Способы решения математических заданий

Как решать логические и математические задачи

Решение задач на логику — отличная гимнастика для ума детей и взрослых на каждый день. На ЛогикЛайк более 3500 заданий с ответами и пояснениями, полноценный учебный комплекс для развития логики и способностей к математике.

Решаем логические задачи

Чтобы научиться решать типовые логические задачи, простые и нестандартные математические задачи, важно знать основные приемы и методы их решения. Ведь решить одну и ту же задачу и прийти к правильному ответу во многих случаях можно разными способами.

Знание и понимание различных методов решения поможет определить, какой способ подойдет лучше в каждом конкретном случае, чтобы выбрать наиболее быстрый и простой путь получения ответа.

К «классическим» логическим задачам относятся текстовые задачи, цель решения которых состоит в распознавании объектов или расположении их в определенном порядке в соответствии с заданными условиями.

Более сложными и увлекательными типами заданий являются задачи, в которых отдельные утверждения являются истинными, а другие ложными. Задачи на перемещение, перекладывание, взвешивание, переливание — самые яркие примеры широкого ряда нестандартных задач на логику.

Основные методы решения логических задач

• метод рассуждений;
• с помощью таблиц истинности;
• метод блок-схем;
• средствами алгебры логики (алгебры высказываний);
• графический (в том числе, «дерево логических условий», метод кругов Эйлера);
• метод математического бильярда.

Давайте рассмотрим подробнее с примерами три популярных способа решения логических задач, которые мы рекомендуем использовать в начальной школе (детям 6-12 лет):

• метод последовательных рассуждений;
• разновидность метода рассуждений — «с конца»;
• табличный способ.

Метод последовательных рассуждений

Самый простой способ решения несложных задач заключается в последовательных рассуждениях с использованием всех известных условий. Выводы из утверждений, являющихся условиями задачи, постепенно приводят к ответу на поставленный вопрос.

На столе лежат Голубой , Зеленый , Коричневый и Оранжевый карандаши.

Третьим лежит карандаш, в имени которого больше всего букв. Голубой карандаш лежит между Коричневым и Оранжевым .

Разложи карандаши в описанном порядке.

Рассуждаем. Последовательно используем условия задачи для формулирования выводов о позиции, на которой должен лежать каждый следующий карандаш.

• Больше всего букв в слове «коричневый», значит, он лежит третьим.
• Известно, что голубой карандаш лежит между коричневым и оранжевым. Справа от коричневого есть только одна позиция, значит, расположить голубой между коричневым и другим карандашом возможно только слева от коричневого.
• Следующий вывод на основе предыдущего: голубой карандаш лежит на второй позиции, а оранжевый — на первой.
• Для зеленого карандаша осталась последняя позиция — он лежит четвертым.

Метод «с конца»

Такой способ решения является разновидностью метода рассуждений и отлично подходит для задач, в которых нам известен результат совершения определенных действий, а вопрос состоит в восстановлении первоначальной картины.

Бабушка испекла для троих внуков рогалики и оставила их на столе. Коля забежал перекусить первым. Сосчитал все рогалики, взял свою долю и убежал.
Аня зашла в дом позже. Она не знала, что Коля уже взял рогалики, сосчитала их и, разделив на троих, взяла свою долю.
Третьим пришел Гена, который тоже разделил остаток выпечки на троих и взял свою долю.
На столе осталось 8 рогаликов.

Сколько рогаликов из восьми оставшихся должен съесть каждый, чтобы в результате все съели поровну?

Начинаем рассуждение «с конца».
Гена оставил для Ани и Коли 8 рогаликов (каждому по 4). Получается, и сам он съел 4 рогалика: 8 + 4 = 12.
Аня оставила для братьев 12 рогаликов (каждому по 6). Значит, и сама она съела 6 штук: 12 + 6 = 18.
Коля оставил ребятам 18 рогаликов. Значит, сам съел 9: 18 + 9 = 27.

