Решение логарифмических неравенств.
Логарифмические неравенства в задании 14 профильного уровня ЕГЭ по математике встречаются чаще других. Это связано, в первую очередь, с тем, что выражения с логарифмом имеют ограниченную область допустимых значений, причём задаваемую также неравенством. Последнее обстоятельство приводит к тому, что решение логарифмического неравенства во многих случаях сводится к решению систем алгебраических неравенств (рациональных и не только).
В этом разделе рассмотрены типовые логарифмические неравенства – простейшие и соответствующие профильному уровню ЕГЭ. Все неравенства даны с решениями и комментариями, поэтому будут полезны и при текущем изучении или повторении этой темы.
Если возникают вопросы — обращайтесь через форму для письма, рисунок конверта кликабелен.
Узнайте, как можно поддержать сайт и помочь его развитию.
Основные положения и примеры решения простейших логарифмических неравенств.
С этим разделом могут ознакомиться и выпускники, которые планируют сдавать экзамен по математике на базовом уровне.
На профильном экзамене встречаются более сложные неравенства, но их также тем или иным образом требуется сводить к простейшим.
К простейшим относятся логарифмические неравенства, которые содержат неизвестную переменную в составе аргумента логарифмической функции с фиксированным основанием, т.е. это неравенства вида \(log_a
В более общих случаях неизвестная величина может встречаться и в основании логарифма.
Чтобы решать как логарифмические неравенства, так и логарифмические уравнения, нужно вспомнить определение и свойства логарифмической функции как таковой.
1) Логарифм – трансцендентная функция, т.е. аналитическая функция, которая не может быть задана с помощью алгебраического уравнения. Поэтому чтобы получить решение простейшего логарифмического неравенства, нужно сначала перейти к алгебраическим соотношениям, т.е. «убрать» логарифм.
2) Логарифм – однозначная и монотонная функция, что означает каждому значению аргумента из области определения соответствует единственное значение функции. Поэтому её можно сравнивать саму с собой и «вычёркивать» логарифм. Как и в каких случаях это делать, рассмотрим на примерых ниже.
3) Главное – логарифмическая функция имеет ограниченную область определения. Это означает, что при решении любых заданий с логарифмами, содержащими переменные, нужно не забывать про ОДЗ (область допустимых значений) этой переменной.
Область значений функции E = R – всё множество действительных чисел. Т.е. сам логарифм, в отличие от его аргумента и основания, может принимать любые значения из промежутка \((-\infty; +\infty)\).
Как уже упоминалось, логарифмическая функция монотонна. Посмотрите на её графики.
При a > 1 функция возрастающая,
Поэтому для решения простейших логарифмических неравенств достаточно преобразовать обе части неравенства к логарифму с одинаковым основанием и затем сравнить подлогарифмические выражения. Таким образом мы сравниваем функцию с самой собой при разных значениях её аргумента, т.е. как бы «вычёркиваем» log с обоих сторон неравенства. При этом,
— если основание степени больше единицы, то знак неравенства без «log» будет таким же, как знак исходного неравенства, что характерно для возрастающих функций – большему значению аргумента соответствует большее значение функции;
— если основание степени меньше единицы, то знак неравенства будет обратным по отношению к знаку исходного неравенства, что характерно для убывающих функций – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Пример 1.
Решение.
Область допустимых значений (ОДЗ) выражения \(2x+7>0.\)
Воспользуемся определением логарифма, чтобы представить число −2 в виде значения логарифмической функции с основаением 0,2.
\[0,2^ <-2>= \left(\frac<1><5>\right)^ <-2>= \left(\frac<5><1>\right)^ <2>= 25,\]
следовательно \(-2 = \log_<0,2><25>,\) и заданное неравенство можно преобразовать к виду \[\log_<0,2><(2x+7)>\log_<0,2><25>.>\] Теперь можно «отбросить логарифм», изменив знак неравенства на противоположный, так как его основание 0,2 0,> \\ <2x+7 -3,5,>\\
Преобразуем неравенство:
\(\text
Таким образом, заданное неравенство равносильно системе неравенств \[\begin 
Ответ: \(x \in (3; 8). \)
Введение вспомогательной переменной
Пример 4.
Решение.
