Способы решения алгебраических уравнений презентация

Решение алгебраических уравнений Методическая разработка учителя Поляковой Е. А. — презентация

Презентация была опубликована 6 лет назад пользователемАлевтина Хмелева

Похожие презентации

Презентация на тему: » Решение алгебраических уравнений Методическая разработка учителя Поляковой Е. А.» — Транскрипт:

1 Решение алгебраических уравнений Методическая разработка учителя Поляковой Е. А.

2 Задача. Решить уравнение х³ 7 х + 6 = 0. Решение. 1) Подберём корень уравнения: х = 1: 1³ = 0 верно. 2) Разделим : х³ 7 х + 6 на х 1 х³ 7 х + 6 х 1 х² х³ х² х² 7 х + х х² х 6 х ) Перепишем уравнение х³ 7 х + 6 = 0 в виде (х 1) (х² + х 6) = 0 и решим его: х 1 = 0 или х² + х 6 = 0, откуда х 1 = 1, х 2 = 2, х 3 = 3. Ответ: 1, 2, 3.

3 Уравнение х³ 7 х + 6 = 0 называют алгебраическим уравнением третьей степени или кубическим уравнением. Алгебраическим уравнением степени n называется уравнение Рn ( х ) = 0, где Рn ( х ) многочлен степени n 1. Каждый корень уравнения Рn ( х ) = 0 называют нулём или корнем многочлена Рn ( х ). 1, 2, 3 нули многочлена Р 3 ( х ) = х³ 7 х + 6

4 В уравнении х³ 7 х + 6 = 0 корни 1, 2, 3 являются делителями свободного члена 6 этого уравнения. Вывод: целые корни алгебраического уравнения с целыми коэффициентами, (если они есть), нужно искать только среди делителей свободного члена этого уравнения. Этот вывод подтверждает теорема 1: если алгебраическое уравнение с целыми коэффициентами имеет целый корень, то этот корень является делителем свободного члена.

5 Решить уравнение х³ х² 8 х + 6 = 0. Решение. 1) Р(х) = х³ х² 8 х ) Делители 6: ±1; ± 2; ± 3; ± 6. 3) Р(1)= ; Р(2)= ; Р(3)= ; Р(6)= ; Р(1)= ; Р(2)= ; Р(3)= = 0; Р(6)= целый корень уравнения 4) х³ х² 8 х + 6 х 3 х² х³ 3 х² 2 х² 8 х + 2 х 2 х² 6 х 2 х х + 6 5) Найдём другие корни: х² + 2 х 2 = 0, D 1 = = 3; х = 1 ± Ответ: 3; 1 ±

6 Решить уравнение 6 х³ + 11 х² 3 х 2 = 0. Решение. 1) Р(х) = 6 х³ + 11 х² 3 х 2. 2) Делители ( 2) : ±1; ± 2. 3) Р(1)= ; Р(1)= ; Р(2)= = 0; Р(2)= ; 4) 6 х³ + 11 х² 3 х 2 х х²6 х³ + 12 х² х² 3 х х х² 2 х х ) Другие корни уравнения: 6 х² х 1 = 0, D = = 25; х 1 = ; х 2 = ½. Ответ: 2; ; ½. 2 целый корень уравнения

7 Решить уравнение х³ 5 х² + 8 х 6 = 0. Решение. 1) Р(х) = х³ 5 х² + 8 х 6. 2) Делители ( 6) : ±1; ± 2; ± 3; ± 6. 3) Р(1)= ; Р(2)= ; Р(3)= ; Р(6)= ; Р(1)= ; Р(2)= ; Р(3)= = 0; Р(6)= ) х³ 5 х² + 8 х 6 х 3 х² х³ 3 х² 2 х² + 8 х 2 х 2 х² + 6 х 2 х х 6 5) Другие корни: х² 2 х + 2 = 0, D 1 = 1 2 = 1; других корней нет. Ответ: 3. 3 целый корень уравнения

