Способы проекции с числовыми отметками

Проекции с числовыми отметкам в начертательной геометрии с примерами

Содержание:

Область применении и сущность способа проецирования:

Архитектор, проектируя здания и сооружения, всегда учитывает условия их расположения на отдельном участке местности. Нередко эти условия в определенной степени влияют на композиционные решения. Кроме чертежей, относящихся к зданию — планов, разрезов, фасадов и др. — проект должен включать все соображения по организации участка связи здания с рельефом местности. Эта часть проекта называется проектом вертикальной планировки. При разработке проекта вертикальной планировки требуется знания особого метода изображения объектов (рельефа), который получил название проекции с числовыми отметками.

Сущность этого метода заключается в том, что объект (рельеф) ортогонально проецируется на одну горизонтальную плоскость. У проекций точек и линий ставятся числа, показывающие расстояния этих точек и линий от условно принятой плоскости проекции, которая называется нулевой. Эти числа и называются числовыми отметками.

Проекции точек

На рисунке 14.1 изображена горизонтальная основная плоскость

Точка А находится над плоскостью на высоте четырех единиц масштаба.

Точка С лежит на плоскости поэтому ее проекция — С0.

Точка В находится под плоскостью, поэтому ее проекция — , где отметка 2 со знаком (-).

Для перехода к плоскому чертежу, плоскость По совмещается с плоскостью чертежа, граница плоскости не указывается. На чертеже обязательно указывается масштаб. Числовая отметка каждой точки, по сути, заменяет фронтальную проекцию, т.е. соответствует координате Z (рисунок 14.2).

Проекции прямых. Определение натуральной величины и следа отрезка примой

Прямая линия в проекциях с числовыми отметками задается своей проекцией на основную плоскость и отметками двух ее точек (рисунке 14.3). Эта прямая является прямой

общего положения. Для нее можно, как и в ортогональных проекциях, определить натуральную величину, след на плоскости и углом наклона к плоскости. Если прямую А В совместить с плоскостью вращением вокруг проекции получим натуральную величину. При этом высоты точек необходимо в масштабе чертежа отложить на перпендикулярах к проекции прямой. Прямая, соединяющая полученные точки равна истинной величине отрезка. Точка пересечения натуральной величины отрезка с ее проекцией является горизонтальным следом . Угол между натуральной величиной и проекцией (

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник

Раздел 8. Проекции с числовыми отметками

Раздел 8. Проекции с числовыми отметками.

8. ПРОЕКЦИИ С ЧИСЛОВЫМИ ОТМЕТКАМИ.

Метод проекций с числовыми отметками получил широкое применение при проектировании сооружений из земли: железных и шоссейных дорог, гидроузлов, каналов, аэродромов, строительных площадок, т. е. в тех случаях, когда высота объекта существенно меньше его длины или ширины.

8.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ. ПРОЕКЦИИ ТОЧКИ.

Метод проекций с числовыми отметками является частным случаем ортогональных проекций.

Сущность метода заключается в том, что вместо двух ортогональных проекций объекта (на плоскостях П1 и П2) изображают одну, чаще всего горизонтальную проекцию, лежащую в плоскости XOY, и рядом с проекцией каждой точки предмета указывают ее отметку (число), определяющую расстояние (обычно в метрах) от точки до плоскости XOY (координата Z). Плоскость XOY называют плоскостью нулевого уровня и обозначают П0 (рис.1).

При изображении топографической поверхности за такую плоскость принимают поверхность уровня моря. Точки, расположенные на плоскости нулевого уровня, имеют отрицательные отметки и на чертеже проставляются со знаком минус. Точки, принадлежащие плоскости П0, имеют нулевую отметку (рис.1). Проекция с числовой отметкой является обратимым чертежом, поскольку есть возможность восстановить все три параметра точки, расположенной в пространстве.

Чертежи, выполненные в проекциях с числовыми отметками, принято называть планами, на которых показывают линейный масштаб, необходимый для решения метрических задач (рис.2).

