Способы расчета средней арифметической величины

2. Средняя арифметическая, способы расчета.

Больше всего в эк. практике приходится употреблять среднюю арифметическую, которая может быть исчислена как средняя арифметическая простая и взвешенная.

Средняя арифметическая (СА) -наиболее распространенный вид средних. Она применяется в тех случаях, когда объем варьирующего признака для всей совокупности является суммой значений признаков отдельных ее единиц. Для общест­венных явлений характерна аддитивность (суммарность) объе­мов варьирующего признака, этим определяется область при­менения СА и объясняется ее распро­страненность как обобщающего показателя, напр: общий фонд з/ п – это сумма з/п всех работников.

Чтобы исчислить СА, нужно сумму всех значений признаков разделить на их число. СА примен-ся в 2 формах.

Рассмотрим сначала простую арифметическую среднюю.

1-СА простая (исходная, определяющая форма) равна простой сумме отдельных значений осредняемого признака, деленной на общее число этих значений (применяется когда имеются несгруппированные инд. значения признака):

Произведенные вычисления могут быть обобщены в следующую формулу:

(1)

где — среднее значение варьирующего признака, т. е. средняя арифметическая простая;

означает суммирование, т. е. сложение отдельных признаков;

x — отдельные значения варьирующего признака, которые называются вариантами;

n — число единиц совокупности

Пример1, требуется найти среднюю выработку одного рабочего (слесаря), если известно, сколько деталей изготовил каждый из 15 рабочих, т.е. дан ряд инд. значений признака, шт.: 21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

СА простая рассчитывается по формуле(1),шт.:

Пример2. Рассчитаем СА на основании условных данных по 20 магазинам, входящим в торговую фирму (табл. 1). Таблица.1

Источник

3 простых формулы, чтобы посчитать среднее арифметическое

О чем эта статья:

Понятие среднего арифметического

Среднее арифметическое нескольких чисел — это сумма этих чисел, которую разделили на количество слагаемых. Вот так:

Например, найдем среднее арифметическое чисел 5, 6 и 7. Обозначим среднее значение латинской буквой «m» и посчитаем сумму этих чисел.

Разделим результат на количество чисел в задании, то есть на три.

Так получилась формула среднего арифметического:

Способы вычисления среднего арифметического

Стандартная формула. Чтобы найти среднее арифметическое, нужно сложить все числа и поделить эту сумму на их количество. Формула выглядит так:

• x — среднее арифметическое;
• xⁿ — конкретное значение;
• n — количество значений.

• подходит при нормальном распределении значений в выборке;
• легко считать;
• интуитивно доступно.

• сложно представить распределение значений;
• можно запутаться в разных величинах.

Вычисление моды или наиболее часто встречающегося значения. Формула такая:

• M₀ — мода;
• x₀ — нижняя граница интервала, который содержит моду;
• n — величина интервала;
• fm — частота (сколько раз в ряду встречается то или иное значение);
• fm-1 — частота интервала предшествующего модальному;
• fm+1 — частота интервала следующего за модальным.

• подходит для формирования общественного мнения;
• подходит для нечисловых данных;
• доступно для понимания.

• моды может не быть при отсутствии повторов;
• мод может быть несколько (многомодальное распределение).

Вычисление медианы, то есть значения, которое делит упорядоченную выборку на две половины и находится между ними. Если такого значения нет, за медиану принимают среднее число между границами половин выборки. Формула выглядит так:

• Mₑ — медиана;
• x₀ — нижняя граница интервала, который содержит медиану;
• h — величина интервала;
• f i — частота (сколько раз в ряду встречается то или иное значение);
• Sm-1 — сумма частот интервалов предшествующих медианному;
• fm — число значений в медианном интервале (его частота).

• дает самую реалистичную оценку;
• устойчива к выбросам.

• сложнее вычислить из-за необходимости упорядочивать.

Применить эти знания можно в любой сфере жизни, где нужно обобщить и дать среднюю оценку: в магазине, на работе, в диалоге с другом или во время презентации перед инвесторами. Еще пригодятся, чтобы рассчитать среднюю скорость движения.

Средняя скорость движения — это весь пройденный путь, поделенный на время движения. Формула:

Так мы рассмотрели самые основные методы нахождения среднего значения. Теперь осталось попрактиковаться на примерах, чтобы быстро решать задачки на контрольной.

Примеры расчета среднего арифметического

Пример 1. Вычислить среднее арифметическое 33,3 и 55,5.

Чтобы найти среднее арифметическое двух чисел, надо сложить эти числа и результат разделить на 2: (33,3 + 55,5) : 2 = 88,8 : 2 = 44,4.

Пример 2. Посчитать среднее арифметическое 7,5 и 8 и 0,5.

Чтобы найти среднее арифметическое трех чисел, надо сложить эти числа и результат разделить на 3: (7,5 + 8 + 0,5) : 3 = 16 : 3 = 5,33.

Пример 3. Найти среднее арифметическое 202, 105, 67 и 9.

Чтобы найти среднее арифметическое четырех чисел, надо сложить эти числа и результат разделить на 4: (202 + 105 + 67 + 9) : 4 = 383 : 4 = 95,75.

Пример 4. Сколько в среднем тратит школьник денег в неделю, если в понедельник он потратил 80 рублей, во вторник 75 рублей, в среду и четверг по 100 рублей, в пятницу 50 рублей.

Чтобы найти сколько в среднем школьник потратил за пять дней, надо сложить эти суммы и результат разделить на 5: (80 + 75 + 100 + 100 + 50) : 5 = 405 : 5 = 81.

Ответ: школьник в неделю тратит в среднем 81 рубль.

В 5 классе можно искать среднее арифметическое с помощью онлайн-калькулятора. Пользуйтесь им, если уже разобрались с темой и щелкаете задачки легко и без помощников:

Источник

Средние величины и показатели вариации

Понятие и виды средних величин

Средняя величина — это обобщающий показатель статистической совокупности, который погашает индивидуальные различия значений статистических величин, позволяя сравнивать разные совокупности между собой.

Существует 2 класса средних величин: степенные и структурные.

К структурным средним относятся мода и медиана, но наиболее часто применяются степенные средние различных видов.

Степенные средние величины

Степенные средние могут быть простыми и взвешенными.

Простая средняя величина рассчитывается при наличии двух и более несгруппированных статистических величин, расположенных в произвольном порядке по следующей общей формуле:

Взвешенная средняя величина рассчитывается по сгруппированным статистическим величинам с использованием следующей общей формулы:

где X – значения отдельных статистических величин или середин группировочных интервалов;
m — показатель степени, от значения которого зависят следующие виды степенных средних величин:
при m = -1 средняя гармоническая;
при m = 0 средняя геометрическая;
при m = 1 средняя арифметическая;
при m = 2 средняя квадратическая;
при m = 3 средняя кубическая.

Используя общие формулы простой и взвешенной средних при разных показателях степени m, получаем частные формулы каждого вида, которые будут далее подробно рассмотрены.

Средняя арифметическая

Средняя арифметическая — это самая часто используемая средняя величина, которая получается, если подставить в общую формулу m=1. Средняя арифметическая простая имеет следующий вид:

где X — значения величин, для которых необходимо рассчитать среднее значение; N — общее количество значений X (число единиц в изучаемой совокупности).

Например, студент сдал 4 экзамена и получил следующие оценки: 3, 4, 4 и 5. Рассчитаем средний балл по формуле средней арифметической простой: (3+4+4+5)/4 = 16/4 = 4.

Средняя арифметическая взвешенная имеет следующий вид:

где f — количество величин с одинаковым значением X (частота).

Например, студент сдал 4 экзамена и получил следующие оценки: 3, 4, 4 и 5. Рассчитаем средний балл по формуле средней арифметической взвешенной: (3*1 + 4*2 + 5*1)/4 = 16/4 = 4.

Если значения X заданы в виде интервалов, то для расчетов используют середины интервалов X, которые определяются как полусумма верхней и нижней границ интервала. А если у интервала X отсутствует нижняя или верхняя граница (открытый интервал), то для ее нахождения применяют размах (разность между верхней и нижней границей) соседнего интервала X.

Например, на предприятии 10 работников со стажем работы до 3 лет, 20 — со стажем от 3 до 5 лет, 5 работников — со стажем более 5 лет. Тогда рассчитаем средний стаж работников по формуле средней арифметической взвешенной, приняв в качестве X середины интервалов стажа (2, 4 и 6 лет):
(2*10+4*20+6*5)/(10+20+5) = 3,71 года.

Средняя арифметическая применяется чаще всего, но бывают случаи, когда необходимо применение других видов средних величин. Рассмотрим такие случаи далее.

Средняя гармоническая

Средняя гармоническая применяется, когда исходные данные не содержат частот f по отдельным значениям X, а представлены как их произведение Xf. Обозначив Xf=w, выразим f=w/X, и, подставив эти обозначения в формулу средней арифметической взвешенной, получим формулу средней гармонической взвешенной:

Таким образом, средняя гармоническая взвешенная применяется тогда, когда неизвестны частоты f, а известно w=Xf. В тех случаях, когда все w=1, то есть индивидуальные значения X встречаются по 1 разу, применяется формула средней гармонической простой:

Например, автомобиль ехал из пункта А в пункт Б со скоростью 90 км/ч, а обратно — со скоростью 110 км/ч. Для определения средней скорости применим формулу средней гармонической простой, так как в примере дано расстояние w₁=w₂ (расстояние из пункта А в пункт Б такое, же как и из Б в А), которое равно произведению скорости (X) на время (f). Средняя скорость = (1+1)/(1/90+1/110) = 99 км/ч.

Средняя геометрическая

Средняя геометрическая применяется при определении средних относительных изменений, о чем сказано в теме Ряды динамики. Геометрическая средняя величина дает наиболее точный результат осреднения, если задача стоит в нахождении такого значения X, который был бы равноудален как от максимального, так и от минимального значения X.

Например, в период с 2005 по 2008 годы индекс инфляции в России составлял: в 2005 году — 1,109; в 2006 — 1,090; в 2007 — 1,119; в 2008 — 1,133. Так как индекс инфляции — это относительное изменение (индекс динамики), то рассчитывать среднее значение нужно по средней геометрической: (1,109*1,090*1,119*1,133)^(1/4) = 1,1126, то есть за период с 2005 по 2008 ежегодно цены росли в среднем на 11,26%. Ошибочный расчет по средней арифметической дал бы неверный результат 11,28%.

Средняя квадратическая

Средняя квадратическая применяется в тех случая, когда исходные значения X могут быть как положительными, так и отрицательными, например при расчете средних отклонений.

Главной сферой применения квадратической средней является измерение вариации значений X, о чем пойдет речь позднее в этой лекции.

Средняя кубическая

Средняя кубическая применяется крайне редко, например, при расчете индексов нищеты населения для развивающихся стран (ИНН-1) и для развитых (ИНН-2), предложенных и рассчитываемых ООН.

Структурные средние величины

К наиболее часто используемым структурным средним относятся статистическая мода и статистическая медиана.

Статистическая мода

Статистическая мода — это наиболее часто повторяющееся значение величины X в статистической совокупности.

Если X задан дискретно, то мода определяется без вычисления как значение признака с наибольшей частотой. В статистической совокупности бывает 2 и более моды, тогда она считается бимодальной (если моды две) или мультимодальной (если мод более двух), и это свидетельствует о неоднородности совокупности.

Например, на предприятии работает 16 человек: 4 из них — со стажем 1 год, 3 человека — со стажем 2 года, 5 — со стажем 3 года и 4 человека — со стажем 4 года. Таким образом, модальный стаж Мо=3 года, поскольку частота этого значения максимальна (f=5).

Если X задан равными интервалами, то сначала определяется модальный интервал как интервал с наибольшей частотой f. Внутри этого интервала находят условное значение моды по формуле:

где Мо – мода;
Х_НМо – нижняя граница модального интервала;
h_Мо – размах модального интервала (разность между его верхней и нижней границей);
f_Мо – частота модального интервала;
f_Мо-1 – частота интервала, предшествующего модальному;
f_Мо+1 – частота интервала, следующего за модальным.

Например, на предприятии 10 работников со стажем работы до 3 лет, 20 — со стажем от 3 до 5 лет, 5 работников — со стажем более 5 лет. Рассчитаем модальный стаж работы в модальном интервале от 3 до 5 лет: Мо = 3 + 2*(20-10)/(2*20-10-5) = 3,8 (года).

Если размах интервалов h разный, то вместо частот f необходимо использовать плотности интервалов, рассчитываемые путем деления частот f на размах интервала h.

Статистическая медиана

Статистическая медиана – это значение величины X, которое делит упорядоченную по возрастанию или убыванию статистическую совокупность на 2 равных по численности части. В итоге у одной половины значение больше медианы, а у другой — меньше медианы.

Если X задан дискретно, то для определения медианы все значения нумеруются от 0 до N в порядке возрастания, тогда медиана при четном числе N будет лежать посередине между X c номерами 0,5N и (0,5N+1), а при нечетном числе N будет соответствовать значению X с номером 0,5(N+1).

Например, имеются данные о возрасте студентов-заочников в группе из 10 человек — X: 18, 19, 19, 20, 21, 23, 23, 25, 28, 30 лет. Эти данные уже упорядочены по возрастанию, а их количество N=10 — четное, поэтому медиана будет находиться между X с номерами 0,5*10=5 и (0,5*10+1)=6, которым соответствуют значения X₅=21 и X₆=23, тогда медиана: Ме = (21+23)/2 = 22 (года).

Если X задан в виде равных интервалов, то сначала определяется медианный интервал (интервал, в котором заканчивается одна половина частот f и начинается другая половина), в котором находят условное значение медианы по формуле:

где Ме – медиана;
Х_НМе – нижняя граница медианного интервала;
h_Ме – размах медианного интервала (разность между его верхней и нижней границей);
f_Ме – частота медианного интервала;
f_Ме-1 – сумма частот интервалов, предшествующих медианному.

В ранее рассмотренном примере при расчете модального стажа (на предприятии 10 работников со стажем работы до 3 лет, 20 — со стажем от 3 до 5 лет, 5 работников — со стажем более 5 лет) рассчитаем медианный стаж. Половина общего числа работников составляет (10+20+5)/2 = 17,5 и находится в интервале от 3 до 5 лет, а в первом интервале до 3 лет — только 10 работников, а в первых двух — (10+20)=30, что больше 17,5, значит интервал от 3 до 5 лет — медианный. Внутри него определяем условное значение медианы: Ме = 3+2*(0,5*30-10)/20 = 3,5 (года).

Также как и в случае с модой, при определении медианы если размах интервалов h разный, то вместо частот f необходимо использовать плотности интервалов, рассчитываемые путем деления частот f на размах интервала h.

Показатели вариации

Вариация — это различие значений величин X у отдельных единиц статистической совокупности. Для изучения силы вариации рассчитывают следующие показатели вариации: размах вариации, среднее линейное отклонение, линейный коэффициент вариации, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, квадратический коэффициент вариации.

Размах вариации

Размах вариации – это разность между максимальным и минимальным значениями X из имеющихся в изучаемой статистической совокупности:

Недостатком показателя H является то, что он показывает только максимальное различие значений X и не может измерять силу вариации во всей совокупности.

Cреднее линейное отклонение

Cреднее линейное отклонение — это средний модуль отклонений значений X от среднего арифметического значения. Его можно рассчитывать по формуле средней арифметической простой — получим среднее линейное отклонение простое:

Например, студент сдал 4 экзамена и получил следующие оценки: 3, 4, 4 и 5. Ранее уже была рассчитана средняя арифметическая = 4. Рассчитаем среднее линейное отклонение простое: Л = (|3-4|+|4-4|+|4-4|+|5-4|)/4 = 0,5.

Если исходные данные X сгруппированы (имеются частоты f), то расчет среднего линейного отклонения выполняется по формуле средней арифметической взвешенной — получим среднее линейное отклонение взвешенное:

Вернемся к примеру про студента, который сдал 4 экзамена и получил следующие оценки: 3, 4, 4 и 5. Ранее уже была рассчитана средняя арифметическая = 4 и среднее линейное отклонение простое = 0,5. Рассчитаем среднее линейное отклонение взвешенное: Л = (|3-4|*1+|4-4|*2+|5-4|*1)/4 = 0,5.

Линейный коэффициент вариации

Линейный коэффициент вариации — это отношение среднего линейного отклонение к средней арифметической:

С помощью линейного коэффициента вариации можно сравнивать вариацию разных совокупностей, потому что в отличие от среднего линейного отклонения его значение не зависит от единиц измерения X.

В рассматриваемом примере про студента, который сдал 4 экзамена и получил следующие оценки: 3, 4, 4 и 5, линейный коэффициент вариации составит 0,5/4 = 0,125 или 12,5%.

Дисперсия

Дисперсия — это средний квадрат отклонений значений X от среднего арифметического значения. Дисперсию можно рассчитывать по формуле средней арифметической простой — получим дисперсию простую:

В уже знакомом нам примере про студента, который сдал 4 экзамена и получил оценки: 3, 4, 4 и 5, ранее уже была рассчитана средняя арифметическая = 4. Тогда дисперсия простая Д = ((3-4) 2 +(4-4) 2 +(4-4) 2 +(5-4) 2 )/4 = 0,5.

Если исходные данные X сгруппированы (имеются частоты f), то расчет дисперсии выполняется по формуле средней арифметической взвешенной — получим дисперсию взвешенную:

В рассматриваемом примере про студента, который сдал 4 экзамена и получил следующие оценки: 3, 4, 4 и 5, рассчитаем дисперсию взвешенную: Д = ((3-4) 2 *1+(4-4) 2 *2+(5-4) 2 *1)/4 = 0,5.

Если преобразовать формулу дисперсии (раскрыть скобки в числителе, почленно разделить на знаменатель и привести подобные), то можно получить еще одну формулу для ее расчета как разность средней квадратов и квадрата средней:

В уже знакомом нам примере про студента, который сдал 4 экзамена и получил следующие оценки: 3, 4, 4 и 5, рассчитаем дисперсию методом разности средней квадратов и квадрата средней:
Д = (3 2 *1+4 2 *2+5 2 *1)/4-4 2 = 16,5-16 = 0,5.

Если значения X — это доли совокупности, то для расчета дисперсии используют частную формулу дисперсии доли:

.

Cреднее квадратическое отклонение

Выше уже было рассказано о формуле средней квадратической, которая применяется для оценки вариации путем расчета среднего квадратического отклонения, обозначаемое малой греческой буквой сигма:

Еще проще можно найти среднее квадратическое отклонение, если предварительно рассчитана дисперсия, как корень квадратный из нее:

В примере про студента, в котором выше рассчитали дисперсию, найдем среднее квадратическое отклонение как корень квадратный из нее: .

Квадратический коэффициент вариации

Квадратический коэффициент вариации — это самый популярный относительный показатель вариации:

Критериальным значением квадратического коэффициента вариации V служит 0,333 или 33,3%, то есть если V меньше или равен 0,333 — вариация считает слабой, а если больше 0,333 — сильной. В случае сильной вариации изучаемая статистическая совокупность считается неоднородной, а средняя величина — нетипичной и ее нельзя использовать как обобщающий показатель этой совокупности.

В примере про студента, в котором выше рассчитали среднее квадратическое отклонение, найдем квадратический коэффициент вариации V = 0,707/4 = 0,177, что меньше критериального значения 0,333, значит вариация слабая и равна 17,7%.

• 
• 
• 

• Разработка интернет-магазина
• Редизайн сайта эвакуации
• Редизайн сайта доставки суши

Источник