Способы решения иррациональных уравнений конспект

Содержание

План-конспект урока в 10-м классе «Способы решения иррациональных уравнений»
Опорный конспект «Решение иррациональных уравнений»
Конспект урока «Решение иррациональных уравнений»

План-конспект урока в 10-м классе «Способы решения иррациональных уравнений»

План-конспект урока в 10-м классе по теме:

« Способы решения иррациональных уравнений»

обобщение знаний учеников по данной теме;

демонстрация различных методов решения иррациональных уравнений;

показ возможности решения иррациональных уравнений на основе исследования;

формирование навыка самообразования, самоорганизации, умения анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы;

воспитание самостоятельности, умения выслушивать других и умения общаться в группе;

повышение интереса к предмету.

Форма проведения: семинарское занятие.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор.

Сегодня мы поговорим об иррациональных уравнениях.

На доске приведены примеры уравнений иррациональных и не являющихся иррациональными.

Назовите те уравнения, которые являются иррациональными.

Дайте определения иррационального уравнения.

Ответы учеников.(иррациональными являются уравнения 1), 3), 4), 6). Определение иррационального уравнения:

Иррациональным называют уравнение, в котором переменная содержится под знаком радикала или под знаком возведения в дробную степень.)

На предыдущих уроках мы рассматривали решение иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в степень корня (в основном в квадрат). При возведении частей уравнения в чётную степень мы получаем уравнение-следствие, решение которого приводит иногда к появлению посторонних корней. И тогда обязательной частью решения уравнения является проверка корней или нахождение области определения уравнения.

Однако при решении иррациональных уравнений не всегда следует сразу приступать к «слепому» применению известного алгоритма решения.

В заданиях Единого государственного экзамена имеется довольно много уравнений, при решении которых необходимо выбрать такой способ решения, который позволяет решить уравнения проще, быстрее. Поэтому необходимо знать и другие методы решения иррациональных уравнений, с некоторыми из них мы сегодня познакомимся.

При подготовке к уроку некоторые ученики получили листы-рекомендации, в которых рассматриваются основные приёмы решения иррациональных уравнений. Ребята ознакомились с предложенными решениями и подобрали свои уравнения, решить которые предстоит нам на уроке.

II .Выступление учеников

Решение иррационального уравнения методом возведения обеих частей уравнения в степень корня.

Решим данное уравнение традиционным способом – методом возведения обеих частей в квадрат. Слагаемое, содержащее квадратный корень оставим в левой части уравнения, а х перенесём в правую часть.

Возведём обе части уравнения в квадрат:

х + 4 = 4 – 28х + 49

Перенесём все члены уравнения в одну часть, получаем квадратное уравнение

Корни этого уравнения х = 5 и х = 2,25

Решая это уравнение мы возводили обе части уравнения в квадрат. При возведении обеих частей уравнения в любую четную степень получается уравнение, являющееся не равносильное данному, а являющееся следствием исходного, следовательно, при этом возможно появление посторонних корней. Поэтому необходимым условием решения является проверка корней.

Если х = 5, то = 10 — 7

х = 5 – корень уравнения

Если х = 2,25, то = 4,5 — 7

2,5 = — 2,5 – неверно

х = 2,25 посторонний корень

Предлагаю решить в классе уравнение:

2 ученик. Решение уравнения методом исследования области определения уравнения.

Пусть дано уравнение: — = –

Возведение обеих частей в квадрат приведёт нас к громоздким вычислениям и трате времени на экзамене.

Воспользуемся методом исследования области допустимых значений заданного уравнения.

Область допустимых значений данного уравнения определяется системой неравенств х=2

Данное уравнение определено только при х = 2.

Проверим, является ли число 2 корнем уравнения:

Попробуйте решить уравнение: = х — 2

3 ученик. Использование свойства монотонности функции.

Я хочу рассказать об уравнениях, решение которых основывается на свойстве монотонности функций. Существуют теоремы:

Теорема 1. Пусть уравнение имеет вид: f ( x ) = с, где f ( x ) –монотонно возрастающая (убывающая) функция, а с – число, входящее область значений функции f ( x ), тогда уравнение f ( x ) = с имеет единственный корень.

Теорема 2. Пусть уравнение имеет вид f ( x )= g ( x ), где функции f ( x ) и g ( x ) «встречно монотонны», т.е. f ( x ) возрастает, а g ( x ) убывает или наоборот, то такое уравнение имеет не более одного корня.

Если удается заметить эти свойства функций в уравнении или привести уравнение к таким видам, и при этом нетрудно угадать корень уравнения, то он и будет единственным решением данного уравнения.

Пример для изучения

Пусть дано уравнение: + = 6

ОДЗ уравнения: х+60; х

Функции = и = являются возрастающими на промежутке [- 6; , поэтому функция у = + так же является возрастающей на этом промежутке, и следовательно принимает любое значение, в том числе и 6, только один раз. Значит, уравнение имеет единственный корень.

Найдём этот корень подбором.

Проверкой убеждаемся, что число 2 является корнем данного уравнения.

Я предлагаю решить на уроке уравнение:

Это уравнение можно попытаться решить возведением обеих частей в квадрат (трижды!). Однако при этом получится уравнение четвертой степени.

Попробуйте использовать свойства монотонности функций, входящих в уравнение.

4 ученик Метод введения новой перменной.

Удобным средством решения иррациональных уравнений иногда является метод введения новой переменной, или «метод замены». Метод обычно применяется в случае, если в уравнении неоднократно встречается некоторое выражение, зависящее от неизвестной величины. Тогда имеет смысл обозначить это выражение какой-нибудь новой буквой и попытаться решить уравнение сначала относительно введенной неизвестной, а потом уже найти исходную неизвестную.

Пример для изучения:

ОДЗ уравнения: х х

Возведём обе части уравнения в 5-ю степень. При возведении обеих частей уравнения в нечётную степень получаем уравнение, равносильное данному, следовательно, не требуется проверка найденных корней. Получаем

В классе я предлагаю решить уравнение:

5 ученик Метод оценки частей уравнения .

Рассмотрим уравнение: + = 14х —

Запишем уравнение в виде + = -( +49)

Так как левая часть данного уравнения неотрицательная, а

правая — неположительная при любых допустимых значениях x ,

то равенство возможно только в том случае, когда они обе части уравнения

равны нулю. Легко убедиться, что это возможно только при х = 7.

Для решения в классе предлагаю уравнение:

III . Работа учеников в группах.

После прослушивания выступающих начинается работа учеников в группах по решению предложенных уравнений.

Учитель контролирует работу групп, даёт консультации.

IV . Домашнее задание № 1712 – 1719 (а) стр 253 задачника

Источник

Опорный конспект «Решение иррациональных уравнений»

Тема занятия «Решение иррациональных уравнений»

Определение: Иррациональным уравнением называется уравнение, содержащее неизвестную под знаком радикала, а также под знаком возведения в дробную степень.

Основная цель при решении иррациональных уравнений состоит в том, чтобы освободиться от знака радикала и получить рациональное уравнение.

При решении иррациональных уравнений применяют следующие основные методы :

• возведение в степень обеих частей уравнения;

введение новой переменной;

разложение на множители.

Внимание! Перед решением любого иррационального уравнения нужно найти область допустимых значений (под знаком корня чётной степени могут стоять только положительные числа или равные нулю): = a , то f ( x )>=0. Либо сделать проверку в конце решения.

1. Метод возведения в степень обеих частей уравнения:

а) если иррациональное уравнение содержит только один радикал, то нужно
записать так, чтобы в одной части знака равенства оказался только этот радикал.
Затем обе части уравнения возводят в одну и ту же степень, чтобы получилось
рациональное уравнение;

б) если в иррациональном уравнении содержится два или более радикала, то
сначала изолируется один из радикалов, затем обе части уравнения возводят в
одну и ту же степень, и повторяют операцию возведения в степень до тех пор,
пока не получится рациональное уравнение.

3) При возведении обеих частей уравнения в одну и ту же степень получается уравнение, не равносильное данному. Поэтому необходимо проверить, удовлетворяют или не удовлетворяют найденные значения переменной данному уравнению. Проверка является составной частью решения иррациональных уравнений, целью которой является исключение посторонних корней уравнения.

Ответ: х=3

Ответ х=2

2. Метод введения новой переменной

Данный метод, как правило, применяется в том случае, когда в уравнении неоднократно встречается некоторое выражение, зависящее от неизвестной величины. Тогда имеет смысл принять это выражение за новую переменную и решить уравнение сначала относительно введенной неизвестной, а потом найти исходящую величину.

Пример №9 Решите уравнение

3. Метод разложения на множители

Для решения иррациональных уравнений данным методом следует пользоваться правилом:

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей, входящих в это произведение, равен нулю, а остальные при этом имеют смысл.

4. Самостоятельно решите иррациональные уравнения, предварительно найдите ОДЗ:

Источник

Конспект урока «Решение иррациональных уравнений»

Урок алгебра 11 класс Михальчук Н.Л. учитель математики НИСЦ РО «Восток» для одаренных детей

Тема: Решение иррациональных уравнений

Цель: обеспечение качества усвоения учащимися образовательного стандарта по теме «Решение иррациональных уравнений».

рассмотреть понятие «иррациональное уравнение»;

рассмотреть основные и дополнительные методы решения иррациональных
уравнений;

способствовать сознательному усвоению учащимися способов решения
иррациональных уравнений.

Организационный момент (2 мин) Приветствие

Вашему вниманию предлагаем урок-лекцию по теме «Решение иррациональных уравнений», предназначенную для изучения учащимися 9-10 классов и для обобщения, дополнительного осмысления и обогащения знаний учащимися 11 классов. Решение иррациональных уравнений, по мнению учащихся и педагогов обычно вызывает затруднения. Обращение к данной теме при подготовке к ЕНТ, поступлению ВУЗы является актуальным и целесообразным. Во время занятия мы рассмотрим не только основные методы решения иррациональных уравнений, но и дополнительные. Прежде, чем рассмотреть способы и приемы решения данных уравнений, обратимся к определению иррационального уравнения.

Определение: Иррациональным уравнением называется уравнение, содержащее неизвестную под знаком радикала, а также под знаком возведения в дробную степень.

При решении иррациональных уравнений применяют следующие основные методы: • возведение в степень обеих частей уравнения;

введение новой переменной;

разложение на множители.

Кроме основных методов следует рассмотреть дополнительные методы решения иррациональных уравнений:

умножение на сопряженное;

переход к уравнению с модулем;

метод «пристального взгляда» (метод анализа уравнения);

использование монотонности функции.

Прежде чем приступить к решению иррационального уравнения, используя вышеперечисленные методы, необходимо обратить внимание на вид данного уравнения. Это позволяет определить, есть ли смысл решать уравнение вообще, и если да, то каким способом его можно решить.

К примеру, нет смысла приступать к решению уравнения

арифметического корня не может быть отрицательным числом.

Рассмотрим каждый из основных методов.

В данном случае проверка оказалась довольно простой. Но могут встретиться уравнения, корни которых иррациональны, и проверка приводит к очень сложным вычислениям. В таких случаях лучше решать простейшие иррациональные уравнения с помощью равносильных преобразований по следующей схеме:

Источник