Способы распространения результатов выборочного наблюдения на генеральную совокупность
Характеристики выборки могут быть распространены на генеральную совокупность с помощью одного из двух способов распространения выборочных данных:
— способа прямого пересчета;
— способа поправочных коэффициентов.
При первом способе средние величины и доли, полученные по выборке, переносятся на генеральную совокупность. При этом генеральная средняя определяется как 
, а генеральная доля – какР
.
Способ поправочных коэффициентов применяется, когда целью выборочного исследования является уточнение результатов сплошного наблюдения. Для этого после обобщения данных сплошного наблюдения практикуется 10%-ное выборочное наблюдение с установлением поправочного коэффициента 
, который устанавливает процент расхождений между данными сплошного и выборочного наблюдения.
Например, при проведении сплошного учета уличных торговых мест в городе их было зарегистрировано N=1000 шт. С целью уточнения данных через полгода был проведен контрольный обход части города и зарегистрировано 210 уличных торговых мест. По данным сплошного учета их было 200шт.
Необходимо уточнить число уличных торговых мест на новую дату: 
На новую дату число торговых мест составят 
Проверка статистических гипотез
Статистическая гипотеза – это гипотеза, которая допускает наблюдения статистической природы. Такие наблюдения могут возникать в различных областях деятельности человека. Вот некоторые примеры.
1) Вероятности выпадения каждой грани игральной кости равны. Это означает, что мы имеем равномерное распределение случайной переменной, которая представляет собой число точек на лицевой поверхности каждой грани данной кости.
2) Средняя длина детали, поступившей от нашего поставщика, больше, чем он заявлял (или меньше, или отличается от заявленной).
3) Средняя оценка стандартного тестирования у обучавшихся по новому методу выше, чем у обучавшихся по старому методу.
4) Значения параметров, характеризующих чистоту воздуха в городе, больше, чем установлено стандартом.
5) Для некоторых работодателей переменная «принятие на работу» не будет независимой от переменной «пол» (или «этническая принадлежность», «вероисповедание» и т. д.).
Из приведенных примеров следует, что статистическая гипотеза – это утверждение относительно характера или неизвестных параметров распределения случайных величин.
Гипотеза1 является гипотезой относительно абстрактной модели, вероятностном распределении случайной переменной, которая описывает игральную кость. Данная гипотеза может быть проверена с помощью наблюдений, например, 100 бросаний кости. Следующие три гипотезы касаются параметра. Они проверяются с помощью выборочных данных. Эти данные рассматриваются как выборочное распределение, необходимое для оценки параметра. Последняя гипотеза утверждает независимость двух качественных (нечисловых) переменных. Она проверяется путем сравнения наблюдаемых данных с истинными данными, ожидаемыми в случае независимости переменных. Отметим, что только три из пяти гипотез включает параметр, две другие представляют собой статистически утверждения другого рода.
Для каждого из этих примеров практически невозможно непосредственно определить истинность гипотезы. Например, вероятностное распределение для кости является моделью всех возможных бросаний, которые мы не можем наблюдать. Практически невозможно измерить длину каждой из сотен, а может быть и тысяч поступающих деталей. Для гипотезы (3) невозможно протестировать сегодня всех студентов, которые должны обучаться по новому методу в ближайшие 15 лет. Конечно, можно протестировать студентов через год после окончания обучения. Но оценку эффективности нового метода нужно делать до его реализации, а не после. А для гипотезы (4) можно ли проверить каждый кубический метр воздуха в городе? Наконец, что означает (5) прямая верификация для каждого человека?
Из-за невозможности определить истинность гипотезы прямым путем, мы «проверяем» гипотезу, т.е. устанавливаем, не противоречит ли высказанная нами гипотеза имеющимся выборочным данным. Эта процедура носит название статистической проверки гипотез.
Результат сопоставления высказанной гипотезы с выборочными данными может быть либо отрицательным (данные наблюдения противоречат высказанной гипотезе, а поэтому гипотезу надо отклонить), либо неотрицательным (данные наблюдения не противоречат высказанной гипотезе, а поэтому ее можно принять в качестве одного из возможных решений).
Наряду с выдвинутой гипотезой рассматривают и противоречащую ей. Если выдвинутая гипотеза будет отвергнута, то имеет место противоречащая гипотеза. Следовательно, эти гипотезы целесообразно различать.
Нулевая гипотеза (H0) – это основное проверяемое предположение, которое обычно формулируется как отсутствие различий, отсутствие влияния фактора, отсутствие эффекта, равенство нулю значений выборочных характеристик и т.п. Примером нулевой гипотезы является утверждение о том, что различие в результатах выполнения двумя группами учащихся одной и той же контрольной работы вызвано лишь случайными причинами.
Другое проверяемое предположение (не всегда строго противоположное или обратное первому) называется конкурирующей или альтернативной гипотезой. Так, для упомянутого выше примера гипотезы Н0 одна из возможных альтернатив Н1 будет определена как: уровни выполнения работы в двух группах учащихся различны и это различие определяется влиянием неслучайных факторов, например, тех или других методов обучения.
С точки зрения статистической проверки гипотез существуют только два вида ошибок, называемые ошибкой I рода иошибкой II рода.
Ошибка I рода – это неправильное действие в соответствии с Н1: действовать в соответствии сН1, если справедливаН0, т.е. ошибочно отвергнуть нулевую гипотезу. Ошибка II рода – это неправильное действие в соответствии сН0: действовать в соответствии сН0, если справедливаН1. Вероятность ошибки интерпретируется как условная вероятность. Условные вероятности этих двух типов ошибок обозначаются соответственноα иβ:
α =Р (ошибка I рода) =Р (действие в соответствии сН1|Н0 истинна);
β =Р (ошибка II рода) =Р (действие в соответствии сН0|Н1 истинна).
В таблице 6.5 показаны возможности принятия решения и ошибки двух типов по отношению к гипотезе Н0. Отметим, что если гипотезаН0 справедлива и она принимается, то в таблице указано, что решение принято правильно. Если справедлива гипотезаН1, а принимаетсяН0 , то при решении допущена ошибка II рода. Если справедлива гипотезаН0 , а принимается гипотезаН1, то при решении допущена ошибка I рода.
Таблица 6.5 — Решения и ошибки при статистической проверке гипотез
Источник
Способы распределения выборочных данных
1. Задачи математической статистики.
3. Способы отбора.
4. Статистическое распределение выборки.
5. Эмпирическая функция распределения.
6. Полигон и гистограмма.
7. Числовые характеристики вариационного ряда.
8. Статистические оценки параметров распределения.
9. Интервальные оценки параметров распределения.
1. Задачи и методы математической статистики
Математическая статистика — это раздел математики, посвященный методам сбора, анализа и обработки результатов статистических данных наблюдений для научных и практических целей.
Пусть требуется изучить совокупность однородных объектов относительно некоторого качественного или количественного признака, характеризующего эти объекты. Например, если имеется партия деталей, то качественным признаком может служить стандартность детали, а количественным- контролируемый размер детали.
Иногда проводят сплошное исследование, т.е. обследуют каждый объект относительно нужного признака. На практике сплошное обследование применяется редко. Например, если совокупность содержит очень большое число объектов, то провести сплошное обследование физически невозможно. Если обследование объекта связано с его уничтожением или требует больших материальных затрат, то проводить сплошное обследование не имеет смысла. В таких случаях случайно отбирают из всей совокупности ограниченное число объектов (выборочную совокупность) и подвергают их изучению.
Основная задача математической статистики заключается в исследовании всей совокупности по выборочным данным в зависимости от поставленной цели, т.е. изучение вероятностных свойств совокупности: закона распределения, числовых характеристик и т.д. для принятия управленческих решений в условиях неопределенности.
Генеральная совокупность – это совокупность объектов, из которой производится выборка.
Выборочная совокупность (выборка) – это совокупность случайно отобранных объектов.
Объем совокупности – это число объектов этой совокупности. Объем генеральной совокупности обозначается N , выборочной – n .
Если из 1000 деталей отобрано для обследования 100 деталей, то объем генеральной совокупности N = 1000, а объем выборки n = 100.
При составлении выборки можно поступить двумя способами: после того, как объект отобран и над ним произведено наблюдение, он может быть возвращен либо не возвращен в генеральную совокупность. Т.о. выборки делятся на повторные и бесповторные.
Повторной называют выборку, при которой отобранный объект (перед отбором следующего) возвращается в генеральную совокупность.
Бесповторной называют выборку, при которой отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается.
На практике обычно пользуются бесповторным случайным отбором.
Для того, чтобы по данным выборки можно было достаточно уверенно судить об интересующем признаке генеральной совокупности, необходимо, чтобы объекты выборки правильно его представляли. Выборка должна правильно представлять пропорции генеральной совокупности. Выборка должна быть репрезентативной (представительной).
В силу закона больших чисел можно утверждать, что выборка будет репрезентативной, если ее осуществлять случайно.
Если объем генеральной совокупности достаточно велик, а выборка составляет лишь незначительную часть этой совокупности, то различие между повторной и бесповторной выборками стирается; в предельном случае, когда рассматривается бесконечная генеральная совокупность, а выборка имеет конечный объем, это различие исчезает.
В американском журнале «Литературное обозрение» с помощью статистических методов было проведено исследование прогнозов относительно исхода предстоящих выборов президента США в 1936 году. Претендентами на этот пост были Ф.Д. Рузвельт и А. М. Ландон. В качестве источника для генеральной совокупности исследуемых американцев были взяты справочники телефонных абонентов. Из них случайным образом были выбраны 4 миллиона адресов., по которым редакция журнала разослала открытки с просьбой высказать свое отношение к кандидатам на пост президента. Обработав результаты опроса, журнал опубликовал социологический прогноз о том, что на предстоящих выборах с большим перевесом победит Ландон. И … ошибся: победу одержал Рузвельт.
Этот пример можно рассматривать, как пример нерепрезентативной выборки. Дело в том, что в США в первой половине двадцатого века телефоны имела лишь зажиточная часть населения, которые поддерживали взгляды Ландона.
На практике применяются различные способы отбора, которые можно разделить на 2 вида:
1. Отбор не требует расчленения генеральной совокупности на части (а) простой случайный бесповторный; б) простой случайный повторный).
2. Отбор, при котором генеральная совокупность разбивается на части. (а) типичный отбор; б) механический отбор; в) серийный отбор).
Простым случайным называют такой отбор, при котором объекты извлекаются по одному из всей генеральной совокупности (случайно).
Типичным называют отбор, при котором объекты отбираются не из всей генеральной совокупности, а из каждой ее «типичной» части. Например, если деталь изготавливают на нескольких станках, то отбор производят не из всей совокупности деталей, произведенных всеми станками, а из продукции каждого станка в отдельности. Таким отбором пользуются тогда, когда обследуемый признак заметно колеблется в различных «типичных» частях генеральной совокупности.
Механическим называют отбор, при котором генеральную совокупность «механически» делят на столько групп, сколько объектов должно войти в выборку, а из каждой группы отбирают один объект. Например, если нужно отобрать 20 % изготовленных станком деталей, то отбирают каждую 5-ую деталь; если требуется отобрать 5 % деталей- каждую 20-ую и т.д. Иногда такой отбор может не обеспечивать репрезентативность выборки (если отбирают каждый 20-ый обтачиваемый валик, причем сразу же после отбора производится замена резца, то отобранными окажутся все валики, обточенные затупленными резцами).
Серийным называют отбор, при котором объекты отбирают из генеральной совокупности не по одному, а «сериями», которые подвергают сплошному обследованию. Например, если изделия изготавливаются большой группой станков-автоматов, то подвергают сплошному обследованию продукцию только нескольких станков.
На практике часто применяют комбинированный отбор, при котором сочетаются указанные выше способы.
4. Статистическое распределение выборки
Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем значение x1 –наблюдалось раз, x2-n2 раз,… xk — nk раз. n = n1+n2+. +nk– объем выборки. Наблюдаемые значения называются вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке- вариационным рядом. Числа наблюдений называются частотами (абсолютными частотами), а их отношения к объему выборки — относительными частотами или статистическими вероятностями.
Если количество вариант велико или выборка производится из непрерывной генеральной совокупности, то вариационный ряд составляется не по отдельным точечным значениям, а по интервалам значений генеральной совокупности. Такой вариационный ряд называется интервальным. Длины интервалов при этом должны быть равны.
Статистическим распределением выборки называется перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот.
Статистическое распределение можно задать также в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот (суммы частот, попавших в этот интервал значений)
Точечный вариационный ряд частот может быть представлен таблицей:
Источник
