Способы решение квадратного уравнения 8 класс

РАЗЛИЧНЫЕ СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ
статья по алгебре (8 класс) по теме

Работа предназначена для учащихся 8-9 классов, она поможет разобраться с различными способами решения квадратных уравнений.

«В материале рассматриваются способы решения, которые изучаются в школе : с помощью дискриминанта, теорема Виетта, а так же такие методы решения, которые не изучаются в школьной программе.

В работе одно уравнение решено всеми способами, показанными в работе.

Также в работе представлен список рекомендуемой литературы, составлен дидактический материал для самостоятельного изучения всего материала работы.

Скачать:

Вложение	Размер
30971021654.doc	330 КБ

Предварительный просмотр:

Различные способы решения квадратных уравнений.

1. Введение.
2. Из истории квадратных уравнений.
3. Способы решения квадратных уравнений.

1. Решение квадратных уравнений по формуле.
2. Разложение левой части уравнения на множители.
3. Решение квадратных уравнений по теореме Виета.
4. Метод выделения полного квадрата.
5. Решение квадратных уравнений способом переброски коэффициентов.
6. Свойства коэффициентов квадратного уравнения.
7. Графическое решение.
8. Решение с помощью линейки и циркуля.
9. Номограммы в решении квадратных уравнений.
10. Геометрический способ решения.
11. Решение квадратных уравнений по теореме Безу.

1. Решение одного уравнения всеми способами.
2. Литература.
3. Приложение.

Прежде чем рассмотреть способы решения квадратных уравнений, вспомним

определение: Квадратным уравнением называется уравнение вида

где х- переменная, а,b и с-некоторые числа, причем, а ≠ 0.

Если в квадратном уравнении ах 2 + bx + c = 0 хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю, то такое уравнение называют неполным квадратным уравнением.

Расширение и углубление знаний в области решений квадратных уравнений.

1. Рассмотреть всевозможные способы решений квадратных уравнений.
2. Научиться применять эти способы решений.
3. Выявить наиболее удобные способы решений.
4. Составить дидактический материал для использования разных способов решений квадратных уравнений.

Актуальность этой темы заключается в том, что при сдаче ГИА и ЕГЭ квадратные уравнения необходимо решать не только на алгебре, геометрии, но и на физике. А так как время экзамена ограничено, значит надо уметь быстро найти рациональный способ решения. Работа способствует выработке навыка решения квадратных уравнений и умению быстро находить рациональный способ решения.

Из истории квадратных уравнений.

Развитие земледелия и астрономии ставили перед учеными древности задачи, для решения которых требовалось умение решать квадратные уравнения.

Решение некоторых квадратных уравнений известно было вавилонянам около 2000 лет до н.э.. Затем решение уравнений стало под силу грекам, а за ними индейцам, которые графически научились решать некоторые виды квадратных уравнений. Но общих способов решения пока не вывели.

В III в. н.э. квадратное уравнение х 2 — 20х + 96 = 0 решил древнегреческий математик Диофант без обращения к геометрии, но решение х= -2 для Диофанта не существовало, т.к. отрицательные числа древняя математика не знала.

Способы решений квадратных уравнений.

1. Решение квадратных уравнений по формуле.

Умножим обе части уравнения

ах 2 + bх + с = 0, а ≠ 0,

на 4а и следовательно имеем:

4а 2 х 2 + 4аbх + 4ас = 0.

((2ах) 2 + 2*2ах * b + b 2 ) – b 2 + 4ас = 0,

(2ах + b) 2 = b 2 – 4ас,

2ах + b = ± √ b 2 – 4ас

2ах = – b ± √ b 2 – 4ас

а = 2, b = -5, с = 2, D = b 2 – 4ас =(-5) 2 -4*2*2=25-16=9, D >два разных корня;

х = , х = ; х = , х 1 =2 , х 2 = , х 2 = 1/2

Таким образом, в случае положительного дискриминанта,

т. е. при b2 – 4ас≥0 уравнение ах 2 + bх + с = 0 имеет два различных корня.

