Способы решения алгебраических уравнений 10 класс

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №12. Решение алгебраических уравнений разложением на множители.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

1) типы алгебраических уравнений;

2) решение алгебраические уравнения методом разложения на множители;

3) методы решения алгебраических уравнений.

Глоссарий по теме

Алгебраическое уравнение (полиномиальное уравнение) — уравнение вида P(x₁, x₂, …, x_n)=0, где P — многочлен от переменных x₁, x₂, …, x_n, которые называются неизвестными.

Коэффициенты многочлена P обычно берутся из некоторого множества F, и тогда уравнение P(x₁, x₂, …, x_n)=0 называется алгебраическим уравнение над множеством F.

Степенью алгебраического уравнения называют степень многочлена P.

Значения переменных x₁, x₂, …, x_n, которые при подстановке в алгебраическое уравнение обращают его в тождество, называются корнями этого алгебраического уравнения.

Биквадратными называются уравнения вида ах 4 + bх 2 + с = 0, где а, b, с – заданные числа, причем, а ≠ 0.

Симметрическим уравнением 3-ей степени называют уравнение вида: ax 3 + bx 2 + bx + a = 0, где a, b – заданные числа.

Уравнение вида a n x n ₊a n-1 x n-1 +…+a 1 x+a 0 =0 называется возвратным, если его коэффициенты, стоящие на симметричных позициях, равны, т.е. a n-1 =a k , при k=0, 1, …, n.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2014.

Шабунин М.И., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Дидактические материалы Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл. – М.: Просвещение, 2017.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Давайте вспомним, что такое алгебраическое уравнение?

Алгебраическое уравнение (полиномиальное уравнение) — уравнение вида P(x₁, x₂, …, x_n)=0, где P — многочлен от переменных x₁, x₂, …, x_n, которые называются неизвестными.

Коэффициенты многочлена P обычно берутся из некоторого поля F, и тогда уравнение P(x₁, x₂, …, x_n)=0 называется алгебраическим уравнение над полем F.

Степенью алгебраического уравнения называют степень многочлена P.

является алгебраическим уравнением седьмой степени от трёх переменных (с тремя неизвестными) над полем вещественных чисел.

Связанные определения. Значения переменных x₁, x₂, …, x_n, которые при подстановке в алгебраическое уравнение обращают его в тождество, называются корнями этого алгебраического уравнения.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

1. Алгебраические уравнения, решаемые разложением на множители:

D(–2) : ,

Можно догадаться, что число х₁ = –1 является корнем этого уравнения, так как –1 + 3 – 2 = 0.

х + 1 = 0 или х 2 –х–2 = 0;

х₁ = –1 х_2,3 = ;

х_2,3 = ;

x 3 + х 2 – х 2 – х – 2x – 2 = 0;

(x 3 + х 2 ) – (х 2 + х) – 2(x + 1) = 0;

х 2 (х + 1) – х(х + 1) – 2(х + 1) = 0;

(х + 1) (х + 1) (х –2) = 0;

(х –2) = 0;

1. Уравнения, сводящиеся к алгебраическим
   1. Биквадратные уравнения

На прошлом уроке мы познакомились с данным видом уравнений

Определение. Биквадратными называются уравнения вида ах 4 + bх 2 + с = 0, где а, b, с – заданные числа, причем, а ≠ 0.

Метод решения

Биквадратное уравнение приводится к квадратному уравнению при помощи подстановки у=х 2 .

Новое квадратное уравнение относительно переменной у: ay 2 +by+c=0.

Решая это уравнение, мы получаем корни квадратного уравнения

Решая эти два уравнения (y₁=x₁ 2 и y₂=x₁ 2 ) относительно переменной x, мы получаем корни данного биквадратного уравнения.

Порядок действий при решении биквадратных уравнений

1. Ввести новую переменную у=х 2
2. Подставить данную переменную в исходное уравнение
3. Решить квадратное уравнение относительно новой переменной
4. После нахождения корней (y₁; y₂) подставить их в нашу переменную у=х 2 и найти исходные корни биквадратного уравнения

х 4 – 8х 2 – 9 = 0.

Решение: Пусть у = х 2 , где у 0; у 2 – 8у – 9 = 0;

По формулам Виета:

Первое решение отбрасываем ( у 0),

а из второго находим х₁ = –3; х₂ = 3.

2 Симметрические уравнения

Решение симметрических уравнений рассмотрим на примере симметрических уравнений третьей степени.

Симметрическим уравнением 3-ей степени называют уравнение вида ax 3 + bx 2 + bx + a = 0, где a, b – заданные числа.

Для того, чтобы успешно решать уравнения такого вида, полезно знать и уметь использовать следующие простейшие свойства симметрических уравнений:

1 0 . У любого симметрического уравнения нечетной степени всегда есть корень, равный -1.

Действительно, если сгруппировать в левой части слагаемые следующим образом: а(х 3 + 1) + bx(х + 1) = 0, то есть возможность вынести общий множитель, т.е.