План должен быть определенным образом ориентирован относительно сторон света, на

нем в виде стрелки с пометками «С», «Ю» (север, юг) показывают расположение меридиана. Если боковая линия рамки чертежа совпадает с положением меридиана, его можно специально не обозначать.

8.2. ПРОЕКЦИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ.

Рассмотрим основные понятия и построения, связанные с изображениями в проекциях с числовыми отметками прямой, плоскости, поверхности.

8.2.1. ПРОЕКЦИИ ПРЯМОЙ.

Для изображения отрезка прямой АВ в проекциях с числовы­ми отметками (рис. 3) показывают проекции двух ее точек А и В.

Длину проекции отрезка А2В5 = L называют заложением прямой. Разность расстояний до плоскости П0 концов отрезка АВ = (hВ — hА) называют превышением прямой. Отношение пре­вышения прямой к ее заложению называют уклоном прямой: i = (hВ — hА)/L. Численно уклон равен tga, где a — угол наклона прямой к плоскости П0. Уклоны выражают в виде простого отношения — 1:1, 1:2 и т. д., в виде процентов — 10%, 20% и т. д. или в виде тысячных — 10%о, 20%о и т. д.

Длина заложения отрезка прямой, у которого превышение равно единице длины, называется интервалом прямой. Чтобы получить интервал, нужно заложение прямой разделить на ее превышение, l = L/(hВ — hА), где l — интервал прямой. Между уклоном прямой и ее интервалом обратная зависимость, т. е. l = 1/ i и i = 1/ l.

Интервал прямой можно построить графически. Для этого нужно отрезок прямой повернуть вокруг его проекции и совмес­тить его с плоскостью П0 (см. рис. 3). Из концов проекций отрезка проводят перпендикуляры, на которых в масштабе чертежа откла­дывают расстояния от точек А и В до плоскости П0, или превыше­ние прямой. Затем на прямой АВ находят точки с целыми отметка­ми, в данном случае точки 3 и 4, и проецируют их на плоскость П0. Отрезки на проекции прямой (А2-3); (3-4); (4-В5) равны интервалу. Процесс построения на проекции пря-

мой точек, имеющих числовые отметки в виде целых чисел, называют гра­дуированием прямой. Угол a — угол наклона прямой в плоско­сти П0. АВ — действительная длина отрезка АВ.

По проекциям прямых можно судить об их положении в пространстве относительно плоскости нулевого уровня и других изображенных на чертеже прямых.

Например, все точки прямой АВ имеют отметку 2 – прямая АВ горизонтальная (рис. 4).

Проекция прямой CD — точки cd — пря­мая CD перпендикулярна плоскости нуле­вого уровня (рис. 5).

У параллельных прямых JK и FG (рис. 6) проекции i2K4 и f1g3 парал­лельны, интервалы равны и отметки возрастают в одном направлении.

Изображенные на рис.7 прямые ML и NP пересекаются, на отметке 4 они имеют общую точку 4. Проекции m6l2 и n3p5 таких прямых тоже пере­секаются, а точка пересечения проекций имеет отметку 4 как на одной, так и на другой прямой.

8.2.2. ПРОЕКЦИИ ПЛОСКОСТИ.

Положение плоскости в пространстве в проекциях с числовыми отметками можно задать теми же способами, что и в ортогональных проекциях. Но в проекциях с числовыми отметками плоскость удобнее задавать масштабом ее падения (уклона).

Масштабом падения (уклона) плоскости называют градуированную проекцию линии наибольшего ската (уклона) плоскости (рис. 8).

Масштаб падения на чертеже изображают двумя параллельными прямыми (толстой и тонкой) и обозначают той же буквой, что и плоскость, но с индексом i, например ai, (см. рис.. 8). Масштаб падения перпенди­кулярен проекциям горизонталей плоскости. Расстояние l меж­ду проекциями соседних горизонталей, разность отметок кото­рых равна единице, называется интервалом плоскости. Он так же, как и для прямой — величина, обратная уклону плоскости, т. е. l = 1/i = 1/tga.

