Способы решения квадратных неравенств графическим методом

Решение квадратных неравенств графически.

Один из самых удобных методов решения квадратных неравенств – это графический метод. В этой статье мы разберем, как решаются квадратные неравенства графическим способом. Сначала обсудим, в чем суть этого способа. А дальше приведем алгоритм и рассмотрим примеры решения квадратных неравенств графическим способом.

Навигация по странице.

Суть графического способа

Вообще графический способ решения неравенств с одной переменной применяется не только для решения квадратных неравенств, но и неравенств других видов. Суть графического способа решения неравенств следующая: рассматривают функции y=f(x) и y=g(x) , которые соответствуют левой и правой частям неравенства, строят их графики в одной прямоугольной системе координат и выясняют, на каких промежутках график одной из них располагается ниже или выше другого. Те промежутки, на которых

• график функции f выше графика функции g являются решениями неравенства f(x)>g(x) ;
• график функции f не ниже графика функции g являются решениями неравенства f(x)≥g(x) ;
• график функции f ниже графика функции g являются решениями неравенства f(x) ;
• график функции f не выше графика функции g являются решениями неравенства f(x)≤g(x) .

Также скажем, что абсциссы точек пересечения графиков функций f и g являются решениями уравнения f(x)=g(x) .

Перенесем эти результаты на наш случай – для решения квадратного неравенства a·x 2 +b·x+c (≤, >, ≥).

Вводим две функции: первая y=a·x 2 +b·x+c (при этом f(x)=a·x 2 +b·x+c) отвечает левой части квадратного неравенства, вторая y=0 (при этом g(x)=0 ) отвечает правой части неравенства. Графиком квадратичной функции f является парабола, а графиком постоянной функции g – прямая, совпадающая с осью абсцисс Ox .

Дальше согласно графическому способу решения неравенств надо проанализировать, на каких промежутках график одной функции расположен выше или ниже другого, что позволит записать искомое решение квадратного неравенства. В нашем случае нужно проанализировать положение параболы относительно оси Ox .

В зависимости от значений коэффициентов a , b и c возможны следующие шесть вариантов (для наших нужд достаточно схематического изображения, и можно не изображать ось Oy , так как ее положение не влияет на решения неравенства):

На этом чертеже мы видим параболу, ветви которой направлены вверх, и которая пересекает ось Ox в двух точках, абсциссы которых есть x₁ и x₂ . Этот чертеж отвечает варианту, когда коэффициент a – положительный (он отвечает за направленность вверх ветвей параболы), и когда положительно значение дискриминанта квадратного трехчлена a·x 2 +b·x+c (при этом трехчлен имеет два корня, которые мы обозначили как x₁ и x₂ , причем приняли, что x₁ , так как на оси Ox изобразили точку с абсциссой x₁ левее точки с абсциссой x₂ ). Если хочется конкретики, то постройте параболу y=x 2 −x−6 , ее коэффициент a=1>0 , D=b 2 −4·a·c=(−1) 2 −4·1·(−6)=25>0 , x₁=−2 , x₂=3 .

Давайте для наглядности изобразим красным цветом части параболы, расположенные выше оси абсцисс, а синим цветом – расположенные ниже оси абсцисс.

Теперь выясним, какие промежутки этим частям соответствуют. Определить их поможет следующий чертеж (в дальнейшем подобные выделения в форме прямоугольников будем проводить мысленно):

Так на оси абсцисс оказались подсвечены красным цветом два промежутка (−∞, x₁) и (x₂, +∞) , на них парабола выше оси Ox , они составляют решение квадратного неравенства a·x 2 +b·x+c>0 , а синим цветом подсвечен промежуток (x₁, x₂) , на нем парабола ниже оси Ox , он представляет собой решение неравенства a·x 2 +b·x+c . Решениями нестрогих квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c≥0 и a·x 2 +b·x+c≤0 будут те же промежутки, но в них следует включить числа x₁ и x₂ , отвечающие равенству a·x 2 +b·x+c=0 .

А теперь кратко: при a>0 и D=b 2 −4·a·c>0 (или D’=D/4>0 при четном коэффициенте b )

• решением квадратного неравенства a·x 2 +b·x+c>0 является (−∞, x₁)∪(x₂, +∞) или в другой записи x , x>x₂ ;
• решением квадратного неравенства a·x₂+b·x+c≥0 является (−∞, x₁]∪[x₂, +∞) или в другой записи x≤x₁ , x≥x₂ ;
• решением квадратного неравенства a·x 2 +b·x+c является (x₁, x₂) или в другой записи x₁ ;
• решением квадратного неравенства a·x 2 +b·x+c≤0 является [x₁, x₂] или в другой записи x₁≤x≤x₂ ,

где x₁ и x₂ – корни квадратного трехчлена a·x 2 +b·x+c , причем x₁ .

