Способы решения квадратных тригонометрических уравнений

Методы решения тригонометрических уравнений.

1. Алгебраический метод.

( метод замены переменной и подстановки ).

2. Разложение на множители.

П р и м е р 1. Решить уравнение: sin x + cos x = 1 .

Р е ш е н и е . Перенесём все члены уравнения влево:

sin x + cos x – 1 = 0 ,

преобразуем и разложим на множители выражение в

левой части уравнения:

П р и м е р 2. Решить уравнение: cos 2 x + sin x · cos x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,

sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,

sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,

П р и м е р 3. Решить уравнение: cos 2 x – cos 8 x + cos 6 x = 1.

Р е ш е н и е . cos 2 x + cos 6 x = 1 + cos 8 x ,

2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,

cos 4x · ( cos 2x – cos 4x ) = 0 ,

cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,

1). cos 4x = 0 , 2). sin 3x = 0 , 3). sin x = 0 ,

3. Приведение к однородному уравнению.

а) перенести все его члены в левую часть;

б) вынести все общие множители за скобки;

в) приравнять все множители и скобки нулю;

г ) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на

cos ( или sin ) в старшей степени;

д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan .

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.

Р е ш е н и е . 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,

sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,

tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4y +3 = 0 ,

корни этого уравнения: y ₁ = — 1, y ₂ = — 3, отсюда

1) tan x = –1, 2) tan x = –3,

4. Переход к половинному углу.

П р и м е р . Решить уравнение: 3 sin x – 5 cos x = 7.

Р е ш е н и е . 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos ² ( x / 2 ) + 5 sin ² ( x / 2 ) =

= 7 sin ² ( x / 2 ) + 7 cos ² ( x / 2 ) ,

2 sin ² ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos ² ( x / 2 ) = 0 ,

tan ² ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,

5. Введение вспомогательного угла.

где a , b , c – коэффициенты; x – неизвестное.

Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса , а именно : модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1 . Тогда можно обозначить их соответственно как cos и sin ( здесь — так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение прини мает вид:

6. Преобразование произведения в сумму.

П р и м е р . Решить уравнение: 2 sin x · sin 3 x = cos 4 x .

Р е ш е н и е . Преобразуем левую часть в сумму:

Источник

Основные методы решения тригонометрических уравнений

п.1. Разложение на множители

Алгоритм простого разложения на множители

Шаг 1. Представить уравнение в виде произведения $f_1(x)\cdot f_2(x)\cdot . \cdot f_n(x)=0$ где $f_i(x)$ — некоторые функции (тригонометрические и не только) от $x$.
Шаг 2. Решить совокупность уравнений: $ \left[ \begin f_1(x)=0\\ f_2(x)=0\\ . \\ f_n(x)=0\\ \end \right. $
Шаг 3. Найти объединение полученных решений. Записать ответ.

Например:
Решим уравнение $2cosx cos2x=cosx$ \begin 2cosx cos2x-cosx=0\\ cosx(2cos2x-1)=0\\ \left[ \begin cosx=0\\ 2cos2x-1=0 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=\frac\pi2+\pi k\\ cos2x=\frac12 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=\frac\pi2+\pi k\\ 2x=\pm\frac\pi3+2\pi k \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=\frac\pi2+\pi k\\ x=\pm\frac\pi6+\pi k \end \right. \end

Мы видим, что полученные семейства образуют множество из 6 базовых точек на числовой окружности через каждые $60^<\circ>=\frac\pi3$
Поэтому: \begin \left[ \begin x=\frac\pi2+\pi k\\ x=\pm\frac\pi6+\pi k \end \right. \Leftrightarrow x=\frac\pi6+\frac<\pi k> <3>\end

Возможно, у вас не сразу получится объединять решения, которые частично пересекаются или дополняют друг друга.
Тогда записывайте ответ в виде полученных семейств.
В рассмотренном примере, это пара $\frac\pi2+\pi k,\ \ \pm\frac\pi6+\pi k$, равнозначная c $\frac\pi6+\frac<\pi k><3>$.
Вот только научиться работать с числовой окружностью нужно обязательно, т.к. чем сложнее пример или задача, тем больше вероятность, что этот навык пригодится.

Алгоритм разложения на множители со знаменателем

Шаг 1. Представить уравнение в виде произведения $$ \frac=0 $$ где $f_i(x),\ g_i(x)$ — некоторые функции (тригонометрические и не только) от $x$.
Шаг 2. Решить смешанную систему уравнений: $ \begin \left[ \begin f_1(x)=0\\ f_2(x)=0\\ . \\ f_n(x)=0\\ \end \right.\\ g_1(x)\ne 0\\ g_2(x)\ne 0\\ . \\ g_m(x)\ne 0\\ \end $
Шаг 3. Найти объединение полученных решений для числителя. Исключить все решения, полученные для знаменателя. Записать ответ.