8 11 (2). Решить уравнение 9 х³ + 12 х² 10 х + 4 = 0. Решение. 1) Р(х) = 9 х³ + 12 х² 10 х ) Делители 4: ±1; ± 2; ± 4. 3) Р(1)= ; Р(2)= = 0; Р(4)= ; Р(1)= ; Р(2)= ; Р(4)= ) 9 х³ + 12 х² 10 х + 4 х х² 9 х³ + 18 х² 6 х² 10 х 6 х 6 х² 12 х 2 х х + 4 5) Другие корни: 9 х² 6 х + 2 = 0, D 1 = 9 18 = 9; других корней нет. Ответ: 2. 2 целый корень уравнения

9 Уравнение ах³ 2 х² 5 х + b = 0 имеет корни х 1 = 1, х 2 = 2. Найти а, b и третий корень уравнения. Решение. 1) х 1 = 1, х 2 = 2 корни уравнения, значит: при х 1 = 1: а b = 0, откуда а = 7 b. при х 2 = 2 : 8 а b = 0, откуда b = 8 а 2. Тогда а = 7 8 а + 2, 9 а = 9, а = 1, b = 6 и уравнение принимает вид : х³ 2 х² 5 х + 6 = 0. х³ 2 х² 5 х + 6 разделим на (х 1 )(х 2 ) = (х 1)(х+2) (х 1)(х + 2) = х² + х 2, чтобы найти третий корень уравнения.

10 х³ 2 х² 5 х + 6 х² + х 2 х х³ + х² 2 х 3 х² 3 х х 3 = 0, х = 3. Ответ: а = 1, b = 6; х 3 = 1

11 Решение алгебраических уравнений, взятых из сборника заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 классе (авт. Л. В. Кузнецова и др.).

12 х² 3 х + 2 х² + 3 х 18 0 Другие корни: х² + 3 х 18 = 0; х 3 = 6, х 4 = 3. Ответ: 1; 2; 6; (4 балла) Решите уравнение: 1) Решение. Заметим, при х = 1 и х = 2 левая часть уравнения равна 0, тогда х 1 = 1, х 2 = 2 корни уравн. Разделим многочлен на произведение (х 1)(х 2) =х² 3 х + 2:

13 2.23 (4 балла) Решите уравнение: 1) Решение. Перепишем уравнение: Произведение множителей равно нулю, если хотя бы один из них равен нулю (другие при этом существуют). 1) х 1 = 0; пусть х² = а тогда а² 9 а + 20 = 0, где а 1 = 4; а 2 = 5. Получаем: х ² = 4, тогда х 2 = 2, х 3 = 2; х ² = 5, тогда Ответ: 0; ± 2;

14 Интересные факты, связанные с решением алгебраических уравнений. Рассмотрен простой способ решения уравнений с помощью разложения многочленов на множители. Это можно сделать, если удастся найти некоторые корни уравнения. Но, есть два главных вопроса: 2) Как его найти? 1) всегда ли алгебраическое уравнение имеет хотя бы один корень?

15 Эти трудные вопросы рассматриваются в специальном разделе математики «Высшая алгебра». Основной теоремой высшей алгебры является следующая теорема. Теорема 2. На множестве комплексных чисел любое алгебраическое уравнение имеет хотя бы один корень. Напомним, о появлении комплексных чисел: среди известных действительных чисел не оказалось числа, квадрат которого равен минус единице. Пришлось расширить множество действительных чисел, добавив к ним число i, которое назвали мнимой единицей. Итак, i ² = 1.

16 Числа, полученные умножением ранее известных чисел на мнимую единицу, например, 5 i или i, стали называть мнимыми, а суммы действительных и мнимых чисел, таких как i, 7 i +14, 8 3 i, стали называть комплексными числами. На протяжении многих веков выдающиеся математики развивали теорию решения алгебраических уравнений. Одним из первых основную теорему высшей алгебры сформулировал в 1629 г голландский математик Альбер Жирар, но первое строгое доказательство дал лишь в 1799 г немецкий математик Карл Гаусс. Первое изложение теории решения квадратных уравнений дано в книге «Арифметика» греческого математика Диофанта в III в.

