Способы решения банковских задач егэ

Мастер-класс «Решение банковских задач ЕГЭ»
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс)

В последние годы большую социальную значимость имеет финансовая и экономическая грамотность молодёжи. Имеено поэтому одной из особенностей ЕГЭ по математике профильного уровня с 2015 года является влючение практико-оринтированной задачи. на мастер-классе рассмотрены 4 основных типа задач на проценты.

Скачать:

Вложение	Размер
master-klass.docx	887.5 КБ

Предварительный просмотр:

МКОУ «Калиновская средняя общеобразовательная школа»

Хомутовского района Курской области

Региональная «Неделя математики — 2017»

19 октября 2017 года

Целевая аудитория : педагоги школ района, области.

Материалы и оборудование : ноутбук, проектор, презентация, тексты задач.

1. Актуальность обучения решению задач экономического содержания.
2. Критерии оценивания задачи №17.
3. Метод математического моделирования.
4. Классификация банковских задач.
5. Решение типовых задач (практическая работа).

Добрый день, уважаемые коллеги! Меня зовут Дрюкова Оксана Михайловна, я учитель математики Калиновской средней школы. В последние годы большую социальную значимость набирает финансовая и экономическая грамотность молодёжи. Это и организованный Центральным банком Российской Федерации проект «Онлайн уроки финансовой грамотности», и Всероссийский экономический диктант «Сильная экономика – процветающая Россия!», организованный Вольным экономическим обществом России, в котором мои ученики приняли участие 12 октября. Кроме того, Концепция математического образования призывает нас обеспечивать необходимое стране число выпускников, математическая подготовка которых достаточна для продолжения образования в различных направлениях и для практической деятельности, включая преподавание математики, математические исследования, работу в сфере информационных технологий и др.

Именно поэтому одной из особенностей вариантов ЕГЭ по математике профильного уровня с 2015 году является включение практико-ориентированной задачи. Эта задача направлена на применение методов математики при решении содержательных и прикладных задач, в том числе социально-экономического содержания. У учащихся при этом проверяется умение выполнять действия с целыми числами, действий со степенями с натуральным показателем, знаний и умений обращаться с процентами, в том числе и сложными «банковскими» процентами.

Использование задач на проценты раньше также практиковалось в проведении итоговой аттестации. Их достаточно часто включали в варианты как школьных выпускных экзаменов, так и вступительных экзаменов в различные вузы страны. И вот по истечении многих лет задачи на проценты вновь входят в состав заданий ЕГЭ по математике.

Сегодня я остановлюсь на вопросах методики обучения учащихся умению решать задачи с социально-экономическим содержанием при подготовке к ЕГЭ по математике, а именно — решению банковских задач. Выбор темы выпал не случайно, поскольку, на мой взгляд, такие задачи чаще встречаются на экзаменах, к тому же я сама имею образование по специальности «финансы и кредит».

В первую очередь знакомимся с критериями оценивания задачи №17.

Обоснованно получен верный ответ

Верно построена математическая модель,

решение сведено к исследованию этой модели

и получен результат:

— неверный ответ из-за вычислительной ошибки;

— верный ответ, но решение недостаточно обосновано

Верно построена математическая модель,

решение сведено к исследованию этой модели,

при этом решение может быть не завершено

Решение не соответствует ни одному из критериев,

При обучении решению задач с социально экономическим содержанием передо мной стояла методическая задача – обучить учащихся использованию математического моделирования». Необходимо учащимся подчеркнуть, что процесс решения задачи представляет собой такую систему преобразований условий задачи, при которых достигается требуемое искомое.

Метод математического моделирования содержит следующие этапы:

1) построение математической модели объекта (явления, процесса);

2)исследование полученной модели, т.е. решение полученной математической задачи средствами математики;

3) интерпретация полученного решения с точки зрения исходной ситуации.

Среди задач с социально-экономическим содержанием важное место занимают так называемые «банковские задачи», так как при ее решении можно столкнуться с различными банковскими операциями (вкладами, ссудами). Такие задачи вызывают у учащихся большие трудности. Это объясняется тем, что в учебниках по математике не рассматриваются такие понятия, как простые и сложные проценты, и не вводятся формулы их вычисления. Предполагается, что учащиеся должны решать эти задачи, опираясь не на формулы, а на понимание понятия процента и умения решать основные три вида задач на проценты.