Бабушка положила на стол 27 рогаликов, рассчитывая, что каждому достанется по 9 штук. Поскольку Коля уже съел свою долю, Аня должна съесть 3, а Гена — 5 рогаликов.

Решение логических задач с помощью таблиц истинности

Суть метода состоит в фиксации условий задачи и полученных результатов рассуждений в специально составленных под задачу таблицах. В зависимости от того, является высказывание истинным или ложным, соответствующие ячейки таблицы заполняются знаками «+» и «-» либо «1» и «0».

Три спортсмена ( красный , синий и зеленый ) играли в баскетбол.
Когда мяч оказался в корзине, красный воскликнул: «Мяч забросил синий».
Синий возразил: «Мяч забросил зеленый».
Зеленый сказал: «Я не забрасывал».

Кто забросил мяч, если только один из троих сказал неправду?

Сначала таблицу составляют: слева записывают все утверждения, которые содержатся в условии, а сверху — возможные варианты ответа.

Затем таблицу последовательно заполняют: верные утверждения отмечают знаком «+», а ложные утверждения — знаком «-«.

Рассмотрим первый вариант ответа («мяч забросил красный «), проанализируем утверждения, записанные слева, и заполним первый столбик.
Исходя из нашего предположения («мяч забросил красный «), утверждение «мяч забросил синий» — ложь. Ставим в ячейке «-«.
Утверждение «мяч забросил зеленый» также ложь. Заполняем ячейку знаком «-«.
Утверждение зеленого «Я не забрасывал» – истина. Ставим в ячейке «+».

Рассмотрим второй вариант ответа (предположим, что мяч забросил зеленый ) и заполним второй столбик.
Утверждение «мяч забросил Синий» — ложь. Ставим в ячейке «-«.
Утверждение «мяч забросил зеленый « — истина. Заполняем ячейку знаком «+».
Утверждение зеленого «Я не забрасывал» – ложь. Ставим в ячейке «-«.

И, наконец, третий вариант: предположим, что «мяч забросил синий «.
Тогда утверждение «мяч забросил синий « — истина. Ставим в ячейке «+».
Утверждение «мяч забросил зеленый» — ложь. Заполняем ячейку знаком «-«. Утверждение зеленого «Я не забрасывал» – истина. Ставим в ячейке «+».

Так как по условию лишь один из троих ребят сказал неправду, в заполненной таблице выбираем такой вариант ответа, где будет только одно ложное утверждение (в столбце один знак «-«). Подходит третий столбец.

Значит, правильный ответ – мяч забросил синий.

Метод блок-схем

Метод блок-схем считается оптимальным вариантом для решения задач на взвешивание и на переливание жидкостей. Альтернативный способ решения этого типа задач — метод перебора вариантов — не всегда является оптимальным, да и назвать его системным довольно сложно.

• графически (блок-схемой) описываем последовательность выполнения операций;
• определяем порядок их выполнения;
• в таблице фиксируем текущие состояния.

Подробнее об этом и других способах решения логических задач с примерами и описанием хода решения мы рассказываем в полном Курсе ЛогикЛайк по развитию логического мышления.

Отгадывайте самые интересные загадки на логику, собранные специально для постоянных читателей нашего блога и учеников LogicLike, решайте логические задачи онлайн вместе с тысячами детей и взрослых!

Учим детей 5-12 лет решать любые логические и математические задачи. Более 3500 занимательных заданий с ответами и пояснениями.

Источник

Статья «Методы решения математических задач».

I. Роль задач в математическом образовании.

Вооружение учащихся методами и способами решения задач, обучение их самостоятельному поиску решений задач – одна из важных проблем школьного математического образования. Основная цель обучения заключается в том, чтобы научить человека методам решения практических, теоретических задач, которые встретятся ему в жизни, в будущей его деятельности, научить ученика использовать математические подходы для решения задач, возникающие в окружающем его мире, уметь осуществлять поиск, отбор, анализ, систематизацию и классификацию информации.

