Способы распределения среднего значения случайной величины

Способы распределения среднего значения случайной величины

Оказывается, что целый ряд практических задач можно решить с помощью немногих характеристик распределения, а знание точной функции распределения случайной величины оказывается необязательным. К таким определяющим характеристикам случайной величины относятся, например, ее среднее и среднее квадратичное значения, а также среднее квадратичное отклонение.

Находить средние значения случайных величин можно из опыта, а также зная функции распределения случайных величин. Рассмотрим, как находить эти средние значения в различных случаях.

Пусть случайная величина может принимать: значения с вероятностью или это значение выпадает раз из

значение с вероятностью или это значение выпадает раз из наконец,

значение с вероятностью или это значение выпадает раз из

Тогда сумма значений случайной величины при испытаниях будет:

Чтобы найти среднее значение случайной величины т. е. значение, приходящееся на одно испытание, нужно сумму разделить на полное число испытаний:

Если мы имеем некоторую среднюю величину найденную по формуле (2.11), то, вообще говоря, при различных значениях полного числа испытаний значения средней величины также будут различными, так как рассматриваемые величины носят случайный характер. Однако при увеличении числа среднее значение данной величины будет стремиться к определенному пределу а. И чем больше будет число испытаний, тем ближе определенное по формуле (2.11), будет приближаться к этому предельному значению:

Последнее равенство представляет собой так называемый закон больших чисел или теорему Чебышева: среднее значение случайной величины будет стремиться к постоянному числу при очень большом числе измерений.

Итак, среднее значение случайной величины равна сумме произведений случайной величины на вероятность ее появления.

Если случайная величина меняется непрерывно, то ее среднее значение можно найти с помощью интегрирования:

Средние величины обладают рядом важных свойств:

1) среднее значение постоянной величины равно самой постоянной величине т. е.

2) среднее значение некоторой случайной величины есть величина постоянная, т. е.

3) среднее значение суммы нескольких случайных величин равно сумме средних значений этих величин, т. е.

4) среднее значение произведения двух взаимно независимых случайных величин равно произведению средних значений каждой из них, т. е.

Распространяя это правило на большее число независимых величин, имеем:

Иногда по тем или иным причинам знание среднего значения случайной величины оказывается недостаточным. В таких случаях ищется не просто среднее значение случайной величины, а среднее значение квадрата этой величины (квадратичное). При этом имеют место аналогичные формулы:

для дискретных значений и

в случае непрерывного изменения случайной величины.

Среднее квадратичное значение случайной величины оказывается всегда положительным и не обращается в нуль.

Часто приходится интересоваться не только средними значениями самой случайной величины, но и с редними значениями некоторых функций от случайной величины.

Например, имея распределение молекул по скоростям, мы можем найти среднюю скорость. Но также нас может интересовать средняя кинетическая энергия теплового движения, являющаяся квадратичной функцией скорости. В таких случаях можно воспользоваться следующими общими формулами, определяющими среднее значение произвольной функции случайной величины для случая дискретного распределения

для случая непрерывного распределения

Для нахождения средних значений случайной величины или функции от случайной величины с помощью ненормированной функции распределения пользуются формулами:

Здесь везде интегрирование производится по всей области возможных значений случайной величины

Отклонение от средних. В ряде случаев знание среднего и среднего квадратичного значения случайной величины оказывается недостаточным для характеристики случайной величины. Интерес представляет также распределение случайной величины около своего среднего значения. Для этого исследуется отклонение случайной величины от среднего значения.

Однако, если мы возьмем среднее отклонение случайной величины от ее среднего значения т. е. среднее значение чисел:

то получим, как в случае дискретного, так и в случае непрерывного распределения, нуль. Действительно,

Иногда можно находить среднее значение модулей отклонений случайной величины от среднего значения, т. е. величину:

Однако вычисления с абсолютными значениями часто сложны, а иногда и невозможны.

Поэтому гораздо чаще для характеристики распределения случайной величины около своего среднего значения используют так называемое среднее квадратичное отклонение или средний квадрат отклонения. Средний квадрат отклонения иначе называют дисперсией случайной величины. Дисперсия определяется по формулам:

которые преобразуются к одному виду (см. задачи 5, 9).

где величина представляет квадрат отклонения случайной величины от ее среднего значения.

Квадратный корень из дисперсии случайной величины называется средним квадратичным отклонением случайной величины, а для физических величин — флуктуацией:

Иногда вводится относительная флуктуация, определяемая по формуле

Таким образом, зная закон распределения случайной величины, можно определить все интересующие нас характеристики случайной величины: среднее значение, среднее квадратичное, среднее значение произвольной функции от случайной величины, средний квадрат отклонения или дисперсию и флуктуацию случайной величины.

Поэтому одной из основных задач статистической физики является отыскание законов и функций распределения тех или иных физических случайных величин и параметров в различных физических системах.

Источник

Значение случайной величины

Содержание:

Определение среднего значения случайной величины

Те два стрелка, о которых мы только что говорили, стреляя вместе, могут выбить, в зависимости от случайных обстоятельств, либо 3,-либо 4, либо 5, либо 6 очков; вероятности этих четырех возможных результатов указаны в таблице (III) на стр. 79. Если спросить: «сколько очков выбивают наши два стрелка при одном (двойном) выстреле?», то на этот вопрос мы не сможем ответить,’ потому что разные выстрелы дают разные результаты. Но для оценки качества стрельбы нашей пары мы будем, конечно, интересоваться результатом не отдельного выстрела (этот результат может быть случайным), а средним результатом за целую серию выстрелов. Сколько же очков дает в среднем один выстрел нашей пары стрелков?

Этот вопрос поставлен уже вполне разумно, и на него может быть дан ясный ответ. Будем рассуждать так. Если наша пара стрелков производит сто двойных выстрелов, то, как показывает таблица (III),

примерно 4 из этих выстрелов дадут по 3 очка

Таким образом, в среднем, каждая сотня двойных выстрелов даст нашей паре общее число очков, выражающееся суммой

Деля это число на 100, мы получаем, что в среднем на одни выстрел приходится 4,9 очка; это и дает ответ на поставленный нами вопрос.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Заметим, что вместо того, чтобы делить на 100 готовую сумму (490) (как мы это только что делали), мы могли бы еще до сложения разделить на 100 каждое из слагаемых; тогда сумма прямо лает нам среднее число очков на один выстрел; проще всего произвести это деление, деля на 100 вторые множители всех слагаемых: ведь эти множители были получены умножением вероятностей, указанных в таблице (III), на 100, и для того чтобы разделить их на 100, достаточно просто вернуться к этим вероятностям. Для среднего числа очков, приходящегося на один выстрел, мы получаем, таким образом, выражение

Сумма, стоящая в левой части этого равенства, как мы непосредственно видим, построена из данных таблицы (III) по очень простому правилу: каждое из указанных в верхней строчке этой таблицы возможных значений умножено на стоящую под ним в таблице его вероятность, и все такие произведения сложены между собой.

Проведем теперь это же рассуждение в общем виде. Допустим, что некоторая случайная величина задана таблицей

Вспомним: если вероятность значения величины равна то это означает, что в серии из операции это значение будет наблюдаться примерно раз, где откуда аналогично, значение

при этом встретится примерно раз, . значение встретится примерно раз.

Таким образом, серия из операций будет в среднем содержать

Сумма значений величины во всех произведенных операциях будет поэтому примерно равна

Поэтому среднее значение случайной величины, соответствующее отдельной операции и получаемое из только что написанной суммы делением на число операций в данной серии, будет равно

Мы приходим, таким образом, к следующему важному правилу: для получения среднего значения случайной величины надо каждое из ее возможных значений помножить на соответствующую ему вероятность и сложить между собой все полученные произведения.

Какую пользу может сослужить нам знание среднего значения случайной величины? Чтобы ответить на этот вопрос более убедительно, рассмотрим сначала несколько примеров.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Примеры с решением

Пример 1.

Вернемся еще раз к нашим двум стрелкам; выбиваемые ими числа очков являются случайными величинами, законы распределения которых даются таблицами (I) для первого стрелка и (II) —для второго (стр. 77 и 78). Один внимательный взгляд на эти две таблицы уже показывает нам, что первый стреляет лучше второго; в самом деле, вероятность самого лучшего результата (3 очка) у него значительно больше, чем у второго стрелка, в то время как вероятности более плохих результатов, напротив, у второго стрелка больше, чем у первого.

Однако такое сравнение не удовлетворяет нас — оно носит чисто качественный характер, при нем мы не видим еще тон мерки, того числа, которое своей величиной прямо оценивало бы качество стрельбы того или другого стрелка, подобно тому как температура, например, прямо оценивает степень нагретости физического тела.

Не имея такой оценивающей мерки, мы можем всегда стать перед случаем, когда непосредственное рассмотрение не даст нам никакого ответа или когда этот ответ может оказаться спорным. Так, если бы вместо таблиц (I) и (II) мы имели таблицы — для первого стрелка, — для второго), то трудно было бы одним взглядом на эти таблицы решить, который из двух стрелков стреляет лучше; правда, лучший результат (3 очка) у первого более вероятен, чем у второго; но вместе с тем и самый худший результат (1 очко) у первого также более вероятен, чем у второго; напротив, результат 2 очка у второго более вероятен, чем у первого.

Составим теперь по указанному выше правилу среднее значение числа очков для каждого из наших двух стрелков:

1) для первого стрелка:

2) для второго стрелка:

Мы видим, что второй стрелок дает в среднем несколько большее число очков, чем первый; практически это значит, что при многократной стрельбе второй стрелок будет, вообще говоря, давать несколько лучший результат, чем первый. Теперь мы с уверенностью скажем, что второй стрелок стреляет лучше; среднее значение числа выбиваемых очков дало нам удобную мерку, с помощью которой мы можем легко и не оставляющим никаких сомнений способом сравнивать между собой искусство различных стрелков.

Пример 2.

При сборке точного прибора для наиболее точной подгонки некоторой детали может потребоваться, в зависимости от удачи, 1, 2, 3, 4 или 5 проб. Таким образом, число проб, необходимых для достижения удовлетворительной сборки, есть случайная величина с возможными значениями I, 2, 3, 4, 5; пусть вероятности этих значений даются таблицей

Мы можем быть поставлены перед задачей снабдить данного сборщика таким числом деталей, какое необходимо для 20 приборов*). Чтобы иметь возможность ориентировочно оценить это число, мы не можем непосредственно использовать данную таблицу — она учит нас только тому, что в разных случаях бывает по-разному. Но если мы найдем среднее значение числа проб, необходимых для одного прибора, и умножим это среднее значение на 20, то мы и получим, очевидно, ориентировочное значение искомого числа. Мы находим:

Для того чтобы сборщик имел небольшой запас на случай, если фактический расход деталей превзойдет ожидаемый, практически полезно будет дать ему 60—65 деталей.

В рассмотренных примерах мы имеем дело с таким положением вещей, когда для некоторой случайной величины практика требует известной ориентировочной оценки; одним только взглядом на таблицу мы такой оценки дать не можем, — таблица говорит нам

только, что наша случайная величина может принимать такие-то значения с такими-то вероятностями. Но вычисленное по этой таблице среднее значение случайной величины уже способно дать такую оценку, ибо это именно то значение, которое в среднем будет принимать наша величина при более или менее продолжительном ряде операций. Мы видим, что с практической стороны среднее значение особенно хорошо характеризует случайную величину, когда речь идет об операции массовой или многократно повторяемой.

Задача 1.

Производится ряд испытаний с одной и той же вероятностью появления некоторого события причем результаты отдельных испытаний между собой независимы. Найти среднее значение числа появлений события в серии из испытаний.

Число появлений события в серии из испытаний есть случайная величина с возможными значениями причем вероятность значения равна, как мы знаем,

Поэтому искомое среднее значение равно

Эту сумму мы вычислили при доказательстве теоремы Вернулли (стр. 68) п видели что она равна В свое время мы убедились, что наивероятнейшее число появлений события при испытаниях в случае большого близко к теперь мы видим, что среднее число появлений события при любом в точности равно

Таким образом, в данном случае наивероятнейшее значение случайной величины совпадает с ее средним значением; надо, однако, остерегаться думать, будто это совпадение имеет место для любых случайных величин; вообще говоря, наивероятнейшее значение случайной величины может очень далеко отстоять от ее среднего значения. Так, например, для случайной величины с законом распределения

наивероятнейшее значение есть 0, а среднее значение — 2,5.

Задача 2.

Производятся независимые испытания, в каждом из которых вероятностью 0,8 может произойти некоторое событие Испытания производятся до первого появления события общее число испытаний не превосходит четырех. Определить среднее число произведенных испытаний.

Число испытаний, которое придется произвести, по условиям задачи может равняться 1, 2, 3 или 4. Мы должны вычислить вероятности каждого из этих четырех значений. Для того чтобы потребовалось произвести только одно испытание, надо, чтобы уже при первом испытании появилось событие Вероятность этого равна

Для того чтобы потребовалось произвести два испытания, надо, чтобы при первом испытании событие не появилось, а при втором — произошло. Вероятность этого по теореме умножения вероятностей для независимых событий равна

Для того чтобы потребовалось три испытания, надо, чтобы в первых двух событие не появилось, а при третьем оно произошло.

Наконец, потребность в четырех испытаниях возникнет при условии, что три первых испытания не приведут к появлению события (независимо от того, что даст четвертое испытание), поэтому .

Таким образом, число производимых испытаний, как случайная величина, определяется законом распределения

Среднее значение этого числа равно поэтому

Если, например, предстоит сделать 100 подобных наблюдений, то можно рассчитывать, что при этом придется произвести примерно испытаний.

В практике с подобной постановкой задачи приходится встречаться часто. Для примера, мы испытываем пряжу на крепость и относим ее к высшему сорту, если она не рвется ни разу при нагрузке когда испытываются образцы стандартной длины из одного и того же мотка (или партии). Испытывается каждый раз не более четырех образцов.

Задача 3.

Некоторая площадка имеет форму квадрата, сторона которого по данным аэрофотометриче-• ских измерений равна 350 м. Качество аэрофотосъемки определяется тем, что ошибка в

Найти среднее значение площади площадки.

В зависимости от случайностей аэрофотометрического измерения сторона площадки есть случайная величина, закон распределения которой дается таблицей

Отсюда мы сразу могли бы найти среднее значение этой величины; в данном случае нам нет даже надобности применять для этого наше вычислительное правило; в самом деле, так как одинаковые ошибки в ту и другую сторону одинаково вероятны, то уже по симметрии ясно, что среднее значение стороны квадрата равно наблюденному значению, т. е. 350 м\ более подробно: выражение среднего значения будет содержать члены

оно равно поэтому

Можно было .бы думать, что из тех же соображений симметрии среднее значение площади квадрата должно равняться это было бы так, если бы среднее значение квадрата случайной величины равнялось квадрату ее среднего значения, однако это не так; в нашем примере площадь квадрата может иметь значения

какое из этих значений имеет место в действительности—это зависит от того, какой из семи представленных в таблице (I) случаев имеется налицо, так что вероятности этих семи значений тс же, что и вероят- ности таблицы (I); короче говоря, закон распределе кия площади квадрата дается таблицей

и, следовательно, среднее значение ее равно

И здесь полезно для сокращения вычислений воспользоваться имеющейся симметрией; стоит посмотреть, как это делается, ибо подобные возможности упрощения возникают довольно часто. Мы можем переписать написанное выражение в виде

При этом способе вычисления все расчеты могут быть проведены в уме.

Мы видим, что среднее значение плошади квадрата оказалось несколько „больше (практически, правда, различие в этом случае неощутимо), чем квадрат среднего значения стороны легко доказать, что в основе этого лежит общее правило: среднее значение квадрата любой случайной величины всегда больше, чем квадрат ее среднего значения. В самом деле, пусть мы имеем случайную величину с совершенно произвольным законом распределения

тогда величина будет иметь закон распределения

средние значения этих двух величии соответственно равны

так как то три члена правой части могут быть соответственно представлены в виде

так как все члены суммы, стоящей в правой части, не отрицательны, то

что и требовалось доказать.

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Источник