Способы решения комплексных чисел

Комплексные числа

Известно, что квадратное уравнение с вещественными коэффициентами и отрицательным дискриминантом не имеет вещественных корней. В частности, уравнение
$$
z^2+1=0\nonumber
$$
не имеет корней на множестве \(\mathbb\). Возникает потребность расширить множество \(\mathbb\) так, чтобы на более широком множестве было разрешимо квадратное уравнение с любыми вещественными коэффициентами.

Определение комплексного числа.

Комплексными числами называют пары \((x,y)\) вещественных (действительных) чисел \(x\) и \(y\), для которых следующим образом определены понятие равенства и операции сложения и умножения.
Обозначим комплексное число \((x,y)\) буквой \(z\), то есть положим \(z=(x,y)\). Пусть \(z_1=(x_1,y_1)\), \(z_2=(x_2,y_2)\). Два комплексных числа \(z_1\) и \(z_2\) считаются равными тогда и только тогда, когда \(x_1=x_2\) и \(y_1=y_2\), то есть
$$
\<(x_1,y_1) = (x_2,y_2)\>\Leftrightarrow \\ \wedge\ \.\nonumber
$$

Сумма и произведение комплексных чисел \(z_1\) и \(z_2\) обозначаются соответственно \(z_1+z_2\) и \(z_1z_2\) и определяются формулами
$$
z_1+z_2=(x_1+x_2,y_1+y_2),\label
$$
$$
z_1z_2=(x_1x_2-y_1y_2,x_1y_2+x_2y_1).\label
$$

Из формул \eqref и \eqref следуют соотношения
$$
(x_1,0) + (x_2,0) = (x_1+x_2,0),\qquad (x_1,0)(x_2,0) = (x_1x_2,0),\nonumber
$$
которые показывают, что операции над комплексными числами вида \((x, 0)\) совпадают с операциями над действительными числами. Поэтому комплексное число вида \((x, 0)\) отождествляют с действительным числом \(x\), то есть полагают \((x,0) = x\).

Среди комплексных чисел особую роль играет число \((0,1)\), которое называют мнимой единицей и обозначают \(i\), то есть
$$
i = (0,1).\nonumber
$$
Вычислив произведение \(i\) на \(i\) по формуле \eqref, получим
$$
i\cdot i = (0,1)(0,1) = (-1,0) = -1,\nonumber
$$
то есть \(i^2 = -1\). Используя формулы \eqref, \eqref, находим
$$
i\cdot y = (0,1)(y,0) = (0,y),\qquad (x,y) = (x, 0) + (0,y) = x + iy.\nonumber
$$

Следовательно, любое комплексное число \(z= (x,y)\) можно записать в виде \(x + iy\), то есть
$$
z = x + iy.\label
$$

Запись комплексного числа \(z = (x,y)\) в виде \eqref называют алгебраической формой комплексного числа.

В записи \eqref число \(x\) называют действительной частью комплексного числа и обозначают \(Re\ z\), а число \(y\) — мнимой частью и обозначают \(Im\ z\), то есть
$$
Re\ z = x,\quad Im\ z = y. \nonumber
$$

Если \(x= 0\), то есть \(z = iy\), то такое комплексное число называют чисто мнимым.

Здесь и всюду в дальнейшем, если не оговорено противное, в записи \(x+iy\) числа \(x\) и \(y\) считаются действительными (вещественными).

Число \(\displaystyle\sqrt\) обозначают \(|z|\) и называют модулем комплексного числа \(z\), то есть
$$
|z|=|x + iy|=\sqrt.\label
$$
Заметим, что \(|z|\geq 0\) и \(\<|z| = 0\>\Leftrightarrow \\).

Комплексное число \(x-iy\) называют сопряженным комплексному числу \(z = x + iy\) и обозначают \(\overline\) то есть
$$
\overline = \overline= x-iy.\label
$$
Из равенств \eqref и \eqref следует, что
$$
|z| = |\overline|,\qquad z\overline=|z|^2,\label
$$
так как \(z\overline=(x+iy)(x-iy) = x^2 + y^2\).

Свойства операций.