а =4, b= — 12, с = 9. D = b 2 – 4ас=144-4*4*9=0, D = 0, один корень;

Итак, если дискриминант равен нулю, т. е. D = b 2 – 4ас= 0, то уравнение ах 2 + bх + с = 0 имеет единственный корень, х =

в) 2х 2 -3х + 2 = 0, а =2, b= -3, с = 2, D = b 2 – 4ас= 9 – 4∙2∙2 =9 – 16 = — 7, D

Уравнение не имеет корней.

1. Разложение левой части на множители.

х 2 — 2х — 8 = 0. Разложим левую часть на множители:

х 2 — 2х — 8 = х 2 — 4х +2х -8 = х(х -4 ) + 2(х -4) = (х + 2)(х -4).

Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается нуль при х = -2, а также при х = 4.

Это означает, что число — 2 и 4 являются корнями уравнения х 2 — 2х — 8 = 0.

1. Решение квадратных уравнений по теореме Виета.

Знаменитый французский учёный Франсуа Виет(1540-1603)

Сумма корней приведенного квадратного уравнения х 2 + рх + q = 0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену, т.е. х 1 + х 2 = — р,

Теорема, обратная теореме Виета. Если р, q, x 1 , x 2 таковы, что х 1 + х2 = — р,

х 1 · х 2 = q, то х 1 и х 2 – корни уравнения х 2 + рх + q = 0

1. Метод выделения полного квадрата.

Поясним этот метод на примере.

Решим уравнение х 2 + 6х – 40 = 0

Выделим в левой части полный квадрат. Для этого запишем выражение

х 2 + 6х в следующем виде: х 2 + 6х = х 2 + 2· х ·3.

В полученном выражении первое слагаемое – квадрат числа х, а второе – удвоенное произведение х на 3. поэтому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 9, так как

х 2 + 2· х ·3 + 9 = (х + 3) 2 .

Преобразуем теперь левую часть уравнения х 2 + 6х – 40 = 0,

прибавляя к ней и вычитая 9. Имеем: х 2 + 6х – 40 = х 2 + 2х ·3 + 9 – 9 – 40 = (х + 3) 2 – 49.

Таким образом, данное уравнение можно записать так: (х + 3) 2 –49 = 0, т.е. (х + 3) 2 = 49.

Следовательно, х + 3 = 7, х 1 = 4, или х +3 = -7 , х 2 = -10.

1. Решение квадратных уравнений способом переброски коэффициентов.

Рассмотрим квадратное уравнение ах 2 + bх + с = 0, а ≠ 0.

Умножая обе его части на а, получаем уравнение а 2 х 2 + а bх + ас = 0.

Пусть ах = у, откуда х =y/a; тогда приходим к уравнению у 2 + by + ас = 0,

равносильного данному. Его корни у 1 и у 2 найдем с помощью теоремы Виета. Окончательно получаем х 1 = и х 2 = . При этом способе коэффициент а умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.

Решим уравнение 2х 2 -9x+9 = 0.

Решение. «Перебросим» коэффициент 2 к свободному члену, в результате получим уравнение у 2 – 9y +18 = 0.

Согласно теореме Виета

y 1 =6 x 1 =6/2 x 1 =3
y 2 =3 x 2 =3/2 x 2 =1,5

1. Свойства коэффициентов квадратного уравнения.

ах 2 + bх + с = 0, где а ≠ 0.

1 ) Если, а+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов равна нулю), то х 1 = 1, х 2 = с/а.

Решим уравнение 2013х 2 –2014х + 1 = 0.

Решение. Так как а + b + с = 0 (2013 – 2014 + 1 = 0), то х 1 = 1, х 2 = c/a = 1/2013.

2) Если a + c=b , то х 1 =-1, х 2 = -с/а

Решим уравнение 11x 2 +27x+16= 0

х 1 = — 1, х 2 = -16/11

Ответ: х 1 =-1, х 2 =-16/11

Если в уравнении х 2 + px + q = 0 перенести второй и третий члены в правую часть, то получим х 2 = — px — q.

Построим графики зависимости у = х 2 и у = — px — q.

График первой зависимости — парабола, проходящая через начало координат. График второй зависимости — прямая (рис.1). Возможны следующие случаи:

— прямая и парабола могут пересекаться в двух точках, абсциссы точек пересечения являются корнями квадратного уравнения;

— прямая и парабола могут касаться (одна общая точка), т.е. уравнение имеет одно решение;

— прямая и парабола не имеют общих точек, т.е. квадратное уравнение не имеет корней.