17 Формулы корней кубического уравнения впервые опубликованы в 1545 г итальянским математиком Джероламо Кардано. В том же 1545 г другим итальянским математиком Лудовико Феррари был найден способ решения уравнений 4-й степени. Однако практически найти хотя бы один корень любого алгебраического уравнения удаётся чрезвычайно редко. Более того, доказано, что в общем случае нет и не может быть способа нахождения хотя бы одного корня алгебраического уравнения, несмотря на то, что по теореме 2 такой корень существует.

18 Нами был рассмотрен простой способ решения уравнений с помощью разложения многочленов на множители. Для этого приходилось делить многочлен на двучлен х а. Схема Горнера. Существенно сократить и упростить вычисления помогает один несложный приём сокращённого деления, называемый схемой Горнера (Горнер Вильямс Джордж английский математик ). Покажем его практическое применение на конкретном примере.

19 Многочлен х³ х² 8 х + 6 1) разделить на х 3; 2) представить в виде произведения В n первых клетках второй её строки мы получаем коэффициенты частного, расположенные в порядке убывания степеней х; в (n + 1) — й клетке получаем остаток от деления. х³ х² 8 х + 6 = (х 3) (х² + 2 х 2). а 1 а 1 b2b2 а 2 а 2 а 3 а 3 а 0 а 0 b1b1 b0b0 R Построенная таблица и называется схемой Горнера.

20 Схема Горнера. 1. В верхней строке таблицы записываем коэффициенты при х, располагая их в порядке убывания степеней, если соответствующая порядку степень отсутствует, то соответствующий коэффициент равен Перед таблице записываем известный целый корень многочлена. 3. Нижнюю строку таблицы заполняем по правилу: а) значение первого коэффициента переписываем; б) в каждой следующей клетке записываем число, равное сумме коэффициента, стоящего над ним и произведения числа, расположенного перед таблицей, на число находящееся в соседней слева клетке.

Источник

Презентация — Методическая разработка по теме «Способы решения алгебраических уравнений».

Описание презентации по отдельным слайдам:

Способы решения алгебраических уравнений

Уравнение – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы Историческая справка Виды алгебраических уравнений Способы решения уравнений С помощью формул сокращенного умножения Вынесение общего множителя за скобки Метод группировки Разложение левой части уравнения на множители. Метод выделения полного квадрата. Решение квадратных уравнений по свойству коэффициентов Решение с помощью теоремы Виета. Решение с помощью теоремы, обратной теореме Виета. Решение уравнения несколькими способами.

История развития знаний о решении уравнений. Первое руководство по решению уравнений. Древние ученые владели общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Но ни в одном источнике не дано описания этих приемов. Исключение- «Арифметика» Диофанта Александрийского. Первое руководство по решению задач — труд багдадского ученого IX в. Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми.

. 22 решения за одну ночь. В 1594 году во дворе Генриха IV Нидерландский посланник рассказал об известной задаче знаменитого математика Адриска Ван Ромена, которая заключалась в решении уравнения 45-ой степени. Генрих IV послал за Виетом Франсуа, который один корень нашел сразу же, а на следующее утро представил 22 решения этого уравнения

Франсуа Виет Франсуа Виет — замечательный французский математик, положивший начало алгебре как науке о преобразовании выражений, о решении уравнений в общем виде, создатель буквенного исчисления. Виет первым стал обозначать буквами не только неизвестные, но и данные величины. Тем самым ему удалось внедрить в науку великую мысль о возможности выполнять алгебраические преобразования над символами, т. е. ввести понятие математической формулы. Этим он внес решающий вклад в создание буквенной алгебры, чем завершил развитие математики эпохи Возрождения и подготовил почву для появления результатов Ферма, Декарта, Ньютона

Кристиан Вольф — знаменитый немецкий философ, родился в 1679 г. в Бреславле, в семье простого ремесленника, изучал в Йене сначала богословие, потом математику и философию .Впервые ввёл термин «квадратное уравнение»

Сильвестр Джеймс Джозеф – английский математик, который ввел термин «дискриминант».

В 13 – 16 веках даются отдельные методы решения различных видов квадратных уравнений. Слияние этих методов произвел в 1544 году немецкий математик – Михаэль Штифель. Это было настоящее событие в математике.