Операции сложения и умножения комплексных чисел обладают свойствами:

1. коммутативности, то есть
   $$
   z_1+z_2=z_2+z_1,\qquad z_1z_2=z_2z_1;\nonumber
   $$
2. ассоциативности, то есть
   $$
   (z_1+z_2)+z_3= z_1 + (z_2+z_3),\qquad (z_1z_2)z_3=z_1(z_2z_3);\nonumber
   $$
3. дистрибутивности, то есть
   $$
   z_1(z_2 + z_3) = z_1z_2+z_1z_3.\nonumber
   $$

Эти свойства вытекают из определения операций сложения и умножения комплексных чисел и свойств операций для вещественных чисел.

Из этих свойств следует, что сложение и умножение комплексных чисел можно выполнять по правилам действий с многочленами, заменяя \(i\) на \(-1\). Например, равенство \eqref можно получить так:
$$
z_1z_2=(x_1+iy_1)(x_2+iy_2)=\\=x_1 x_2+i x_1 y_2+ix_2 y_1+i^2 y_1 y_2=x_1x_2-y_1y_2+i(x_1 y_2+x_2 y_1).\nonumber
$$
Множество комплексных чисел обозначают буквой \(\mathbb\). Числа \(0= 0 + 0\cdot i\) и \(1 = 1 + 0\cdot i\) на множестве \(\mathbb\) обладают такими же свойствами, какие они имеют на множестве \(\mathbb\), а именно: для любого \(z \in \mathbb\) справедливы равенства
$$
z+ 0 = z,\qquad z\cdot 1 = z.\nonumber
$$
На множестве \(\mathbb\) вычитание вводится как операция, обратная сложению. Для любых комплексных чисел \(z_1=_1+iy_1\) и \(z_2 = x_2 + iy_2\) существует, и притом только одно, число \(z\) такое, что
$$
z+z_2=z_1.\label
$$
Это число называют разностью чисел \(z_1\) и \(z_2\) и обозначают \(z_1-z_2\). В частности, разность \(0 -z\) обозначают \(-z\).

Из уравнения \eqref в силу правила равенства и определения суммы комплексных чисел следует, что
$$
z_1-z_2=(x_1-x_2)+i(y_1-y_2).\nonumber
$$

Деление на множестве \(\mathbb\) вводится как операция, обратная умножению, а частным от деления комплексного числа \(z_1=_1+iy_1\) на число \(z_2 = x_2 + iy_2\) называют такое число \(z\), которое удовлетворяет уравнению
$$
zz_2=z_1\label
$$
и обозначается \(z_1:z_2\) или \(\displaystyle \frac\).

Докажем, что уравнение \eqref для любых комплексных чисел \(z_1\) и \(z_2\), где \(z_2\neq 0\), имеет единственный корень.

\(\circ\) Умножая обе части уравнения \eqref на \(\overline_2\), получим в силу равенства \eqref уравнение
$$
z|z_2|^2 = z_1\overline_2,\label
$$
которое равносильно уравнению \eqref, так как \(\overline_2\neq 0\).

Эту формулу можно не запоминать — важно знать, что она получается умножением числителя и знаменателя на число, сопряженное со знаменателем.

Найти частное \(\displaystyle \frac\), если \(z_1=5-2i,\ z_2=3 + 4i\).

Источник

Комплексные числа

Алгебраическая форма записи комплексных чисел

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Комплексно сопряженные числа

Модуль комплексного числа

Деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Изображение комплексных чисел радиус-векторами на координатной плоскости

Аргумент комплексного числа

Тригонометрическая форма записи комплексного числа

Формула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа

Умножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме

Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа

Алгебраическая форма записи комплексных чисел

Пусть x и y — произвольные вещественные числа.

Множеством комплексных чисел называют множество всевозможных пар (x, y) вещественных чисел, на котором определены операции сложения, вычитания и умножения по правилам, описанным чуть ниже.

Множество комплексных чисел является расширением множества вещественных чисел, поскольку множество вещественных чисел содержится в нём в виде пар (x, 0) .

Комплексные числа, заданные парами (0, y) , называют чисто мнимыми числами .

Для комплексных чисел существует несколько форм записи: алгебраическая форма записи, тригонометрическая форма записи и экспоненциальная (показательная) форма записи .

Алгебраическая форма — это такая форма записи комплексных чисел, при которой комплексное число z, заданное парой вещественных чисел (x, y) , записывается в виде

z = x + i y .

(1)

где использован символ i , называемый мнимой единицей .

Число x называют вещественной (реальной) частью комплексного числа z = x + i y и обозначают Re z .

Число y называют мнимой частью комплексного числа z = x + i y и обозначают Im z .

Комплексные числа, у которых Im z = 0 , являются вещественными числами .

Комплексные числа, у которых Re z = 0 , являются чисто мнимыми числами .

Тригонометрическая и экспоненциальная формы записи комплексных чисел будут изложены чуть позже.

Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Умножение комплексных чисел z₁ = x₁ + i y₁ и z₂ = x₂ + i y₂ , так же, как и операции сложения и вычитания, осуществляется по правилам умножения двучленов (многочленов), однако при этом учитывается важнейшее равенство, имеющее вид:

i 2 = – 1 .

(2)

По этой причине

Комплексно сопряженные числа

Два комплексных числа z = x + iy и у которых вещественные части одинаковые, а мнимые части отличаются знаком, называются комплексно сопряжёнными числами .

Операция перехода от комплексного числа к комплексно сопряженному с ним числу называется операцией комплексного сопряжения , обозначается горизонтальной чертой над комплексным числом и удовлетворяет следующим свойствам:

Модуль комплексного числа

Модулем комплексного числа z = x + i y называют вещественное число, обозначаемое | z | и определенное по формуле

Для произвольного комплексного числа z справедливо равенство:

а для произвольных комплексных чисел z₁ и z₂ справедливы неравенства:

Замечание . Если z — вещественное число, то его модуль | z | равен его абсолютной величине.

Деление комплексных чисел, записанных в алгебраической форме

Деление комплексного числа z₁ = x₁ + i y₁ на отличное от нуля комплексное число z₂ = x₂ + i y₂ осуществляется по формуле

Используя обозначения модуля комплексного числа и комплексного сопряжения, частное от деления комплексных чисел можно представить в следующем виде:

Деление на нуль запрещено.

Изображение комплексных чисел радиус-векторами координатной плоскости

Рассмотрим плоскость с заданной на ней прямоугольной декартовой системой координат Oxy и напомним, что радиус-вектором на плоскости называют вектор, начало которого совпадает с началом системы координат.

Назовем рассматриваемую плоскость комплексной плоскостью , и будем представлять комплексное число z = x + i y радиус–вектором с координатами (x , y).

Назовем ось абсцисс Ox вещественной осью , а ось ординат Oy – мнимой осью .

При таком представлении комплексных чисел сумме комплексных чисел соответствует сумма радиус-векторов, а произведению комплексного числа на вещественное число соответствует произведение радиус–вектора на это число.

Аргумент комплексного числа

Рассмотрим радиус–вектор произвольного, но отличного от нуля, комплексного числа z .

Аргументом комплексного числа z называют угол φ между положительным направлением вещественной оси и радиус-вектором z .

Аргумент комплексного числа z считают положительным, если поворот от положительного направления вещественной оси к радиус-вектору z происходит против часовой стрелки, и отрицательным — в случае поворота по часовой стрелке (см. рис.).

Считается, что комплексное число нуль аргумента не имеет.

Поскольку аргумент любого комплексного числа определяется с точностью до слагаемого 2kπ , где k — произвольное целое число, то вводится, главное значение аргумента , обозначаемое arg z и удовлетворяющее неравенствам:

Тогда оказывается справедливым равенство:

Если для комплексного числа z = x + i y нам известны его модуль r = | z | и его аргумент φ , то мы можем найти вещественную и мнимую части по формулам

(3)

Если же комплексное число z = x + i y задано в алгебраической форме, т.е. нам известны числа x и y , то модуль этого числа, конечно же, определяется по формуле

(4)

а аргумент определяется в соответствии со следующей Таблицей 1.

Для того, чтобы не загромождать запись, условимся, не оговаривая этого особо, символом k обозначать в Таблице 1 произвольное целое число.

Таблица 1. – Формулы для определения аргумента числа z = x + i y

y z

Расположение числа z	Знаки x и y	Главное значение аргумента	Аргумент	Примеры
Положительная вещественная полуось	0	φ = 2kπ
Первый квадрант
Положительная мнимая полуось
Второй квадрант
Отрицательная вещественная полуось	Положительная вещественная полуось
Знаки x и y
Главное значение аргумента	0
Аргумент	φ = 2kπ
Примеры

Расположение числа z	Первый квадрант
Знаки x и y
Главное значение аргумента
Аргумент
Примеры

Расположение числа z	Положительная мнимая полуось
Знаки x и y
Главное значение аргумента
Аргумент
Примеры

Расположение числа z	Второй квадрант
Знаки x и y
Главное значение аргумента
Аргумент
Примеры

x z

x z

y z

Положительная вещественная полуось

Главное значение аргумента:

Расположение числа z :

Главное значение аргумента:

Расположение числа z :

Положительная мнимая полуось

Главное значение аргумента:

Расположение числа z :

Главное значение аргумента:

Расположение числа z :

Отрицательная вещественная полуось

Отрицательная мнимая полуось

x z = x + i y может быть записано в виде

Расположение числа z	Отрицательная вещественная полуось
Знаки x и y	Третий квадрант
Знаки x и y	Отрицательная мнимая полуось
Знаки x и y	Четвёртый квадрант
Знаки x и y

z = r (cos φ + i sin φ) ,

(5)

где r и φ — модуль и аргумент этого числа, соответственно, причем модуль удовлетворяет неравенству r > 0 .

Запись комплексного числа в форме (5) называют тригонометрической формой записи комплексного числа .

Формула Эйлера. Экспоненциальная форма записи комплексного числа

В курсе «Теория функций комплексного переменного», который студенты изучают в высших учебных заведениях, доказывается важная формула, называемая формулой Эйлера :

cos φ + i sin φ = e iφ .

(6)

Из формулы Эйлера (6) и тригонометрической формы записи комплексного числа (5) вытекает, что любое отличное от нуля комплексное число z = x + i y может быть записано в виде

z = r e iφ ,

(7)

где r и φ — модуль и аргумент этого числа, соответственно, причем модуль удовлетворяет неравенству r > 0 .

Запись комплексного числа в форме (7) называют экспоненциальной (показательной) формой записи комплексного числа .

Из формулы (7) вытекают, в частности, следующие равенства:

а из формул (4) и (6) следует, что модуль комплексного числа

или, что то же самое, числа e iφ , при любом значении φ равен 1.

Умножение, деление и возведение в натуральную степень комплексных чисел, записанных в экспоненциальной форме

Экспоненциальная запись комплексного числа очень удобна для выполнения операций умножения, деления и возведения в натуральную степень комплексных чисел.

Действительно, умножение и деление двух произвольных комплексных чисел и записанных в экспоненциальной форме, осуществляется по формулам

Таким образом, при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

При делении двух комплексных чисел модуль их частного равен частному их модулей, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

Возведение комплексного числа z = r e iφ в натуральную степень осуществляется по формуле

Другими словами, при возведении комплексного числа в степень, являющуюся натуральным числом, модуль числа возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.

Извлечение корня натуральной степени из комплексного числа

Пусть — произвольное комплексное число, отличное от нуля.

Корнем n — ой степени из числа z₀ , где называют такое комплексное число z = r e iφ , которое является решением уравнения

z n = z0 .

(8)

Для того, чтобы решить уравнение (8), перепишем его в виде

и заметим, что два комплексных числа, записанных в экспоненциальной форме, равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а разность аргументов равна 2kπ , где k — произвольное целое число. По этой причине справедливы равенства

следствием которых являются равенства

(9)

Из формул (9) вытекает, что уравнение (8) имеет n различных корней

(10)

причем на комплексной плоскости концы радиус-векторов z_k при k = 0 , . , n – 1 располагаются в вершинах правильного n — угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в начале координат.

Замечание . В случае n = 2 уравнение (8) имеет два различных корня z₁ и z₂ , отличающихся знаком:

Пример 1 . Найти все корни уравнения

то по формуле (10) получаем:

Пример 2 . Решить уравнение

Решение . Поскольку дискриминант этого квадратного уравнения отрицателен, то вещественных корней оно не имеет. Для того, чтобы найти комплексные корни, выделим, как и в вещественном случае, полный квадрат:

Источник