Масштаб уклона можно построить, если плоскость задана каким-либо другим способом.

Например, на рис.9 плоскость задана проекциями а5; b2:, с7 точек А, В, С. Соединяют точки b2c7 прямой и градуируют ее. Через точку а5 и точку с отметкой 5 на прямой проводят прямую, которая будет горизонталью искомой плоскости с отметкой 5. Остальные горизонтали плоскости будут ей параллель­ны и пойдут через точки с отметками 4, 3, 2. отмеченные на прямой ВС. Масштаб уклона плоскости Рi, проводят перпендикулярно горизонталям плос­кости.

8.2.3. ПРОЕКЦИИ ПОВЕРХНОСТИ.

Применяя метод проекций с числовыми отметками для изображения геометрических тел (фигур), следует на их горизонтальных проекциях указывать отметки характерных точек или линии. Такими точками в случае многогранника будут его вершины.

Если же тело ограничено кривой поверхностью, то его изображают горизонталями, образующимися в результате пересечения заданной поверхности рядом плоскостей, параллельных плоскости П0 и отстоящих друг от друга на расстояние, равное единице длины.

Расстояние между этими плоскостями называется высотой сечения горизонталей. Выбирают ее в зависимости от масштаба чертежа и рельефа местности. Высоту сечения нужно указывать на чертеже.

На рис.10 показано изображение в проекциях с числовыми отметками прямого кругового конуса. Проекции его горизонталей – концентрические окружности, расстояния между которыми равны интервалу l образующей конуса.

В некоторых же случаях проведение горизонталей поверхности требует специальных построений. Примером этого может служить поверхность одинакового ската, представляющую собой огибающую семейства прямых круговых конусов с вертикальными осями. Такое семейство образует в пространстве конус, вершина которого перемещается по некоторой пространственной кривой АВ, а ось при движении конуса сохраняет вертикальное положение (рис. 11).

Огибающая такого семейства конусов будет линейчатая поверхность, все прямолинейные образующие которой составляют с П0 образующих конуса. Построение горизонталей поверхности одинакового ската выполнено на рис.12, где каждая горизонталь поверхности представляет собой огибающую семейства горизонталей конусов.

Причем, все горизонтали конусов данного семейства должны иметь одинаковую отметку. Так, на рис.12 горизонталь поверхности с отметкой 3 огибает семейство горизонталей конусов с той же отметкой 3.

Одним из примеров применения этой поверхности в строительной технике являются откосы насыпи из выемки шоссейных или железных дорог.

Все строительные объекты располагаются на земной поверхности, врезаясь или надстраивая рельеф. Поэтому при проектировании строительных объектов и работ необходимо иметь чертеж земной поверхности.

Земную поверхность называют топографической поверхностью. Образование форм отдельных элементов рельефа и их бесконечно-разнообразных сочетаний не может быть описано и задано математически (с помощью уравнений) и поэтому топографическую поверхность рассматривают как особый вид графических поверхностей, задаваемых только изображениями.

Топографическая поверхность (естественная поверхность земли) имеет неправильную форму, поэтому ее горизонтали – кривые линии неправильной формы. На рис. 13 схематично изображен холм, горизонталями которого будут линии пересечения его поверхности с горизонтальными плоскостями П1, П2 и т. д. В практике горизонтали топографической поверхности проводят через проекции точек, имеющих одинаковые отметки, определенные в процессе геодезической съемки местности. При решении учебных задач горизонтали топографической поверхности заданы.

Помимо числовых отметок при изображении поверхности земли пользуются бергштрихами, указывающими направление ската поверхности. В случае вершины бергштрихи ставятся на одной из верхних горизонталей в сторону ската воды. В котловине концы бергштрихов направлены внутрь нижней горизонтали.

