Способы решения нелинейного уравнения

Методы решения нелинейных уравнений

Рубрика: Математика: алгебра и начала анализа, геометрия

Дата публикации: 29.04.2016 2016-04-29

Статья просмотрена: 3031 раз

Библиографическое описание:

Воронова, М. Е. Методы решения нелинейных уравнений / М. Е. Воронова, М. Н. Симакова, Е. Е. Симаков. — Текст : непосредственный // Юный ученый. — 2016. — № 3 (6). — С. 102-105. — URL: https://moluch.ru/young/archive/6/414/ (дата обращения: 20.11.2021).

Статья посвящена изучению методов решения нелинейных уравнений, в том числе, с использованием системы автоматизированного проектирования MathCAD. Рассмотрены шаговый метод, методы половинного деления и Ньютона, приведены подробные алгоритмы применения данных методов, а также проведен сравнительный анализ указанных методов.

Ключевые слова: нелинейные уравнения, прикладная математика, САПР MathCAD, метод Ньютона, шаговый метод, метод дихотомии.

Цель работы: изучить методы решения нелинейных уравнений с одним неизвестным и апробировать их в опытно-экспериментальной работе.

Задачи работы:

1. Проанализировать специальную литературу и выбрать наиболее рациональные способы решения нелинейных уравнений, позволяющие глубоко изучить и усвоить данную тему всем выпускникам средней школы.
2. Разработать некоторые аспекты методики решения нелинейных уравнений с применением ИКТ.
3. Изучить методы решения нелинейных уравнений:

‒ Метод деления пополам

Введение.

Без математической грамотности невозможно успешное освоение методов решения задач по физике, химии, биологии и другим предметам. Весь комплекс естественных наук построен и развивается на базе математических знаний. Например, исследование ряда актуальных задач математической физики приводит к необходимости решения нелинейных уравнений. Решение нелинейных уравнений необходимо в нелинейной оптике, физике плазмы, теории сверхпроводимости и физике низких температур. По этой теме есть достаточное количество литературы, но во многих учебниках и статьях трудно разобраться ученику средней школы. В данной работе рассмотрены методы решения нелинейных уравнений, которые можно использовать при решении прикладных задач физики, химии. Интересным представляется аспект применения информационных технологий к решению уравнений и задач по математике.

Шаговый метод.

Пусть требуется решить нелинейное уравнение вида уравнение F(x)=0. Предположим также, что нам задан некоторый интервал поиска [x0,x1]. Требуется найти интервал [а,b] длиной h, содержащий первый корень уравнения, начиная с левой границы интервала поиска.

Рис. 1. Шаговый метод

Решить подобную задачу можно несколькими способами. Шаговый метод является наиболее простым из численных методов решения неравенств, но для достижения большой точности необходимо существенно уменьшить шаг, а это сильно увеличивает время расчётов. Алгоритм решения уравнений с помощью данного метода состоит из двух этапов.

На этом этапе определяются участки, на каждом из которых находится только один корень уравнения. Есть несколько вариантов реализации этого этапа:

• Подставляем значения X (желательно с каким-то достаточно мелким шагом) и смотрим где функция сменит знак. Если функция сменила знак, это значит, что на участке между предыдущим и текущим значением X лежит корень (если функция не меняет характер возрастания/убывания, то можно утверждать, что корень на этом интервале один).
• Графический метод. Строим график и оцениваем на каких интервалах лежит один корень.
• Исследуем свойства конкретной функции.

На данном этапе значение корней уравнения, определенных ранее, уточняется. Как правило на этом этапе используются итерационные методы. Например, метод половинного деления (дихотомии) или метод Ньютона.

Метод половинного деления

Быстрый и достаточно простой численный метод решения уравнений, основанный на последовательном сужении интервала, содержащего единственный корень уравнения F(x)=0 до того времени, пока не будет достигнута заданная точность Е. Данный метод обычно используется при решении квадратных уравнений и уравнений высших степеней. Однако у данного метода есть существенный недостаток — если на отрезке [а,b] содержится более одного корня, то с его помощью не удастся добиться хороших результатов.

Рис. 2. Метод дихотомии

Алгоритм данного метода следующий:

‒ Определить новое приближение корня х в середине отрезка [а;b]: х=(а+b)/2.

‒ Найти значения функции в точках а и х: F(a) и F(x).

‒ Проверить условие F(a)*F(x) 0. Таким образом, выбирается точка с абсциссой x₀, в которой касательная к кривой y=f(x) на отрезке [a;b] пересекает ось Ox. За точку x₀ сначала удобно выбирать один из концов отрезка.

Рассмотрим данный алгоритм на конкретном примере.

Пусть нам дана возрастающая функция y = f(x) =x 2– 2, непрерывная на отрезке (0;2), и имеющая f ‘(x) =2x>0 и f »(x) = 2> 0.

В нашем случае уравнение касательной имеет вид: y-y₀=2x₀·(x-x₀). В качестве точки x₀ выбираем точку B₁(b; f(b)) = (2,2). Проводим касательную к функции y = f(x) в точке B₁, и обозначаем точку пересечения касательной и оси Ox точкой x₁. Получаем уравнение первой касательной:y-2=2·2(x-2), y=4x-6. Точка пересечения касательной и оси Ox: x₁ =

Рис. 3. Построение первой касательной к графику функции f(x)

Затем находим точку пересечения функции y=f(x) и перпендикуляра, проведенного к оси Ox через точку x₁, получаем точку В₂ =(1.5; 0.25). Снова проводим касательную к функции y = f(x) в точке В₂, и обозначаем точку пересечения касательной и Ox точкой x₂.

Уравнение второй касательной: y-2.25=2*1.5(x-1.5), y = 3x — 4.25. Точка пересечения касательной и оси Ox: x₂ = .

Затем находим точку пересечения функции y=f(x) и перпендикуляра, проведенного к оси Ox через точку x₂, получаем точку В₃ и так далее.

В3 = ()

Рис. 4. Построение второй касательной к графику функции f(x)

Первое приближение корня определяется по формуле:

= 1.5.

Второе приближение корня определяется по формуле:

=

Третье приближение корня определяется по формуле:

Таким образом, i-ое приближение корня определяется по формуле:

Вычисления ведутся до тех пор, пока не будет достигнуто совпадение десятичных знаков, которые необходимы в ответе, или заданной точности e — до выполнения неравенства |xi-xi-1| нелинейные уравнения, прикладная математика, САПР MathCAD, метод Ньютона, шаговый метод, метод дихотомии.

Похожие статьи

Организация приближённого решения интегральных уравнений.

Разработано много приближённых методов решения интегральных уравнений и

Приведём краткий обзор о методах решения ИУ. А. Разностный метод или метод квадратурных

уравнение, точное решение, начальное приближение, итерационная формула, формула.

Организация численных методов в MathCAD | Статья в журнале.

«начальная итерация и уравнение. «ссылка к внутренней функции и вывод решения. Пример 2. Определение всех решений уравнения .

«вывод решения. Организуем теперь алгоритмы методов простой итерации ва Ньютона, они имеют важное значение при изучении методов.

Решения нелинейных волновых уравнений методом.

В этой работе метод вариационных итераций (МВИ) применяется для решения волновых уравнений. МВИ обеспечивает последовательность функций, которая сходится к точному решению и способен отменить некоторые из повторных вычислений.

Решение смешанной задачи для волнового уравнения.

Ключевые слова: смешанная задача, волновое уравнение, метод разделения переменных, метод вариационных итераций, метод разложения Адомиана, начальное приближение, последовательность функций, точное решение. Основной задачей строительной механики.

Применение метода вариационных итераций к приближенному.

Метод очень прост и удобен. Ключевые слова: дифференциальные уравнения, метод вариационных итераций, коррекция функционала, начальное приближение, последовательность функции, точное решение. В 1999 году метод вариационных итераций.

О корнях кубического уравнения | Статья в журнале.

Существуют различные методы решения кубических уравнений. Эти методы разделяются на аналитические (точные) и численные. Аналитическим методам относятся метод Карно, тригонометрический способ Виета, использование возвратных уравнений и т. д. [1,2,3].

Алгоритм интегрирования с переменным числом стадий для.

Для численного решения (18) используем метод установления, который заключается в том, что для стационарной задачи строится нестационарный процесс, решение которого с течением времени устанавливается к решению исходной задачи. Рассмотрим задачу.

Касательная. Задачи на касательную | Статья в журнале.

Приведем алгоритм решения этой задачи. 1. Составляем уравнение касательной к графику

Составим уравнение касательной к графику заданной функции в точке : Так как эта прямая

Затем используя прямые методы, решение интегрального уравнения сведено к конечной.

Численная реализация разностного метода решения одной.

Положить ; задать начальное приближение искомого решения во внутренних узлах

Изучить методы решения нелинейных уравнений: ‒ Шаговый метод. Самый точный из численных методов решения; подходит для решения очень сложных уравнений, но усложняется.

Похожие статьи

Организация приближённого решения интегральных уравнений.

Разработано много приближённых методов решения интегральных уравнений и

Приведём краткий обзор о методах решения ИУ. А. Разностный метод или метод квадратурных

уравнение, точное решение, начальное приближение, итерационная формула, формула.

Организация численных методов в MathCAD | Статья в журнале.

«начальная итерация и уравнение. «ссылка к внутренней функции и вывод решения. Пример 2. Определение всех решений уравнения .

«вывод решения. Организуем теперь алгоритмы методов простой итерации ва Ньютона, они имеют важное значение при изучении методов.

Решения нелинейных волновых уравнений методом.

В этой работе метод вариационных итераций (МВИ) применяется для решения волновых уравнений. МВИ обеспечивает последовательность функций, которая сходится к точному решению и способен отменить некоторые из повторных вычислений.

Решение смешанной задачи для волнового уравнения.

Ключевые слова: смешанная задача, волновое уравнение, метод разделения переменных, метод вариационных итераций, метод разложения Адомиана, начальное приближение, последовательность функций, точное решение. Основной задачей строительной механики.

Применение метода вариационных итераций к приближенному.

Метод очень прост и удобен. Ключевые слова: дифференциальные уравнения, метод вариационных итераций, коррекция функционала, начальное приближение, последовательность функции, точное решение. В 1999 году метод вариационных итераций.

О корнях кубического уравнения | Статья в журнале.

Существуют различные методы решения кубических уравнений. Эти методы разделяются на аналитические (точные) и численные. Аналитическим методам относятся метод Карно, тригонометрический способ Виета, использование возвратных уравнений и т. д. [1,2,3].

Алгоритм интегрирования с переменным числом стадий для.

Для численного решения (18) используем метод установления, который заключается в том, что для стационарной задачи строится нестационарный процесс, решение которого с течением времени устанавливается к решению исходной задачи. Рассмотрим задачу.

Касательная. Задачи на касательную | Статья в журнале.

Приведем алгоритм решения этой задачи. 1. Составляем уравнение касательной к графику

Составим уравнение касательной к графику заданной функции в точке : Так как эта прямая

Затем используя прямые методы, решение интегрального уравнения сведено к конечной.

Численная реализация разностного метода решения одной.

Положить ; задать начальное приближение искомого решения во внутренних узлах

Изучить методы решения нелинейных уравнений: ‒ Шаговый метод. Самый точный из численных методов решения; подходит для решения очень сложных уравнений, но усложняется.

Источник