Способы решения квадратного уравнения через коэффициенты

Метод коэффициентов при решении квадратных уравнений

Дата публикации: 19.03.2018 2018-03-19

Статья просмотрена: 8531 раз

Библиографическое описание:

Прямостанов, С. М. Метод коэффициентов при решении квадратных уравнений / С. М. Прямостанов, Л. В. Лысогорова. — Текст : непосредственный // Юный ученый. — 2018. — № 1.1 (15.1). — С. 66-67. — URL: https://moluch.ru/young/archive/15/1165/ (дата обращения: 19.11.2021).

В статье описываются нестандартные способы решения квадратных уравнений.

Ключевые слова: уравнения, квадратные уравнения, способы решения квадратных уравнений.

В школьном курсе математики изучается решение полных квадратных уравнений с помощью дискриминанта, теоремы обратной теореме Виета, выделения полного квадрата. Однако, имеются и другие приемы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать квадратные уравнения:

1. Прием переброски старшего коэффициента

Коэффициент а умножается на с, таким образом «перебрасывается» к свободному члену. Получается следующее уравнение у 2 +ру+к=0, тогда

х₁=, х₂=.

Пример:2х 2 -9х-5=0

У 2 -9у-10=0. у₁=10, у₂=-1, тогда х₁==5, х₂=-0,5.

Данный метод удобен в том случае, когда после переброски корни находятся по т. Виета, или (а+в+с=0; а-в+с=0).

Пример: . При переброске старшего коэффициента получим уравнение . По теореме, обратной т.Виета, получим корни у₁=-3, у₂=-, тогда х₁==, х₂=.

2. Сумма коэффициентов квадратного уравнения: ах 2 +вх+с=0.

 Если выполняется условие а+в+с=0, то х₁=1, х₂=.

Пример: 21х 2 -3940х+3919=0. Так как 21-3940+3919=0 то, х₁=1, х₂=.

 Если а-в+с=0, то х₁=-1, х₂=.

Пример: х 2 +1357х+1356=0. Так как 1-1357+1356=0, то х₁=-1, х₂=-1356.

3. Метод решения квадратных уравнений вида: ах 2 ± (а 2 +1)х ± а=0.

 В уравнениях вида ах 2 +(а 2 +1)х+а=0 корни х₁=- а, х₂=-.

Пример: 25х 2 +626х+25=0, х₁=- 25, х₂= – .

 В уравнениях вида ах 2 — (а 2 +1)х+а=0 корни х₁= а, х₂=.

Пример: 13х 2 — 170х+13=0, х₁=13, х₂= .

 В уравнениях вида ах 2 +(а 2 +1)х- а=0 корни х₁=- а, х₂=.

Пример: 25х 2 +626х – 25=0, х₁=- 25, х₂= .

 В уравнениях вида ах 2 — (а 2 +1)х- а=0 корни х₁= а, х₂=.

Пример: 13х 2 — 170х-13=0, х₁=13, х₂= .

В уравнениях вида ах 2 -(а 2 +1)х+а=0 можно перебросить старший коэффициент, получим уравнение вида у 2 -(а 2 +1)у+а 2 =0. Сумма коэффициентов 1-(а 2 +1)+а 2 =0, следовательно у₁=1, у₂=а 2 , тогда х₁=, х₂=а.

Предлагаем решить следующие уравнения, используя рассмотренные приемы:

1. Решить квадратные уравнения с большими коэффициентами

1978х 2 – 1984х + 6=0

4х 2 + 11х + 7 = 0

319х 2 + 1988х +1669=0

1999х 2 + 2000х+1=0

839х 2 – 448х -391=0

345х 2 – 137х – 208=0

1. Решите уравнение

а) 20092008х 2 -20092009х+1 (Олимпиада 2009 г. для поступающих в СМАЛ)

б) x(x+ 1) = 2014·2015 (турнир Ломоносова)

1. Найди наиболее рациональным способом корни уравнения:

37х 2 +1370х – 37=0

38х 2 +3365 – 38=0

69х 2 — 4762х+69=0

69х 2 +4762х – 69=0

69х 2 +4762х – 69=0

Каждое из этих уравнений может быть решено без использования формулы корней квадратного уравнения; без громоздких вычислений; каждое решение уравнения почти устное.

Умение быстро и рационально решать квадратные уравнения необходимо для решения более сложных уравнений, например, дробно-рациональных уравнений, уравнений высших степеней, биквадратных уравнений, а в старшей школе тригонометрических, показательных и логарифмических уравнений.

1. Галицкий М.Л., Гольдман М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики:4-е изд.-М.: Просвещение, 1997.
2. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра. Учебник для 8 класса. М., Просвещение, 2001.
3. Штейнгауз В.Г. Математический калейдоскоп. – М.: Бюро «Квантум», 2005.
4. Энциклопедический словарь юного математика. – М.: Педагогика, 1985.
5. Лысогорова Л.В. Педагогические условия развития математических способностей младших школьников //Сибирский педагогический журнал. 2007. № 9. С. 228-233.
6. Зубова С.П., Лысогорова Л.В. Математические олимпиады в современных условиях. Самарский научный вестник. 2013. № 3 (4). С. 61-63.
7. Лысогорова Л.В., Кочетова Н.Г., Зубова С.П. Реализация принципа обучения математике на повышенном уровне трудности. В сборнике: Научные проблемы образования третьего тысячелетия VII Всероссийская научно-практическая конференция с международным участием. 2013. С. 109-114.

Ключевые слова

Похожие статьи

Метод «переброски» при решении квадратных уравнений

. Далее уравнение решают устно описанным выше способом, затем возвращаются к исходной переменной и находят корни уравнений и .

