Способы решений устных выражений

Различные способы устных вычислений

В данной работе описываются способы устного счета в школьном курсе — это приемы устных вычислений, основанные на законах и свойствах арифметических действий, и изучаются способы существующие в науке, не вошедшие в школьную программу.

Скачать:

Вложение	Размер
sveta_blagonravova.docx	67.91 КБ

Предварительный просмотр:

Да, путь познания не гладок.

Но знаем мы со школьных лет:

Загадок больше, чем разгадок,

и поискам предела нет!

В наше время бытует мнение, что вычислительная работа должна стать уделом компьютеров, а человек может отойти от этого рутинного занятия. Но существуют такие способы устных вычислений, которые выдают ответы моментально и не уступят никакому компьютеру.

Большой успех имеют на эстраде выступления счетчиков, которые удивляют зрителей своей высокой техникой счета и феноменальной памятью.

Все мы, конечно, понимаем, что это всего лишь фокус, основанный на свойствах чисел или на каких- либо математических законах. А на каких именно, хочется знать?

Немецкого ученого Карла Гаусса называли королем математиков. Его математическое дарование проявилось уже в детстве.

Рассказывают, что в трех летнем возрасте он удивил окружающих, поправив расчеты своего отца с каменщиками. Однажды в школе (Гауссу в то время было 10 лет) учитель подложил классу сложить все числа от 1 до 100. Пока он диктовал задание, у Гаусса уже был готов ответ. На его грифельной доске было написано: 101 х 50 = 5050. Интересно, как он быстро выполнил это задание?

У известного русского художника Богданова-Бельского есть картина «Устный счет», изображающая занятия устным счетом. Ученики заняты устным решением примера. Они сосредоточены и увлечены работой.

Здесь воспроизведена известная и любимая всеми учителями картина Богданова-Бельского «Устный счет». По поводу этой картины И. К. Андронов пишет так: «Одиннадцать бедных крестьянских учеников старой, досоветской школы с напряжением ищут в уме решение числовой формулы, написанной на доске учителем С. А. Рачинским. Как лучше сгруппировать слагаемые, как быстрее вычислить?

Немного из истории этой картины:

Устному счету уделял большое внимание известный русский деятель в области просвещения доктор естественных наук, профессор ботаники Московского университета Сергей Александрович Рачинский (1832-1902). В 1872 г. он переехал из Москвы в свое имение, село Татево Смоленской губернии. Там организовал начальную школу и сам преподавал в ней, стремясь развить у крестьянских детей математические способности и привить им интерес к математике. С.А. Рачинский написал ряд математических пособий. Наибольшую известность среди них приобрела книга «1001 задача для счета в уме».

Обратимся к картине. На доске записан пример для устного счета:

По-разному думают дети. Кто-то скорее мечтает, чем думает. Кто-то торопится шепнуть учителю свой ответ. Но внимание педагога поглощено одним мальчиком, вся поза которого напоминает охотника, идущего по следу,- столько в ней сдержанной страсти и предчувствия победы. Мальчик, конечно же, догадывается, что сумма квадратов первых трех натуральных чисел равна сумме квадратов следующих чисел, т.е. Таким образом, данное на картине числовое выражение равно 2.

Вспомним, как относились к устному счету ученики С. А. Рачинского. Он писал: «Не успел я приступить к упражнениям в умственном счете, которые до тех пор в школе не практиковались, как к ним развилась настоящая страсть… Стали меня преследовать то одна группа учеников, то другая, то все вместе с требованием умственных задач… Очень скоро оказалось, что они опережают меня, что мне нужно готовиться, самому упражняться».

На уроках математики учитель часто говорит: «Для выполнения этого громоздкого задания, примените рациональные методы, и тогда пример решается устно».

Все эти моменты и заставили меня изучить хотя бы некоторые методы для выполнения устных вычислений.

В своей работе я хочу показать некоторые способы устного счета.

1. Обобщить способы устного счета в школьном курсе и изучить существующие в науке (расширить знания по этому вопросу).

а) Некоторые приемы устных вычислений, основанные на законах и свойствах арифметических действий, а именно:

Использование свойства вычитания суммы из числа и числа из суммы.

Использование переместительного и сочетательного свойства сложения и умножения.

