Способы решения квадратных уравнений проект продукт

Проектная работа по математике НЕКОТОРЫЕ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ

Большинство жизненных задач сводится к решению различных видов уравнений, и чаще это уравнения квадратного вида.

Изучив решение квадратных уравнений, нам захотелось узнать, можно ли еще другими способами решить уравнение и в дальнейшем использовать различные способы при решении уравнений. Мы считаем эту тему актуальной, т. к. она может пригодиться нам не только во время обучения в школе, а впоследствии и в ВУЗе, и на протяжении всей жизни.

Скачать:

Вложение	Размер
proekt8klass.doc	709.5 КБ
kv._korni_prezentatsiya.pptx	608.96 КБ

Предварительный просмотр:

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Серго-Ивановская основная школа»

Проектная работа по математике

НЕКОТОРЫЕ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ

Выполнили : Моисеева Юлия,

обучающиеся 8 класса

История развития теории и практики решения квадратных уравнений

Решение уравнений через дискриминант

По формуле с четным коэффициентом

Выделение полного квадрата двучлена.

Разложение на множители

Некоторые способы решения квадратных уравнений

Моисеева Юлия, Николаева Анна

Изучение различных способов решения квадратных уравнений

— изучить историю развития квадратных уравнений;

— рассмотреть стандартные и нестандартные методы решения квадратных уравнений;

— выявить наиболее удобные способы решения квадратных уравнений;

— научиться решать квадратные уравнения различными способами.

Федорова Ирина Михайловна

Способы решения квадратного уравнения

Учебная тема (к которому ваш проект имеет отношение)

Тип проекта по предметно-содержательной характеристике:

При решении сформулированных задач была изучена специальная литература, собрана информация статистических данных для последующего использования в работе, проведено исследование по решению квадратного уравнения учащимися 8 классов с целью выявления различных способов решения квадратного уравнения.

Используемые информационные технологии: powerpoint, Microsoft Word;

Краткая аннотация проекта.

Большинство жизненных задач сводится к решению различных видов уравнений, и чаще это уравнения квадратного вида.

Изучив решение квадратных уравнений, нам захотелось узнать, можно ли еще другими способами решить уравнение и в дальнейшем использовать различные способы при решении уравнений. Мы считаем эту тему актуальной, т. к. она может пригодиться нам не только во время обучения в школе, а впоследствии и в ВУЗе, и на протяжении всей жизни.

Сроки реализации проекта

После завершения проекта мы будем:

· решать квадратные уравнения;

·выбирать наиболее рациональный способ решения квадратного уравнения;

· находить ошибки в решенных уравнениях и исправлять их;

·ориентироваться в информационной среде.

Практически все, что окружает современного человека — это все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые достаточно часто сводятся к уравнениям второй степени (квадратным).

В учебнике алгебры для 8 класса мы знакомимся с несколькими видами квадратных уравнений, и отрабатываем их решение по формулам. У меня возник вопрос «Существуют ли другие методы решения квадратных уравнений? Насколько сложны данные методы и можно ли ими пользоваться на практике?» Поэтому в этом учебном году я выбрал тему исследования связанную с квадратными уравнениями, в ходе работы она получила название «Некоторые способы решения квадратных уравнений».

Актуальность этой темы заключается в том, что на уроках алгебры, геометрии, физики мы очень часто встречаемся с решением квадратных уравнений. Поэтому каждый ученик должен уметь верно и рационально решать квадратные уравнения, это также может мне пригодится при решении более сложных задач, в том числе и в 9 классе при сдаче экзаменов.

На уроках алгебры, геометрии, физики мы очень часто встречаемся с решением квадратных уравнений. Поэтому каждый ученик должен уметь верно и рационально решать квадратные уравнения, это также может пригодиться при решении более сложных задач, в том числе и при сдаче экзаменов.

Цель работы: Изучение различных способов решения квадратных уравнений

— изучить историю развития квадратных уравнений;

— рассмотреть стандартные и нестандартные методы решения квадратных уравнений;

— выявить наиболее удобные способы решения квадратных уравнений;

— научиться решать квадратные уравнения различными способами.

Гипотеза: любое квадратное уравнение можно решить всеми существующими способами.

Объект исследования: квадратные уравнения .

Предмет исследования: способы решения уравнений второй степени .

Уравнения — это наиболее объёмная тема всего курса математики.

Данная работа является попыткой обобщить и систематизировать изученный материал по выше указанной теме. В него вошли как известные нами из школьного курса алгебры способы решения квадратных уравнений, так и дополнительный материал.

История развития теории и практики решения квадратных уравнений

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики.

В те далекие времена, когда мудрецы впервые стали задумываться о равенствах содержащих неизвестные величины, наверное, еще не было ни монет, ни кошельков. Но зато были кучи, а также горшки, корзины, которые прекрасно подходили на роль тайников-хранилищ, вмещающих неизвестное количество предметов. В древних математических задачах Междуречья, Индии, Китая, Греции неизвестные величины выражали число павлинов в саду, количество быков в стаде, совокупность вещей, учитываемых при разделе имущества. Хорошо обученные науке счета писцы, чиновники и посвященные в тайные знания жрецы довольно успешно справлялись с такими задачами.

Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Однако ни в одном папирусе, ни в одной глиняной табличке не дано описания этих приемов. Исключением является «Арифметика» греческого математика Диофанта Александрийского (III в.) — собрание задач на составление уравнений с систематическим изложением их решений.

Квадратные уравнения решали и в Индии. Древнеиндийский математик Баудхаяма впервые использовал квадратные уравнения в форме ax 2 = c и ax 2 + bx = c и привел методы их решения.

Уравнения второй степени умели решать еще в древнем Вавилоне. Математики Древней Греции решали квадратные уравнения геометрически; например, Евклид — при помощи деления отрезка в среднем и крайнем отношениях. Задачи, приводящие к квадратным уравнениям, рассматриваются во многих древних математических рукописях и трактах.

Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в 1202 г. в «Книге абака» итальянским математиком Леонардом Фибоначчи. Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

1. Решение квадратных уравнений через дискриминант.

Корни уравнения ах 2 + bх + с = 0, а ≠ 0 можно найти по формуле

, где выражение b 2 — 4ac= D называется дискриминантом.

1. В случае положительного дискриминанта, т.е. при b 2 — 4ac>0, уравнение ах 2 + bх + с = 0 имеет два различных корня.

2. Если дискриминант равен нулю, т.е. b 2 — 4ac = 0 , то уравнение имеет один корень x= .

3. Если дискриминант отрицателен, т.е. b 2 — 4ac , квадратное уравнение ах 2 + bх + с = 0 не имеет корней.

Данная формула корней квадратного уравнения ах 2 + bх + с = 0 позволяет найти корни любого квадратного уравнения (если они есть), в том числе приведенного и неполного.

D= 4 2 — 4∙3∙ (-7) = 16 + 84 = 100,

1. Решение квадратных уравнений по формуле с четным коэффициентом.

Если второй коэффициент уравнения b = 2k – четное число, то формулу корней можно записать в виде

Приведенное уравнение х 2 + рх + q= 0 совпадает с уравнением общего вида, в котором а = 1 , b = р и с = q . Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней принимает вид

Формулу удобно использовать, когда р — четное число.

Источник

Проект по теме»10 способов решения квадратных уравнений»

Актуальность этой темы заключается в том, что на уроках алгебры, геометрии, физики мы очень часто встречаемся с решением квадратных уравнений. Поэтому каждый ученик должен уметь верно и рационально решать квадратные уравнения, это также может мне пригодится при решении более сложных задач, в том числе и при сдаче экзаменов.

Цели работы: изучить различные способы решения квадратных уравнений.

Исходя из данной цели, мною были поставлены следующие задачи:

— изучить историю развития квадратных уравнений;

— рассмотреть стандартные и нестандартные способы решения квадратных уравнений;

— выявить наиболее удобные способы решения квадратных уравнений;

— научиться решать квадратные уравнения различными способами.

Скачать:

Вложение	Размер
sposoby_resheniya_kvadratnyh_uravneniy.docx	513.31 КБ

Предварительный просмотр:

МБОУ Новотроицкая СОШ

решения квадратных уравнений

Выпонил: ученица 9 класса

Чемоданогва Ирина Сергеевна

Работа допущена к защите «_____» _______________ 201____г.

Подпись руководителя проекта ____________________(__________________)

I. История развития квадратных уравнений

1.1. Из история квадратных уравнений

1.1.1. Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

1.1.2.Квадратные уравнения в Индии.

1.1.3. Квадратные уравнения у ал — Хорезми.

1.1.4. Квадратные уравнения в Европе XIII — XVII вв.

1. Квадратные уравнения и их виды

II. Способы решения квадратных уравнений

2.1.Разложение левой части уравнения на множители

2.2.Метод выделения полного квадрата

Решение квадратных уравнений по формулам

Решение уравнений с использованием теоремы Виета

5.Решение уравнений способом переброски».

1. Свойства коэффициентов квадратного уравнения

7.Графическое решение квадратного уравнения

8.Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки

9.Решение квадратных уравнений с помощью номограммы

10. Геометрический способ решения квадратных уравнений

Список информационных источников

Теория уравнений в школьном курсе алгебры занимает ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему школьного курса математики. Это связано с тем, что большинство жизненных задач сводится к решению различных видов уравнений.

В учебнике алгебры для 8 класса мы знакомимся с несколькими видами квадратных уравнений, и отрабатывали их решение по формулам. У меня возник вопрос «Существуют ли другие методы решения квадратных уравнений? Насколько сложны данные методы и можно ли ими пользоваться на практике?» Поэтому в этом учебном году я выбрала тему исследования связанную с квадратными уравнениями, в ходе работы она получил название «10 способов решения квадратных уравнений».

Актуальность этой темы заключается в том, что на уроках алгебры, геометрии, физики мы очень часто встречаемся с решением квадратных уравнений. Поэтому каждый ученик должен уметь верно и рационально решать квадратные уравнения, это также может мне пригодится при решении более сложных задач, в том числе и при сдаче экзаменов.

Цели работы: изучить различные способы решения квадратных уравнений.

Исходя из данной цели, мною были поставлены следующие задачи:

— изучить историю развития квадратных уравнений;

— рассмотреть стандартные и нестандартные способы решения квадратных уравнений;

— выявить наиболее удобные способы решения квадратных уравнений;

— научиться решать квадратные уравнения различными способами.

Объект исследования : квадратные уравнения.

Предмет исследования : с пособырешения квадратных уравнений.

Теоретические: изучение литературы по теме исследования;

Анализ: информации полученной при изучении литературы;

результатов полученных при решении квадратных уравнений различными способами.

Сравнение способов на рациональность их использования при решении квадратных уравнений.

1. История развития квадратных уравнений.

1.1.1.Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков, с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н. э. вавилоняне.

Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

X 2 + X = ¾; X 2 — X = 14,5

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.

Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

1.1.2.Квадратные уравнения в Индии.

Задачи на квадратные уравнения встречаются в астрономическом тракте «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученный, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме: ах 2 + bх = с, а > 0. (1)

В уравнении (1) коэфиценты, кроме а , могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим. В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары.

«Обезьянок резвых стая А двенадцать по лианам…

Власть поевши, развлекалась. Стали прыгать, повисая…

Их в квадрате часть восьмая Сколько ж было обезьянок,

На поляне забавлялась. Ты скажи мне, в этой стае?»

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений (рис).

Соответствующее задаче уравнение:

Бхаскара пишет под видом: х 2 — 64х = -768

и, чтобы дополнить левую часть этого

уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 32 2 , получая затем: х 2 — 64х + 32 2 = -768 + 1024,

х 1 = 16, х 2 = 48.

1.1.3.Квадратные уравнения у ал — Хорезми.

В алгебраическом трактате ал — Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

1) «Квадраты равны корнями», т.е. ах 2 + с = bх.

2) «Квадраты равны числу», т.е. ах 2 = с.

3) «Корни равны числу», т.е. ах = с.

4) «Квадраты и числа равны корням», т.е. ах 2 + с = bх.

5) «Квадраты и корни равны числу», т.е. ах 2 + bx = с.

6) «Корни и числа равны квадратам», т.е. bx + с = ах 2 .

Для ал — Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого их этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал — джабр и ал — мукабала. Его решения, конечно, не совпадает полностью с современным решением. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида ал — Хорезми, как и все математики до XVII в., не учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений ал — Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем и геометрические доказательства.

Задача . «Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень»

(подразумевается корень уравнения х 2 + 21 = 10х).

Решение автора гласит примерно так: раздели пополам число корней, получишь 5, умножишь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень.

Трактат ал — Хорезми является первой, дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.

1.1.4. Квадратные уравнения в Европе XIII — XVII вв.

Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал — Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объемистый труд, в котором отражено влияние математики, как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из « Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI — XVII вв. и частично XVIII.

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду: х 2 + bx = с,

при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b , с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. Учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. Благодаря труда Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

1.2.Квадратные уравнения и их виды.

Уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где a , b , c — действительные числа, причем a ≠ 0, называют квадратным уравнением.

Если a = 1 , то квадратное уравнение называют приведенным; если a ≠ 1, то неприведенным.
Числа a , b , c носят следующие названия: a — первый коэффициент, b — второй коэффициент, c — свободный член.

Если в квадратном уравнении ax2 + bx + c = 0 второй коэффициент b или свободный член c равен нулю, то квадратное уравнение называется неполным.

Неполные квадратные уравнения бывают трёх видов:

Источник