Здесь мы видим параболу, ветви которой направлены вверх, и которая касается оси абсцисс, то есть, имеет с ней одну общую точку, обозначим абсциссу этой точки как x₀ . Представленному случаю отвечает a>0 (ветви направлены вверх) и D=0 (квадратный трехчлен имеет один корень x₀ ). Для примера можно взять квадратичную функцию y=x 2 −4·x+4 , здесь a=1>0 , D=(−4) 2 −4·1·4=0 и x₀=2 .

По чертежу отчетливо видно, что парабола расположена выше оси Ox всюду, кроме точки касания, то есть, на промежутках (−∞, x₀) , (x₀, ∞) . Для наглядности выделим на чертеже области по аналогии с предыдущим пунктом.

Делаем выводы: при a>0 и D=0

• решением квадратного неравенства a·x 2 +b·x+c>0 является (−∞, x₀)∪(x₀, +∞) или в другой записи x≠x₀ ;
• решением квадратного неравенства a·x 2 +b·x+c≥0 является (−∞, +∞) или в другой записи x∈R ;
• квадратное неравенство a·x 2 +b·x+c не имеет решений (нет интервалов, на которых парабола расположена ниже оси Ox );
• квадратное неравенство a·x 2 +b·x+c≤0 имеет единственное решение x=x₀ (его дает точка касания),

где x₀ — корень квадратного трехчлена a·x 2 +b·x+c .

В этом случае ветви параболы направлены вверх, и она не имеет общих точек с осью абсцисс. Здесь мы имеем условия a>0 (ветви направлены вверх) и D (квадратный трехчлен не имеет действительных корней). Для примера можно построить график функции y=2·x 2 +1 , здесь a=2>0 , D=0 2 −4·2·1=−8 .

Очевидно, парабола расположена выше оси Ox на всем ее протяжении (нет интервалов, на которых она ниже оси Ox , нет точки касания).

Таким образом, при a>0 и D решением квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c>0 и a·x 2 +b·x+c≥0 является множество всех действительных чисел, а неравенства a·x 2 +b·x+c и a·x 2 +b·x+c≤0 не имеют решений.

И остаются три варианта расположения параболы с направленными вниз, а не вверх, ветвями относительно оси Ox . В принципе их можно и не рассматривать, так как умножение обеих частей неравенства на −1 позволяет перейти к равносильному неравенству с положительным коэффициентом при x 2 . Но все же не помешает получить представление и об этих случаях. Рассуждения здесь аналогичные, поэтому запишем лишь главные результаты.

При a и D>0

• решением квадратного неравенства a·x 2 +b·x+c>0 является (x₁, x₂) или в другой записи x₁ ;
• решением квадратного неравенства a·x 2 +b·x+c≥0 является [x₁, x₂] или в другой записи x₁≤x≤x₂ ;
• решением квадратного неравенства a·x 2 +b·x+c является (−∞, x₁)∪(x₂, +∞) или в другой записи x , x>x₂ ;
• решением квадратного неравенства a·x 2 +b·x+c≤0 является (−∞, x₁]∪[x₂, +∞) или в другой записи x≤x₁, x≥x₂ ,

где x₁ и x₂ – корни квадратного трехчлена a·x 2 +b·x+c , причем x₁ .

При a и D=0

• квадратное неравенство a·x 2 +b·x+c>0 не имеет решений;
• квадратное неравенство a·x 2 +b·x+c≥0 имеет единственное решение x=x₀ ;
• решением неравенства a·x 2 +b·x+c является (−∞, x₀)∪(x₀, +∞) или в другой записи x≠x₀ ;
• решением квадратного неравенства a·x 2 +b·x+c≤0 является множество всех действительных чисел (−∞, +∞) или в другой записи x∈R ,

где x₀ — корень квадратного трехчлена a·x 2 +b·x+c .

При a и D квадратные неравенства a·x 2 +b·x+c>0 и a·x 2 +b·x+c≥0 не имеют решений, а решением неравенств a·x 2 +b·x+c и a·x 2 +b·x+c≤0 является множество всех действительных чисел.