Использование распределительного свойства умножения относительно сложению и вычитанию

Использование таблицы квадратов и кубов однозначных чисел и таблицы квадратов двузначных чисел от 10 до 20.

б) Умножение двузначных чисел на 11.

в) Использование формул сокращенного умножения:

(a ± b)² = a² ± 2ab + b²

г) Возведение в квадрат чисел оканчивающихся на 5.

д) Умножение чисел на 5 (50), 25 (250).

е) Умножение двузначных чисел близких к 100.

2. Показать практическую значимость каждого метода.

3. Обобщить данное исследование.

1. Повышение вычислительной культуры учащихся (Пособие для учителя)М. Просвещение 1981г.
2. А. П. Подашов «Вопросы внеклассной работы по математике в школе». Учпедгиз 1962г.
3. Д. С. Фаермарк «Задача пришла с картины». М. Просвещение, 1977г.
4. О. С. Шенина , Г. М. Соловьева «Математика. Занятия школьного кружка.» М.Издательство НЦ ЭНАС 2007.
5. Журнал «Математика в школе» №2 1981г, Журнал «Математика в школе» №1 1992г.

Познакомившись с материалами по данной теме в указанной литературе, я решила показать в своей работе некоторые методы устных вычислений.

Некоторые приемы устных вычислений, основанные на законах и свойствах.

а. Использование свойств вычитания суммы из числа и числа из суммы.

а — (в + с) = (а + в) — с.

95837 — (95137 + 198) = (95837 — 95137) – 198 = 700 – 198 = 502.

(а + в) – с = (а — с) + в.

(6112 + 1596) – 496 = 6112 + (1596 — 496) = 6112 + 1100 = 7212.

б. Использование переместительного и сочетательного свойств сложения и умножения.

а + в + с = (а + в) + с = (а + с) + в = а + (с + в).

385 + 548 + 615 = (385 + 615) + 548 = 1000 + 548 = 1548.

2,31 + 7,65 + 8,69 = (2,31 + 8,69) + 7,65 = 11+7,65 = 18,65.

а х в х с = (ахв)с = а(вхс) = (ахс)в.

483 х2 х 5 = 483 х 10 = 4830.

25 х 86 х 4 = (25 х 4)86 = 860.

1,25 х 75 х 8 = (1,25 х 8)75 = 10 х 75 = 750.

в. Использование распределительного закона умножения относительно сложения и вычитания.

1. Чтобы число умножить на сумму двух чисел, можно это число умножить на каждое слагаемое и полученные произведения сложить.

10(12 + 3) = 10 х 12 + 10 х 3 = 120 + 30 = 150,

(4,5 + 0,75)100 = 450 + 75 = 525,

3 х 3=(3 + )3 = 9 + 2 = 11.

Вычислите сумму, используя распределительный закон:

289 х 315 + 711 х 315 = 315(289 + 711) = 315 х 1000 = 315000,

14,8 х 36 + 14,8 х 64 = 14,8(36 + 64) = 14,8 х 100 = 1480,

3 + = (3 6 )= х 10 = 6,

— х(- 6,81) + (- 1,19)х(- ) = — х(- 6,81 – 1,19) = — (- 8) = 3,

2. Для того, чтобы умножить разность на число, можно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого произведения вычесть второе.

59 х 7 = (60 – 1)7 = 420 – 7 = 413,

126 х 5 – 96 х 5 = (126 – 96)5 = 30 х 5 = 150,

0,78 х 496,6 – 396,6 х 0,78 = (496,6 – 396,6)0,78 = 100 х 0,78 = 78,

14 х = (14 — 3 ) = 3.

Для того чтобы быстро и безошибочно находить значения выражений, необходимо запомнить таблицу квадратов и кубов и, желательно, таблицу квадратов чисел от 11 до 20.

Источник

Приемы рациональных вычислений на уроках математики в начальной школе

В школьной практике мы постоянно сталкиваемся с тем, что ребенок использует привычные, во многом навязанные ему способы решения. Так, например, некоторые дети, после того как изучены приемы письменных вычислений, начинают применять эти способы и при устном решении примеров. Это заставляет задуматься, что же побуждает детей обращаться к такому нерациональному приему решения? Думаю, стремление действовать в соответствии с определенными алгоритмами, избегая при этом активных усилий мысли. Т.о. перед нами встает одна из главнейших задач обучения математике – пробудить у школьника потребность активно мыслить, искать наиболее рациональные пути решения.

Прививая любовь к устным упражнениям, учитель будет помогать ученикам активно действовать с учебным материалом, пробуждать у них стремление совершенствовать способы вычислений и решения задач, менее рациональные заменять более совершенными и экономичными. А это – важнейшее условие сознательного усвоения материала. Направленность мыслительной деятельности ученика на поиск рациональных путей решения проблемы свидетельствует о вариативности мышления.

Важно показать ученикам красоту и изящество устных вычислений, используя разнообразные вычислительные приемы, помогающие значительно облгчить процесс вычисления. Некоторые из таких приемов не предусмотрены программой начальной школы, а между тем детей довольно легко подвести к ознакомлению с ними, используя современную программу и учебник.

Успешное применение различных приемов зависит в значительной мере от находчивости, изобретательности и умения подмечать особенности чисел и их сочетаний. Приемы устных вычислений основываются на знании нумерации, основных свойств действий, на сведении вычислений к более простым, результаты которых могут быть получены из табличных результатов.

Работа над приемами устных вычислений должна вестись с первого класса. Например, познакомив детей с натуральным рядом чисел и имея его перед глазами, легко закрепить состав чисел. Например, ряд чисел от 0 до 7. Поставив пальчики на крайние числа и передвигая их к центру, дети хором говорят: 7 – это 0 и 7; 1 и 6; 2 и 5 и т.д. Отработав таким образом состав чисел в пределах 10 и познакомившись с приемами перестановки слагаемых, дети легко справляются с заданием: найти сумму чисел от 1 до 10. Важно показать детям при этом и вычисления по порядку для сравнения, чтобы выделить более легкий и рациональный чисел. В дальнейшем, используя переместительное и сочетательное свойства сложения, легко можно найти сумму чисел: 18 + 23 + 22 + 17.

При выполнении устных вычислений иногда полезно округлять числа, прибавляя к ним несколько единиц или убавляя их. Подготовка к округлению чисел происходит на таких заданиях: сколько не хватает до 20, 30, . Далее навыки сложения и вычитания углубляются, ученики знакомятся с округлением компонентов арифметических действий. При выполнении таких заданий внимание обращается на выявление закономерности и нахождении более рационального приема вычислений.

Например: 27 + 59 = 27 + 50 + 3 + 6 (традиционный способ)

53 – 28 = 53 – 20 – 3 – 5 (традиционный способ)

А можно: 53 – 28 = 53 – 30 + 2 и т.д.

Здесь приемы следующие:

— округление одного или нескольких слагаемых;

— округление уменьшаемого или вычитаемого.

Существуют приемы, основанные на знаниях некоторых свойств чисел или результатов действий. Наблюдая примеры:

1 + 3 + 5 = 9 = 3 * 3

1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4 * 4 и т.д.,

легко находить сумму любого количества последовательных нечетных чисел, начиная с 1. Она равна произведению количества слагаемых на самого себя.

Можно использовать для вычислений такую закономерность:

9 + 10 + 11 + 12 = 13 + 14 + 15 и т.д.

Зная число Шахразады: 1001 = 7 * 11 * 13, сразу можно получить результат такого примера: 7 * 11 * 13 * 678 = 678678. Сразу можно написать ответ к выражению: 3* 7* 37 , зная, что 37 * 3 = 111 и т.д. Отсюда становится понятным моментальный ответ на задание: (10 2 + 11 2 + 12 2 + 13 2 + 14 2 ) : 365 = 2.

Рационализация может осуществляться за счет возможности выполнять некоторые арифметические действия в исходной вычислительной программе.

Например: 6 + 2 – 2; 7580 : 20 * 20; 783 * 4 + 783 * 6 – 703 * 8 * 0 и т.п.

Для этого очень важно научить детей внимательно рассматривать условие задания, суметь подметить все его особенности. Здесь главным является формирование установки на предварительный анализ условия задания. Этому помогают упражнения такого вида: 16 . 17 = 33. (Необходимо выбрать нужное арифметическое действие и обосновать). Рассуждения: было 16, стало 33, сумма увеличилась, значит выполняю действие сложения. Далее задания усложняются: 8 . 6 . 33 = 15.

Задания можно давать и в занимательной форме, например “Математический лабиринт”. Дети, выбирая то или иное арифметическое действие, сравнивают числа, им приходится мыслить целенаправленно, обосновывать сказанное.

Для рационализации вычислений существуют частные приемы умножения и деления:

• приемы деления на 3, 6, 9, 5 и т.д.;
• приемы умножения на 5, 9, 99, 999, 11, 101 и т.д.;
• прием замены множителя или делимого разностью 68 * 5 = ( 70 – 2) * 5;
• прием замены множителя или делителя произведением:
  • 75 * 8 = 75 * 2 * 2 * 2;
  • 960 : 15 = 960 : 3: 5;
  • 84 * 84 = 7 * 12 * 7 * 12 = 49 * 144 = 50 * 144 – 144 = 100 * 72 – 144 = 7056.

Все эти приемы основаны на конкретном смысле умножения и помогают расширять знания детей о свойствах умножения и возможности рациональных вычислений задолго до знакомства с этими приемами в средней школе.

Вот как можно просто и быстро перемножать числа от 10 до 20: к одному из чисел надо прибавить количество единиц другого, умножить на 10 и прибавить произведение единиц чисел. Например: 16 * 18 = (16+8)*10 + 6*8 = 240 + 48 = 288

Используя описанный прием, ученик умножает на 10 и применяет табличное умножение, т.е. выполняет довольно простые мыслительные операции.

Овладение некоторыми приемами тождественных преобразований и рациональных вычислений готовит детей к успешному изучению математики в средней школе, а кроме того, перед учениками открывается совсем другая математика: живая, полезная и понятная. И очень жаль, если непонимание математических связей начинается в начальной школе. Как правило, к сожалению, такие дети не могут предложить нестандартное решение. Им трудно объяснить свой выбор, потому что они бояться ошибиться.

Источник

Порядок действий в математике

О чем эта статья:

Основные операции в математике

Основные операции, которые используют в математике — это сложение, вычитание, умножение и деление. Помимо этих операций есть ещё операции отношения, такие как равно (=), больше (>), меньше ( )
меньше (

Порядок вычисления простых выражений

Есть однозначное правило, которое определяет порядок выполнения действий в выражениях без скобок:

• действия выполняются по порядку слева направо
• сначала выполняется умножение и деление, а затем — сложение и вычитание.

Из этого правила становится яснее, какое действие выполняется первым. Универсального ответа нет, нужно анализировать каждый пример и подбирать ход решения самостоятельно.

Что первое, умножение или деление? — По порядку слева направо.

Сначала умножение или сложение? — Умножаем, потом складываем.

Порядок выполнения действий в математике (слева направо) можно объяснить тем, что в нашей культуре принято вести записи слева направо. А необходимость сначала умножить или разделить объясняется самой сутью этих операций.

Рассмотрим порядок арифметических действий в примерах.

Пример 1. Выполнить вычисление: 11- 2 + 5.

В нашем выражении нет скобок, умножение и деление отсутствуют, поэтому выполняем все действия в указанном порядке. Сначала вычтем два из одиннадцати, затем прибавим к остатку пять и в итоге получим четырнадцать.

Вот запись всего решения: 11- 2 + 5 = 9 + 5 = 14.

Пример 2. В каком порядке выполнить вычисления в выражении: 10 : 2 * 7 : 5?

Чтобы не ошибиться, перечитаем правило для выражений без скобок. У нас есть только умножение и деление — значит сохраняем записанный порядок вычислений и считаем последовательно слева направо.

Сначала выполняем деление десяти на два, результат умножаем на семь и получившееся в число делим на пять.

Запись всего решения выглядит так: 10 : 2 * 7 : 5 = 5 * 7 : 5 = 35 : 5 = 7.

Пока новые знания не стали привычными, чтобы не перепутать последовательность действий при вычислении значения выражения, удобно над знаками арифметический действий расставить цифры, которые соответствуют порядку их выполнения.

Например, в такой последовательности можно решить пример по действиям:

Действия первой и второй ступени

В некоторых учебниках по математике можно встретить разделение арифметических действий на действия первой и второй ступени.

• Действиями первой ступени называют сложение и вычитание, а умножение и деление — действиями второй ступени.

С этими терминами правило определения порядка выполнения действий звучит так:

Если выражение не содержит скобок, то по порядку слева направо сначала выполняются действия второй ступени (умножение и деление), затем — действия первой ступени (сложение и вычитание).

Порядок вычислений в выражениях со скобками

Иногда выражения могут содержать скобки, которые подсказывают порядок выполнения математических действий. В этом случае правило звучит так:

Сначала выполнить действия в скобках, при этом также по порядку слева направо выполняется умножение и деление, затем — сложение и вычитание.

Выражения в скобках рассматриваются как составные части исходного выражения. В них сохраняется уже известный нам порядок выполнения действий.

Рассмотрим порядок выполнения действий на примерах со скобками.

Пример 1. Вычислить: 10 + (8 — 2 * 3) * (12 — 4) : 2.

Как правильно решить пример:

Выражение содержит скобки, поэтому сначала выполним действия в выражениях, которые заключены в эти скобки.

Начнем с первого 8 — 2 * 3. Что сначала, умножение или вычитание? Мы уже знаем правильный ответ: умножение, затем вычитание. Получается так:

8 — 2 * 3 = 8 — 6 = 2.

Переходим ко второму выражению в скобках 12 — 4. Здесь только одно действие – вычитание, выполняем: 12 — 4 = 8.

Подставляем полученные значения в исходное выражение:

10 + (8 — 2 * 3) * (12 — 4) : 2 = 10 + 2 * 8 : 2.

Порядок действий: умножение, деление, и только потом — сложение. Получится:

10 + 2 * 8 : 2 = 10 + 16 : 2 = 10 + 8 = 18.

На этом все действия выполнены.

Ответ: 10 + (8 — 2 * 3) * (12 — 4) : 2 = 18.

Можно встретить выражения, которые содержат скобки в скобках. Для их решения, нужно последовательно применять правило выполнения действий в выражениях со скобками. Удобнее всего начинать выполнение действий с внутренних скобок и продвигаться к внешним. Покажем на примере.

Пример 2. Выполнить действия в выражении: 9 + (5 + 1 + 4 * (2 + 3)).

Перед нами выражение со скобками. Это значит, что выполнение действий нужно начать с выражения в скобках, то есть, с 5 + 1 + 4 * (2 + 3). Но! Это выражение также содержит скобки, поэтому начнем сначала с действий в них:

Подставим найденное значение: 5 + 1 + 4 * 5. В этом выражении сначала выполняем умножение, затем — сложение:

5 + 1 + 4 * 5 = 5 + 1 + 20 = 26.

Исходное значение, после подстановки примет вид 9 + 26, и остается лишь выполнить сложение: 9 + 26 = 35.

Ответ: 9 + (5 + 1 + 4 * (2 + 3)) = 35.

Порядок вычисления в выражениях со степенями, корнями, логарифмами и иными функциями

Если в выражение входят степени, корни, логарифмы, синус, косинус, тангенс и котангенс, а также другие функции — их значения нужно вычислить до выполнения остальных действий. При этом важно учитывать правила из предыдущих пунктов, которые задают очередность действий в математике.

Другими словами, перечисленные функции по степени важности можно приравнивать к выражению в скобках.

И, как всегда, рассмотрим, как это работает на примере.

Пример 1. Вычислить (4 + 1) * 3 + 62 : 3 — 7.

В этом выражении есть степень 62. И нам нужно найти ее значение до выполнения остальных действий. Выполним возведение в степень: 62 = 36.

Подставляем полученное значение в исходное выражение:

(4 + 1) * 3 + 36 : 3 — 7.

Дальше нам уже все знакомо: выполняем действия в скобках, далее по порядку слева направо выполняем сначала умножение, деление, а затем — сложение и вычитание. Ход решения выглядит так:

(4 + 1) * 3 + 36 : 3 — 7 = 3 * 3 + 36 : 3 — 7 = 9 + 12 — 7 = 14.

Ответ: (3 + 1) * 2 + 62 : 3 — 7 = 14.

У нас есть статья «знаки больше, меньше или равно», она может быть полезной для тебя!

Источник