Способы решения математического анализа

Пределы в математике для чайников: объяснение, теория, примеры решений

• 4 июня 2021 г.
• 10 минут
• 592 502
• 14

Теория пределов – раздел математического анализа. Наряду с системами линейных уравнений и диффурами пределы доставляют всем студентам, изучающим математику, немало хлопот. Чтобы решить предел, порой приходится применять массу хитростей и выбирать из множества способов решения именно тот, который подойдет для конкретного примера.

В этой статье мы не поможем вам понять пределы своих возможностей или постичь пределы контроля, но постараемся ответить на вопрос: как понять пределы в высшей математике? Понимание приходит с опытом, поэтому заодно приведем несколько подробных примеров решения пределов с пояснениями.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Понятие предела в математике

Первый вопрос: что это вообще за предел и предел чего? Можно говорить о пределах числовых последовательностей и функций. Нас интересует понятие предела функции , так как именно с ними чаще всего сталкиваются студенты. Но сначала — самое общее определение предела:

Допустим, есть некоторая переменная величина. Если эта величина в процессе изменения неограниченно приближается к определенному числу a, то a – предел этой величины.

Для определенной в некотором интервале функции f(x)=y пределом называется такое число A, к которому стремится функция при х, стремящемся к определенной точке а. Точка а принадлежит интервалу, на котором определена функция.

Звучит громоздко, но записывается очень просто:

Lim — от английского limit — предел.

Существует также геометрическое объяснение определения предела, но здесь мы не будем лезть в теорию, так как нас больше интересует практическая, нежели теоретическая сторона вопроса. Когда мы говорим, что х стремится к какому-то значению, это значит, что переменная не принимает значение числа, но бесконечно близко к нему приближается.

Приведем конкретный пример. Задача — найти предел.

Чтобы решить такой пример, подставим значение x=3 в функцию. Получим:

Кстати, если Вас интересуют базовые операции над матрицами, читайте отдельную статью на эту тему.

В примерах х может стремиться к любому значению. Это может быть любое число или бесконечность. Вот пример, когда х стремится к бесконечности:

Интуитивно понятно, что чем больше число в знаменателе, тем меньшее значение будет принимать функция. Так, при неограниченном росте х значение 1/х будет уменьшаться и приближаться к нулю.

Как видим, чтобы решить предел, нужно просто подставить в функцию значение, к которому стремиться х. Однако это самый простой случай. Часто нахождение предела не так очевидно. В пределах встречаются неопределенности типа 0/0 или бесконечность/бесконечность. Что делать в таких случаях? Прибегать к хитростям!

Неопределенности в пределах

Неопределенность вида бесконечность/бесконечность

Пусть есть предел:

Если мы попробуем в функцию подставить бесконечность, то получим бесконечность как в числителе, так и в знаменателе. Вообще стоит сказать, что в разрешении таких неопределенностей есть определенный элемент искусства: нужно заметить, как можно преобразовать функцию таким образом, чтобы неопределенность ушла. В нашем случае разделим числитель и знаменатель на х в старшей степени. Что получится?

Из уже рассмотренного выше примера мы знаем, что члены, содержащие в знаменателе х, будут стремиться к нулю. Тогда решение предела:

Для раскрытия неопределенностей типа бесконечность/бесконечность делим числитель и знаменатель на х в высшей степени.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Еще один вид неопределенностей: 0/0

В таких случаях рекомендуется раскладывать числитель и знаменатель на множители. Но давайте посмотрим на конкретный пример. Нужно вычислить предел:

Как всегда, подстановка в функцию значения х=-1 дает 0 в числителе и знаменателе. Посмотрите чуть внимательнее и Вы заметите, что в числителе у нас квадратное уравнение. Найдем корни и запишем:

Сократим и получим:

Итак, если Вы сталкиваетесь с неопределенностью типа 0/0 – раскладывайте числитель и знаменатель на множители.

Чтобы Вам было проще решать примеры, приведем таблицу с пределами некоторых функций:

Правило Лопиталя в пределах

Еще один мощный способ, позволяющий устранить неопределенности обоих типов. В чем суть метода?

