Способы решения нелинейных систем уравнений с одной переменной

Содержание

Численные методы решения систем нелинейных уравнений
Введение
Возможности решателя scipy.optimize.root для численного решения систем алгебраических нелинейных уравнений
Методы решения систем нелинейных уравнений
Выбор модельной функции
Программа для тестирования на модельной функции c результатами решения системы алгебраических нелинейных уравнений с помощью библиотечной функции optimize.root для разных методов отыскания корней
Программа для тестирования на модельной функции c результатами решения системы алгебраических нелинейных уравнений с помощью программы написанной на Python 3 с учётом соотношений (1)-(8) для отыскания корней по модифицированному методу Ньютона
Реферат: Решение нелинейных уравнений с одной переменной
Тема 1. Решение нелинейных уравнений с одной переменной

Численные методы решения систем нелинейных уравнений

Введение

Многие прикладные задачи приводят к необходимости нахождения общего решения системы нелинейных уравнений. Общего аналитического решения системы нелинейных уравнений не найдено. Существуют лишь численные методы.

Следует отметить интересный факт о том, что любая система уравнений над действительными числами может быть представлена одним равносильным уравнением, если взять все уравнения в форме , возвести их в квадрат и сложить.

Для численного решения применяются итерационные методы последовательных приближений (простой итерации) и метод Ньютона в различных модификациях. Итерационные процессы естественным образом обобщаются на случай системы нелинейных уравнений вида:

(1)

Обозначим через вектор неизвестных и определим вектор-функцию Тогда система (1) записывается в виде уравнения:

(2)

Теперь вернёмся к всеми любимому Python и отметим его первенство среди языков программирования, которые хотят изучать [1].

Этот факт является дополнительным стимулом рассмотрения числительных методов именно на Python. Однако, среди любителей Python бытует мнение, что специальные библиотечные функции, такие как scipy.optimize.root, spsolve_trianular, newton_krylov, являются самым лучшим выбором для решения задач численными методами.

С этим трудно не согласится хотя бы потому, что в том числе и разнообразие модулей подняло Python на вершину популярности. Однако, существуют случаи, когда даже при поверхностном рассмотрении использование прямых известных методов без применения специальных функций библиотеки SciPy тоже дают неплохие результаты. Иными словами, новое- это хорошо забытое старое.

Так, в публикации [2], на основании проведенных вычислительных экспериментов, доказано, что библиотечная функция newton_krylov, предназначенная для решения больших систем нелинейных уравнений, имеет в два раза меньшее быстродействие, чем алгоритм TSLS+WD
(two-step least squares), реализованный средствами библиотеки NumPy.

Целью настоящей публикации является сравнение по числу итераций, быстродействию, а главное, по результату решения модельной задачи в виде системы из ста нелинейных алгебраических уравнений при помощи библиотечной функции scipy.optimize.root и методом Ньютона, реализованного средствами библиотеки NumPy.

Возможности решателя scipy.optimize.root для численного решения систем алгебраических нелинейных уравнений

Библиотечная функция scipy.optimize.root выбрана в качестве базы сравнения, потому что имеет обширную библиотеку методов, пригодных для сравнительного анализа.

scipy.optimize.root(fun, x0, args=(), method=’hybr’, jac=None, tol=None,callback=None, ptions=None)
fun — Векторная функция для поиска корня.
x0 –Начальные условия поиска корней

method:
hybr -используется модификация Пауэлл гибридный метод;
lm – решает системы нелинейных уравнений методом наименьших квадратов.
Как следует из документации [3] методы broyden1, broyden2, anderson, linearmixing, diagbroyden, excitingmixing, krylov являются точными методами Ньютона. Остальные параметры являются «не обязательными» и с ними можно ознакомится в документации.

Методы решения систем нелинейных уравнений

Приведенный далее материал действительно можно прочитать в литературе, например в [4], но я уважаю своего читателя и для его удобства приведу вывод метода по возможности в сокращенном виде. Те, кто не любит формулы, этот раздел пропускают.

В методе Ньютона новое приближение для решения системы уравнений (2) определяется из решения системы линейных уравнений:

(3)

Определим матрицу Якоби:

(4)

Запишем(3) в виде:

(5)

Многие одношаговые методы для приближенного решения (2) по аналогии с двухслойными итерационными методами для решения систем линейных алгебраических уравнений можно записать в виде:

(6)

где — итерационные параметры, a — квадратная матрица n х n, имеющая обратную.

При использовании записи (6) метод Ньютона (5) соответствует выбору:

Система линейных уравнений (5) для нахождения нового приближения может решаться итерационно. В этом случае мы имеем двухступенчатый итерационный процесс с внешними и внутренними итерациями. Например, внешний итерационный процесс может осуществляться по методу Ньютона, а внутренние итерации — на основе итерационного метода Зейделя

При решении систем нелинейных уравнений можно использовать прямые аналоги стандартных итерационных методов, которые применяются для решения систем линейных уравнений. Нелинейный метод Зейделя применительно к решению (2) дает:

(7)

В этом случае каждую компоненту нового приближения из решения нелинейного уравнения, можно получить на основе метода простой итерации и метода Ньютона в различных модификациях. Тем самым снова приходим к двухступенчатому итерационному методу, в котором внешние итерации проводятся в соответствии с методом Зейделя, а внутренние — с методом Ньютона.

Основные вычислительные сложности применения метода Ньютона для приближенного решения систем нелинейных уравнений связаны с необходимостью решения линейной системы уравнений с матрицей Якоби на каждой итерации, причем от итерации к итерации эта матрица меняется. В модифицированном методе Ньютона матрица Якоби обращается только один раз:

(8)

Выбор модельной функции

Такой выбор не является простой задачей, поскольку при увеличении числа уравнений в системе в соответствии с ростом числа переменных результат решения не должен меняться, поскольку в противном случае невозможно отследить правильность решения системы уравнений при сравнении двух методов. Привожу следующее решение для модельной функции:

Функция f создаёт систему из n нелинейных уравнений, решение которой не зависит от числа уравнений и для каждой из n переменных равно единице.

Программа для тестирования на модельной функции c результатами решения системы алгебраических нелинейных уравнений с помощью библиотечной функции optimize.root для разных методов отыскания корней

Только один из методов, приведенных в документации [3] прошёл тестирование по результату решения модельной функции, это метод ‘krylov’.

Решение для n=100:

Вывод: С увеличением числа уравнений вдвое заметно появление ошибок в решении. При дальнейшем увеличении n решение становится не приемлемым, что возможно из-за автоматической адаптации к шагу, эта же причина резкого падения быстродействия. Но это только моё предположение.

Программа для тестирования на модельной функции c результатами решения системы алгебраических нелинейных уравнений с помощью программы написанной на Python 3 с учётом соотношений (1)-(8) для отыскания корней по модифицированному методу Ньютона

Решение для n=100:

Решение для n=200:

Solution:
[1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.
1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1.]
Newton iteration = 14
Newton method time 1.869 seconds

Чтобы убедиться в том, что программа действительно решает систему, перепишем модельную функцию для ухода от корня со значением 1 в виде:

Получим:
Solution:
[ 0.96472166 0.87777036 0.48175823 -0.26190496 -0.63693762 0.49232062
-1.31649896 0.6865098 0.89609091 0.98509235]
Newton iteration = 16
Newton method time 0.046 seconds

Вывод: Программа работает и при изменении модельной функции.

Теперь вернёмся к начальной модельной функции и проверим более широкий диапазон для n, например в 2 и 500.
n=2
Solution:
[1. 1.]
Newton iteration = 6
Newton method time 0.048 seconds
n=500

Источник

Реферат: Решение нелинейных уравнений с одной переменной

Раздел 2. Численные методы

Тема 1. Решение нелинейных уравнений с одной переменной

При решении ряда задач физики, механики и техники возникает необходимость решения уравнений с одной переменной. В общем случае нелинейное уравнение можно записать в виде: F(x)=0, где функция F(x) определена и непрерывна на промежутке . Корнем уравнения F(x)=0, является такое число c из области определения функции y=F(x), для которого справедливо равенство F(c)=0.

Поскольку подавляющее большинство нелинейных уравнений не решается путем аналитических преобразований (точными методами), на практике их решают численными методами. Решить такое уравнение численными методами значит установить, имеет ли оно корни, сколько корней, и найти все его корни с заданной точностью.

Задача численного решения уравнений состоит из двух этапов:

1. Отделение корней, т. е. нахождение достаточно малых окрестностей рассматриваемой области, в которых содержится единственный корень.

2. Уточнение корней, т. е. вычисление корней с заданной степенью точности в некоторой окрестности.

Во многих случаях отделение корней можно произвести графически. Для этого необходимо построить график функции y=F(x) и найти достаточно малые отрезки, содержащие по одной точке пересечения графика с осью ОХ. Иногда построение значительно упрощается, если функцию y=F(x) представить в виде f₁ (x)=f₂ (x) и найти отрезки оси ОХ, содержащие координаты х точек пересечения.

Отделение корней можно также произвести с помощью соответствующей компьютерной программы.

Пусть имеется уравнение F(x)=0, причем все интересующие вычислителя корни находятся на отрезке [A, B], на котором функция определена и непрерывна. Требуется отделить корни уравнения, т.е. найти отрезки [a, b] [A, B], содержащие по одному корню. Очевидно, что если на отрезке [a, b] функция меняет знак, то на этом отрезке находится, по крайней мере, один корень уравнения F(x)=0. Если длина отрезка [a, b] очень мала и F(a)*F(b) 0

Выбирая в каждом случае тот из отрезков, на котором функция меняет знак, и продолжая процесс половинного деления дальше, можно дойти до сколь угодно малого отрезка, содержащего корень уравнения.

Данный метод позволяет находить корни уравнения с заданной точностью е. Действительно, если на каком-то этапе процесса деления получен отрезок [a’, b’], содержащий корень, то приняв x≈(a’+b’)/2, мы найдем корень с точностью е(b’-a’)/2.

1.4. Уточнение корней методом итерации

Заменим уравнение F(x)=0 равносильным уравнением x=f(x). Пусть x* — искомый корень уравнения, а x₀ – полученное каким-либо способом грубо приближенное значение корня. Подставим x₀ в правую часть уравнения x=f(x), получим x₁ =f(x₀ ). Продолжая процесс подстановки, получим последовательность чисел: x₂ =f(x₁ ), x₃ =f(x₂ ),…, x_n =f(x_n-1 ). Такая последовательность называется последовательностью приближений или итерационной последовательностью.

Достаточное условие сходимости итерационного процесса

Пусть на отрезке [ a, b] уравнение x= f( x) имеет единственный корень и выполняются условия:

2. [ a, b] для всех х из [ a, b];

3. Существует такое действительное число q, что , для всех х из [ a, b];

Тогда итерационная последовательность x_n = f( x_n-1 ) сходится при любом начальном значении x₀ [ a, b].

Это условие не является необходимым, т.е. итерационная последовательность может сходиться и в том случае, если условия теоремы не выполняются.

Оценка погрешности метода итерации

Пусть , тогда или . Это значит, что процесс итерации надо продолжать до тех пор, пока модуль разности двух соседних приближений не станет меньше .

1.5. Уточнение корней методом хорд

Пусть уравнение F(x)=0 имеет единственный корень на отрезке [a, b]. Если отрезок [a, b] достаточно мал, то можно считать, что функция y=F(x) монотонна на этом отрезке и не меняет направление выпуклости. Значит на отрезке [a, b] нет точек максимума и минимума, т.е. . Т.к. направление выпуклости не меняется то и . Получаем четыре вида графиков, которые объединяются в два типа.

I. тип. Условие: , где x- любая точка [a, b].

Название: Решение нелинейных уравнений с одной переменной
Раздел: Рефераты по математике
Тип: реферат Добавлен 13:19:15 23 июля 2011 Похожие работы
Просмотров: 311 Комментариев: 21 Оценило: 2 человек Средний балл: 5 Оценка: неизвестно Скачать

II. тип. Условие: , где x- любая точка [a, b].

Пусть x* — искомый корень уравнения F(x)=0. Заменим кривую графика на хорду АВ. Уравнение прямой, проходящей через точки А (а, F(а)) и В(b, F(b)) имеет вид: , где (x, y) – любая точка прямой АВ. В качестве этой точки возмем точку пересечения хорды с осью ОХ, т.е.

(x₁ , 0). Получим или .

Рассмотрим случай, когда кривая графика функции y= F( x) относится к I типу. Через точки А₁ и В проводим следующую хорду. Она пересекает ось ОХ в точке х_2. Аналогично получаем

(1)

Полученная таким образом формула (1) называется формулой метода хорд для кривых I-го типа.

Очевидно, что последовательность значений х₁ , х₂ , х₃ , …,х_n стремится к корню уравнения х * , а значит этот корень можно найти с заданной точностью.

В рассмотренном выше случае для кривых I-го типа, правым концом всех проведенных хорд была точка В. Если, кривая относится ко II-му типу, то неизменным концом хорд будет точка А. Значит в формуле (1) b поменяется на а. Формула будет иметь вид:

Если на n-ом шаге, то считается, что необходимая точность е достигнута.

1.6. Уточнение корней методом касательных

При уточнении корней методом касательных все функции делятся на два типа, как и в методе хорд. Рассмотрим кривую I-го типа.

Проведем касательную к графику функции в точке В. Она пересечет ось ОХ в точке х_1. Через эту точку проведем прямую перпендикулярную оси ОХ до пересечения с графиком функции. Получим точку А₁ . Через неё опять проведем касательную. Получим точку х₂ . Продолжая этот процесс, получим последовательность х₁ , х₂ , х₃ , …,х_n, сходящуюся к х * .

Уравнение касательной к графику функции F(x)=0 в точке х=b имеет вид . Т.к. эта касательная пересекает ось ОХ в точке (х₁ , 0), то . Значит

Если, кривая относится ко II-му типу, то первую касательную к графику функции надо проводить в точке А и

Дальнейший расчет значений х₂ , х₃ , …,х_n не зависит от типа кривой и в обоих случаях вычисляется по формуле

Если на n-ом шаге, то считается, что необходимая точность е достигнута.

1.7. Уточнение корней комбинированным методом хорд и касательных

Методы хорд и касательных дают приближение корня с разных сторон. Поэтому их часто применяют в сочетании друг с другом. В этом случае процесс уточнения корня идет быстрее.

Метод реализуется по следующей схеме:

1. По методу хорд находят первое приближение корня .