Виды алгебраических уравнений Линейное уравнение ax + b = 0 Квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0 Кубическое уравнение ax3 + bx2 + cx + d = 0 Биквадратное уравнение ax4 + bx2 + c = 0 Уравнение 4-ой степени общего вида ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 Алгебраическое уравнение n-ой степени общего вида anxn + an-1xn-1 + . + a1x + a0 = 0

Способы решения уравнений С помощью формул сокращенного умножения: (a±b)2=a2±2ab+b2 a2-b2=(a+b)(a-b) (a1+a2+…+an)2=a12+a22+…+an2+2a1a2+2a1a3+…+2an-1an (a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3 a3±b3=(a±b)(a2±ab+b2) an-1=(a-1)(an-1+an-2+…+an-k+…+a+1) an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+…+an-kbk-n+…+abn-2+bn-1) ПРИМЕР

Способы решения уравнений (6x-1)2-4(3x+2)(3x-2)=-7; 36×2-12x+1-4(9×2-4)=-7; 36×2-12x+1-36×2+16=-7; 17-12x=-7; -12x=-24; x=2; Ответ:<2>. (2x-1)3-(2x-3)3=24×2-40x-24; 8×3-12×2+6x+1-8×3+36×2-54x-27=24×2-40x-24; 24×2-48x-26=24×2-40x-24; -8x=2; x=-0,25; Ответ:<0,25>.

Способы решения уравнений Например: 2х4 + 3х3 + х2 = 0; x2(2×2+3x+1)=0; x2=0, 2×2+3x+1=0; x=0, 2x(x+1)+(x+1)=0; x=0, (2x+1)(x+1)=0; x=0, 2x+1=0, x+1=0; x=0, x=-0,5, x=-1; Ответ: <0;-0,5;-1>2. Вынесение общего множителя за скобки:

Метод группировки: Например: x4-4×3+5×2-4x+4=0; x4-4×3+4×2+x2-4x+4=0; (x4-4×3+4×2)+(x2-4x+4)=0; x2(x2-4x+4)+(x2-4x+4)=0; (x2+1)(x2-4x+4)=0; x2+1=0, x2-4x+4=0; x2=-1, (x-2)2=0; Ø, x-2=0; x=2; Ответ:<2>. Способы решения уравнений

Разложение левой части уравнения на множители. Решим уравнение х2 + 10х – 24 = 0 Разложим левую часть уравнения на множители: х2 + 10х – 24 = х2 + 12х – 2х – 24 = х (х + 12) – 2 (х +12) = (х + 12)(х – 2) Следовательно, уравнение можно переписать так: (х + 12)(х – 2) = 0. Так как произведение равно нулю, то по крайне мере один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается в нуль при х = 2, а также при х = — 12. это означает, что числа 2 и – 12 являются корнями уравнения х2 + 10х – 24 = 0.

Метод выделения полного квадрата Решим уравнение х2 + 6х – 7 = 0 х2 + 6х = х2 + 2· х ·3 х2 + 2· х ·3 + 32 = (х + 3)2 Преобразуем теперь левую часть уравнения х2 + 6х – 7 = 0, прибавляя к ней и вычитая 32. х2 + 6х – 7 = х2 + 2· х ·3 + 32 – 32 – 7 = = (х + 3)2 – 9 – 7 = (х + 3)2 – 16 Данное уравнение можно записать так: (х + 3)2 –16 = 0, т.е. (х + 3)2 = 16. Следовательно, х + 3 = 4, х = 1, или х +3 = — 4 , х = – 7.

Решение квадратных уравнений по формуле Вывод формулы: Умножим обе части уравнения ах2 + bх + с = 0, а ≠ 0, на 4а и следовательно имеем: 4а2х2 + 4аbс + 4ас = 0. ((2ах)2 + 2ах · b + b2) – b2 + 4ас = 0, (2ах + b)2 = b2 – 4ас, 2ах + b = ± 2ах = – b ± Х =

Например: 4х2+ 7х + 3 = 0. а = 4, b = 7, с = 3, D = b2 – 4ас = 72 – 4· 4 ·3 = 49 – 48 = 1, D >0 х = , х = ; х = , х = , х = , х = –1 Таким образом, в случае положительного дискриминанта, т. е. при b2 – 4ас>0 уравнение ах2 + bх + с = 0 имеет два различных корня.

Теорема Виета Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, тогда и только тогда, когда произведение корней равно свободному члену.

Теорема обратная теореме Виета Если числа m и n таковы, что их сумма равна –b, а произведение равно c (m+n=-b, m·n=c), то эти числа являются корнями уравнения ax2+bx+c=0

Свойства коэффициентов квадратного уравнения Если сумма коэффициентов квадратного уравнения ax2+bx+c=0 равно нулю , то есть a+ b+ c=0,то корнями уравнения являются х=1 х=c / а Если а- в+ с= 0 или в=а+с, то x= -1, х= c\а

Решение уравнения несколькими способами. а) x2-6x+5=0 x2-x-5x+5=0 (x2-x)-(5x-5)=0 x(x-1)-5(x-1)=0 (x-5)(x-1)=0 x-5=0, x-1=0; x=5, x=1. Ответ:<1; 5>. б) x2-6x+5=0 x2-2·3·x+5=0 x2-2·3·x+9-9+5=0 (x-3)2-4=0 (x-3)2=4 x-3=2, x-3=-2; x=5, x=1. Ответ:<1; 5>.

в)x2-6x+5=0 a=1 b=-6 c=5 D=b2-4ac=36-4·1·5=36-20=16 D>0, следовательно x= x= ; ; x=5 x= ; ; x=1 Ответ:<1; 5>.

По теореме обратной теореме Виета г)x2-6x+5=0 x1+x2=6 x1x2=5 5=1·5 или 5=-1·(-5) x=1 x=5 Ответ:

По свойству коэффициентов квадратного уравнения д) x2-6x+5=0 a=1 , b=-6 , c=5 1-6+5=0 , значит x=1 x=5 Ответ:

Заключение Математическое образование, получаемое в общеобразовательной школе, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека. Практически все, что окружает современного человека – это все так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним. Поэтому решение многих практических задач сводится к решению различных видов уравнений, которые нужно школьникам научиться решать.

Список использованной литературы . Алгебра. Сборник задач для учащихся 8-9 классов средней школы. Карп А. П. Учебник для учащихся 9 класса с углубленным изучением математики. под редакцией Н. Я. Виленкина. Математика. 8-9 классы: сборник элективных курсов. Выпуск-2. Автор-составитель: М.Е. Козина., г. Волгоград: Учитель,2010г. Внеклассная работа по математике. Альхова З.Н., Макеева А.В., г. Саратов: Лицей, 2011г Математика. Учебное пособие под редакцией Муравья Л.Я., г. Москва Бридж 2004г

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 801 человек из 76 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 283 человека из 69 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 605 человек из 75 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

В работе обобщён и систематизирован материал по теме:

« Способы решения алгебраических уравнений». В неё вошли виды уравнений из школьного курс алгебры, так и дополнительный материал. При этом показаны способы решения уравнений , которые не изучаются в школьном курсе, но знание которых может понадобиться при поступлении в высшие учебные заведения.

Типичная ошибка школьников, да и учителей тоже – стремление чересчур подробно и мелко детализировать приёмы и методы решения уравнений того или иного класса. Запоминать большое количество способов не только бесполезно, но и вредно: из-за их обилия не просматриваются общие идеи. Общие методы, которые пронизывают всю школьную линию уравнений с 7 по 9 класс, нашли отражение в презентации.

Номер материала: 175022

Международная дистанционная олимпиада Осень 2021

Не нашли то что искали?

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами

Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно

В МГУ разрабатывают школьные учебники с дополненной реальностью

Время чтения: 2 минуты

Минпросвещения будет стремиться к унификации школьных учебников в России

Время чтения: 1 минута

В Пензенской области запустят проект по снижению административной нагрузки на учителей

Время чтения: 1 минута

В Осетии студенты проведут уроки вместо учителей старше 60 лет

Время чтения: 1 минута

Рособрнадзор откажется от ОС Windows при проведении ЕГЭ до конца 2024 года

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения разрабатывает образовательный минимум для подготовки педагогов

Время чтения: 2 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник