 0 ) = 1 4 .

Решение

Иначе говоря, необходимо перейти к частному решению линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами y » — 2 y ‘ = x 2 + 1 , которое будет удовлетворять заданным условиям y ( 0 ) = 2 , y ‘ ( 0 ) = 1 4 .

Общим решением линейного неоднородного уравнения является сумма общего решения, которое соответствует уравнению y 0 или частному решению неоднородного уравнения y

, то есть y = y 0 + y

Для начала найдем общее решение для ЛНДУ, а после чего – частное.

Перейдем к нахождению y 0 . Запись характеристического уравнения поможет найти корни. Получаем, что

k 2 — 2 k = 0 k ( k — 2 ) = 0 k 1 = 0 , k 2 = 2

Получили, что корни различные и действительные. Поэтому запишем

y 0 = C 1 e 0 x + C 2 e 2 x = C 1 + C 2 e 2 x .

. Видно, что правая часть заданного уравнения является многочленом второй степени, тогда один из корней равняется нулю. Отсюда получим, что частным решением для y

= Q 2 ( x ) · x γ = ( A x 2 + B x + C ) · x = A x 3 + B x 2 + C x , где значения А , В , С принимают неопределенные коэффициенты.

Найдем их из равенства вида y

Тогда получим, что:

‘ = x 2 + 1 ( A x 3 + B x 2 + C x ) » — 2 ( A x 3 + B x 2 + C x ) ‘ = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 B x + C ‘ — 6 A x 2 — 4 B x — 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B — 6 A x 2 — 4 B x — 2 C = x 2 + 1 — 6 A x 2 + x ( 6 A — 4 B ) + 2 B — 2 C = x 2 + 1

Приравняв коэффициенты с одинаковыми показателями степеней x , получим систему линейных выражений — 6 A = 1 6 A — 4 B = 0 2 B — 2 C = 1 . При решении любым из способов найдем коэффициенты и запишем: A = — 1 6 , B = — 1 4 , C = — 3 4 и y

= A x 3 + B x 2 + C x = — 1 6 x 3 — 1 4 x 2 — 3 4 x .

Эта запись называется общим решением исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Для нахождения частного решения, которое удовлетворяет условиям y ( 0 ) = 2 , y ‘ ( 0 ) = 1 4 , требуется определить значения C 1 и C 2 , исходя из равенства вида y = C 1 + C 2 e 2 x — 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .

y ( 0 ) = C 1 + C 2 e 2 x — 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y ‘ ( 0 ) = C 1 + C 2 e 2 x — 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x ‘ x = 0 = = 2 C 2 e 2 x — 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 — 3 4

Работаем с полученной системой уравнений вида C 1 + C 2 = 2 2 C 2 — 3 4 = 1 4 , где C 1 = 3 2 , C 2 = 1 2 .

Применив теорему Коши, имеем, что

y = C 1 + C 2 e 2 x — 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x — 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

Ответ: 3 2 + 1 2 e 2 x — 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .

Когда функция f ( x ) представляется в виде произведения многочлена со степенью n и экспоненты f ( x ) = P n ( x ) · e a x , тогда отсюда получаем, что частным решением ЛНДУ второго порядка будет уравнение вида y

= e a x · Q n ( x ) · x γ , где Q n ( x ) является многочленом n -ой степени, а r – количеством корней характеристического уравнения, равняющиеся α .

Коэффициенты, принадлежащие Q n ( x ) находятся по равенству y

Найти общее решение дифференциального уравнения вида y » — 2 y ‘ = ( x 2 + 1 ) · e x .

Решение

Уравнение общего вида y = y 0 + y

. Указанное уравнение соответствует ЛОДУ y » — 2 y ‘ = 0 . По предыдущему примеру видно, что его корни равняются k 1 = 0 и k 2 = 2 и y 0 = C 1 + C 2 e 2 x по характеристическому уравнению.

Видно, что правой частью уравнения является x 2 + 1 · e x . Отсюда ЛНДУ находится через y

= e a x · Q n ( x ) · x γ , где Q n ( x ) , являющимся многочленом второй степени, где α = 1 и r = 0 , потому как у характеристического уравнения отсутствует корень, равный 1 . Отсюда получаем, что

= e a x · Q n ( x ) · x γ = e x · A x 2 + B x + C · x 0 = e x · A x 2 + B x + C .