Аргументом обоих логарифмов является один и тот же квадратный трёхчлен \(4+3x-x^2\), однако основания логарифмов различны – это 2 и 0,5, поэтому нужно воспользоваться свойствами логарифмической функции и привести логарифмы к одному основанию. Поскольку \(0,5 = \dfrac<1> <2>= 2^<-1>\), то приводить будем второй логарифм к основанию 2. Для этого используем формулу \(\log_\log_a\): \[\log_<0,5> <(4+3x-x^2)>= \log_<2^<-1>><(4+3x-x^2)>=\frac<1><-1>\log_2 <(4+3x-x^2)>= -\log_2<(4+3x-x^2)>\] Теперь неравенство имеет следующий вид \[\log_2^2 <(4+3x-x^2)>— 7\log_2 <(4+3x-x^2)>+10 > 0.\]
В последнем неравенстве неизвестная величина встречается в обоих слагаемых в совершенно одинаковой форме, поэтому можно продолжить решение методом введения вспомогательной переменной.
Пусть \(y = \log_2<(4+3x-x^2)>\), тогда логарифмическое неравенство преобразуется в обычное квадратное неравенство \[y^2 — 7y +10 > 0,\] которое решается графически (через параболу) или методом интервалов. Сделайте это самостоятельно. Ответ получится такой \(y \in (-\infty;2)\cup(5;+\infty)\) или, что то же самое \[\left[<\begin
Объединяя множества решений совокупностей неравенств (обозначены квадратной скобкой «[«) и пересекая множества решений систем неравенств (обозначены фигурной скобкой скобкой «<"), делаем окончательный вывод \(x \in (-1;0) \cup (3;4).\)
Замечание 1. Чтобы не выписывать совокупности систем и системы совокупностей, особенно, если вы путаетесь в этих скобках, можно все этапы решения реализовать схемами на числовой оси.
Замечание 2. Заметим, что с некоторого момента решение задачи сводится к анализу неравенств, в которых один и тот же квадратный трёхчлен \(4+3x-x^2\) сравнивается с числовыми значениями. Поэтому дальнейшие действия можно свести к построению одной параболы – эскиза графика функции \(y = 4+3x-x^2\) – и посмотреть как она соотносится с горизонтальными линиями \(y = 0, \; y = 4\; и\; y =32.\) (Вспомните аналогичное задание 2-й части ОГЭ за 9-ый класс.) На это не уйдёт много времени, т.к. коэффициенты трёхчлена целые числа, корни легко вычисляются по теореме Виета, а параболу достаточно построить только по характерным точкам.
Как быстро построить параболу можно посмотреть в видеоуроке на youtube-канале Mathematichka.
Ответ: \(x \in (-1;0) \cup (3;4).\)
Решение.
Выпишем ОДЗ неравенства.
Условие положительности всех аргументов логарифмической функции \[\begin
Условие неравенства нулю знаменателей всех дробей \[\begin
В этом примере в отличие от предыдущего, напротив, основания всех логарифмов одинаковы – логарифм по основанию 4, но отличаются аргументы. Используем свойства логарифмов, чтобы упростить выражения. \[\log_4 <(64x)>= \log_4<64>+\log_4
Учитывая, что до сих пор все преобразования, которые производились, были равносильными, можем утверждать, что выколов точки 3 и −3 из возможных значений переменной \(y\), мы обеспечили неравенство нулю общего знаменателя дроби, а значит и всех дробей, участвовавших в равносильных преобразованиях. Тем самым выполнена вторая часть ограничений ОДЗ неравенства.
Итак, неравенство для переменной \(y = \log_4
Ответ: \(x \in \left(0; \;\dfrac<1><64>\right) \cup \ <4\>\cup (64;\;+\infty)\).
О разложении на множители
\( \log_3
Решение II – вспомогательная переменная.
ОДЗ: \(x>0.\)
Приведём логарифмы к одному основанию, например, к основанию 3. \[\log_4
Решение III – через уравнение.
ОДЗ: \(x>0.\)
Заменим знак » 0,\] так как \(\sqrt <3>1,\) то \(\log_4<\sqrt<3>> 1,\) то \(\log_4 <3,5>3^1\; и\; 3>1,\) то \(\log_3 <3,5>> 1.\)
3) пусть \(x = 9; \;x \in (4;+\infty)\) \[\log_3
По рисунку формулируем ответ.
Сравните все три способа решения для этого вовсе не сложного неравенства и определитесь, какой вариант наиболее приемлем для вас.
Внимание: Если вы нашли ошибку или опечатку, пожалуйста, сообщите о ней на email.
Чтобы продолжить решение логарифмических неравенств, перейдите по ссылкам
Метод рационализации. в разработке
Примеры неравенств из банка заданий ЕГЭ в разработке
Задачи для самостоятельного решения в разработке
Понравились материалы сайта? Узнайте, как поддержать сайт и помочь его развитию.
Есть вопросы? пожелания? замечания? Обращайтесь — mathematichka@yandex.ru
Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено.
Источник
«Решение логарифмических неравенств». 11-й класс
Класс: 11
Презентация к уроку
Загрузить презентацию (837 кБ)
Цели урока:
Образовательные:
- Повторить методы решения логарифмических неравенств.
- Привести знания по теме в целостную систему.
- Повторить традиционный способ решения логарифмических неравенств, содержащих переменную в основании.
- Открыть и освоить новые способы решения логарифмических неравенств (метод рационализации).
- Формировать практические навыков решения логарифмических неравенств на основе изученного теоретического материала.
- Закрепить навыки решения логарифмических неравенств из заданий ЕГЭ: С3.
Деятельностные:
- Знакомятся с новым общелогическим методом рассуждений.
- Становятся субъектами деятельности.
- Учатся критически оценивать свои знания.
- Формируют эмоционально-ценностное отношение к своей учебной деятельности, что ведёт к развитию качеств личности: нравственным, эстетическим, познавательным, трудовым.
Задачи урока:
- Научить оперировать имеющимся потенциалом знаний по теме “Логарифмические неравенства” в конкретной ситуации.
- Закрепить основные методы решения логарифмических неравенств, предупредить появление типичных ошибок.
- Предоставить каждому учащемуся возможность проверить свои знания и повысить их уровень.
- Вовлечь учащихся в активную практическую деятельность.
- Воспитывать у учащихся чувство ответственности, уверенности в себе.
Технические средства обучения: мультимедийное оборудование
Раздаточный материал: карточки, работы в парах (группах); листы самооценки, критерии самооценки.
| Этапы работы | Содержание этапа |
| 1 | Организационный момент: |
Цель, которую хочет достичь учитель на данном этапе:
Способствовать подготовке учащихся к эффективной работе, вызвать интерес учащихся к учению, желание узнавать новое, ранее неизвестное.
Цель, которая должна быть достигнута учащимися:
Подготовиться к эффектив-ной работе на уроке.
Задачи:
Создать положительный эмоциональный настрой для работы, мотивацию самоопределения к учебной деятельности.
— Проверим готовность к уроку.
Слайд № 2. Эпиграф к уроку.
“Если Вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если хотите научиться решать задачи – решайте их”. Д.Пойа.
Учитель: В открытом банке ЕГЭ 2014 года в части С3 предложено задание: Решите систему неравенств
Однако, его решение вызывает затруднение у учащихся. По статистике за 2013 год только10% приступали к его решению. Наша задача попасть в эти 10%. За одно правильно решенное неравенство дается один балл. И это неравенство – логарифмическое. Мы должны уметь его решать. Итак, как Вы , наверно уже догадались, тема сегодняшнего урока.
Учащиеся: Логарифмические неравенства.
Учитель: Мы продолжаем решать логарифмические неравенства, осваивая различные способы. Ваша работа будет происходить в несколько этапов, каждый из которых будет оцениваться либо с помощью взаимопроверки, самопроверки или мною лично.
Цель, которую хочет достичь учитель на данном этапе урока: создать условия для актуализации знаний учащимися по теме “Логарифмические неравенства” ;
формировать умение на основе анализа объектов делать выводы;
сформировать мотивацион-ную основу деятельности учащихся, понимание ими актуальности темы, умение осуществлять познавательную и личностную рефлексию.
Цель, которая должна быть достигнута учащимися:
актуализировать знания по теме: “Логарифмические неравенства”;
развивать мыслительные логические операции;
формировать устную монологическую научную речь, оперируя математическими терминами.
Задачи:
воспроизвести опорные знания, корректировать допущенные ошибки.
Методы: беседа, фронталь-ный, анализ объектов, нагляд-ный, повторение и закрепле-ние знаний, создание ситуа-ции успеха, дифференцирован-ный (групповой). Метод контроля (дифференцирован-ный): три типа заданий различной сложности.
Использование элементов ИКТ.
(Учащиеся: Возведение в чётную или нечётную степень, логарифмирование, потенцирование, применение формул, позволяющие привести неравенство к более простому виду.)
Учитель: Продолжите фразы:
- логарифм произведения.
- логарифм частного.
- логарифм степени.
- логарифм от единицы.
Слайд № 3. 1.Вычислите:
3. Известно, что 
Найдите: 
.
Учитель: Что может произойти с множеством решений неравенства в процессе преобразований?
(Учащиеся: Множество решений либо не меняется, либо расширяется (можно получить посторонние решения), либо сужается (можно потерять решения).
Учитель: Поэтому важно знать какие преобразования неравенств, являются равносильными и при каких условиях. Какие свойства логарифмической функции применяются при решении неравенств?
(Учащиеся: При решении необходимо учитывать область определения и монотонность логарифмической функции. Если а >1, функция возрастает, а если 0 1.
К доске приглашаются представители 4 группы и идет обсуждение решения логарифмических неравенств, содержащих переменную в основании.
(Учащиеся: записывают решение в тетрадь, при этом указывают опорные знания. В обсуждении этапов решения участвуют ребята разных уровней.
Акцентируют внимание на необходимых свойствах логарифмов.
Отрабатывается метод решения логарифмических неравенств, содержащих неизвестное в основании (рассмотрение двух случаев).
Создаётся атмосфера сотрудничества “ученик – ученик”, что способствует развитию коммуникативных навыков).
Учитель: Существует другой способ решения таких неравенств?
(Учащиеся: Да. Для решения сложных логарифмических неравенств существует способ рационализации).
Учитель: Это способ нам сейчас покажет представители 5 группы. У каждого из Вас на парте лежит таблица. Вот ей мы сейчас и воспользуемся.
К доске приглашаются представители 5 группы и идет обсуждение решения логарифмических неравенств, содержащих переменную в основании, методом рационализации.
(Учащиеся: записывают решение в тетрадь, при этом указывают опорные знания. В обсуждении этапов решения участвуют ребята разных уровней. Школьники учатся самостоятельно и оптимально организовывать свой труд, оценивать свои действия. Происходит осмысление проведённой учащимися математической деятельности, связанной с получением новых знаний.
Учитель: Старшие в группах оценивают вклад каждого учащегося при работе над своей группой неравенств дома и в классе. Поставьте в своих листах оценки. Наша задача теперь все эти решения объединить в одну презентацию.
Цель, которую хочет достичь учитель на данном этапе урока:
создать условия для закрепления навыков решения логарифмических неравенств из заданий ЕГЭ: С3.
Цель, которая должна быть достигнута учащимися: проанализировать значимость собственного вклада в совместно полученные результаты;
свой уровень усвоения новых знаний и способов работы, собственное эмоциональное состояние.
Задачи:
обратить внимание учащихся на оформление;
подвести итог, акцентировать внимание учащихся на главном;
мобилизовать учащихся на осмысление собственной деятельности на уроке.
Методы и приёмы:
- наглядный метод;
- контроль и самоконтроль.
. К доске выходит заранее подготовленный ученик и решает первое неравенство, затем выходит другой и доводит решение до конца. (Учащиеся: записывают решение в тетрадь).
Учитель: Сегодня на уроке мы освоили различные приёмы и методы: использование свойств логарифмов для введения новой переменной, решения логарифмических неравенств, содержащих неизвестное в основании (рассмотрение двух случаев); применение ранее изученных неравенств и их комбинированное использование; при этом каждый раз учитывали логарифмическую специфику. Эти умения помогут нам при выборе более рационального пути в решении задач.
Все эти решения мы объедим в одну презентацию, которая поможет вам при решении заданий .
Рефлексия.
Учитель: Дайте характеристику вашей сегодняшней деятельности в соответствии с темой урока.
– В каких новых ситуациях вы использовали свои знания?
— Какой целый опыт приобрели?
— Проанализируйте свою работу в группах.
(Учащиеся совместно с учителем обсуждают уровень достижения поставленных целей)
Учитель: Перед вами лежат карточки с пословицами. Ответьте на вопрос.
Слайд № 18. Какая из пословиц выражает состояние вашей души? Почему?
- Без труда не выловишь и рыбку из пруда.
- Семь раз отмерь, один раз отрежь.
- Тяжело в ученье, легко в бою.
- Через тернии к звёздам.
- Смелость города берёт.
- Всякому овощу своё время.
- Ах, как я устал от этой суеты.
- Старая песня на новый лад.
- О, монах, ты идёшь трудной дорогой.
- Человек предполагает, а господь располагает.
Цель, которую хочет достичь учитель на данном этапе урока: продолжать форми-ровать умение самостоя-тельно добывать знания из предложенных источников.
Цель, которая должна быть достигнута учащимися:
применять знания, полученные на уроке, для выполнения до-машнего задания в изменён-ных условиях.
Слайд № 19. Домашняя работа.
Источник
