Способы решений системы уравнений способ подстановки сложения

Математика

Тестирование онлайн

Система линейных уравнений

Обычно уравнения системы записывают в столбик одно под другим и объединяют фигурной скобкой

Система уравнений такого вида, где a, b, c — числа, а x, y — переменные, называется системой линейных уравнений.

При решении системы уравнений используют свойства, справедливые для решения уравнений.

Решение системы линейных уравнений способом подстановки

Рассмотрим пример

1) Выразить в одном из уравнений переменную. Например, выразим y в первом уравнении, получим систему:

2) Подставляем во второе уравнение системы вместо y выражение 3х-7:

3) Решаем полученное второе уравнение:

4) Полученное решение подставляем в первое уравнение системы:

Система уравнений имеет единственное решение: пару чисел x=1, y=-4. Ответ: (1; -4), записывается в скобках, на первой позиции значение x, на второй — y.

Решение системы линейных уравнений способом сложения

Решим систему уравнений из предыдущего примера методом сложения.

1) Преобразовать систему таким образом, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными. Умножим первое уравнение системы на «3».

2) Складываем почленно уравнения системы. Второе уравнение системы (любое) переписываем без изменений.

3) Полученное решение подставляем в первое уравнение системы:

Решение системы линейных уравнений графическим способом

Графическое решение системы уравнений с двумя переменными сводится к отыскиванию координат общих точек графиков уравнений.

Графиком линейной функции является прямая. Две прямые на плоскости могут пересекаться в одной точке, быть параллельными или совпадать. Соответственно система уравнений может: а) иметь единственное решение; б) не иметь решений; в) иметь бесконечное множество решений.

2) Решением системы уравнений является точка (если уравнения являются линейными) пересечения графиков.

Графическое решение системы

Метод введения новых переменных

Замена переменных может привести к решению более простой системы уравнений, чем исходная.

Рассмотрим решение системы

Введем замену , тогда

Переходим к первоначальным переменным

Особые случаи

Не решая системы линейных уравнений, можно определить число ее решений по коэффициентам при соответствующих переменных.

Пусть дана система

1) Если , то система имеет единственное решение.

2) Если , то система решений не имеет. В этом случае прямые, являющиеся графиками уравнений системы, параллельны и не совпадают.

3) Если , то система имеет бесконечное множество решений. В этом случае прямые совпадают друг с другом.

Метод Гаусса*

Суть метода в последовательном исключении неизвестных, приводя систему линейных уравнений к ступенчатой форме.

Источник

Системы уравнений

Система уравнений — это группа уравнений, в которых одни и те же неизвестные обозначают одни те же числа. Чтобы показать, что уравнения рассматриваются как система, слева от них ставится фигурная скобка:

	x — 4y = 2
	3x — 2y = 16

Решить систему уравнений — это значит, найти общие решения для всех уравнений системы или убедиться, что решения нет.

Чтобы решить систему уравнений, нужно исключить одно неизвестное, то есть из двух уравнений с двумя неизвестными составить одно уравнение с одним неизвестным. Исключить одно из неизвестных можно тремя способами: подстановкой, сравнением, сложением или вычитанием.

Способ подстановки

Чтобы решить систему уравнений способом подстановки, нужно в одном из уравнений выразить одно неизвестное через другое и результат подставить в другое уравнение, которое после этого будет содержать только одно неизвестное. Затем находим значение этого неизвестного и подставляем его в первое уравнение, после этого находим значение второго неизвестного.

Рассмотрим решение системы уравнений:

	x — 4y = 2
	3x — 2y = 16

Сначала найдём, чему равен x в первом уравнении. Для этого перенесём все члены уравнения, не содержащие неизвестное x, в правую часть:

Так как x, на основании определения системы уравнений, имеет такое же значение и во втором уравнении, то подставляем его значение во второе уравнение и получаем уравнение с одним неизвестным:

3x	— 2y = 16;
3( 2 + 4y )	— 2y = 16.

Решаем полученное уравнение, чтобы найти, чему равен y. Как решать уравнения с одним неизвестным, вы можете посмотреть в соответствующей теме.

3(2 + 4y) — 2y = 16;

6 + 12y — 2y = 16;

6 + 10y = 16;

10y = 16 — 6;

10y = 10;

y = 10 : 10;

y = 1.

Мы определили что y = 1. Теперь, для нахождения численного значения x, подставим значение y в преобразованное первое уравнение, где мы ранее нашли, какому выражению равен x:

x = 2 + 4y = 2 + 4 · 1 = 2 + 4 = 6.

Способ сравнения

Способ сравнения — это частный случай подстановки. Чтобы решить систему уравнений способом сравнения, нужно в обоих уравнениях найти, какому выражению будет равно одно и то же неизвестное и приравнять полученные выражения друг к другу. Получившееся в результате уравнение позволяет узнать значение одного неизвестного. С помощью этого значения затем вычисляется значение второго неизвестного.

Например, для решение системы:

	x — 4y = 2
	3x — 2y = 16

найдём в обоих уравнениях, чему равен y (можно сделать и наоборот — найти, чему равен x):

x — 4y = 2	3x — 2y = 16
-4y = 2 — x	-2y = 16 — 3x
y = (2 — x) : — 4	y = (16 — 3x) : -2

Составляем из полученных выражений уравнение:

2 — x	=	16 — 3x
-4		-2

Решаем уравнение, чтобы узнать значение x:

2 — x · (-4) = 16 — 3x · (-4) -4 -2

2 — x = 32 — 6x

—x + 6x = 32 — 2

5x = 30

x = 30 : 5

x = 6

Теперь подставляем значение x в первое или второе уравнение системы и находим значение y:

x — 4y = 2	3x — 2y = 16
6 — 4y = 2	3 · 6 — 2y = 16
-4y = 2 — 6	-2y = 16 — 18
-4y = -4	-2y = -2
y = 1	y = 1

Способ сложения или вычитания

Чтобы решить систему уравнений способом сложения, нужно составить из двух уравнений одно, сложив левые и правые части, при этом одно из неизвестных должно быть исключено из полученного уравнения. Неизвестное можно исключить, уравняв при нём коэффициенты в обоих уравнениях.

	x — 4y = 2
	3x — 2y = 16

Уравняем коэффициенты при неизвестном y, умножив все члены второго уравнения на -2:

	x — 4y = 2
	-6x + 4y = -32

Теперь сложим по частям оба уравнения, чтобы получить уравнение с одним неизвестным:

+	x — 4y = 2
	-6x + 4y = -32
-5x = -30

Находим значение x (x = 6). Теперь, подставив значение x в любое уравнение системы, найдём y = 1.

Если уравнять коэффициенты у x, то, для исключения этого неизвестного, нужно было бы вычесть одно уравнение из другого.

Уравняем коэффициенты при неизвестном x, умножив все члены первого уравнения на 3:

(x — 4y) · 3 = 2 · 3

	3x — 12y = 6
	3x — 2y = 16

Теперь вычтем по частям второе уравнение из первого, чтобы получить уравнение с одним неизвестным:

—	3x — 12y = 6
	3x — 2y = 16
-10y = -10

Находим значение y (y = 1). Теперь, подставив значение y в любое уравнение системы, найдём x = 6:

3x — 2y = 16

3x — 2 · 1 = 16

3x — 2 = 16

3x = 16 + 2

3x = 18

x = 18 : 3

x = 6

Для решения системы уравнений, рассмотренной выше, был использован способ сложения, который основан на следующем свойстве:

Любое уравнение системы можно заменить на уравнение, получаемое путём сложения (или вычитания) уравнений, входящих в систему. При этом получается система уравнений, имеющая те же решения, что и исходная.

Источник

Решение системы уравнений (ЕГЭ 2022)

Решение уравнений и систем уравнений — на самый легкий, но зато универсальный метод решения задач.

Этим методом можно решить буквально любую задачу.

Поэтому им стоит овладеть в совершенстве.

Читай эту статью и ты научишься решать системы уравнений.

Решение систем уравнений — коротко о главном

Определение:

Система уравнений –это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (или одной) переменных.

Объединяем уравнения в систему с помощью фигурной скобки:

3 метода решения систем уравнений:

1. Метод подстановки — самый простой, но трудоемкий;
2. Графический метод — самый неточный, годится только для некоторых линейных уравнений;
3. Метод сложения — наиболее эффективный из трех, но не всегда удобен.

А теперь подробнее…

Что такое система уравнений

Система уравнений — это условие, состоящее в одновременном выполнении нескольких уравнений относительно нескольких (или одной) переменных.

Другими словами, если задано несколько уравнений с одной, двумя или больше неизвестными, и все эти уравнения (равенства) должны одновременно выполняться, такую группу уравнений мы называем системой.

Например, ты хочешь сходить на концерт любимой группы вечером. Для этого тебе нужно согласие мамы и папы одновременно. Мама запретит – уже не идешь. 🙂

Объединяем уравнения в систему с помощью фигурной скобки:

\( \left\< \beginУравнение\ 1\\Уравнение\ 2\\Уравнение\ 3\\…\end \right.\)

3 метода решения систем уравнений

1. Метод подстановки

Нужно в одном из уравнений выразить одну переменную через другие, а затем полученное выражение подставить в остальные уравнения вместо этой переменной, повторять подобную процедуру пока не будут найдены все переменные.

2. Графический метод

Если построить графики для каждого уравнения в одной системе координат, решениями системы уравнений будут точки пересечения графиков.

Графический метод – самый неточный. Практически его можно применять только для систем линейных уравнений (вида \( y=ax+b\)), графиками которых являются прямые.

Если же хотя бы одно из уравнений имеет более сложный вид (содержит квадрат, корень, логарифм и т.д.), то использовать графический метод не рекомендуется.

3. Метод сложения

Метод сложения основан на следующем: если сложить левые части двух (или больше) уравнений, полученное выражение будет равно сложенным правым частям этих же уравнений.

Но ни в коем случае не наоборот:

\( a+c=b+d\text< >\triangleleft \ne \triangleright \text< >\left\< \begina=b\\c=d\end \right.\)

Источник