8.3. ЗАДАЧИ В ПРОЕКЦИЯХ С ЧИСЛОВЫМИ ОТМЕТКАМИ.

Состав геометрических задач, решаемых с применением проекций с числовыми отметками объектов остается традиционным: позиционные и метрические. Здесь рассматриваются те из них, которые являются типовыми в практике строительных работ.

8.3.1. ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ.

На рис.14 показано построение линии пересечения плоскостей a и b. Такая задача может встретиться при определении линии пересечения плоских откосов насыпей или выемок. Искомая проекция линии пересечения А4В2 плоскостей a и b проходит через точки пересечения двух пар «одноименных» (с одинаковыми отметками) горизонталей заданных плоскостей.

У параллельных плоскостей в проекциях с числовыми отметками:

— параллельны масштабы уклонов;

— отметки возрастают в одну сторону.

Определение точки пересечения прямой АВ и плоскости Р показано на рис.15. Эта задача решается по тому же плану, что и в ортогональных проекциях. Через заданную прямую АВ проводят вспомо­гательную плоскость Q,, но только не проецирующую, как в ортогональных проекциях, а плоскость общего положения с таким расчетом, чтобы одноименные горизонтали плоскостей Р и Q пересе­кались в пределах чертежа. Затем строят линию MN пересечения плоскостей Р и Q — ее проекция — прямая m5n2. Искомая проекция k3,3 точки пересечения лежит в месте пересечения проекции данной пря­мой и m5n2. Ее отметка определена по масштабу уклона плоскости Рi.

Линия пересечения плоскости с поверхностью конуса бу­дет проходить через точки пересечения одноименных горизон­талей этих поверхностей Решение этой задачи также встречает­ся в практике строительного проектирования, поскольку откосы насыпей или выемок могут иметь коническую форму. На рис.16 показан пример решения такой задачи. Проекция линии пересечения конической поверхности с плоскостью a проходит через точки А1, b2, С3, D4

Линия пересечения топографической поверхности с гори­зонтально проецирующей плоскостью b (рис. 17) носит название профиля топографической поверхности Построение этой ли­нии — распространенная в строительном проектировании зада­ча. Для решения ее рекомендуется следующий практический прием. К проекции плоскости b, ее горизонтальному следу b¢, прикладывают полоску бумаги, куда переносят точки пересече­ния плоскости с горизонталями топографической поверхности А3, B4, С5, D6, Е7, f8. Полученные точки переносят на горизон­тальную линию — основание профиля, отметку которой задают условно (обычно эта отметка является минимальной). В данном случае отметка основания 3,00 Затем в масштабе чертежа из отмеченных точек откладывают по перпендикуляру вверх пре­вышения отмеченных точек (разность отметки точки и приня­той отметки основания профиля). Искомая линия профиля (се­чения плоскости с топографической поверхностью) будет проходить через точки А, В, С, D, E, F.

8.4. РЕШЕНИЕ ИНЖЕНЕРНЫХ ЗАДАЧ.

Как указывалось выше, проекции с числовыми отметками используют для изображения инженерных сооружений из земли. Чтобы определить объемы и размеры земляных работ, находят линии пересечения откосов насыпей или выемок с поверхностью местности. Иными словами, строят линию пересечения поверхности откоса (плоскости, конуса, поверхности одинакового ската) с топографической поверхностью. Искомую линию в таком случае определяют рядом точек пересечения искомых точек пересечения одноименных (с одноименными отметками) горизонталей топографической поверхности и поверхности откоса.

8.4.1. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ.

На рис.18 заданы топографическая поверхность и гори­зонтальный участок полотна дороги, отметка которого 12,00 м. Дорога будет расположена на насыпи, так как отметки горизон­талей местности (топографической поверхности) меньше отмет­ки полотна дороги. Требуется определить границы насыпи дороги.