Итак, для начала выводим основную формулу.

Вспомним, как увеличить число на некоторое количество a%: А (1 + ).

Если этот процесс повторяется, то А (1 + ) n .

Итак, пусть А- сумма кредита, а %- процент по кредиту, р=1 + это коэффициент, на который умножается остаток долга или коэффициент приращения, S – ежегодная выплата (транш) банку.

Остаток банку через 1 год: Ар- S.

Остаток банку через 2 года: (Ар- S)р – S= Ар 2 – S (p+1).

Остаток банку через 3 года: (Ар 2 — Sр-S)р – S= Ар 3 – S (p 2 +p+1).

Остаток банку через 4 года: Ар 4 – S (p 3 + p 2 +p+1)= Ар 4 – S (p+1)(p 2 +1).

Остаток банку через n лет: Ар n – S (p n-1 + p n- 2 +…+ p+1)= Ар n – S , где (p n-1 + p n- 2 +…+ p+1) можно преобразовать по формуле суммы геометрической прогрессии: b 1 =1, q=p.

Понятие этой схемы помогает учащимся решать задачи.

Банковские задачи можно классифицировать на следующие типы:

Источник

Электронный образовательный ресурс «Краткая теория решения банковских задач (математика профильного уровня, ЕГЭ №17)»

Краткая теория решения банковских задач

(математика профильного уровня, ЕГЭ №17)

Задачи на дифференцированные платежи

Одной из основных целей при решении «банковских» задач является то, что нужно выбрать к какому виду относится данная задача. Для этого нужно выделить «ключевую» фразу: долг уменьшается на одну и ту же величину, каждый раз клиент выплачивает набежавшие проценты за период и 1/ n часть основного долга( n — срок, на который берется кредит).

Чаще всего периодом является месяц, причем

-если кредит взят на 1 год, то выплачиваются проценты за период и 1/12 часть основного долга;

— если кредит взят на 2 года, то выплачивается 1/24 часть основного долга.

Получается, что наибольший платеж приходится на первый месяц и разумеется, наименьший платеж – на последний месяц. Можно легко вычислить, как будет погашаться основной долг. Надо сумму кредита разделить на число месяцев. Например, если кредит составляет 1200000 рублей на два года, то получим 1200000:24 = 50000 руб. ежемесячное погашение основного долга. Но к этой сумме нужно еще прибавить набежавшие проценты. Если кредит взят под 10% годовых, то проценты будут 1200000 · 0,1 = 120000 рублей. Отсюда получим сумму наибольшего платежа 50000 + 120000 = 170000 рублей.

А- первоначальная сумма кредита (основной долг)

n -период (количество месяцев , лет)

р- проценты (годовая ставка)

S — сумма платежей за определенный период

Запомнить следующие формулы

Нахождение суммы , выплаченных

Нахождение количества месяцев

Нахождение процентной ставки

Нахождение первоначальной суммы кредита

1.Для того, чтобы найти сумму всех процентов выплаченных по кредиту, нужно найти сумму в столбике «Набежавшие %».

2.Прибыль банка будет равна сумме выплаченных процентов.

3.Для того , чтобы найти сумму всех выплат по кредиту, нужно найти сумму в столбике «Платежи» (Можно сделать проще: к«Набежавшим %» прибавить основной долг.

4. Для того, чтобы найти наибольший или наименьший платеж, нужно знать, что максимальный платеж это первый платеж, а минимальный платеж это последний платеж.

Анна взяла в кредит 12 млн. руб. на 24 месяца. По договору она должна возвращать часть денег в конце каждого месяца. Каждый месяц общая сумма долга должна возрастать на 3%, а затем уменьшаться на сумму, оплаченной Анной банку в конце месяца. Суммы, выплачиваемые Анной, подбираются так, что сумма долга уменьшалась равномерно, т.е. на одну и ту же величину каждый месяц. На сколько рублей больше Анна вернет банку в течение первого года кредитования по сравнению со вторым годом?

1.Найдем сумму процентов за первый год по сумме третьего столбца «Набежавший %»

Ар + + + ——+ = A р (1+++——-+)= = = A p ∙= = =3,33 за первый год.

