Способы преобразования тригонометрических функций

Содержание

Преобразования графиков тригонометрических функций
п.1. Растяжение и сжатие графиков тригонометрических функций по оси OX
п.2. Растяжение и сжатие графиков тригонометрических функций по оси OY
п.3. Параллельный перенос графиков тригонометрических функций по оси OX
п.4. Параллельный перенос графиков тригонометрических функций по оси OY
п.5. Общее уравнение синусоиды
п.6. Общее уравнение тангенцоиды
п.7. Примеры
Тригонометрические уравнения и преобразования
Четность тригонометрических функций
Тригонометрические тождества
Пособие по теме Преобразование тригонометрических выражений

Преобразования графиков тригонометрических функций

Общие принципы преобразования графиков функций изучались нами в главе 8, (см. §47, §48, §50 справочника для 8 класса). В этом параграфе мы рассмотрим особенности тригонометрических функций при использовании этих преобразований.

п.1. Растяжение и сжатие графиков тригонометрических функций по оси OX

Общие принципы растяжения и сжатия графиков по оси OX:

При сравнении графиков двух функций $$ y_1=f(x),\ \ y_2=f(\frac

),\ \ p\gt 1 $$ график второй функции растягивается в p раз по оси OX по сравнению с графиком первой функции.

Эти принципы справедливы и для тригонометрических функций.
Тригонометрические функции являются периодическими: синус и косинус с периодом 2π, тангенс и котангенс – с периодом π. Получаем следствие общих принципов:

При сравнении двух тригонометрических функций $$ y_1=f(x),\ \ y_2=f(px),\ \ p\gt 1 $$ период второй функции уменьшается в p раз: $$ T_2=\frac

При сравнении двух тригонометрических функций $$ y_1=f(x),\ \ y_2=f(\frac

),\ \ p\gt 1 $$ период второй функции увеличивается в p раз: $$ T_2=pT_1 $$

Построим в одной системе координат три графика: $$ f(x)=sinx,\ \ g(x)=sin2x,\ \ h(x)=sin\frac <2>$$
Период колебаний функции $g(x)=sin2x$ в 2 раза меньше: $T_g=\frac<2\pi><2>=\pi$.
Период колебаний функции $h(x)=sin\frac<2>$ в 2 раза больше: $T_h=2\cdot 2\pi=4\pi$.

п.2. Растяжение и сжатие графиков тригонометрических функций по оси OY

Общие принципы растяжения и сжатия графиков по оси OY:

Общий принцип сжатия графиков:

Эти принципы справедливы и для тригонометрических функций.
Т.к. для графиков синуса и косинуса (синусоиды) характерна амплитуда колебаний, то также говорят, что:

умножение на параметр $A\gt 1$ увеличивает амплитуду колебаний в $A$ раз;
деление на параметр $A\gt 1$ уменьшает амплитуду колебаний в $A$ раз.

Например:

1) Построим в одной системе координат три графика: $$ f(x)=cosx,\ \ g(x)=2cosx,\ \ h(x)=\frac<1><2>cosx $$
Умножение на $A=2$ увеличивает амплитуду колебаний в 2 раза.
Область значений функции $g(x)=2cosx:\ y\in[-2;2]$. График растягивается по оси OY.
Деление на $A=2$ уменьшает амплитуду колебаний в 2 раза. Область значений функции $h(x)=\frac12 cosx:\ y\in\left[-\frac12; \frac12\right]$. График сжимается по оси OY.

2) Теперь построим $$ f(x)=tgx,\ \ g(x)=2tgx,\ \ h(x)=\frac<1><2>tgx $$
В этом случае хорошей иллюстрацией растяжения по оси OY при умножении и сжатия по оси OY при делении на $A=2$ служит поведение функции при $x=\frac\pi4$. $$ f\left(\frac\pi4\right)=tg\left(\frac\pi4\right)=1,\ \ g\left(\frac\pi4\right)=2tg\left(\frac\pi4\right)=2,\ \ h\left(\frac\pi4\right)=\frac12 tg\left(\frac\pi4\right)=\frac12 $$ Аналогично – для любого другого значения аргумента x.

п.3. Параллельный перенос графиков тригонометрических функций по оси OX

Общие принципы переноса по оси OX:

Эти принципы справедливы и для тригонометрических функций.
При этом параметр x называют начальной фазой колебаний.
При сравнении двух тригонометрических функций $y_1=f(x)$ и $y_2=f(x\pm a)$ говорят, что у второй функции сдвиг по фазе равен $\pm a$.