Старший коэффициент функции равен 2, а>0, ветви параболы направлены вверх, следовательно, y>0 при хϵ (-∞; 0,5)ᵁ(1; +∞)

7. Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

Квадратное уравнение — уравнение вида ax2+ bx + c = 0, где a, b, c — некоторые числа (a ≠ 0), x — неизвестное.

Берём первый коэффициент и умножаем его на свободный член: x2+2x-15=0. Корнями этого уравнения будут числа, произведение которых равно — 15, а сумма равна.

Оптимальные способы решения квадратных уравнений

Квадратным называется уравнение вида: ax2 +bx + c = 0, a 0, в котором х – переменная, а,b,с – любые числа. Числа а и b называются первым и вторым коэффициентами, а число с – свободным членом квадратного уравнения. В школьном курсе математики изучаются.

О корнях кубического уравнения | Статья в журнале.

Известно, что решение некоторых теоретических и практических задач, а также моделирование некоторых физических процессов требует определение границ отрезков (интервалов) в которых находятся корни кубического уравнения с действительными коэффициентами.

Линейные уравнения | Статья в журнале «Школьная педагогика»

Корнем уравнения называется, то значение неизвестного, при котором это уравнение

Решение многих уравнений сводится к решению линейных уравнений. уравнение, часть

решение уравнения, коэффициент уравнения, общее решение уравнения, решение, вид.

Использование тестов на уроках математики | Статья в журнале.

Если уравнение имеет более одного корня, то в ответе запишите сумму всех его корней.

Основные термины (генерируются автоматически): корень уравнения, промежуток, больший корень уравнения, сумма корней уравнения, содержащий корень уравнения, произведение.

Некоторые способы активизации мыслительной деятельности.

Способы решения квадратных уравнений. Графическое решение квадратного уравнения. Решение уравнений с использованием теоремы Виета.

квадратное уравнение, уравнение, обратная теорема, решение, исходное уравнение, ответ, помощь теоремы.

Методика преподавания темы «Линейное уравнение» в 7-м классе

Для такого уравнения не будет корней, если же а будет равняться 2, то уравнение приобретет другой вид — 0х = 0. При этом любое число, которое можно подставить вместо Х из множества действительных числен, будет рассматриваться как его корень.

Введение адаптивных методов обучения при решении уравнений.

решение простейших уравнений данного вида; анализ действий, необходимых для их

Способы решения квадратных уравнений различных видов школьные учебники по алгебре

Что же такое «квадратные уравнения»? Квадратное уравнение — уравнение вида ax2+ bx.

Источник

10 способов решения квадратных уравнений

Исследовательская работа по теме «10 способов решения квадратных уравнений»

Скачать:

Вложение	Размер
10_sposobov_resheniya_kvadratnykh_uravneniy.doc	748 КБ

Предварительный просмотр:

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 59»

10 способов решения квадратных уравнений

Выполнила: ученица 8А класса

МБОУ «СОШ № 59г.Барнаула

Захарова Людмила Владимировна,

учитель математики, МБОУ «СОШ № 59»

I. История развития квадратных уравнений ……………………………. 3

1. Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне……………………………. 4

2. Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения…………………5

3. Квадратные уравнения в Индии……………………………………………6

4. Квадратные уравнения у ал- Хорезми …………………………………….7

5. Квадратные уравнения в Европе XIII — XVII вв………………. 9

II. Способы решения квадратных уравнений ………………………. 11

1. Разложение левой части уравнения на множители………………. 12
2. Метод выделения полного квадрата.……………………….……. 13
3. Решение квадратных уравнений по формулам …………………..………14
4. Решение уравнений с использованием теоремы Виета……………. 16

5.Решение уравнений способом переброски»……………………………….18

1. Свойства коэффициентов квадратного уравнения……………………. 19

7.Графическое решение квадратного уравнен……………………..……….. 21

8.Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки……….. 24

9.Решение квадратных уравнений с помощью номограммы………………. 26

10. Геометрический способ решения квадратных уравнений……………….28

Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решить три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными методами, можно путем сравнений выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт»

Теория уравнений в школьном курсе алгебры занимает ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему школьного курса математики. Это связано с тем, что большинство жизненных задач сводится к решению различных видов уравнений.

В учебнике алгебры для 8 класса мы знакомимся с несколькими видами квадратных уравнений, и отрабатываем их решение по формулам. У меня возник вопрос «Существуют ли другие методы решения квадратных уравнений? Насколько сложны данные методы и можно ли ими пользоваться на практике?» Поэтому в этом учебном году я выбрала тему исследования связанную с квадратными уравнениями, в ходе работы она получила название «10 способов решения квадратных уравнений». Актуальность этой темы заключается в том, что на уроках алгебры, геометрии, физики мы очень часто встречаемся с решением квадратных уравнений. Поэтому каждый ученик должен уметь верно и рационально решать квадратные уравнения, это также может мне пригодится при решении более сложных задач, в том числе и в 9 классе при сдаче экзаменов.

Цель работы: научиться решать квадратные уравнения, изучить различные методы их решения.

Исходя из данной цели, мною были поставлены следующие задачи:

— изучить историю развития квадратных уравнений;

— рассмотреть стандартные и нестандартные методы решения квадратных уравнений;

— выявить наиболее удобные способы решения квадратных уравнений;

— научиться решать квадратные уравнения различными способами.

Объект исследования : квадратные уравнения.

Предмет исследования : с пособы решения квадратных уравнений.

Теоретические: изучение литературы по теме исследования;

Анализ: информации полученной при изучении литературы;

результатов полученных при решении квадратных уравнений различными способами.

Сравнение способов на рациональность их использования при решении квадратных уравнений.

Источник