А , В , С являются неизвестными коэффициентами, которые можно найти по равенству y

‘ = e x · A x 2 + B x + C ‘ = e x · A x 2 + B x + C + e x · 2 A x + B = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C y

‘ ‘ = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C ‘ = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x · 2 A x + 2 A + B = = e x · A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C

‘ = ( x 2 + 1 ) · e x ⇔ e x · A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C — — 2 e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 · e x ⇔ e x · — A x 2 — B x + 2 A — C = ( x 2 + 1 ) · e x ⇔ — A x 2 — B x + 2 A — C = x 2 + 1 ⇔ — A x 2 — B x + 2 A — C = 1 · x 2 + 0 · x + 1

Показатели при одинаковых коэффициентах приравниваем и получаем систему линейных уравнений. Отсюда и находим А , В , С :

— A = 1 — B = 0 2 A — C = 1 ⇔ A = — 1 B = 0 C = — 3

Ответ: видно, что y

= e x · ( A x 2 + B x + C ) = e x · — x 2 + 0 · x — 3 = — e x · x 2 + 3 является частным решением ЛНДУ, а y = y 0 + y = C 1 e 2 x — e x · x 2 + 3 — общим решением для неоднородного дифуравнения второго порядка.

Когда функция записывается как f ( x ) = A 1 cos ( β x ) + B 1 sin β x , а А 1 и В 1 являются числами, тогда частным решением ЛНДУ считается уравнение вида y

= A cos β x + B sin β x · x γ , где А и В считаются неопределенными коэффициентами, а r числом комплексно сопряженных корней, относящихся к характеристическому уравнению, равняющимся ± i β . В этом случае поиск коэффициентов проводится по равенству y

Найти общее решение дифференциального уравнения вида y » + 4 y = cos ( 2 x ) + 3 sin ( 2 x ) .

Решение

Перед написанием характеристического уравнения находим y 0 . Тогда

k 2 + 4 = 0 k 2 = — 4 k 1 = 2 i , k 2 = — 2 i

Имеем пару комплексно сопряженных корней. Преобразуем и получим:

y 0 = e 0 · ( C 1 cos ( 2 x ) + C 2 sin ( 2 x ) ) = C 1 cos 2 x + C 2 sin ( 2 x )

Корни из характеристического уравнения считаются сопряженной парой ± 2 i , тогда f ( x ) = cos ( 2 x ) + 3 sin ( 2 x ) . Отсюда видно, что поиск y

будет производиться из y

= ( A cos ( β x ) + B sin ( β x ) · x γ = ( A cos ( 2 x ) + B sin ( 2 x ) ) · x . Неизвестные коэффициенты А и В будем искать из равенства вида y

= cos ( 2 x ) + 3 sin ( 2 x ) .

‘ = ( ( A cos ( 2 x ) + B sin ( 2 x ) · x ) ‘ = = ( — 2 A sin ( 2 x ) + 2 B cos ( 2 x ) ) · x + A cos ( 2 x ) + B sin ( 2 x ) y

» = ( ( — 2 A sin ( 2 x ) + 2 B cos ( 2 x ) ) · x + A cos ( 2 x ) + B sin ( 2 x ) ) ‘ = = ( — 4 A cos ( 2 x ) — 4 B sin ( 2 x ) ) · x — 2 A sin ( 2 x ) + 2 B cos ( 2 x ) — — 2 A sin ( 2 x ) + 2 B cos ( 2 x ) = = ( — 4 A cos ( 2 x ) — 4 B sin ( 2 x ) ) · x — 4 A sin ( 2 x ) + 4 B cos ( 2 x )

Тогда видно, что

= cos ( 2 x ) + 3 sin ( 2 x ) ⇔ ( — 4 A cos ( 2 x ) — 4 B sin ( 2 x ) ) · x — 4 A sin ( 2 x ) + 4 B cos ( 2 x ) + + 4 ( A cos ( 2 x ) + B sin ( 2 x ) ) · x = cos ( 2 x ) + 3 sin ( 2 x ) ⇔ — 4 A sin ( 2 x ) + 4 B cos ( 2 x ) = cos ( 2 x ) + 3 sin ( 2 x )

Необходимо приравнять коэффициенты синусов и косинусов. Получаем систему вида:

— 4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = — 3 4 B = 1 4

= ( A cos ( 2 x ) + B sin ( 2 x ) · x = — 3 4 cos ( 2 x ) + 1 4 sin ( 2 x ) · x .

Ответ: общим решением исходного ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами считается

= = C 1 cos ( 2 x ) + C 2 sin ( 2 x ) + — 3 4 cos ( 2 x ) + 1 4 sin ( 2 x ) · x

Когда f ( x ) = e a x · P n ( x ) sin ( β x ) + Q k ( x ) cos ( β x ) , тогда y

= e a x · ( L m ( x ) sin ( β x ) + N m ( x ) cos ( β x ) · x γ . Имеем, что r – это число комплексно сопряженных пар корней, относящихся к характеристическому уравнению, равняются α ± i β , где P n ( x ) , Q k ( x ) , L m ( x ) и N m ( x ) являются многочленами степени n , k , т , m , где m = m a x ( n , k ) . Нахождение коэффициентов L m ( x ) и N m ( x ) производится, исходя из равенства y

Найти общее решение y » + 3 y ‘ + 2 y = — e 3 x · ( ( 38 x + 45 ) sin ( 5 x ) + ( 8 x — 5 ) cos ( 5 x ) ) .

Решение

По условию видно, что

α = 3 , β = 5 , P n ( x ) = — 38 x — 45 , Q k ( x ) = — 8 x + 5 , n = 1 , k = 1

Тогда m = m a x ( n , k ) = 1 . Производим нахождение y 0 , предварительно записав характеристическое уравнение вида:

k 2 — 3 k + 2 = 0 D = 3 2 — 4 · 1 · 2 = 1 k 1 = 3 — 1 2 = 1 , k 2 = 3 + 1 2 = 2

Получили, что корни являются действительными и различными. Отсюда y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x . Далее необходимо искать общее решение, исходя из неоднородного уравнения y

= e α x · ( L m ( x ) sin ( β x ) + N m ( x ) cos ( β x ) · x γ = = e 3 x · ( ( A x + B ) cos ( 5 x ) + ( C x + D ) sin ( 5 x ) ) · x 0 = = e 3 x · ( ( A x + B ) cos ( 5 x ) + ( C x + D ) sin ( 5 x ) )

Известно, что А , В , С являются коэффициентами, r = 0 , потому как отсутствует пара сопряженных корней, относящихся к характеристическому уравнению с α ± i β = 3 ± 5 · i . Данные коэффициенты находим из полученного равенства:

= — e 3 x ( ( 38 x + 45 ) sin ( 5 x ) + ( 8 x — 5 ) cos ( 5 x ) ) ⇔ ( e 3 x ( ( A x + B ) cos ( 5 x ) + ( C x + D ) sin ( 5 x ) ) ) » — — 3 ( e 3 x ( ( A x + B ) cos ( 5 x ) + ( C x + D ) sin ( 5 x ) ) ) = — e 3 x ( ( 38 x + 45 ) sin ( 5 x ) + ( 8 x — 5 ) cos ( 5 x ) )

Нахождение производной и подобных слагаемых дает

— e 3 x · ( ( 15 A + 23 C ) · x · sin ( 5 x ) + + ( 10 A + 15 B — 3 C + 23 D ) · sin ( 5 x ) + + ( 23 A — 15 C ) · x · cos ( 5 x ) + ( — 3 A + 23 B — 10 C — 15 D ) · cos ( 5 x ) ) = = — e 3 x · ( 38 · x · sin ( 5 x ) + 45 · sin ( 5 x ) + + 8 · x · cos ( 5 x ) — 5 · cos ( 5 x ) )

После приравнивания коэффициентов получаем систему вида

15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B — 3 C + 23 D = 45 23 A — 15 C = 8 — 3 A + 23 B — 10 C — 15 D = — 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1

Из всего следует, что

= e 3 x · ( ( A x + B ) cos ( 5 x ) + ( C x + D ) sin ( 5 x ) ) = = e 3 x · ( ( x + 1 ) cos ( 5 x ) + ( x + 1 ) sin ( 5 x ) )

Ответ: теперь получено общее решение заданного линейного уравнения:

= = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x · ( ( x + 1 ) cos ( 5 x ) + ( x + 1 ) sin ( 5 x ) )

Алгоритм решения ЛДНУ

Любой другой вид функции f ( x ) для решения предусматривает соблюдение алгоритма решения:

• нахождение общего решения соответствующего линейного однородного уравнения, где y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2 , где y 1 и y 2 являются линейно независимыми частными решениями ЛОДУ, С 1 и С 2 считаются произвольными постоянными;
• принятие в качестве общего решения ЛНДУ y = C 1 ( x ) ⋅ y 1 + C 2 ( x ) ⋅ y 2 ;
• определение производных функции через систему вида C 1 ‘ ( x ) + y 1 ( x ) + C 2 ‘ ( x ) · y 2 ( x ) = 0 C 1 ‘ ( x ) + y 1 ‘ ( x ) + C 2 ‘ ( x ) · y 2 ‘ ( x ) = f ( x ) , а нахождение функций C 1 ( x ) и C 2 ( x ) посредствам интегрирования.

Найти общее решение для y » + 36 y = 24 sin ( 6 x ) — 12 cos ( 6 x ) + 36 e 6 x .

Решение

Переходим к написанию характеристического уравнения, предварительно записав y 0 , y » + 36 y = 0 . Запишем и решим:

k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = — 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos ( 6 x ) + C 2 sin ( 6 x ) ⇒ y 1 ( x ) = cos ( 6 x ) , y 2 ( x ) = sin ( 6 x )

Имеем, что запись общего решения заданного уравнения получит вид y = C 1 ( x ) · cos ( 6 x ) + C 2 ( x ) · sin ( 6 x ) . Необходимо перейти к определению производных функций C 1 ( x ) и C 2 ( x ) по системе с уравнениями:

C 1 ‘ ( x ) · cos ( 6 x ) + C 2 ‘ ( x ) · sin ( 6 x ) = 0 C 1 ‘ ( x ) · ( cos ( 6 x ) ) ‘ + C 2 ‘ ( x ) · ( sin ( 6 x ) ) ‘ = 0 ⇔ C 1 ‘ ( x ) · cos ( 6 x ) + C 2 ‘ ( x ) · sin ( 6 x ) = 0 C 1 ‘ ( x ) ( — 6 sin ( 6 x ) + C 2 ‘ ( x ) ( 6 cos ( 6 x ) ) = = 24 sin ( 6 x ) — 12 cos ( 6 x ) + 36 e 6 x

Необходимо произвести решение относительно C 1 ‘ ( x ) и C 2 ‘ ( x ) при помощи любого способа. Тогда запишем:

C 1 ‘ ( x ) = — 4 sin 2 ( 6 x ) + 2 sin ( 6 x ) cos ( 6 x ) — 6 e 6 x sin ( 6 x ) C 2 ‘ ( x ) = 4 sin ( 6 x ) cos ( 6 x ) — 2 cos 2 ( 6 x ) + 6 e 6 x cos ( 6 x )

Каждое из уравнений следует проинтегрировать . Тогда запишем получившиеся уравнения:

C 1 ( x ) = 1 3 sin ( 6 x ) cos ( 6 x ) — 2 x — 1 6 cos 2 ( 6 x ) + + 1 2 e 6 x cos ( 6 x ) — 1 2 e 6 x sin ( 6 x ) + C 3 C 2 ( x ) = — 1 6 sin ( 6 x ) cos ( 6 x ) — x — 1 3 cos 2 ( 6 x ) + + 1 2 e 6 x cos ( 6 x ) + 1 2 e 6 x sin ( 6 x ) + C 4

Отсюда следует, что общее решение будет иметь вид:

y = 1 3 sin ( 6 x ) cos ( 6 x ) — 2 x — 1 6 cos 2 ( 6 x ) + + 1 2 e 6 x cos ( 6 x ) — 1 2 e 6 x sin ( 6 x ) + C 3 · cos ( 6 x ) + + — 1 6 sin ( 6 x ) cos ( 6 x ) — x — 1 3 cos 2 ( 6 x ) + + 1 2 e 6 x cos ( 6 x ) + 1 2 e 6 x sin ( 6 x ) + C 4 · sin ( 6 x ) = = — 2 x · cos ( 6 x ) — x · sin ( 6 x ) — 1 6 cos ( 6 x ) + + 1 2 e 6 x + C 3 · cos ( 6 x ) + C 4 · sin ( 6 x )

Ответ: y = y 0 + y

= — 2 x · cos ( 6 x ) — x · sin ( 6 x ) — 1 6 cos ( 6 x ) + + 1 2 e 6 x + C 3 · cos ( 6 x ) + C 4 · sin ( 6 x )

Источник