(х + 1)(ах 2 + (b – а)x + а) = 0, поэтому,
х + 1 = 0 или ах 2 + (b – а)x + а = 0,

первое уравнение и доказывает интересующее нас утверждение.

2 0 . У симметрического уравнения корней, равных нулю, нет.

3 0 . При делении многочлена нечетной степени на (х + 1) частное является снова симметрическим многочленом.

х 3 + 2x 2 + 2х + 1 = 0.

Решение: У исходного уравнения обязательно есть корень х = –1.

Разлагая далее левую часть на множители, получим

(х + 1)(x 2 + х + 1) = 0.

x 2 + х + 1 = 0 не имеет корней.

2 Возвратные уравнения

Уравнение вида a n x n ₊a n-1 x n-1 +…+a 1 x+a 0 =0 называется возвратным, если его коэффициенты, стоящие на симметричных позициях, равны, т.е. a n-1 =a k , при k=0, 1, …, n.

Рассмотрим возвратное уравнение четвёртой степени вида

ax⁴ + bx³ + cx² + bx + a = 0, где a, b и c — некоторые числа, причём a ≠ 0. Оно является частным случаем уравнения ax⁴ + bx³ + cx² + kbx + k²a = 0 при k = 1.

Порядок действий при решении возвратных уравнений вида ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0:

• разделить левую и правую части уравнения на . При этом не происходит потери решения, так как x = 0 не является корнем исходного уравнения;
• группировкой привести полученное уравнение к виду

• ввести новую переменную , тогда выполнено
  , то есть ;

в новых переменных рассматриваемое уравнение является квадратным: at 2 +bt+c–2a=0;

• решить его относительно t, возвратиться к исходной переменной.

Решение: Разделим на x 2 , получим:

Введем замену:
Пусть

Источник

Урок математики «Решение алгебраических уравнений».10 класс

Лодыгин Владимир Дмитриевич,

заместитель директора по УР, учитель

математики высшей квалификационной

категории МБОУ «СОШ №5»

Класс: 10 (профильный)

Предмет: алгебра и математический анализ.

Тип урока: урок закрепления знаний.

Вид: урок – практикум.

Тема: «Решение алгебраических уравнений».

1)закрепить знания видов, основных способов и приемов решения алгебраических уравнений;

продолжить формирование умений и навыков их решения;

2)способствовать развитию научного мышления учащихся (формирование умений анализировать условие задачи, актуализировать знания, сравнивать, сопоставлять данные, обобщать, планировать ход решения, делать выводы);

3)воспитывать настойчивость в достижении цели, волю.

«Схема Горнера», «Теорема Безу», «Условие равенства многочленов»,

Высказывание Д.Пойа: «Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, если хотите научиться решать задачи, то решайте их!».

3.Дидактические карточки- задания, материалы ЕГЭ.

I Организационный момент.

Вступительное слово учителя.

На предыдущих уроках вы познакомились с понятием алгебраического уравнения, видами алгебраических уравнений, изучили основные способы их решения. Сегодня продолжим работу по теме: «Решение алгебраических уравнений».

Ваша задача на уроке:

уточнить знания, приобрести опыт, то есть научиться по виду алгебраического уравнения определять способ его решения, а также учиться применять свои знания в нестандартной ситуации.

Задача на перспективу: подготовиться к решению нестандартных задач.

Эпиграфом к нашему уроку пусть послужат известные слова американского математика и методиста Д. Пойа: «Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, если хотите научиться решать задачи, то решайте их».

II . Обозначение проблемы.

Вашему вниманию предлагается задача:

Найдите наибольшее значение параметра а , при котором уравнение а x + b =0 с целыми коэффициентами имеет три различных корня, один из которых равен -2.

(задача из материалов ЕГЭ)

Прошу высказаться по поводу решения. Какие возникают вопросы.

— подставить -2 в уравнение.

Учитель: вы знаете, чтобы решить любую задачу, надо внимательно изучить её условие, (при этом ничего нельзя пропустить), проанализировать, что известно, что надо найти, какие знания ещё потребуются. Выстроить цепочку рассуждений, которая приведет к ответу. Всякий раз сопоставлять достигнутое на данном этапе с требуемым результатом.

Проанализируем условие нашей задачи.

Вопросы к обучающимся:

— к какому виду относится данное уравнение (целое алгебраическое);

— назовите коэффициенты многочлена (1; 5; а; в );

— каким требованиям должно удовлетворять значение параметра а (наибольшее целое число);

— каким требованиям ещё должно удовлетворять значение параметра а ; (при этом значении параметра а уравнение должно иметь три различных корня);

— как обеспечить наличие именно трех различных корней;

— какова роль параметра в ;

— вспомните, если один корень многочлена известен, то какие операции с многочленом (преобразования его) можно выполнить.

Таким образом, вопросов много.

Ответы на поставленные вопросы, возможно, придут в ходе необходимого повторения, решения алгебраических уравнений известных видов.

III . Актуализация знаний

1.Проверка домашнего задания (показ видеофайла).

Дома решали уравнение:

.

Решение (комментируют обучающиеся)

Пусть tgz=x, z ≠ , n Z ,

получим уравнение — симметрическое.

Х=0 не является корнем (убеждаемся проверкой), делим на , получим равносильное уравнение:

.

()+( x + )-4=0. Новая переменная t = x +, тогда .

Уравнение с переменной t будет иметь вид:

, , .

1) x + =-3, 2) x + = 2.

; =0, х=1.

tgz= , tgz= , tg z =1.

Z = arctg ( )+ Πk , kZ , z =

Z=arctg ()+Πm, mZ

Ответ : Z=arctg ()+Πk, kZ, Z=arctg ()+Πm, mZ, z=.

Решая тригонометрическое уравнение, вспомнили способ введения новой переменной, приемы решения симметрического уравнения.

Это пригодится сегодня на уроке.

IV . Актуализация знаний (продолжение), формирование умений (приобретение опыта).

1. Учитель предлагает двум учащимся поработать у доски, задания – на карточках.

Разложить многочлен на множители с помощью схемы Горнера.

Ученик подбором находит один корень многочлена (х=1), затем составляя схему Горнера, находит коэффициенты квадратного трехчлена, который является вторым множителем.

= (х-1) ()=(х-1)(х+1-) (х+1+).

При каких значениях a уравнение имеет два различных корня:

а. Укажите наибольшее целое отрицательное значение.

Ученик анализирует уравнение.

Квадратное уравнение (a≠0) имеет два различных корня при условии D>0.

D = ; >0, a ( a +4)>0 . a (-∞;-4)(0;+ ∞), а = -5.

2.Остальные обучающиеся работают в тетрадях. (Фронтальная работа).

Учащимся ставится задача:

по виду уравнения определить способ (прием) его решения. (В тетрадях записать вид уравнения, указать способы, приемы решения. Подробного решения записывать не надо).

Уравнения – на экране.

1).

Учащиеся подбором находят корень -1.Затем с помощью схемы Горнера – кратный корень 2.

2)118

Учащиеся подбором находят корень 1.Затем с помощью схемы Горнера многочлен в левой части раскладывают на множители и находят второй корень .

3)

Учащиеся определяют вид уравнения: рациональное алгебраическое.

Вспоминают приемы решения: а)деление числителя и знаменателя на х ( х=0 не является корнем); б)введение новой переменной (t = x+).

4)

Учащиеся по виду уравнения вспоминают подстановки:

5)

Учащиеся называют способ решения: введение новой переменной.

6) .

При каких значениях а уравнение не имеет корней.

Учащиеся, анализируя вид уравнения, устанавливают: при D V .Продолжаем приобретать опыт, который пригодится при решении нестандартных задач, в том числе и задачи №1.

Работа в группах (6 групп).

Состав групп – прежний. Обсуждаете ход решения. Затем каждый решает сам. Далее сверяете ответы, разбираетесь в ошибках.

После завершения работы над уравнением направляете представителя группы для защиты решения на доске.

Задания для работы в группах.

1) (х>0).

2) (х-4) (х-6) (.

3).

4).

5) .

6) (.

Каждой группе учащихся предложены для решения эти 6 уравнений, указано, решение какого уравнения они должны защитить на доске, (в соответствии с порядковым номером группы, например, группе №1- 1-е уравнение).

Представитель группы выходит готовиться к доске, остальные учащиеся продолжают решать оставшиеся уравнения самостоятельно.

Представитель у доски кратко комментирует решение своего уравнения, отвечает на вопросы.

VI. Подведение итогов

Сегодня на уроке мы повторили основные виды алгебраических уравнений, способы и приемы их решения. (Учитель сообщает отметки учащимся). Вы приобрели дополнительный опыт. Беритесь за любые уравнения. Настойчиво добивайтесь результата. Помните, что говорил Д.Пойа («Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, если хотите научиться решать задачи, то решайте их!»).

Ответы к заданиям в группах

1) (х>0).

Э.О.Зеель. Задачник по алгебре и началам анализа. Архангельск. ПГУ им.М.В.Ломоносова. 2001г.)

2) (х-4) (х-6) (.

-6; 2;

3).

4).

-3- -3+;

5) .

;

6) (.

-2; 1;

Решение задачи №1

Найдите наибольшее значение параметра а , при котором уравнение а x + b =0 с целыми коэффициентами имеет три различных корня, один из которых равен -2.

1)Так как -2-корень уравнения, то верно равенство -8+20-2 а + в =0, в =2 а -12.

2)Разложим многочлен на множители с помощью схемы Горнера.

а x + b = (х+2) ().

=0.

D >0 (при этом условии квадратное уравнение имеет два различных корня, значит, данное уравнение а x + b =0, вероятно, будет иметь три различных корня).

3) Так как a , b – целые числа, причем значение a — наибольшее, то, возможно, a =8, тогда b = 16-14=4.

Подставим значения a , b в данное уравнение. Решая его, получим корни: -1 и -2 (корень кратности 2). Трех различных корней нет.

Проверим a =7. Получим корни: -2; .

Источник