Способы решения линейных уравнений 7 класс алгебра все

Системы линейных уравнений (7 класс)

Если несколько линейных уравнений с одними теми же неизвестными рассматривают совместно, то говорят, что это система линейных уравнений с несколькими неизвестными.

Решить систему с двумя неизвестными – это значит найти все пары значений переменных, которые удовлетворяют каждому из заданных уравнений. Каждая такая пара называется решением системы.

Пример:
Пара значений \(x=3\);\(y=-1\) является решением первой системы, потому что при подстановке этих тройки и минус единицы в вместо \(x\) и \(y\), оба уравнения превратятся в верные равенства \(\begin3-2\cdot (-1)=5 \\3 \cdot 3+2 \cdot (-1)=7 \end\)

А вот \(x=1\); \(y=-2\) — не является решением первой системы, потому что после подстановки второе уравнение «не сходится» \(\begin1-2\cdot(-2)=5 \\3\cdot1+2\cdot(-2)≠7 \end\)

Отметим, что такие пары часто записывают короче: вместо «\(x=3\); \(y=-1\)» пишут так: \((3;-1)\).

Как решить систему линейных уравнений?

Есть три основных способа решения систем линейных уравнений:

Возьмите любое из уравнений системы и выразите из него любую переменную.

Полученное выражение подставьте вместо этой переменной в другое линейное уравнение системы.

Ответ запишите парой чисел \((x_0;y_0)\)

Замечание к шагу 1: нет никакой разницы какую переменную и из какого уравнения выражать. Обычно более удобно выражать ту переменную, перед которой нет коэффициента или, говоря точнее, коэффициент которой равен единице (в примере выше это был икс в первом уравнении).

Почему так? Потому что во всех остальных случаях у нас при выражении переменной получилась бы дробное выражение . Попробуем, например, выразить икс из второго уравнения системы:

И сейчас нам нужно будет эту дробь подставлять в первое уравнение и решать то, что получиться. До верного ответа мы бы всё равно дошли, но идти было бы неудобнее

Способ алгебраического сложения.

Равносильно преобразовывая каждое уравнение в отдельности, запишите систему в виде:\(\begina_1 x+b_1 y=c_1\\a_2 x+b_2 y=c_2\end\).

Теперь нужно сделать так, чтоб коэффициенты при одном из неизвестных стали одинаковы (например, (\(3\) и \(3\)) или противоположны по значению (например, \(5\) и \(-5\)). В нашем примере уравняем коэффициенты при игреках. Для этого первое уравнение домножим на \(2\), а второе — на \(3\).

\(\begin2x+3y=13 |\cdot 2\\ 5x+2y=5 |\cdot 3\end\)\(\Leftrightarrow\)\(\begin4x+6y=26\\15x+6y=15\end\)\(\Leftrightarrow\)

Сложите (или вычтите) почленно обе части уравнения так, чтобы получилось уравнение с одним неизвестным.

Найдите неизвестное из полученного уравнения.

Подставьте найденное значение неизвестного в любое из исходных уравнений и найдите второе неизвестное.

Ответ запишите парой чисел \((x_0;y_0)\).

Замечание к шагу 3: В каком случае уравнения складывают, а в каком вычитают? Ответ прост – делайте так, чтоб пропала переменная: если «уравненные» коэффициенты имеют один и тот же знак – вычитайте, а если разные – складывайте.

Пример. Решите систему уравнений: \(\begin12x-7y=2\\5y=4x-6\end\)

Приводим систему к виду \(\begina_1 x+b_1 y=c_1\\a_2 x+b_2 y=c_2\end\) преобразовывая второе уравнение.

«Уравняем» коэффициенты при иксах. Для этого домножим второе уравнение на \(3\).

Знаки при иксах разные, поэтому чтоб иксы пропали, уравнения надо сложить.

Делим уравнение на \(8\), чтобы найти \(y\).

Игрек нашли. Теперь найдем \(x\), подставив вместо игрека \(-2\) в любое из уравнений системы.

Икс тоже найден. Пишем ответ.

Приведите каждое уравнение к виду линейной функции \(y=kx+b\).

Постройте графики этих функций. Как? Можете прочитать здесь .

Найдите координаты \((x;y)\) точки пересечения графиков и запишите их в ответ в виде \((x_0;y_0 )\).
Ответ: \((4;2)\)

Матхак. Если сомневаетесь в правильности ответа (неважно каким способом вы решали), проверьте подстановкой значений \(x_0\) и \(y_0\) в каждое уравнение. Если оба уравнения превратятся в верные равенства, то ответ правильный.
Пример: решая систему \(\begin3x-8=2y\\x+y=6\end\), мы получили ответ \((4;2)\). Проверим его, подставив вместо икса \(4\), а вместо игрека \(2\).

Оба уравнения сошлись, решение системы найдено верно.

Пример. Решите систему уравнений: \(\begin3(5x+3y)-6=2x+11\\4x-15=11-2(4x-y)\end\)

Перенесем все выражения с буквами в одну сторону, а числа в другую.

Во втором уравнении каждое слагаемое — четное, поэтому упрощаем уравнение, деля его на \(2\).

Эту систему линейных уравнений можно решить любым из способов, но мне кажется, что способ подстановки здесь удобнее всего. Выразим y из второго уравнения.

Подставим \(6x-13\) вместо \(y\) в первое уравнение.

Первое уравнение превратилась в обычное линейное . Решаем его.

Сначала раскроем скобки.

Перенесем \(117\) вправо и приведем подобные слагаемые.

Поделим обе части первого уравнения на \(67\).

Ура, мы нашли \(x\)! Подставим его значение во второе уравнение и найдем \(y\).

Источник

Решение линейных уравнений 7 класс

Для решения линейных уравнений используют два основных правила (свойства).

Свойство № 1
или
правило переноса

При переносе из одной части уравнения в другую член уравнения меняет свой знак на противоположный .

Давайте разберём правило переноса на примере. Пусть нам требуется решить линейное уравнение.

Вспомним, что у любого уравнения есть левая и правая часть.

Перенесем число « 3 » из левой части уравнения в правую.

Так как в левой части уравнения у числа « 3 » был знак « + », значит в правую часть уравнения « 3 » перенесется со знаком « − ».

Полученное числовое значение « x = 2 » называют корнем уравнения.

Не забывайте после решения любого уравнения записывать ответ.

Рассмотрим другое уравнение.

По правилу переноса перенесем « 4x » из правой части уравнения в левую, поменяв знак на противоположный.

Несмотря на то, что перед « 4x » не стоит никакого знака, мы понимаем, что перед « 4x » стоит знак « + ».

Теперь приведем подобные и решим уравнение до конца.

Свойство № 2
или
правило деления

В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число .

Но нельзя делить на неизвестное!

Разберемся на примере, как использовать правило деления при решении линейных уравнений.

Число « 4 », которое стоит при « x », называют числовым коэффициентом при неизвестном.

Между числовым коэффициентом и неизвестном всегда стоит действие умножение.

Чтобы решить уравнение необходимо сделать так, чтобы при « x » стоял коэффициент « 1 ».

Давайте зададим себе вопрос: «На что нужно разделить « 4 », чтобы
получить « 1 »?». Ответ очевиден, нужно разделить на « 4 ».

Используем правило деления и разделим левую и правую части уравнения на « 4 ». Не забудьте, что делить нужно и левую , и правую части.

Используем сокращение дробей и решим линейное уравнение до конца.

Как решить уравнение, если « x » отрицательное

Часто в уравнениях встречается ситуация, когда при « x » стоит отрицательный коэффициент. Как, например, в уравнении ниже.

Чтобы решить такое уравнение, снова зададим себе вопрос: «На что нужно разделить « −2 », чтобы получить « 1 »?». Нужно разделить на « −2 ».

−2x = 10 |:(−2)

−2x

−2

=

10

−2

x = −5
Ответ: x = −5

При делении на отрицательное число помните про правило знаков.

Примеры решения линейных уравнений

Рассмотрим другие примеры решения линейных уравнений. Обычно для решения уравнений нужно применять оба свойства (правило переноса и правило деления).

Источник

Конспект урока по алгебре 7 класс по теме Способы решения систем линейных уравнений.

Разработка урока по алгебре в 7а классе.

Тема. Способы решения систем линейных уравнений.

Тип урока: Урок систематизации и обобщения знаний и умений.

Место урока: 12 урок из запланированных 12 ч.

Цель: Формировать умения и навыки решения систем линейных уравнений.

(формирование познавательных УУД)

— повторить способы решения систем линейных уравнений;

— отрабатывать умения решать системы линейных уравнений разными способами,

— развивать вычислительные навыки.

(формирование регулятивных УУД)

— развивать познавательный интерес к предмету, математическую речь.

(формирование коммуникативных и личностных УУД)

— воспитывать заинтересованность, активность на всех этапах урока;

— воспитывать умение слушать других, умение сотрудничать в группе;

— воспитывать чувство ответственности, самостоятельность.

Методы работы: словесный (беседа), наглядный (презентация), практический.

Формы работы: фронтальная, групповая, индивидуальная.

Технологии: здоровьесберегающая технология, системно-деятельностный подход.

Цель этапа: Создать условия для возникновения у ученика внутренней потребности включения в учебный процесс.

Приветствие класса. Присутствующих отметить в журнале. Включение класса в учебный процесс.

Цель этапа: 1) Организовать актуализацию изученных способов действий, достаточных для продолжения закрепления знаний учащихся по данной теме;

2) Сформулировать и согласовать цели урока.

(на доске записано

решения систем линейных уравнений )

Учитель – Ребята посмотрите задания на карточках.

Задание1. Выполните данные задания, и в таблицу по порядку записываете те буквы, которые соответствуют правильным ответам, а последнюю букву допишите сами.

Результат сложения уравнений x +5 y =7 и 3 x -2 y =4.

о) 4x-3y=11 ; л) 4x+7y=11 ; с) 4x+3y=11 .

2) Решением какого уравнения является пара чисел (1;1)

а) 7 x -3 y -10=0; п) 7 x +3 y -10=0; б) 7 x +3 y +10=0.

3) Является ли пара чисел решением системы

4) Результат сложения уравнений 2 x +6 y =3 и 3 x -2 y =-5.

в) 5 x +4 y =2; с) 5 x +4 y =-2; д) 5 x -4 y =2.

5) Решением какой системы является пара чисел (2;1).

о) т) р)

6) Решением какого уравнения является пара чисел (1;6).

Б ) y-2x=4 ; о) y+2x=4 ; п) y-2x=-4 .

Постановка цели урока. Мотивация учебной деятельности учащихся.

Учитель. Вы получили слово «Способы». И это слово мы вписываем в начало предложения. Почему мы написали это предложение?

Дети – отвечают (это тема нашего урока)

Учитель – Раз это тема нашего урока, сформулируем цель нашего урока.

Дети – говорят (Решать системы линейных уравнений разными способами)

Учитель – А зачем надо решать системы линейных уравнений разными способами?

Дети говорят (что бы сдать экзамены).

Обобщение и систематизация знаний.

Цель этапа: Подготовка учащихся к обобщенной деятельности. Применение имеющихся знаний на новом уровне.

Учитель – Хорошо , молодцы. А какие способы мы знаем? (отвечают) Вы готовы перейти к следующему заданию?

Учитель – (на доске записываю ) Попробуем решить всеми способами. Отв (27;3)

Дети решают получаем ответ. Делаем выводы.

Учитель. Если все закончили, сделаем проверку. (на доске записываем ответ)

Применение знаний и умений в новой ситуации.

Цель этапа: вырабатывать умения самостоятельно применять знания в новой ситуации.

Учитель. А сейчас я предлагаю решить системы линейных уравнений, а каким способом вам решать самим.

Задание 3. Решите системы линейных уравнений.

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23)

. Контроль усвоения, обсуждение допущенных ошибок и их коррекция.

Цель этапа: организовать самопроверку самостоятельной работы, по результатам выполнения самостоятельной работы организовать выявление и исправление допущенных ошибок.

Учитель. – Ребята проверим ваши задания, смотрим на экран (слайд 1). Кто и сколько решил?

Учитель — давайте поставим себе оценки. Смотрим на слайд и ставим себе оценки.

Рефлексивно –оценочный этап.

Цель этапа: Организовать фиксацию степени соответствия результатов деятельности на уроке и поставленной цели.

Учитель: Ребята как вы думаете мы достигли цели нашего урока? Ребята вы молодцы, считаю что сегодня вы поработали очень хорошо.

Учитель – Каким способом пользовались больше всего?

Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению.

Цель этапа: Организовать обсуждение и запись домашнего задания.

Учитель. Предлагаю из этих карточек решить любые три системы уравнений, удобным для вас способом.

Учитель математики МСОШ№1 Тудупова Т.П.

Задание1. Выполните данные задания, и в таблицу по порядку записываете те буквы, которые соответствуют правильным ответам, а последнюю букву допишите сами.

Результат сложения уравнений x +5 y =7 и 3 x -2 y =4.

о) 4 x -3 y =11; л) 4 x +7 y =11; с) 4 x +3 y =11.

2) Решением какого уравнения является пара чисел (1;1)

а) 7 x -3 y -10=0; п) 7 x +3 y -10=0; б) 7 x +3 y +10=0.

3) Является ли пара чисел решением системы

4) Результат сложения уравнений 2 x +6 y =3 и 3 x -2 y =-5.

в) 5 x +4 y =2; с) 5 x +4 y =-2; д) 5 x -4 y =2.

5) Решением какой системы является пара чисел (2;1).

о) т) р)

6) Решением какого уравнения является пара чисел (1;6).

Б ) y-2x=4 ; о) y+2x=4 ; п) y-2x=-4 .

Задание1. Выполните данные задания, и в таблицу по порядку записываете те буквы, которые соответствуют правильным ответам, а последнюю букву допишите сами.

Результат сложения уравнений x +5 y =7 и 3 x -2 y =4.

о) 4 x -3 y =11; л) 4 x +7 y =11; с) 4 x +3 y =11.

2) Решением какого уравнения является пара чисел (1;1)

а) 7 x -3 y -10=0; п) 7 x +3 y -10=0; б) 7 x +3 y +10=0.

3) Является ли пара чисел решением системы

4) Результат сложения уравнений 2 x +6 y =3 и 3 x -2 y =-5.

в) 5 x +4 y =2; с) 5 x +4 y =-2; д) 5 x -4 y =2.

5) Решением какой системы является пара чисел (2;1).

о) т) р)

6) Решением какого уравнения является пара чисел (1;6).

Б ) y-2x=4 ; о) y+2x=4 ; п) y-2x=-4 .

Задание 3. Решите системы линейных уравнений.

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23)

Задание 3. Решите системы линейных уравнений.

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23)

Задание 3. Решите системы линейных уравнений.

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23)

19) ()

Источник