Если в пределе есть неопределенность, берем производную от числителя и знаменателя до тех пор, пока неопределенность не исчезнет.

Наглядно правило Лопиталя выглядит так:

Важный момент : предел, в котором вместо числителя и знаменателя стоят производные от числителя и знаменателя, должен существовать.

А теперь – реальный пример:

Налицо типичная неопределенность 0/0. Возьмем производные от числителя и знаменателя:

Вуаля, неопределенность устранена быстро и элегантно.

Надеемся, что Вы сможете с пользой применить эту информацию на практике и найти ответ на вопрос «как решать пределы в высшей математике». Если нужно вычислить предел последовательности или предел функции в точке, а времени на эту работу нет от слова «совсем», обратитесь в профессиональный студенческий сервис за быстрым и подробным решением.

Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.

Источник

Математический анализ

Здравствуйте, на этой странице я собрала полный курс лекций по предмету «математический анализ», кстати студенты обычно называют этот предмет «матанализ».

Весь теоретический материал сопровождается многочисленными примерами с подробно выполненными заданиями, по аналогии с предлагаемыми для решения на практических занятиях.

Сложные доказательства некоторых теорем и утверждений опущены и вместо них приведено достаточное количество примеров иллюстрирующих теорию. Отсутствие доказательства в тексте отмечено знаком «*», конец доказательства -знаком «■».

Ввиду наличия в тексте большого количества типичных заданий, сопровождаемых примерами и подробных пояснений теоретического материала, учебно-методическая страница сайта может быть использована студентами как дневной, так и заочной форм обучения.

Математи́ческий ана́лиз (классический математический анализ) — совокупность разделов математики, соответствующих историческому разделу под наименованием «анализ бесконечно малых», объединяет дифференциальное[⇨] и интегральное[⇨] исчисления. wikipedia.org/wiki/Математический_анализ

Если что-то непонятно — вы всегда можете написать мне в WhatsApp и я вам помогу!

Введение в математический анализ

Математическим анализом называют раздел математики, в котором функции изучаются методом пределов. Данное пособие знакомит студентов со следующими разделами: теория пределов, дифференциальное исчисление, интегральное исчисление, ряды, дифференциальные уравнения.

Теория множеств

Функция

Числовая последовательность и ее предел

Предел функции

Замечательные пределы

Непрерывность функций

Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Дифференциал функции. Дифференцируемость функции

Исследование функции с помощью производных. Монотонность функции

Частные производные функции нескольких переменных

Градиент

Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Кстати тут теория из учебников может быть вам поможет она.

Необходимые и достаточные условия локального экстремума функции двух переменных

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник

Примеры задач по математическому анализу

В данном разделе размещены типовые примеры задач по математическому анализу с подробным решением.

Каталог решений онлайн

• Исследование функции (13 задач)
• Непрерывность, точки разрыва (3 задачи)
• Пределы (8 задач)
• Производные и приложения, частные производные (8 задач)
• Дифференциальные уравнения (18 задач)
• Дифференциальные уравнения в частных производных (12 задач)
• Разностные уравнения (4 задачи)
• Интегралы (неопределенные, определенные, несобственные) (12 задач)
• Применение интегралов к вычислению длин, площадей, объемов (10 задач)
• Двойные интегралы (20 задач)
• Тройные интегралы (13 задач)
• Криволинейные интегралы (16 задач)
• Поверхностные интегралы (6 задач)
• Ряды, исследование сходимости и применение (9 задач)
• Ряды и интегралы Фурье (6 задач)
• Комплексные числа (12 задач)
• Теория функций комплексной переменной (13 задач)
• Операционное исчисление (17 задач)
• Функции нескольких переменных (29 задач)
• Теория поля (15 задач)
• Функциональный анализ (7 задач)
• Интегральные уравнения (10 задач)
• Вариационное исчисление (9 задач)

Изучаем математический анализ

МатБюро помогает студентам с 2006 года. Всё это время мы поддерживаем прекрасную репутацию и наилучшие условия «цена-качество».

Мы предлагаем:
Грамотную и подробную консультацию и решение за разумную стоимость.

Источник