1) Построим в одной системе координат три графика: $$ f(x)=sinx,\ \ g(x)=sin\left(x+\frac\pi4\right),\ \ h(x)=sin\left(x-\frac\pi4\right) $$
Функция $g(x)=sin\left(x+\frac\pi4\right)$ сдвинута на $\frac\pi4$ влево по сравнению с $f(x)$
Функция $h(x)=sin\left(x-\frac\pi4\right)$ сдвинута на $\frac\pi4$ вправо по сравнению с $f(x)$

п.4. Параллельный перенос графиков тригонометрических функций по оси OY

Общие принципы переноса по оси OY:

Эти принципы справедливы и для тригонометрических функций.

1) Построим в одной системе координат три графика: $$ f(x)=sinx,\ \ g(x)=sinx+1,\ \ h(x)=sinx-1 $$
Функция $g(x)=sinx+1$ сдвинута на 1 вверх по сравнению c $f(x)$
Функция $h(x)=sinx-1$ сдвинута на 1 вниз по сравнению с $f(x)$

п.5. Общее уравнение синусоиды

График $y(x)=Acos(cx+d)+B$ также называют синусоидой. Термин «косинусоида» употребляется относительно редко.
Поскольку график косинуса получается из графика синуса сдвигом по фазе на π/2 влево, вводить термин «косинусоида» излишне.

Построим график $g(x)=3sin\left(2x+\frac\pi2\right)-1$
По сравнению с $f(x)=sinx$:

$A=3$ — график растянут по оси OY в 3 раза
$c=2$ — период меньше в 2 раза T=π, график сжат в 2 раза по оси OX
$d=\frac\pi2$ – начальная фаза положительная, график сдвинут на $\frac<\pi><2\cdot 2>=\frac\pi4$ влево
$B=-1$ — график сдвинут по оси OY на 1 вниз

п.6. Общее уравнение тангенцоиды

График $y(x)=Actg(cx+d)+B$ также называют тангенцоидой.

Построим график $g(x)=\frac12 tg\left(\frac<2>-\frac\pi3\right)+1$
По сравнению с $f(x)=tgx$:

$A=\frac12$ — график сжат по оси OY в 2 раза
$c=\frac12$ — период больше в 2 раза T=2π, расстояние между асимптотами 2π, график растянут в 2 раза по оси OX
$d=-\frac\pi3$ – начальная фаза отрицательная, график сдвинут на $\frac<\pi><3\cdot 1/2>=\frac<2\pi><4>$ вправо
$B=1$ — график сдвинут по оси OY на 1 вверх

п.7. Примеры

Пример 1. Постройте в одной системе координат графики: $$ f(x)=sinx,\ \ g(x)=-sinx,\ \ h(x)=cosx $$ Найдите сдвиг по фазе для $g(x)$ и $h(x)$ в сравнении с $f(x)$.

Сдвиг по фазе удобно определять по главной арке синусоиды.
Для $f(x)=sin⁡x$ главная арка определена на отрезке $0\leq x\leq \pi$
Для $g(x)=-sin⁡x$ главная арка определена на отрезке $-\pi\leq x\leq 0$, т.е. сдвинута на π влево от $f(x)$. Это означает, что: $$ f(x)=g(x+\pi),\ \ sin⁡x=-sin⁡(x+\pi) $$ Для $h(x)=cos⁡x$ главная арка определена на отрезке $-\frac\pi2\leq x\leq \frac\pi2$, т.е. сдвинута на $\frac\pi2$ влево от $f(x)$. Это означает, что: $$ f(x)=h\left(x+\frac\pi2\right),\ \ sinx=cos\left(x+\frac\pi2\right) $$

Пример 2. Найдите наименьшие положительные периоды функций:
a) $y=sin5x$
Период синуса $2\pi$ уменьшается в 5 раз. Получаем: $T=\frac<2\pi><5>$

б) $y=cos\pi x$
Период косинуса $2\pi$ уменьшается в $\pi$ раз. Получаем: $T=\frac<2\pi><\pi>=2$

в) $y=tg\frac<4>$
Период тангенса $\pi$ увеличивается в 4 раза. Получаем: $T=4\pi$

г) $y=tg\left(2x+\frac<\pi><3>\right)$
Период тангенса $\pi$ уменьшается в 2 раза. Получаем: $T=\frac\pi2$

Пример 3. Используя правила преобразования графиков функций, постройте график $$ f(x)=2ctg\left(3x+\frac\pi6\right) $$ По сравнению с $g(x)=tg⁡x$:

$A=2$ — график растянут по оси OY в 2 раза
$c=3$ — период меньше в 3 раза $T=\frac\pi3$, расстояние между асимптотами $\frac\pi3$, график сжат в 3 раза по оси OX
$d=-\frac\pi6$ – начальная фаза положительная, график сдвинут на $\frac<\pi><6\cdot 3>=\frac<\pi><18>$ влево

Расположение нулей: $$ tg\left(3x+\frac\pi6\right)=0\Rightarrow 3x+\frac\pi6=\pi k\Rightarrow 3x=-\frac\pi6+\pi k\Rightarrow x =-\frac<\pi><18>+\frac<\pi k> <3>$$ Вертикального сдвига нет, нули расположены на оси OX.
Расположение асимптот: $$ 3x+\frac\pi6\ne\frac\pi2+\pi k\Rightarrow 3x\ne\frac\pi3+\pi k\Rightarrow x\ne\frac\pi9+\frac<\pi k> <3>$$ Пересечение главной ветви с осью OY: $x=0,\ y=2tg\frac\pi6=\frac<2><\sqrt<3>>$
С учетом периода $\frac\pi3$ получаем семейство дополнительных точек для построения графика $\left(\frac<\pi k><3>; \frac<2><\sqrt<3>>\right)$.

Пример 4. Определите графически, сколько корней имеет уравнение на отрезке: a) $sinx=sin2x$ при $0\leq x\leq 3\pi$

Ответ: 7 корней

б) $cos\frac<2>=cos2x$ при $-2\pi\leq x\leq 2\pi$

Ответ: 7 корней

Источник

Тригонометрические уравнения и преобразования

Тригонометрическими уравнениями называют уравнения, в которых переменная содержится под знаком тригонометрических функций. К их числу прежде всего относятся простейшие тригонометрические уравнения, т.е. уравнения вида $sin x=a, cos x=a, tg x=a$, где $а$ – действительное число.

Перед решением уравнений разберем некоторые тригонометрические выражения и формулы.

Значения тригонометрических функций некоторых углов

$α$	$ 0$	$<π>/<6>$	$<π>/<4>$	$<π>/<3>$	$<π>/<2>$	$π$
$sinα$	$ 0$	$ <1>/<2>$	$ <√2>/<2>$	$ <√3>/<2>$	$ 1$	$ 0$
$cosα$	$ 1$	$ <√3>/<2>$	$ <√2>/<2>$	$ <1>/<2>$	$ 0$	$ -1$
$tgα$	$ 0$	$ <√3>/<3>$	$ 1$	$ √3$	$ -$	$ 0$
$ctgα$	$ -$	$ √3$	$ 1$	$ <√3>/<3>$	$ 0$	$ -$

Периоды повтора значений тригонометрических функций

Период повторения у синуса и косинуса $2π$, у тангенса и котангенса $π$

Знаки тригонометрических функций по четвертям

Эта информация нам пригодится для использования формул приведения. Формулы приведения необходимы для понижения углов до значения от $0$ до $90$ градусов.

Чтобы правильно раскрыть формулы приведения необходимо помнить, что:

если в формуле содержатся углы $180°$ и $360°$ ($π$ и $2π$), то наименование функции не изменяется; (если же в формуле содержатся углы $90°$ и $270°$ ($<π>/<2>$ и $<3π>/<2>$), то наименование функции меняется на противоположную (синус на косинус, тангенс на котангенс и т. д.);
чтобы определить знак в правой части формулы ($+$ или $-$), достаточно, считая угол $α$ острым, определить знак преобразуемого выражения.

Преобразовать $сos(90° + α)$. Прежде всего, мы замечаем, что в формуле содержится угол $90$, поэтому $cos$ измениться на $sin$.

Чтобы определить знак перед $sinα$, предположим, что угол $α$ острый, тогда угол $90° + α$ должен оканчиваться во 2-й четверти, а косинус угла, лежащего во 2-й четверти, отрицателен. Поэтому, перед $sinα$ нужен знак $-$.

$сos(90° + α)= — sinα$ — это конечный результат преобразования

Четность тригонометрических функций

Косинус четная функция: $cos(-t)=cos t$

Синус, тангенс и котангенс нечетные функции: $sin(-t)= — sin t; tg(-t)= — tg t; ctg(-t)= — ctg t$

Тригонометрические тождества

$tgα=/$
$ctgα=/$
$sin^2α+cos^2α=1$ (Основное тригонометрическое тождество)

Из основного тригонометрического тождества можно выразить формулы для нахождения синуса и косинуса

Вычислить $sin t$, если $cos t = <5>/ <13>; t ∈(<3π>/<2>;2π)$

Найдем $sin t$ через основное тригонометрическое тождество. И определим знак, так как $t ∈(<3π>/<2>;2π)$ -это четвертая четверть, то синус в ней имеет знак минус

Источник

Пособие по теме Преобразование тригонометрических выражений

ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ НОВОСИБИРСКОЙ ОБЛАСТИ «КУПИНСКИЙ МЕДИЦИНСКИЙ ТЕХНИКУМ»

Для самостоятельной работы студентов

По дисциплине: МАТЕМАТИКА: алгебра и начало математического анализа; геометрия

Тема: « ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ »

Специальность: 34.02.01 Сестринское дело Курс: 1

Рассмотрено на заседании предметной цикловой

Методической комиссии по общеобразовательным дисциплинам,

общему гуманитарному и социально-экономическому, математическому и

Протокол № _____ от «_____» _________20____г.

Автор – составитель: преподаватель математики высшей категории Тюменцева О.Н.

Пояснительная записка к методическому пособию

Методическое пособие предназначено для повторения теоретических и практических знаний по теме.

Цель пособия – повторить понятия: тригонометрических функций, радианной меры углов, таблицы значений тригонометрических функций, формулы перевода градусов в радианы и наоборот, основные тригонометрические тождества и подготовится к занятию по теме « Преобразование простейших тригонометрических выражений » .

Данное пособие рекомендовано для студентов первого курса специальности 34.02.01 Сестринское дело. Пособие содержит определения, свойства и формулы по теме: Преобразование простейших тригонометрических выражений, тест для самоконтроля и ключи к тесту.

Пособие направлено на формирование навыков самостоятельной работы с учебным материалом, формирование навыков решения задач, формирование и развитие творческого потенциала, повышение интереса к дисциплине.

Преобразование простейших тригонометрических выражений Под преобразованием тригонометрических выражений понимают упрощение, выполняемое с помощью формул из тригонометрии.

Существуют основные правила, которых следует придерживаться во время преобразования выражений:

1. Во время преобразования выражений, содержащих большое количество тригонометрических функций, необходимо привести его к минимальному количеству видов функций. Для этого следует воспользоваться основными тригонометрическими тождествами, формулами приведения и другими формулами.

2. Если выражение содержит функции с разными аргументами, постарайтесь привести их к одному аргументу.

3. Если для упрощения выражений необходимо получить кофункцию, воспользуйтесь формулами приведения.

4. Если в выражении имеются функции высоких степеней, то можно воспользоваться основным тригонометрическим тождеством или же формулами понижения степеней:

5. Для преобразования некоторых выражений Вам могут помочь дополнительные формулы, которые не рассматривались в предыдущих вопросах:

С помощью следующих формул можно избавиться от произведения функций, перейдя к сумме:

Переход к половинным углам:

В тождественных преобразованиях тригонометрических выражений могут быть использованы следующие алгебраические приемы: добавление и вычитание одинаковых слагаемых; вынесение общего множителя за скобки; умножение и деление на одну и ту же величину; применение формул сокращенного умножения; выделение полного квадрата; разложение квадратного трехчлена на множители; введение новых переменных с целью упрощения преобразований.

При преобразованиях тригонометрических выражений, содержащих дроби, можно использовать свойства пропорции, сокращение дробей или приведение дробей к общему знаменателю. Кроме того, можно пользоваться выделением целой части дроби, умножением числителя и знаменателя дроби на одинаковую величину, а так же по возможности учитывать однородность числителя или знаменателя. При необходимости можно представлять дробь в виде суммы или разности нескольких более простых дробей.

Кроме того, применяя все необходимые методы преобразования тригонометрических выражений, необходимо постоянно учитывать облась допустимых значений преобразуемых выражений.

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1.

Вычислить А = (sin (2x – π) · cos (3π – x) + sin (2x – 9π/2) · cos (x + π/2)) 2 + (cos (x – π/2) · cos (2x – 7π/2) + sin (3π/2 – x) · sin (2x – 5π/2)) 2

Из формул приведения следует:

sin (2x – π ) = -sin 2x; cos (3 π – x) = -cos x;

sin (2x – 9 π /2) = -cos 2x; cos (x + π /2) = -sin x;

cos (x – π /2) = sin x; cos (2x – 7 π /2) = -sin 2x;

sin (3 π /2 – x) = -cos x; sin (2x – 5 π /2) = -cos 2x.

Откуда в силу формул сложения аргументов и основного тригонометрического тождества получаем

А = (sin 2x · cos x + cos 2x · sin x) 2 + (-sin x · sin 2x + cos x · cos 2x) 2 = sin 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) = sin 2 3x + cos 2 3x = 1

Ответ: 1.