Наблюдения за работой учителей дают повод считать, что большинство из них в качестве единственного метода обучения решению задач используют показ способов решения определенных видов задач и допускают, что умение школьников решать задачи находится в прямой зависимости от числа решенных задач.

Однако, психологические исследования проблемы обучения решению задач показывают, что основные причины несформированности у учащихся общих умений и способностей в решении задач состоит в том, что школьникам не даются необходимые знания о сущности задач и их решений, а поэтому они решают задачи, не осознавая должным образом свою собственную деятельность. У учащихся не вырабатываются отдельно умения и навыки в действиях, входящих в общую деятельность по решению задач. Поэтому им приходится осваивать эти действия в самом процессе решения задач, что многим школьникам не под силу.

Решить математическую задачу – это значит найти такую последовательность общих положений математики (определений, аксиом, теорем, формул), применяя которые к условиям задачи или к их следствиям (промежуточным результатам решения), получаем то, что требуется в задаче – ее ответ.

II. Методы поиска решения задач.

Существуют различные методы поиска решения задачи. Учащихся желательно знакомить с ними, показывая в каких случаях удобнее использовать тот или иной из них.

Найденное, известное решение задачи обычно излагают синтетическим методом. Синтез позволяет изложить известное решение задачи быстро и четко. И в дальнейшем, встречаясь с подобными задачами, учащиеся используют уже известный им способ и решают эти задачи синтетическим методом.

Чтобы найти способ решения, пользуются анализом. Синтез позволяет изложить готовое решение, однако ученику при этом трудно понять, как было найдено решение, как бы он сам мог догадаться решить задачу. Анализ требует большей, чем синтез, затраты учебного времени, но зато позволяет показать ученику, как найти решение, как можно самому догадаться ее решить. Если анализ используется систематически, то у учащихся формируются навыки поиска решения задач. Анализ в чистом виде вообще не применяется. Если ученик пользуется им при поиске решения задачи, то только до тех пор, пока в его сознании не возникнет идея решения. При решении задач синтезом в сознании человека проводится и анализ, но часто настолько быстро, подсознательно, что ему кажется, будто он сразу увидел решение, не прибегая к анализу.

Поскольку анализ является неотъемлемой частью решения большинства задач, то ясно, насколько важно обучать школьников процессу анализа. Обучение математике сводится не столько к запоминанию теорем и их доказательств, сколько овладению методами познания.

При решении задач анализ может выступать в двух формах:

1) анализ в расчленения;

2) анализ в форме рассуждения.

Анализ в форме расчленения.

Ознакомление учащихся с этой формой анализа можно осуществлять двумя способами:

а) сообщаем общую схему метода, затем иллюстрируем ее применение на примерах;

б) показываем применение анализа в форме расчленения при решении задачи.

Общая схема анализа в форме расчленения:

1) разбиваем условие задачи на отдельные части;

2) выделяем отдельные условия;

3) из отобранных условий составляем более легкую вспомогательную задачу;

4) решаем ее и, обнаружив идею решения, переходим к данной задаче.

б) анализ в форме рассуждения.

Анализ в форме рассуждения.

Эта форма подразделяется на два вида: восходящий и нисходящий. Ознакомление учащихся с нисходящим анализом лучше начать с его общей схемы.

Общая схема нисходящего анализа

Пусть требуется доказать некоторое утверждение А. Предполагаем, что оно верно, и пытаемся получить из него верное следствие. При этом возможно несколько случаев

1) Получено неверное следствие. Значит, предположение о справедливости А ошибочно. Решение задачи на этом закончено.

2) Получено верное следствие. В этом случае следует обязательно проверить обратимость рассуждений:

а) Если все рассуждения обратимы, то А верно.

б) Если среди рассуждений есть необратимые, то приходиться применять другие методы поиска решения задачи.