24+23+22+——+13 сумма арифметической прогрессии (=)

2 найдем, используя формулу S %== (за 24 месяца)

=4,5-3,33=1,17 за второй год.

2.Задачи на аннуитетные платежи

Аннуитетные платежи – это гашение долга равными порциями, в эту сумму входит набежавший процент за определенный период времени и плюс гашение основного долга . В результате должна получиться одна и та же сумма. Этот кредит не очень выгоден, т.к. основной долг погашается очень медленно. В первую очередь снимают набежавшие проценты, а во вторую очередь часть основного долга, дополняющую до некоторой суммы , поэтому проценты погашаются большие. Но банки должны предупреждать об этом клиентов и клиент выбирает вид платежа.

Аннуитетный платеж имеет и плюсы, т.к. клиент платит каждый месяц некоторую умеренную сумму, например 3000 рублей, а при дифференцированном — в первый месяц 5000 рублей, а потом постепенно уменьшается.

Источник

Способы решения банковских задач егэ

Антон взял кредит в банке на срок 6 месяцев. В конце каждого месяца общая сумма оставшегося долга увеличивается на одно и то же число процентов (месячную процентную ставку), а затем уменьшается на сумму, уплаченную Антоном. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину. Общая сумма выплат превысила сумму кредита на 63%. Найдите месячную процентную ставку.

Пусть сумма кредита у.е., процентная ставка банка %.

Предложение «Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину» означает: Антон взятую сумму возвращал в банк равными долями. Сумма, образованная применением процентной ставки, составляет:

(у.е.)

Общая сумма, выплаченная Антоном за 6 месяцев: (у.е.). А эта сумма по условию задачи равна у.е. Решим уравнение:

«Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину»

«Антон взятую сумму возвращал в банк равными долями.»

При этом решение верное, т.к. для составления формулы использована первая фраза.

S=90тр срок выплаты 3 месяца, ставка 10%

Размер кредита после 1 месяца 99. Что бы сумма долга уменьшалась равномерно (равными долями по 30), первая выплата должна составлять 39

Сумма долга уменьшается равномерно(равными долями по 30тр). Выплаты не равномерны.

Антон, спорить с Антоном по поводу задачи про Антона дело неблагодарное. и всё же

В решении нигде не говорится о том, что выплаты были одинаковыми.

Сказано, что «Антон ВЗЯТУЮ сумму возвращал в банк равными долями.»

В Вашем примере сумму взятую у банка в размере 90тр Антон возвращал равными долями (по 30тр)

Здравствуйте! Необходимо всё это описывать, если пользоваться формулой Дмитрия Гущина?

Если пользоваться формулой Дмитрия Гущина, могут поставить два балла из трех за недостаточное обоснование.

Жанна взяла в банке в кредит 1,2 млн рублей на срок 24 месяца. По договору Жанна должна вносить в банк часть денег в конце каждого месяца. Каждый месяц общая сумма долга возрастает на 2%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Жанной банку в конце месяца. Суммы, выплачиваемые Жанной, подбираются так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый месяц. Какую сумму Жанна выплатит банку в течение первого года кредитования?

Пусть B_i — размер долга Жанны на конец месяца i, X_i — платеж Жанны в конце месяца i. Мы знаем, что имеет место соотношение B_i = 1,02B_{i − 1} − X_i. Кроме того, мы знаем, что последовательность (B_i) является арифметической прогрессией. При этом B₀ = 1200 тыс. руб., а B₂₄ = 0, так как в конце срока кредитования долг Жанны должен быть равен нулю. Этих двух точек достаточно, чтобы узнать всю последовательность B_i: Значит,

Поскольку X_i линейно зависит от i, последовательность X_i также является арифметической прогрессией. Значит,

тыс. рублей.

Ответ: 822 тыс. рублей.

Приведём другое решение.