Пример 2.

Преобразовать в произведение выражение М = cos α + cos (α + β) · cos γ + cos β – sin (α + β) · sin γ + cos γ.

Из формул сложения аргументов и формул преобразования суммы тригонометрических функций в произведение после соответствующей группировки имеем

М = (cos (α + β) · cos γ – sin (α + β) · sin γ) + cos α + (cos β + cos γ) =

= 2cos ((β + γ)/2) · cos ((β – γ)/2) + (cos α + cos (α + β + γ)) =

= 2cos ((β + γ)/2) · cos ((β – γ)/2) + 2cos (α + (β + γ)/2) · cos ((β + γ)/2)) =

= 2cos ((β + γ)/2) (cos ((β – γ)/2) + cos (α + (β + γ)/2)) =

= 2cos ((β + γ)/2) · 2cos ((β – γ)/2 + α + (β + γ)/2)/2) · cos ((β – γ)/2) – (α + (β + γ)/2)/2) = 4cos ((β + γ)/2) · cos ((α +β)/2) · cos ((α + γ)/2).

Ответ: М = 4cos ((α + β)/2) · cos ((α + γ)/2) · cos ((β + γ)/2).

Пример 3 .

Показать, что выражение А = cos 2 (x + π/6) – cos (x + π/6) · cos (x – π/6) + cos 2 (x – π/6) принимает для всех х из R одно и то же значение. Найти это значение.

Приведем два способа решения этой задачи. Применяя первый способ, путем выделения полного квадрата и пользуясь соответствующими основными тригонометрическими формулами, получим

А = (cos (x + π/6) – cos (x – π/6)) 2 + cos (x – π/6) · cos (x – π/6) =

= 4sin 2 x · sin 2 π /6 + 1/2(cos 2x + cos π /3) =

= sin 2 x + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 1/2 · (1 – cos 2x) + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 3/4.

Решая задачу вторым способом, рассмотрим А как функцию от х из R и вычислим ее производную. После преобразований получим

А´ = -2cos (x + π/6) · sin (x + π/6) + (sin (x + π/6) · cos (x – π/6) + cos (x + π/6) · sin (x + π/6)) – 2cos (x – π/6) · sin (x – π/6) =

= -sin 2(x + π /6) + sin ((x + π /6) + (x – π /6)) – sin 2(x – π /6) =

= sin 2x – (sin (2x + π /3) + sin (2x – π /3)) =

= sin 2x – 2sin 2x · cos π /3 = sin 2x – sin 2x ≡ 0.

Отсюда в силу критерия постоянства дифференцируемой на промежутке функции заключаем, что

А(х) ≡ (0) = cos 2 π/6 — cos 2 π/6 + cos 2 π/6 = (√3/2) 2 = 3/4, x € R.

Ответ: А = 3/4 для x € R.

Основными приемами доказательства тригонометрических тождеств являются:

а) сведение левой части тождества к правой путем соответствующих преобразований;
б) сведение правой части тождества к левой;
в) сведение правой и левой частей тождества к одному и тому же виду;
г) сведение к нулю разности левой и правой частей доказываемого тождества.

Пример 4.

Проверить, что cos 3x = -4cos x · cos (x + π/3) · cos (x + 2π/3).

Преобразуя правую часть этого тождества по соответствующим тригонометрическим формулам, имеем

-4 cos x · cos ( x + π/3) · cos ( x + 2π/3) = -2 cos x · ( cos (( x + π/3) + ( x + 2π/3)) + cos (( x + π/3) – ( x + 2π/3))) = -2 cos x · ( cos (2 x + π) + cos π/3) =

= 2cos x · cos 2x — cos x = (cos 3x + cos x) – cos x = cos 3x.

Правая часть тождества сведена к левой.

Пример 5.

Доказать, что sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α · cos β · cos γ = 2, если α, β, γ – внутренние углы некоторого треугольника.

Учитывая, что α, β, γ – внутренние углы некоторого треугольника, получаем, что α + β + γ = π и, значит, γ = π – α – β.

sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α · cos β · cos γ =

= sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (π – α – β) – 2cos α · cos β · cos (π – α – β) =

= sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (α + β) + (cos (α + β) + cos (α – β) · (cos (α + β) =

= sin 2 α + sin 2 β + (sin 2 (α + β) + cos 2 (α + β)) + cos (α – β) · (cos (α + β) =

= 1/2 · (1 – сos 2α) + ½ · (1 – cos 2β) + 1 + 1/2 · (cos 2α + cos 2β) = 2.

Исходное равенство доказано.

Преобразовать в произведение: .