Уклон откосов насыпи задан и равен 1:1,5, поэтому интер­вал плоскостей откосов насыпи будет равен 1 м. Граница насы­пи пройдет через точки пересечения одноименных горизонталей откосов насыпи и топографической поверхности. Проводим параллельно бровке дороги горизонтали плоскости южного откоса насыпи и отмечаем точки А11, А10, С9, D8, E7, через кото­рые проходит искомая линия. Аналогично строят линию пере­сечения топографической поверхности с северным откосом на­сыпи.

На плане бергштрихами показывают направление ската воды вдоль откосов. Бергштрихи изображаются сплошной тон­кой линией через 2¸5 мм (см. рис. l8). На рис. 19 та же задача решена для горизонтального участка дороги, расположенного по круговой кривой. Откосы насыпи в этом случае имеют кони­ческую форму, а горизонтали откосов — концентрические ок­ружности. Граница откоса насыпи будет проходить через точки А11, а10, С9, D8 , E7, где пересекаются горизонтали конического откоса с одноименными горизонталями топографической по­верхности.

Несколько сложнее решается эта задача для случая, когда дорога расположена на наклонном участке (рис. 20). В этом случае горизонтали плоского откоса не будут параллельны бровке дороги, поскольку она наклонная. Горизонтали откосов насыпи будут касательны к одноименным горизонталям кону­сов с вершинами, принадлежащими бровке полотна дороги, образующие которых имеют тот же уклон, что и откосы насы­пи. Например, на рис. 20 вершины конусов расположены в точ­ках m12. Горизонталь южного откоса насыпи с отметкой 11 проходит через точку с отметкой 11, расположенную на бровке полотна и касательную к горизонтали конуса с отметкой 11. Остальные горизонтали откоса насыпи будут параллельны про­веденной горизонтали с отметкой 11. Искомая линия пересече­ния пройдет через точки пересечения одноименных горизонта­лей насыпи и топографической поверхности A11, B10, С9, D8, E7.

Так же строят и границу северного откоса насыпи. Анало­гично решается эта задача и для случая, когда дорога располо­жена в выемке; разница только в том, что отметки горизонталей по мере удаления от бровки полотна будут не уменьшаться, а возрастать.

Пример решения задачи для студентов специально­сти ПГС приведен на рис. 21, на котором заданы топографиче­ская поверхность и расположенная на ней горизонтальная строительная площадка с отметкой 28, а также наклонный въезд на площадку (аппарель). Заданы уклоны насыпи 1:1,5, выемки 1:2 и дороги (аппарели) 1:5.

Часть площадки, расположенная к западу от горизонтали с отметкой 28 топографической поверхности, будет расположена в выемке, а к востоку от этой горизонтали — на насыпи.

Проекции горизонталей плоских откосов площадок будут прямые, параллельные ее бровке и отстоящие друг от друга на 1,5 м для насыпи и на 2 м для выемки. Построение линий пере­сечения их с топографической поверхностью сводится к реше­нию примера, рассмотренного на рис. 18.

Поверхность выемки, примыкающей к криволинейной час­ти площадки, будет конической, а горизонтали откоса этой час­ти выемки — концентрическими окружностями, расстояния между которыми (интервалы) равны 2 м. Построение линии пересечения конического откоса с топографической поверхно­стью показано на рис. 12.

Аппарель (наклонный въезд на площадку) имеет уклон, го­ризонтали аппарели будут расположены на расстоянии 5 м друг от друга, а горизонтали откосов насыпи аппарели будут касательны к горизонталям конусов, имеющих вершины на бровке аппарели. Границу откосов насыпи аппарели строят аналогич­но построениям, приведенным на рис.20.

Линия пересечения откосов конической и плоской частей выемки пройдет через точки А29, В20 и примет криволинейную форму (часть параболы). Линия пересечения плоскостей отко­сов, имеющих одинаковый уклон, будет проецироваться по биссектрисе угла между горизонталями плоскости (например, линия С28Dзо). Восточный откос площадки и южный откос ап­парели пересекаются по прямой E28F26. Аналогично строят и другие участки искомых линий.

Профиль местности строят аналогично примеру, рассмот­ренному на рис. 17. На профиле показывают попавшие в секу­щую плоскость контуры горизонтальной площадки, наклонной дороги и откосов насыпи и выемки.

Пример решения задачи для студентов специальностей С, МТ и ВК показан на рис.22. Здесь задана топографическая поверхность и полотно дороги с горизонтальным криволиней­ным участком радиуса R и отметкой 28 и наклонным прямоли­нейным участком, имеющим уклон 1:5.

Определив интервалы наклонного участка дороги La, вы­емки LB и насыпи lh, проводят горизонтали аппарели откосов. Часть дороги, расположенная восточнее горизонтали местности с отметкой 28, будет находиться на насыпи, а западнее этой горизонтали — в выемке. Затем строят линию пересечения от­косов горизонтального и наклонного участков дороги (см. ли­нии А28B25 и C28D25 на рис. 22). Построение линии пересечения откосов насыпей и выемок дороги с топографической поверхно­стью на прямолинейном участке дороги аналогично рис. 20, на криволинейном — рис. 19.

8.4.2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ РЕШЕНИЯ.

Каждый студент, решая инженерную задачу, должен выполнить следующие подготовительные и чертежно-графические операции.

1. Ознакомиться с содержанием задачи.

Пусть задача сформулирована так. Построить контуры строительной площадки и участка дороги в проекциях с числовыми отметками. Возможные исходные варианты представлены в табл.1. Для каждого варианта должны быть определены значения следующих исходных количественных параметров (см. рис. 20, 21):

— отметка площадки или горизонтального участка дороги, (м);

— радиус кривой скругления дороги R;

Таблица 1

2. Выбрать и изучить метод решения.

3. Подготовить формат A3 (начертить рамку, основную надпись).

4. Над основной надписью изобразить линейный масштаб чертежа М1:м на местности должен соответствовать 5 мм чертежа).

5. Разметить положение горизонталей рельефа местности в соответствии с вариантом и провести их сплошными тонкими линиями. Для этого чертеж-задание необходимо увеличить в 4 раза.

6. Студентам специальности ПГС нанести на плане конту­ры строительной площадки и аппарели, положение которых должно соответствовать исходным данным. Студентам специальностей С, МТ, ВК изобразить на плане местности контуры горизонтального криволинейного участка дороги радиуса Р и наклонную аппарель. Центр дуги радиуса Р должен располагаться так, чтобы ось дороги пересекла горизон­тали топографической поверхности под углом, близким к 90°. Поэтому центр дуги радиуса Р может располагаться либо ввер­ху, либо внизу формата в зависимости от значения угла a. Точки нулевых работ целесообразно назначать в пределах горизонтального (криволинейного) участка дороги.

7. Используя линейный масштаб, над основной надписью построить график масштабов уклонов насыпи — iн = 1:1,5; вы­емки — iв = 1:2 и аппарели iа = 1:5 в виде их профиля и опреде­лить по нему интервалы — Lн, Lв, La. Интервалы могут быть определены и как величины, обратные уклонам.

8. Определить точки нулевых работ как точки пересечения горизонтали местности с одноименной отметкой с контуром строительной площадки или дороги. Также определить места расположения насыпей и выемок.

9. Построить масштабы уклонов плоскостей откосов насы­пей, выемок, обозначить числовые отметки.

10. Построить горизонтали аппарели, откосов и линии их пересечения.

11. Определить точки пересечения горизонталей топографи­ческой поверхности с горизонталями откосов, построить грани­цы откосов насыпей и выемок.

12. По направлению ската воды откоса изобразить бергштрихи.

13. Обвести линии пересечения откосов насыпей и выемок с топографической поверхностью.

14. В нижней части формата слева от основной надписи построить профиль строительной площадки или дороги в соот­ветствии с вариантом положения секущей плоскости.

Источник