Ежемесячно Жанна возвращает банку по 1,2 млн : 24 = 50 тыс. руб. тела долга и выплачивает равномерно уменьшающуюся от максимального значения до нуля сумму процентов за пользование кредитом. За первый месяц это 0,02 · 1,2 млн = 24 тыс. руб. За второй месяц на 1/24 меньше то есть 23 тыс. руб., затем 22 тыс. руб. и так далее. Поэтому выплаты за 12 первых месяцев составят арифметическую прогрессию с первым членом 74, последним — 63 тыс. руб. Ее сумма равна 12(74 + 63)/2 = 822 тыс. руб.

1 марта 2010 года Аркадий взял в банке кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 1 марта каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Аркадий переводит в банк платеж. Весь долг Аркадий выплатил за 3 платежа, причем второй платеж оказался в два раза больше первого, а третий – в три раза больше первого. Сколько рублей взял в кредит Аркадий, если за три года он выплатил банку 2 395 800 рублей?

Если первый платеж банку Аркадия составил x рублей, то второй составит 2x рублей, а третий — 3x рублей, всего 6x рублей, что равно 2 395 800, то есть x = 2 395 800 : 6 = 399 300. Отсюда: 2x = 798 600, 3x = 1 197 900.

Пусть в банке Аркадий взял в кредит S рублей.

Тогда его долг 01.03.2011 составил 1,1S рублей. После первого перечисления Аркадия долг снизился до (1,1S − 399 300) руб.

01.03.2012 банк начислил проценты на долг Аркадия. Долг Аркадия стал (1,1S − 399 300) · 1,1 = 1,21S − 439 230 (руб.)

Аркадий перевел в банк 798 600 руб. Долг снизился до 1,21S − 439230 − 798600 = 1,21S − 1237830 (руб.)

01.03.2013 банк начислил проценты на оставшийся долг Аркадия. Долг Аркадия стал (1,21S − 1237830) · 1,1 = 1,331S − 1 361 613 (руб.)

Аркадий перевел в банк 1 197 900 руб. Кредит погашен полностью, долга у Аркадия нет.

Значит, 1,331S − 1 361 613 − 1 197 900 = 0 ⇔ 1,331S = 2 559 513 ⇔ S = 1 923 000.

Ответ: 1 923 000 рублей.

В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на 31% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 69 690 821 рубль.

Сколько рублей было взято в банке, если известно, что он был полностью погашен тремя равными платежами ( то есть за три года)?

Если искомая сумма составляет S рублей, то при коэффициенте ежегодной процентной ставки q, равной 1,31, фиксированная сумма которую клиент ежегодно должен возвращать в банк в течение 3 лет, составляет откуда

Заметим, что 69 690 821 кратно Действительно,

Ответ: 124 809 100 рублей.

1. В мировой практике существует и работает два способа (схемы) погашения кредитов: дифференцированная, при которой периодический платеж включает постоянную сумма для погашения основного долга по кредиту, к которой прибавляются проценты на оставшуюся часть долга, и аннуитетная при которой долг гасится равными платежами, как в условии данной задачи.

2. При аннуитетной схеме, как правило, бывает кратным либо фиксированная сумма, которую клиент обязан вносить в отчетный период, либо сумма взятого кредита. Возможен случай, когда та или другая сумма, указанная выше, кратна

3. Прежде чем приступить к решению задачи, лучше проверить ожидаемые кратности, что облегчит дальнейшие вычисления.

Приведём другое решение.

Заметим, что ежегодный платеж равен 69 690 821 = 31 000 000 · 1,31 3 .

Если искомая сумма составляет x рублей, то:

в начале отчетного периода с учетом возрастания долга

остаток к концу периода после частичного погашения

Первоначальный

31000000 · 1,31 3

31000000 · 1,31 3

31000000 · 1,31 3

Ответ: 124 809 100 рублей.

Анатолий решил взять кредит в банке 331000 рублей на 3 месяца под 10% в месяц. Существуют две схемы выплаты кредита.

По первой схеме банк в конце каждого месяца начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Анатолий переводит в банк фиксированную сумму и в результате выплачивает весь долг тремя равными платежами (аннуитетные платежи).

По второй схеме тоже сумма долга в конце каждого месяца увеличивается на 10%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Анатолием. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину (дифференцированные платежи). Какую схему выгоднее выбрать Анатолию? Сколько рублей будет составлять эта выгода?

Рассмотрим первую схему. Пусть х руб. – искомая фиксированная сумма

Источник