Например:
Решим уравнение $ctgx-tgx=\frac<\frac12 sin2x>$
Левая часть уравнения: $$ ctgx-tgx=\frac-\frac=\frac=\frac<(cosx-sinx)(cosx+sinx)> <\frac12sin2x>$$ Подставляем, переносим правую часть влево: $$ \frac<(cosx-sinx)(cosx+sinx)><\frac12sin2x>-\frac<\frac12sin2x>=0 $$ Выносим общий множитель, умножаем на $1/2$ слева и справа, получаем: $$ \frac<(cosx-sinx)(cosx+sinx-1)>=0 $$ В этом уравнении учтено ОДЗ для $ctgx$ и $tgx$. Поэтому отдельно его не записываем.
Полученное уравнение равносильно системе: \begin \begin \left[ \begin cosx-sinx=0\\ cosx+sinx=1 \end \right.\\ sin2x\ne 0 \end \end Решаем первое уравнение как однородное 1-й степени (см. этот параграф ниже): \begin cosx-sinx=0\ \ |: cosx\\ 1-tgx=0\Rightarrow tgx=1\Rightarrow x=\frac\pi4+\pi k \end Решаем второе уравнение введением вспомогательного угла (см. этот параграф ниже): \begin cosx-sinx=1\ \ | \times \frac<\sqrt<2>><2>\\ \frac<\sqrt<2>><2>cosx+\frac<\sqrt<2>><2>sinx=\frac<\sqrt<2>><2>\\ cos\left(\frac\pi4\right)cosx+sin\left(\frac\pi4\right)sinx=\frac<\sqrt<2>><2>\\ cos\left(\frac\pi4-x\right)=cos\left(x-\frac\pi4\right)=cos\left(x-\frac\pi4\right)=\frac<\sqrt<2>> <2>\Rightarrow x-\frac\pi4=\pm\frac\pi4+2\pi k\Rightarrow \left[ \begin x=2\pi k\\ x=\frac\pi2+2\pi k \end \right. \end Решаем исключающее уравнение для знаменателя: $$ sin2x\ne 0\Rightarrow 2x\ne \pi k\Rightarrow x\ne\frac<\pi k> <2>$$

Записываем полученную систему, отмечаем базовые решения на числовой окружности, исключаем нули знаменателя. Получаем: \begin \begin \left[ \begin x=\frac\pi4+\pi k\\ x=2\pi k\\ x=\frac\pi2+2\pi k\Leftrightarrow x=\frac\pi4+\pi k \end \right.\\ x\ne\frac<\pi k> <2>\end \end

За счет требования $x\ne\frac<\pi k><2>$ исключаются семейства $x=\frac\pi2+2pi k$ и $x=2\pi k$.
Остается только $x=\frac\pi4+\pi k$.
Ответ: $\frac\pi4+\pi k$

п.2. Приведение к квадратному уравнению

Шаг 1. С помощью базовых тригонометрических отношений и других преобразований представить уравнение в виде $$ af^2(x)+bf(x)+c=0 $$ где $f(x)$ — тригонометрическая функция.
Шаг 2. Сделать замену переменных: $t=f(x)$. Решить полученное квадратное уравнение: \begin at^2+bt+c=0\\ D=b^2-4ac,\ \ t_<1,2>=\frac<-b\pm\sqrt> <2a>\end Шаг 3. Если $f(x)$ — синус или косинус, проверить условие $-1\leq t_<1,2>\leq 1$. Отбросить лишние корни.
Шаг 4. Вернуться к исходной переменной и решить совокупность простейших тригонометрических уравнений $ \left[ \begin f(x)=t_1\\ f(x)=t_2 \end \right. $ или одно оставшееся уравнение.
Шаг 5. Найти объединение полученных решений. Записать ответ.

Например:
Решим уравнение $3sin^2x+10cosx-6=0$
Заменим $sin^2x=1-cos^2x$. Получаем: \begin 3(1-cos^2x)+10cosx-6=0\\ -3cos^2x+10cosx-3=0\\ 3cos^2x-10cosx+3=0\\ \text<Замена:>\ t=cosx,\ \ -1\leq t\leq 1\\ 3t^2-10t+3=0\\ D=(-10)^2-4\cdot 3\cdot 3=64\\ t=\frac<10\pm 8><6>= \left[ \begin \frac13\\ 3\gt 1 — \text <не подходит>\end \right. \end Решаем $cosx=\frac13\Rightarrow x=\pm arccos\frac13+2\pi k$
Ответ: $\pm arccos\frac13+2\pi k$

п.3. Приведению к однородному уравнению

Алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения 1-й степени

Например:
Решим уравнение $sinx+cosx=0$
Делим на $cosx$. Получаем: $tgx+1=0\Rightarrow tgx=-1\Rightarrow x=-\frac\pi4+\pi k$
Ответ: $-\frac\pi4+\pi k$

Алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения 2-й степени

Шаг 1. Разделить левую и правую части уравнения на $cos^2x$ \begin \frac=\frac<0>\\ Atg^2x+Btgx+C=0 \end Шаг 2. Сделать замену переменных: $t=tgx$. Решить полученное квадратное уравнение: \begin at^2+bt+c=0\\ D=b^2-4ac,\ \ t_<1,2>=\frac<-b\pm\sqrt> <2a>\end Шаг 3. Решить совокупность простейших тригонометрических уравнений $ \left[ \begin tgx=t_1\\ tgx=t_2 \end \right. $
Шаг 4. Найти объединение полученных решений. Записать ответ.

Например:
Решим уравнение $6sin^2x-sinxcosx-cos^2x=3$
Приведем уравнение к однородному (чтобы избавиться от тройки справа, умножим её на тригонометрическую единицу): \begin 6sin^2x-sinxcosx-cos^2x=3(sin^2x+cos^2x)\\ 3sin^2x-sinxcosx-4cos^2x=0\ |:\ cos^2x\\ 3tg^2x-tgx-4=0\\ \text<Зaмена:>\ t=tgx\\ 3t^2-t-4=0\\ D=(-1)^2-4\cdot 3\cdot(-4)=49\\ t=\frac<1\pm 7><6>= \left[ \begin -1\\ \frac43 \end \right. \end Решаем совокупность: $ \left[ \begin tgx=-1\\ tgx=\frac43 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=-\frac\pi4+\pi k\\ x=arctg\frac43+\pi k \end \right. $
Ответ: $-\frac\pi4+\pi k,\ \ arctg\frac43+\pi k$

Обобщим понятие однородного тригонометрического уравнения на любую натуральную степень:

Алгоритм решения однородного тригонометрического уравнения n-й степени

Шаг 1. Разделить левую и правую части уравнения на $cos^n x$
Шаг 2. Сделать замену переменных: $t=tgx$. Решить полученное алгебраическое уравнение: \begin a_0t^n+a_1t^+. +a_n=0 \end Найти корни $t_1, t_2. t_k,\ k\leq n$
Шаг 3. Решить совокупность простейших тригонометрических уравнений $ \left[ \begin tgx=t_1\\ tgx=t_2\\ . \\ tgx=t_k \end \right. $
Шаг 4. Найти объединение полученных решений. Записать ответ.

Например:
Решим уравнение $2sin^3x=cosx$
Умножим правую часть на тригонометрическую единицу и получим однородное уравнение 3-й степени: \begin 2sin^3x=cosx(sin^2x+cos^2x)\\ 2sin^3x-sin^2xcosx-cos^3x=0\ |:\ cos^3x\\ 2tg^x-tg^2x-1=0\\ \end Замена $t=tgx$ дает кубическое уравнение: $2t^3-t^2-1=0$
Раскладываем на множители: \begin 2t^3-t^2-1=t^3-t^2+t^3-1=t^2(t-1)+(t-1)(t^2+t+1)=\\ =(t-1)(2t^2+t+1) \end Вторая скобка на множители не раскладывается, т.к. $D=1-4\cdot 2=-7 \lt 0$.
Получаем: $2t^3-t^2-1=0\Leftrightarrow t-1=0$
Возвращаемся к исходной переменной:
$tgx=1\Rightarrow x=\frac\pi4+\pi k$
Ответ: $\frac\pi4+\pi k$

п.4. Введение вспомогательного угла

Например:
Решим уравнение $\sqrt<3>sin3x-cos3x=1$
Делим уравнение на $ p=\sqrt<3+1>=2: $ \begin \sqrt<3>sin3x-cos3x=1 |:\ 2\\ \frac<\sqrt<3>><2>sin3x-\frac12cos3x=\frac12\\ sin\left(\frac\pi3\right)sin3x-cos\left(\frac\pi3\right)cos3x=\frac12\\ cos\left(\frac\pi3\right)cos3x-sin\left(\frac\pi3\right)sin3x=-\frac12\\ cos\left(3x+\frac\pi3\right)=-\frac12\Rightarrow 3x+\frac\pi3=\pm\frac<2\pi><3>+2\pi k\Rightarrow 3x= \left[ \begin -\pi+2\pi k\\ \frac\pi3+2\pi k \end \right. \Rightarrow x= \left[ \begin -\frac\pi3+\frac<2\pi k><3>\\ \frac\pi9+\frac<2\pi k> <3>\end \right. \end
Ответ: $-\frac\pi3+\frac<2\pi k><3>,\ \ \frac\pi9+\frac<2\pi k><3>$