Алгоритм решения

Итогом всех предыдущих выкладок выступает алгоритм решения квадратных неравенств графическим способом:

На координатной плоскости выполняется схематический чертеж, на котором изображается ось Ox (ось Oy изображать не обязательно) и эскиз параболы, отвечающей квадратичной функции y=a·x 2 +b·x+c . Для построения эскиза параболы достаточно выяснить два момента:

• Во-первых, по значению коэффициента a выясняется, куда направлены ее ветви (при a>0 – вверх, при a – вниз).
• А во-вторых, по значению дискриминанта квадратного трехчлена a·x 2 +b·x+c выясняется, пересекает ли парабола ось абсцисс в двух точках (при D>0 ), касается ее в одной точке (при D=0 ), или не имеет общих точек с осью Ox (при D ). Для удобства на чертеже указываются координаты точек пересечения или координата точки касания (при наличии этих точек), а сами точки изображаются выколотыми при решении строгих неравенств, или обычными при решении нестрогих неравенств.

Когда чертеж готов, по нему на втором шаге алгоритма

• при решении квадратного неравенства a·x 2 +b·x+c>0 определяются промежутки, на которых парабола располагается выше оси абсцисс;
• при решении неравенства a·x 2 +b·x+c≥0 определяются промежутки, на которых парабола располагается выше оси абсцисс и к ним добавляются абсциссы точек пересечения (или абсцисса точки касания);
• при решении неравенства a·x 2 +b·x+c находятся промежутки, на которых парабола ниже оси Ox ;
• наконец, при решении квадратного неравенства вида a·x 2 +b·x+c≤0 находятся промежутки, на которых парабола ниже оси Ox и к ним добавляются абсциссы точек пересечения (или абсцисса точки касания);

они и составляют искомое решение квадратного неравенства, а если таких промежутков нет и нет точек касания, то исходное квадратное неравенство не имеет решений.

Остается лишь решить несколько квадратных неравенств с использованием этого алгоритма.

Источник

Решение квадратных неравенств с помощью графика

Квадратным неравенством называют неравенство вида \(ax^2 + bx + c> 0\) , где (вместо знака > может быть, разумеется, любой другой знак неравенства).

При решении квадратного неравенства необходимо найти корни соответствующего квадратного уравнения \(ax^2+bx+c=0\) . Для этого необходимо найти дискриминант данного квадратного уравнения. Можно получить 3 случая:

1) D = 0, квадратное уравнение имеет один корень;

2) D > 0, квадратное уравнение имеет два корня;

3) D \(a\) возможно одно из шести расположений графика функции \(y=ax^2+bx+c\) :

Если требуется найти числовой промежуток, на котором квадратный трехчлен \(ax^2+bx+c\) больше нуля, то этот числовой промежуток находится там, где парабола лежит выше оси ОХ.

Если требуется найти числовой промежуток, на котором квадратный трехчлен \(ax^2+bx+c\) меньше нуля, то этот числовой промежуток расположен там, где парабола лежит ниже оси ОХ.

Если квадратное неравенство нестрогое, то корни входят в числовой промежуток, если строгое – не входят.

Такой метод решения квадратного неравенства называется графическим.

Пример 1. Решить \(x^2–15x+50 > 0\) .

Решаем квадратное уравнение \(x^2–15x+50=0\) .

\(D = b^2–4ac = (–15)2–4\cdot1\cdot50 = 225–200 = 25\) .

Строим ось OX. Отметим полученные корни. Так как неравенство у нас строгое, то заштриховывать их не будем. Схематично строим параболу, расположена она ветвями вверх, так как коэффициент при х 2 положительный:

Определяем визуально положительные и отрицательные области, здесь мы их отметили разными цветами для наглядности, можно этого и не делать. Записываем ответ: \(x\in(-\infty; 5)\cup(10; +\infty)\) .

*Знак U обозначает объединение решений. Образно можно выразиться так: решением является «этот» и « еще этот» интервал.

Пример 2. Решить: \(–x^2+x+20 ≤ 0\) .

Решаем квадратное уравнение \(–x^2+x+20=0\) .

\(D = b^2–4ac = 12–4\cdot(–1)\cdot20 = 1+80 = 81\) .

Строим ось OX. Отметим полученные корни. Так как неравенство у нас нестрогое, то заштрихуем обозначения корней. Схематично строим параболу, расположена она ветвями вниз, так как коэффициент при х 2 отрицательный (он равен –1):

Определяем визуально положительные и отрицательные области. Сопоставляем с исходным неравенством (знак у нас ≤ 0). Неравенство будет верно при х ≤ – 4 и х ≥ 5. Записываем ответ: \(x\in(-\infty;-4]\cup[5;+\infty)\) .

*Указаны квадратные скобки – это обозначает, что границы интервала входят в решение. Ось OY мы на эскизах не указали, так как она в данной ситуации не играет никакой роли, то есть при построении эскиза ось OY строить необязательно.

По графику функции \(y=x^2-4x+3\) определите промежутки, на которых функция принимает отрицательные значения.

Источник