3) Если верное следствие получить не удается, то так же приходится перейти к другим методам.

Общая схема восходящего анализа

Пусть требуется доказать утверждение А. Подбираем такое утверждение В, из которого следует А. Затем отыскиваем утверждение С, из которого следует В, и т.д. до тех пор, пока находим путь решения задачи.

3. Переформулировка задачи.

При решении задачи с использованием анализа целесообразно четко формулировать, «промежуточные» задачи, возникающие по ходу поиска решения. Такой способ решения называют переформулировкой задачи. Этот способ приводит к следующим удачным методическим ситуациям:

1) Усилия учащихся в каждый момент поиска сосредотачиваются на его ос-новных этапах.

2) Выделяемые вспомогательные задачи разбивают на отдельные логические части. Рассуждение разбивается на этапы, выделяется как бы план поиска решения.

3) При подведении итога решения задачи легче выделить и рекомендовать для запоминания выделенные при поиске решения вспомогательные задачи – теоремы.

В процессе поиска решения задачи важное значение имеет прогнозирование – предвидение тех результатов, к которым может привести поиск. В современной психологии считают, что человек ищет и находит решение задачи на основе непрерывного прогнозирования искомого. Формирование умения прогнозировать предвидеть результаты, к которым приведет каждый отдельный шаг в процессе поиска решения задачи, является важным компонентом развития мышления учащихся. С целью такого развития при обсуждении идеи решения задачи, когда кто-либо из учащихся предлагает воспользоваться той или иной формулой, теоремой, целесообразно добиваться того, чтобы учащийся обосновывал разумность своего предложения и хотя бы в общих чертах указывал, к чему оно приведет.

5. Индуктивный метод.

Как правило, применение индуктивного метода занимает небольшую часть времени. По этой причине от внимания многих учащихся «ускользает» польза применения индукции. Они не успевают заметить, что именно «натолкнуло» их на «догадку». Во многих случаях индуктивный метод желательно сочетать с переформулировкой задачи. Идею решения, возникшую при рассмотрении частных случаев, формулируем в виде промежуточной, вспомогательной задачи. Тем самым более четко оттеняется индуктивный метод и переформулировка задачи. Полезно все задачи разделять на два вида: задачи на освоение теоретического материала и задачи на применение этого материала. К первому виду следует отнести простейшие задачи – упражнения и «одношаговые» задачи на непосредственное использование формул. Последовательность операций для решения таких задач может быть следующая:

1) устанавливаются размеры необходимых элементов (данных или полученных измерением);

2) подставляют эти размеры в формулу.

Сюда можно отнести так называемые «двухшаговые» задачи, в которых требуется найти всего лишь одно данное.

1) записать рабочую формулу и установить, какие данные есть, и каких нет;

2) найти неизвестное данное;

3) подставить в формулу найденный размер.

Эти задачи в некотором смысле имеют воспитательное значение. При их решении необходимо показать, что умение решить задачу предполагает наличие у решающего ее прочных и глубоких знаний теории, знаний ряда теорем, формул и определений. При решении этих задач повторяется большой материал. Ко второму виду следует отнести так называемые «нестандартные» задачи. Психологические исследования показывают, что попутное решение задач на применение изучаемого теоретического материала не эффективно. Лучше их решать, выделяя специальные уроки.

1) разбиение задач на подзадачи;

2) разбиение области задачи на части;

3) сведение задачи к ранее решенным;

4) модельные преобразования задачи.

Для описания деятельности по решению задач различные авторы предлагают различные схемы, от очень подробных до довольно простых и наглядных. Можно рекомендовать учащимся такую короткую схему:

1.Анализ условия задачи.

2. Поиск плана решения.

3. Осуществление найденного плана решения и проверка того, что полу-ченный результат удовлетворяет условию задачи.

4. Обсуждение (анализ) проведенного решения, рассмотрение других возможных решений.

Источник