п.5. Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение

При решении уравнений вида \begin Asinax+Bsinbx+. +Ccoscx+Dcosdx+. =0 \end используются формулы, выведенные в §17 данного справочника.
Затем проводится разложение на множители, и находится решение (см. начало этого параграфа).

Например:
Решим уравнение $cos3x+sin2x-sin4x=0$
Заметим, что: $$ sin2x-sin4x=2sin\frac<2x-4x><2>cos\frac<2x+4x>=2sin(-x)cos3x=-2sinxcos3x $$ Подставляем: \begin cos3x-2sinxcos3x=0\\ cos3x(1-2sinx)=0\\ \left[ \begin cos3x=0\\ 1-2sinx=0 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin 3x=\frac\pi2+\pi k\\ sinx=\frac12 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=\frac\pi6+\frac<\pi k><3>\\ x=(-1)^k\frac\pi6+\pi k= \left[ \begin x=\frac\pi6+2\pi k\\ \frac<5\pi><6>+2\pi k \end \right. \end \right. \end Чтобы было понятней, распишем полученные множества в градусах: \begin \left[ \begin x=\frac\pi6+\frac<\pi k><3>=30^<\circ>+60^<\circ>k\\ x=\frac\pi6+2\pi k=30^<\circ>+360^<\circ>k\Leftrightarrow x=30^<\circ>+60^<\circ>k=\frac\pi6+\frac<\pi k><3>\\ x=\frac<5\pi><6>+2\pi k=150^<\circ>+360^<\circ>k \end \right. \end

Получаем, что семейства решений $\frac\pi6+2\pi k$ и $\frac<5\pi><6>+2\pi k$ уже содержатся во множестве $\frac\pi6+\frac<\pi k><3>$.

п.6. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму

При решении уравнений вида \begin sinax\cdot cosbx=sincx\cdot cosdx,\ \ sinax\cdot sinbx=sincx\cdot cosdx\ \ \text <и т.п.>\end используются формулы, выведенные в §18 данного справочника.

Например:
Решим уравнение $sin5xcos3x=sin6xcos2x$
Заметим, что: \begin sin5xcos3x=\frac<2>=\frac<2>\\ sin6xcos2x=\frac<2>=\frac <2>\end Подставляем: \begin \frac<2>=\frac<2>\ |\times 2\\ sin8x-sin2x=sin8x-sin4x\\ sin4x-sin2x=0\\ 2sin2xcos2x-sin2x=0\\ sin2x(2cos2x-1)=0\\ \left[ \begin sin2x=0\\ 2cos2x-1=0 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin 2x=\pi k\\ cos2x=\frac12 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=\frac<\pi k><2>\\ 2x=\pm\frac\pi3+2\pi k \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=\frac<\pi k><2>\\ x=\pm\frac\pi6+\pi k \end \right. \end

Семейства решений не пересекаются.

Примечание: учитывая ответ предыдущего примера, это же множество решений можно записать в виде: $ \left[ \begin x=\frac<\pi k><2>\\ x=\pm\frac\pi6+\pi k \end \right. \Leftrightarrow \left[ \begin x=\frac\pi6+\frac<\pi k><3>\\ x=\pi k \end \right. $

п.7. Понижение степени

При решении уравнений вида \begin sin^2ax+sin^2bx+. +cos^2cx+cos^2dx+. =A \end используются формулы понижения степени: \begin sin^2x=\frac<1-cos2x><2>,\ \ cos^2x=\frac<1+cos2x> <2>\end (см. формулы половинного аргумента, §15 данного справочника).

Например:
Решим уравнение $sin^2x+sin^22x=1$
Расписываем квадраты синусов через формулу понижения степени: \begin \frac<1-cos2x><2>+\frac<1-cos4x><2>=1\\ cos2x+cos4x=0\\ 2cos\frac<2x+4x><2>cos\frac<2x-4x><2>=0\\ cos3xcosx=0\\ \left[ \begin cos3x=0\\ cosx=0 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin 3x=\frac\pi2+\pi k\\ x=\frac\pi2+\pi k \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=\frac\pi6+\frac<\pi k><3>\\ x=\frac\pi2+\pi k \end \right. \end

$x=\frac\pi2+\pi k$ является подмножеством $x=\frac\pi6+\frac<\pi k><3>$
Поэтому \begin \left[ \begin x=\frac\pi6+\frac<\pi k><3>\\ x=\frac\pi2+\pi k \end \right. \Leftrightarrow x=\frac\pi6+\frac<\pi k> <3>\end

п.8. Замена переменных

При решении уравнений вида $f(sinx\pm cosx,\ sinxcosx)=0$ используется замена \begin t=cosx\pm sinx \end

Например:
Решим уравнение $sinx+cosx=1+sinxcosx$
Замена: $t=sinx+cosx$
Тогда $t^2=sin^2x+2sinxcosx+cos^2x=1+2sinxcosx\Rightarrow sinxcosx=\frac<2>$
Подставляем: \begin t=1+\frac<2>\Rightarrow 2(t-1)=t^2-1\Rightarrow t^2-2t+1=0\Rightarrow (t-1)^2=0\Rightarrow t=1\\ sinx+cosx=1\ |\ \times \frac<\sqrt<2>><2>\\ \frac<\sqrt<2>><2>sinx+\frac<\sqrt<2>><2>cosx=\frac<\sqrt<2>><2>\\ sin\frac\pi4 sinx+cos\frac\pi4 cosx=\frac<\sqrt<2>><2>\\ cos\left(x-\frac\pi4\right)=\frac<\sqrt<2>><2>\Rightarrow x-\frac\pi4=\pm\frac\pi4 + 2\pi k\Rightarrow \Rightarrow \left[ \begin x=2\pi k\\ x=\frac\pi2+2\pi k \end \right. \end Ответ: $2\pi k,\ \ \frac\pi2+2\pi k$

п.9. Использование ограничений области значений функций

Уравнения вида \begin \underbrace_> \end может иметь решение только, если каждое из слагаемых равно 1.
Поэтому решаем систему: $ \begin sinax=1\\ sinbx=1\\ . \\ cosdx=1\\ . \end $
Находим пересечение (!) полученных семейств решений и записываем ответ.

Аналогично, уравнение вида \begin \underbrace_> \end может иметь решение только, если каждое из слагаемых равно -1.

Например:
Решим уравнение $sinx+cos4x=2$
Для этого нужно решить систему: \begin \begin sinx=1\\ cos4x=1 \end \Rightarrow \begin x=\frac\pi2+2\pi k\\ 4x=2\pi k \end \Rightarrow \begin x=\frac\pi2+2\pi k\\ x=\frac<\pi k> <2>\end \end

Пересечением двух семейств решений будет только $\frac\pi2+2\pi k$.
Поэтому \begin \begin x=\frac\pi2+2\pi k\\ x=\frac<\pi k> <2>\end \Leftrightarrow x=\frac\pi2+2\pi k \end

п.10. Примеры

Пример 1. Используя различные методы, решите уравнения:
a) $4sin\left(\frac\pi2\right)+5sin^2x=4$
Приводим уравнение к квадратному:
$5sin^x+4cosx-4=0$
$5(1-cos^2x)+4cosx-4=0$
$-5cos^2x+4cosx+1=0$
$5cos^2x-4cosx-1=0$
Замена: $t=cosx,\ \ -1\leq t\leq 1$ \begin 5t^2-4t-1=0\Rightarrow (5t+1)(t-1)=0\Rightarrow \left[ \begin t_1=-\frac15\\ t_2=1 \end \right. \end Оба корня подходят. Возвращаемся к исходной переменной: \begin \left[ \begin cosx=-\frac15\\ cosx=1 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=\pm arccos\left(-\frac15\right)+2\pi k\\ x=2\pi k \end \right. \end Ответ: $\pm arccos\left(-\frac15\right)+2\pi k,\ \ 2\pi k$

б) $6sinxcosx=5cos2x$
$6sinxcosx=3\cdot 2sinxcosx=3sin2x$
Приводим уравнение к однородному 1-й степени:
$3sin2x=5cos2x\ |\ :\ cos2x$
$3tg2x=5\Rightarrow tg2x=\frac53\Rightarrow 2x=arctg\frac53+\pi k\Rightarrow x=\frac12 arctg\frac53+\frac<\pi k><2>$
Ответ: $\frac12 arctg\frac53+\frac<\pi k><2>$

в) $9cos^2x-5sin2x=-sin^2x$
$5sin2x=5\cdot 2sinxcosx=10sinxcosx$
Приводим уравнение к однородному 2-й степени:
$sin^2x-10sinxcosx+9cos^2x=0\ |:\ cos^2x$
$tg^2x-10tgx+9=0$
Замена: $t=tgx$ \begin t^2-10+9=0\Rightarrow (t-1)(t-9)=0\Rightarrow \left[ \begin t_1=1\\ t_2=9 \end \right. \end Оба корня подходят. Возвращаемся к исходной переменной: \begin \left[ \begin tgx=1\\ tgx=9 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=\frac\pi4+\pi k\\ x=arctg9+\pi k \end \right. \end Ответ: $\frac\pi4+\pi k,\ \ arctg9+\pi k$

г) $cos3x-1=cos6x$
Косинус двойного угла: $cos6x=2cos^2 3x-1$
Подставляем и раскладываем на множители:
$cos3x-1=2cos^2 3x-1$
$cos3x-2cos^2 3x=0$
$cos3x(1-2cos3x)=0$ \begin \left[ \begin cos3x=0\\ 1-2cos3x=0 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin 3x=\frac\pi2+\pi k\\ cos3x=\frac12 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=\frac\pi6+\frac<\pi k><3>\\ 3x=\pm\frac\pi3+2\pi k \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=\frac\pi6+\frac<\pi k><3>\\ x=\pm\frac\pi9+\frac<2\pi k> <3>\end \right. \end Чтобы проверить пересечения, распишем семейства решений через градусы: \begin \left[ \begin x=\frac\pi6+\frac<\pi k><3>=30^<\circ>+60^<\circ>k=<. -90^<\circ>,-30^<\circ>,30^<\circ>,90^<\circ>,150^<\circ>. >\\ x=\pm\frac\pi9+\frac<2\pi k><3>= \left[ \begin -20^<\circ>+120^<\circ>k=<. -140^<\circ>,-20^<\circ>,100^<\circ>. >\\ 20^<\circ>+120^<\circ>k=<. -100^<\circ>,20^<\circ>,140^<\circ>. > \end \right. \end \right. \end Семейства не пересекаются.
Ответ: $\frac\pi6+\frac<\pi k><3>,\ \ \pm\frac\pi9+\frac<2\pi k><3>$

д) $\sqrt<3>sin2x-cos2x=-\sqrt<3>$
Разделим на $p=\sqrt<3+1>$ и введем дополнительный угол:
$\frac<\sqrt<3>><2>sin2x-\frac12 cos2x=-\frac<\sqrt<3>><2>$
$\frac12cos2x-\frac<\sqrt<3>><2>sin2x=\frac<\sqrt<3>><2>$
$cos\left(2x-\frac\pi3\right)=\frac<\sqrt<3>><2>$
$2x-\frac\pi3=\pm\frac\pi6+2\pi k$
$2x=\frac\pi3\pm\frac\pi6+2\pi k= \left[ \begin -\frac<\pi><6>+2\pi k\\ \frac\pi2+2\pi k \end \right. $
$ \left[ \begin x=-\frac<\pi><12>+\pi k\\ x=\frac\pi4+\pi k \end \right. $ Семейства решений не пересекаются.
Ответ: $-\frac<\pi><12>+\pi k,\ \ \frac\pi4+\pi k$

е) $cos^2x+cos^2 2x=cos^2 3x+cos^2 4x$
Формула понижения степени: $cos^2x=\frac<1+cos2x><2>$
Подставляем: \begin \frac<1+cos2x><2>+\frac<1+cos4x><2>=\frac<1+cos6x><2>+\frac<1+cos8x><2>\\ cos2x+cos4x=cos6x+cos8x\\ 2cos\frac<2x+4x><2>cos\frac<2x-4x><2>=2cos\frac<6x+8x><2>cos\frac<6x-8x><2>\ |:\ 2\\ cos3xcosx=cos7xcosx=0\\ cos3xcosx-cos7xcosx=0\\ cosx(cos3x-cos7x)=0\\ cosx\left(-2sin\frac<3x+7x><2>sin\frac<3x-7x><2>\right)=0\\ -2cosxsin5xsin(-2x)=0\\ 2cosxsin5xsin2x=0\\ cosxsin5xsin2x=0\\ \left[ \begin cosx=0\\ sin5x=0\\ sin2x=0 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=\frac\pi2+\pi k\\ 5x=\pi k\\ 2x=\pi k \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=\frac\pi2+\pi k\\ x=\frac<\pi k><5>\\ x=\frac<\pi k> <2>\end \right. \end Семейство решений $x=\frac\pi2+\pi k$ (базовые точки 90°, 270° на числовой окружности) является подмножеством для $x=\frac<\pi k><2>$ (базовые точки 0°, 90°, 180°, 270°). Поэтому: \begin \left[ \begin x=\frac\pi2+\pi k\\ x=\frac<\pi k><5>\\ x=\frac<\pi k> <2>\end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=\frac<\pi k><5>\\ x=\frac<\pi k> <2>\end \right. \end Ответ: $\frac<\pi k><5>,\ \ \frac<\pi k><2>$

Пример 2*. Решите уравнения:
a) \begin \frac<4>-\frac<18>+\frac=0 \end ОДЗ: $tgx\ne \pm 3$
1) Если $cosx\ne 0$, то последнее слагаемое $\frac=\frac<\frac><\frac>=\frac$
Получаем: \begin \frac<4>-\frac<18>+\frac=0\\ \frac<4(tgx-3)-18+tgx(tgx+3)><(tgx+3)(tgx-3)>=0\\ \frac<(tgx+3)(tgx-3)>=0\\ \end Замена: $t=tgx$ \begin \frac<(t+3)(t-3)>\Rightarrow \begin t^2+7t-30=0\\ t\ne\pm3 \end \Rightarrow \begin (t+10)(t-3)=0\\ t\ne\pm3 \end \Rightarrow \begin \left[ \begin t=-10\\ t=3 \end \right.\\ t\ne\pm3 \end \Rightarrow\\ t=-10 \end Получаем: \begin tgx=-10\\ x=arctg(-10)+\pi k=-arctg10+\pi k \end
2) Проверим, является ли $cosx=0$ решением.
При $cosx=0,\ x=\frac\pi2+\pi k,\ tgx\rightarrow\infty$. Первое слагаемое $\frac<4>\rightarrow\frac<4><\infty>\rightarrow 0$
Второе слагаемое $\frac<18>\rightarrow\frac<18><\infty>\rightarrow 0$
Третье слагаемое $\frac\rightarrow\frac<1><1-0>=1\ne 0$
Сумма слагаемых в пределе $tgx\rightarrow\infty$ равна $0+0+1=1\ne 0$
$cosx=0$ решением не является.
Ответ: $-arctg10+\pi k$

б) $\frac<3>+1=7\frac<|cosx|>$
ОДЗ: $cosx\ne 0,\ x\ne\frac\pi2+\pi k$ \begin |cosx|= \begin cosx,\ -\frac\pi2+2\pi k\leq x\lt \frac\pi2+2\pi k\\ -cosx,\ \frac\pi2+2\pi k\leq x\lt \frac<3\pi2><2>+2\pi k \end \end 1) Решаем для положительного косинуса (1-я и 4-я четверти) \begin \frac<3>+1=7\frac\\ 3(1+tg^2x)+1-7tgx=0\\ 3tg^2-7tgx+4=0\\ (3tgx-4)(tgx-1)=0\\ \left[ \begin tgx=\frac43\\ tgx=1 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=arctg\frac43+\pi k\\ x=\frac\pi4+\pi k \end \right. \end

Полученное решение даёт 4 базовых точки на числовой окружности: $\frac\pi4,\ arctg\frac43,\ \frac<5\pi><4>$ и $\pi+arctg\frac43$, которые находятся в 1-й и 3-й четвертях.
Выбираем только точки в 1-й четверти:
$\frac\pi4$ и $arctg\frac43$.
Это означает, что в записи решения период будет не $\pi k$, а $2\pi k$. \begin \left[ \begin x=arctg\frac43+2\pi k\\ x=\frac\pi4+2\pi k \end \right. \end

2) Решаем для отрицательного косинуса (2-я и 3-я четверти) \begin \frac<3>+1=-7\frac\\ 3(1+tg^2x)+1+7tgx=0\\ 3tg^2x+7tgx+4=0\\ (3tgx+4)(tgx+1)=0\\ \left[ \begin tgx=-\frac43\\ tgx=-1 \end \right. \Rightarrow \left[ \begin x=-arctg\frac43+\pi k\\ x=-\frac\pi4+\pi k \end \right. \end

Полученное решение даёт 4 базовых точки на числовой окружности: $-\frac\pi4,\ -arctg\frac43,\ \frac<3\pi><4>$ и $\pi-arctg\frac43$, которые находятся в 2-й и 4-й четвертях.
Выбираем только точки вo 2-й четверти:
$\frac<3\pi><4>$ и $\pi-arctg\frac43$.
Это означает, что в записи решения будут выбранные точки с периодом $2\pi k$. \begin \left[ \begin x=\pi-arctg\frac43+2\pi k\\ x=\frac<3\pi><4>+2\pi k \end \right. \end

3) Объединяем полученные решения: \begin \left[ \begin x=arctg\frac43+2\pi k\\ x=\frac\pi4+2\pi k\\ x=\pi-arctg\frac43+2\pi k\\ x=\frac<3\pi><4>+2\pi k \end \right. \end

По аналогии с записью арксинуса можно объединить симметричные относительно оси синусов точки: \begin \left[ \begin x=arctg\frac43+2\pi k\\ x=\pi-arctg\frac43+2\pi k \end \right. \Leftrightarrow x=(-1)^k arctg\frac43+\pi k\\ \left[ \begin x=\frac\pi4+2\pi k\\ x=\frac<3\pi><4>+2\pi k \end \right. \Leftrightarrow x=(-1)^k \frac\pi4+\pi k\\ \end

Окончательно получаем: $ \left[ \begin x=(-1)^k arctg\frac43+\pi k\\ x=(-1)^k \frac\pi4+\pi k \end \right. $.
Ответ: $(-1)^k arctg\frac43+\pi k,\ \ (-1)^k \frac\pi4+\pi k$

г) $3sinx-4cosx=5$
Способ 1. Вводим дополнительный угол:
$p=\sqrt<3^2+4^2>=5$
$\frac35sinx-\frac45 cosx=1$
$sin\alpha=\frac35,\ cos\alpha=\frac45$
$sin\alpha sinx-cos\alpha cosx=1$
$cos\alpha cosx-sin\alpha sinx=-1$
$cos(x+\alpha)=-1$
$x+\alpha=\pi+2\pi k$
$x=-\alpha+\pi+2\pi k=-arcsin\frac35+\pi+2\pi k$

Способ 2. Делаем универсальную подстановку: \begin sin\alpha=\frac<2tg\frac<\alpha><2>><1+tg^2\frac\alpha2>,\ \ cos\alpha=\frac<1-tg^2\frac\alpha2><1+tg^2\frac\alpha2>\\ 3\cdot \frac<2tg\frac<2>><1+tg^2\frac<2>>-4\cdot\frac<1-tg^2\frac<2>><1+tg^2\frac<2>>=5\\ \frac<6tg\frac<2>-4\left(1-tg^2\frac<2>\right)-5\left(1+tg^2\frac<2>\right)><1+tg^2\frac<2>>=0 \end $1=tg^2\frac<2>\geq 1$, знаменатель никогда не превращается в 0, отбрасываем его и работаем с числителем: \begin -tg^2\frac<2>+6tg\frac<2>-9=0\Rightarrow tg^2\frac<2>-6tg\frac<2>+9=0\Rightarrow\left(tg\frac<2>-3\right)^2=0\Rightarrow tg\frac<2>=3\\ \frac<2>=arctg3+\pi k\Rightarrow x= 2arctg3+2\pi k \end

Докажем, что полученные ответы: $$ x=-arcsin\frac35+\pi+2\pi k\ \ \text<и>\ x=2arctg3+2\pi k $$ равнозначны, т.е. $-arcsin\frac35+\pi=2arctg3$, и равны углы: $$ arcsin\frac35=\pi-2arctg3\ \ (*) $$ Пусть в правой части равенства (*) $2arctg3=\varphi$. Тогда $arctg3=\frac\varphi2$ и $tg\frac\varphi2=3$.
А в левой части равенства (*) $arcsin\frac35=\alpha$ и $sin\alpha=\frac35$
Угол $0\lt arcsin\frac35\lt \frac\pi2$ расположен в 1-й четверти.
Угол $\varphi=2arctg3$ расположен во 2-й четверти $(cos\varphi\lt 0,\ sin\varphi\gt 0)$. $$ cos\varphi=\frac<1-tg^2\frac\varphi2><1+tg^2\frac\varphi2>=\frac<1-3^2><1+3^2>=-\frac45,\ \ sin\varphi=\frac<2tg\frac\varphi2><1+tg^2\frac\varphi2>=\frac<2\cdot 3><1+3^2>=\frac35 $$ Получаем, что для угла $\alpha:\ sin\alpha=\frac35,\ cos\alpha=\frac45$
Для угла $\varphi:\ sin\varphi=\frac35,\ cos\varphi=-\frac45$
Откуда следует, что $\alpha=\pi-\varphi$. Что и требовалось доказать.
Ответ: $-arcsin\frac35+\pi+2\pi k$ или $2arctg3+2\pi k$ (т.к. $-arcsin\frac35+\pi=2arctg3)$

Источник