1. Решение с помощью линейки и циркуля.

1. Номограммы в решении квадратных уравнений.

номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения.

Криволинейная шкала номограммы построена по формулам

1. Геометрический способ решения.

Решение представлено на рис.8 , где

у 2 + 6у = 16, или у 2 + 6у + 9 = 16 + 9.

Решение. Выражения у 2 + 6у – 16 +9 – 9 = 0 – одно и то же уравнение. Откуда и получаем, что у + 3 = ± 5, или у 1 = 2, у 2 = – 8.

у2

3у

1. Решение квадратных уравнений по теореме Безу.

Разделим р(х) на (х-1)

Ответ: x 1 =1, x 2 =3

Решение одного уравнения всеми способами.

«Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу различными способами, чем решать три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными способами, можно путем сравнения выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт». У. У. Сойер.

1)Решение квадратного уравнения по формуле:

D=8 2 -4*1*(-9)=64+36=100>0-действуют 2 корня

2)Разложение левой части на множители:

а)x 2 +8x-9=0 б)x 2 +8x-9=0

x 2 +9x-x-9=0 x 2 +8x-8-1=0

x 2 -x+9x-9=0 x 2 -1+8x-8=0

x-1=0 или x+9=0 x-1=0 или x+9=0

x 1 =1 x 2 =-9 x 1 =1 x 2 =-9

3)Решение по теореме Виета.

x 1 *x 2 =-9

Методом подбора находим:

4)Метод выделения полного квадрата:

x 2 +2*x* 4 + 4 2 -4 2 -9=0 x+4=±5

x 2 +2 x 4+16-25=0 x+4=5 или x+4=-5

(x+4) 2 =25 x 1 =1 x 2 =-9

5)Решение способом переброски коэффициентов.

Квадратное уравнение решается данным способом если a ≠1.

Поэтому х 2 +8х-9=0 данным способом не решается.

6)Свойства коэффициентов квадратного уравнения:

a+b+c=0, тогда х 1 =1 х 2 = -9

7) Графическое решение:

Построим графики данных функций:

у=х 2 — парабола с центром в точки О(0:0)

у=-8х+9- линейная функция, графиков является прямая.

Источник

Презентация «Способы решения квадратных уравнений», 8 класс

Описание презентации по отдельным слайдам:

Посредством уравнений, теорем Я уйму всяких разрешал проблем. ( Чосер, английский поэт, средние века.)

Исследовательская работа по теме: Способы решения квадратных уравнений Выполнили: обучающиеся 8-А класса МБОУ «Ивановская средняя общеобразовательная школа» Руководитель: Давыдова Лариса Викторовна учитель математики.

Впервые мы услышали о квадратных уравнениях на уроке математики от учителя. Особенно нас заинтересовали способы их решения, причем наиболее рациональные. Во-первых, очень удивило сочетание слов «квадратное», «уравнение». Во-вторых, чем знамениты эти уравнения. В- третьих, почему их решением так долго занимались великие ученые. В-четвертых, способы решения квадратных уравнений и их практическая значимость. Эти вопросы нас очень заинтриговали, и мы решили проследить историю возникновения и решения данной проблемы. Введение

1. Показать, что в математике, как и во всякой другой науке, достаточно своих неразгаданных тайн. 2. Подчеркнуть, что математиков отличает нестандартное мышление. А иногда смекалка и интуиция хорошего математика просто приводят в восхищение! 3. Показать, что сама попытка решения квадратных уравнений содействовала развитию новых понятий и идей в математике. 4. Научиться работать с различными источниками информации. 5. Продолжить исследовательскую работу по математике Цели и задачи проекта.

Этапы исследования История возникновения квадратных уравнений. Определение квадратного уравнения и его виды. Решение квадратных уравнений, используя формулу дискриминанта . Франсуа Виет и его теорема. Свойства коэффициентов для быстрого нахождения корней квадратного уравнения. Практическая направленность.

1 этап. История возникновения квадратных уравнений. ОКАЗЫВАЕТСЯ: Задачи на квадратные уравнения встречались уже в 499 г. В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач – ОЛИМПИАДЫ.

История возникновения квадратных уравнений. Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары: Обезьянок резвых стая Всласть поевши, развлекалась. Их в квадрате часть восьмая На поляне забавлялась. А 12 по лианам… Стали прыгать, повисая. Сколько было обезьянок, Ты скажи мне, в этой стае?

Штифель (1486 – 1567) в 1544 году сформировал общее правило решения квадратных уравнений, приведённых к единому каноническому виду x2 + bx = c при всевозможных комбинациях знаков и коэффициентов b и c. Франсуа Виет (1540 – 1603) вывел формулы решения квадратного уравнения в общем виде, однако он признавал только положительные числа. Итальянские учёные Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI веке учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. В XVII веке благодаря трудам Жиррара, Декарта, Ньютона и других учёных, способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

произвольное квадратное уравнение — ? приведенное квадратное уравнение — ? полное — ? Квадратные уравнения — ? неполное — ? Формула корней квадратного уравнения D =? Х =?

Квадратным уравнением называется уравнение вида a х2 + b x + c = 0 где х – переменная, a, b и c – некоторые числа, причём а ≠ 0. a x2 + b x + c = 0 Первый коэффициент Второй коэффициент Свободный член

Классификация . Квадратные уравнения. неполное полное а х2 + b х + с = 0, а≠0 приведённое x2 + p x + q = 0 b = 0; a x2 + c = 0 c = 0; a x2 + b x = 0 b = 0; c = 0; a x2 = 0

Решение полного квадратного уравнения. D = b2 – 4 ∙ а ∙ с D > 0 D = 0 D 13 слайд

2 этап. Провели исследование приведенных квадратных уравнений, решив эти уравнения 3 и –4 15 и -3 -3 и –5 3 и 7 2 и 3 5 и -2 -1 12 -45 -8 15 5 6 10 21 3 -10 -12 Нашли связь между коэффициентами а, b, с, суммой и произведением корней квадратного уравнения. Вывод: № Уравнение Корни уравнения Сумма корней Произведение корней 1. х2+х–12=0 2. х2- 12х–45=0 3. у2+ 8у+15=0 4. у2- 5у+6=0 5. z2-10z +21 = 0 6. z2-3z-10 = 0

Теорема Виета. Если корни х1 и х2 приведённого квадратного уравнения х2 + px + q = 0 , то х1 + х2 = — p, а х1 · х2 = q. Обратное утверждение: Если числа m и n таковы, что m + n = — p, m∙n = q, то эти числа являются корнями уравнения х2 + px + q = 0. Обобщённая теорема: Числа х1 и х2 являются корнями приведённого квадратного уравнения х2 + px + q = 0 тогда и только тогда, когда х1 + х2 = — p, х1 · х2 = q. Следствие: х2 + px + q = (х – х1)(х – х2)

Франсуа Виет Французский математик, ввел систему алгебраических символов, разработал основы элементарной алгебры. Он был одним из первых, кто числа стал обозначать буквами, что существенно развило теорию уравнений. Виета часто называют«отцом алгебры» 1540- -1603

Ситуации, в которых может использоваться теорема Виета. Проверка правильности найденных корней. Определение знаков корней квадратного уравнения. Устное нахождение целых корней приведённого квадратного уравнения. Составление квадратных уравнений с заданными корнями. Разложение квадратного трёхчлена на множители.

Представляем задания из материалов государственной итоговой аттестации, которые легко решаются, зная теорему Виета: Верно ли, что числа 15 и 7 являются корнями уравнения x2 – 22x + 105 = 0 ? Определите знаки корней уравнения x2 + 5x – 36 = 0. 3.Найдите устно корни уравнения x2 – 9x + 20 = 0. 4.Составьте квадратное уравнение, корнями которого являются числа 1/3 и 0,3. 5. Разложите квадратный трёхчлен x2 + 2x – 48 на множители.

Мы решали квадратные уравнения различными способами: выделением квадрата двучлена, по формуле корней, с помощью теоремы Виета, и каждый раз убеждались в том, что уравнение можно решить легче и быстрее. Оказывается, есть ещё другие способы решения квадратных уравнений, которые позволят устно и быстро находить корни квадратного уравнения.

3 этап. Провели исследование квадратных уравнений. Нашли связь между коэффициентами а, b, с и корнями квадратного уравнения. Вывод: № Уравнение Корни уравнения а+b+c a-b+c 1. х2+ 17х – 18 = 0 1 и -18 0 -35 2. 2х2–х– 3 = 0 -1 и 3 -2 0 3. х2– 39х – 40 = 0 -1 и 40 -78 0 4. 14х2– 17х +3 = 0 1 и 3 0 34 5. 100х2- 97х -197=0 -1 и 197 -194 0

Если в уравнении ах2 + bх +с = 0, а + b + с = 0, то один из его корней равен 1, а другой, в соответствии с теоремой Виета, равен с/а. Пример: х2 + х – 2 = 0 ; а = 1 , в = 1 , с = -2 1 + 1 – 2 = 0 ; х1 = 1 , х2 = -2 Если в уравнении ах2 + bх + с = 0, а – b + с = 0 или b=a+c, то один из его корней равен –1, а другой –с/а Пример : х2 – х – 2 = 0, 1 – (- 1 ) + ( -2 ) = 0, х1 = -1, х2 = 2 Свойство 1. Свойство 2.

4 этап. Провели исследование квадратных уравнений. Нашли связь между коэффициентами а, b, с и корнями квадратного уравнения. Вывод: № Уравнение Корни уравнения а=с b=a2+1 b= -(a2+1) 1. 7 х2+ 50х +7 = 0 -7и -1/7 7 50 2. 2х2–5х+2 = 0 2 и 1/2 2 -5 3. 4х2– 17х + 4 = 0 4 и 1/4 4 -17 4. 14х2– 197х +14=0 14 и 1/14 14 -197 5. 6х2+37х +6=0 -6 и -1/6 6 37

Если a = c, b = a2 + 1, то x1 = — a, а x2 = -1/a. Если a = c, b = -(a2 + 1), то x1 = a, а x2 = 1/a. Пример. 3х2+10х+3=0, а=3, b=10, с=3. Так как а=с=3, b=32+1=10, то х1=-3, х2=1/3 Пример. 3х2 — 10х+3=0, а=3,b=-10,с=3. Так как а=с=3, b=-(32+1)=-10, то х1=3, х2=1/3 Свойство 3. Свойство 4.

ах² + вх + с = 0 у² + ву + с = 0 ах = у, х = Приём «переброски»

Вывод: 1. Проводя исследование, выяснили, что кроме традиционных методов решения квадратного уравнения , которые мы узнали на уроках алгебры, существуют еще не менее интересные, а главные полезные свойства, практически устного решения квадратного уравнения. 2. Исследовательскую работу по математике планируем продолжать и далее. 3. Результаты своего исследования мы представили в виде карточки-памятки по решению квадратного уравнения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ А.П.Ершова, В.В.Голобородько, А.С.Ершова «Самостоятельные и контрольные работы по алгебре и геометрии для 8 класса», «ИЛЕКСА»,Москва,2003 . М.Б.Миндюк, Н.Г.Миндюк «Разноуровневые дидактические материалы по алгебре, 8 класс», «ГЕНЖЕР»,Москва,2002. Л.В.Кузнецова, Л.О.Дедищева «Алгебра 7-9 .Тематические зачеты» Г.И.Ковалева «Уроки математики в 8 классе»,издательство «БРАТЬЯ ГРИНИНЫ»,Волгоград, 2001.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

• Сейчас обучается 821 человек из 76 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

• Сейчас обучается 290 человек из 69 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

• Сейчас обучается 605 человек из 75 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Номер материала: ДБ-1284027

Международная дистанционная олимпиада Осень 2021

Не нашли то что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами

Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно

В Минпросвещения предложили организовать телемосты для школьников России и Узбекистана

Время чтения: 1 минута

В России выбрали топ-10 вузов по работе со СМИ и контентом

Время чтения: 3 минуты

Минпросвещения будет стремиться к унификации школьных учебников в России

Время чтения: 1 минута

Пензенские родители смогут попасть в школы и детсады только по QR-коду

Время чтения: 1 минута

Минпросвещения разрабатывает образовательный минимум для подготовки педагогов

Время чтения: 2 минуты

Рособрнадзор откажется от ОС Windows при проведении ЕГЭ до конца 2024 года

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник