Преобразование суждений
Для выяснения точного логического смысла суждения нередко требуется преобразование его формы. Это достигается прежде всего посредством таких логических операций, как обращение, превращение, противопоставление субъекту и противопоставление предикату.
Обращение — это преобразование суждения путем перестановки его субъекта и предиката местами. При этом количество суждения (кванторное слово) может изменяться, а качество не меняется.
а) Общеутвердительное суждение (А) преобразуется в частноутвердительное (I). Обусловлено это тем, что субъект в нем распределен, а предикат, как правило, не распределен, формула обращения «Все S есть Р» — «Некоторые Р есть S». Так, в суждении «Все змеи — ядовитые существа» поставим субъект на место предиката, а предикат на место субъекта. В результате получим «Некоторые ядовитые существа — змеи». Это графически можно представить так:
где S — змеи, Р — ядовитые существа. Такое преобразование называется «обращение с ограничением».
б) Частноутвердительное суждение (I) обращается в частноутвердительное (I). Субъект и предикат в них, как правило, не распределены. Формула об-
ращения «Некоторые S есть Р» — «Некоторые Р есть S». Пример: «Некоторые поэты — талантливые люди» — «Некоторые талантливые люди — поэты». На круговой схеме:
Исключение составляют суждения, в которых субъект не распределен, а предикат распределен.
в) Общеотрицательное суждение (Е) обращается в общеотрицательное (Е), так как субъект и предикат здесь распределены. Формула: «Ни одно S не есть Р» — «Ни одно Р не есть S». Например: «Ни один друг не может быть предателем» — «Ни один предатель не может быть другом».
 |  |
г) Частноотрицательные суждения не обращаются. Субъект в них не распределен, следовательно, он не может стать предикатом нового, тоже отрицательного суждения, где предикат всегда распределен. Попробуем для примера выяснить, что произойдет с суждением «Некоторые мужчины — неженатые». Означает ли оно, что «Ни один женатый — не мужчина»? Или только «некоторые»? И тот и другой вывод бессмысленны. А иного сделать нельзя. Это видно на схеме:
 |
Превращение — это преобразование суждения путем перемены его качества на противоположное. Количество суждения, его субъект и предикат при этом не меняются. В превращении проявляются следующие закономерности: а) общеутвердительное суждение (А) преобразуется в общеотрицательное (Е). Формула превращения: «Все S есть Р» — «Ни одно S не есть не-Р». Так, суждение «Все волки — хищники» по качеству утвердительное. Превращаем его в отрицательное, но так при этом, чтобы его смысл не изменился: «Ни один волк не является нехищником». Вот графическое изображение:
 |
б) Общеотрицательное суждение (Е), наоборот, превращается в общеутвердительное (А). Формула: «Ни одно S не есть не-Р» — «Все S есть Р». Пример: «Ни одно преступление не осталось безнаказанным» — «Все преступления наказаны». Графически:
 |
в) Частноутвердительное суждение (I) превращается в частноотрицательное (О), формула «Некоторые S есть Р» — «Некоторые S не есть не-Р». Пример:
«Некоторые свидетели дали верные показания» — «Некоторые свидетели не дали неверных показаний». Графически:
г) Частноотрицательное суждение (О) превращается в частноутвердительное (I). Формула: «Некоторые S не есть Р» — «Некоторые S есть не-Р». Например: «Некоторые книги не есть интересные» — «Некоторые книги есть неинтересные». Графически:
Значение превращения как логической операции состоит в том, что благодаря ему в суждении раскрывается новый, более богатый смысл: утверждение принимает форму отрицания и наоборот.
Обращение и превращение выступают исходными логическими операциями с суждениями. Их различное сочетание порождает еще две операции: противопоставление субъекту и противопоставление предикату, которые считаются производными или смешанными.
Противопоставление субъекту — так называется преобразование суждения путем обращения и последующего превращения. Приведем для краткости лишь один пример. Если суждение «Все волки — хищники» сначала обратим в суждение «Некоторые хищники — волки», а это последнее, в свою очередь, превратим в суждение «Некоторые хищники не есть неволки», то получим противопоставление субъекту. Предикат заключительного суждения — «неволки» — противопоставляется субъекту исходного суждения — «волки». Отсюда название самой операции.
Противопоставление предикату — это преобразование суждения путем превращения и последующего обращения. Пример: суждение «Все волки — хищники» сначала превратим в суждение «Ни один волк не является нехищником», а это последнее обратим в суждение «Ни один нехищник не является волком». Получается, что предикату исходного суждения «хищники» мы противопоставили понятие «нехищники» и сделали его субъектом нового суждения. Этим объясняется название операции.
Другую важнейшую логическую операцию представляет собой отрицание суждений, или инверсия (от лат. inversio — «переворачивание»). Его сходство с преобразованием суждений состоит в том, что результатом отрицания выступает тоже новое суждение. Отличие состоит в процессе преобразования суждения: как мы видели, меняется лишь его логическая форма, тогда как смысл остается тем же самым. В процессе же отрицания меняется не только форма суждения, но и самый его смысл: оно становится противоречащим исходному, исключающим его. Таким образом, если в основе преобразования суждений лежит их эквивалентность по смыслу, то в основе отрицания — их несовместимость.
Рассмотрим вначале отрицание простых атрибутивных суждений, которое заключается в замене одного исходного суждения другим, не только несовместимым с ним, но и противоречащим ему. Языковыми средствами выражения такой операции служат обороты речи типа «неверно, что. » или частица «не» и ей подобные.
Если формула простого атрибутивного утвердительного суждения — «S есть Р», то формулой отрицания его будет: «Неверно, что S есть Р» или «S не есть Р». В символической записи: Ā (читается: «неверно, что А»; «не-А»). Например: «Все мужья верны своим женам» — «Неверно, что все мужья верны своим женам » или «Не все мужья верны своим женам «. Отрицанию могут подвергаться и отрицательные суждения. Если формула отрицательного суждения — «S не есть Р», то его отрицание будет выражено формулой: «Неверно, что S не есть Р» (что равносильно утверждению: «S есть Р»).
1. Какова логическая структура суждения?
2. Назовите основные виды предложений.
3. Что такое классификация?
4. Какие виды простых суждений Вы знаете?
5. В каком случае термин считается распределенным?
6. Охарактеризуйте атрибутивные реляционные и экзистенциальные суждения.
7. Что такое модальные высказывания? Перечислите их основные виды.
8. Назовите виды сложных суждений.
9. Каковы отношения между простыми суждениями (по логическому квадрату)?
10.Характеризуйте основные типы преобразования суждений: обращение, превращение, противопоставление субъекту, противопоставление предикату, инверсия.
Источник
Способы преобразования суждений
Преобразовать простое суждение – это значит изменить его форму, не меняя его содержания. Причем распределенность терминов в исходном суждении и в новом суждении должна оставаться одной и той же (термин, который был распределен в исходном суждении, должен быть распределен и в новом суждении, то же самое и с нераспределенным термином). Существует три способа преобразования простых суждений: обращение, превращение и противопоставление предикату.
Обращение(также часто называемое конверсией) – это преобразование простого суждения, при котором его субъект и предикат меняются местами. Например, суждение: Все акулы являются рыбами преобразуется путем обращения в суждение: Некоторые рыбы являются акулами. Здесь может возникнуть вопрос, почему исходное суждение начинается с квантора все, а новое – с квантора некоторые! Этот вопрос, на первый взгляд, кажется странным, ведь нельзя же сказать: Все рыбы являются акулами, следовательно, единственное, что остается, это: Некоторые рыбы являются акулами. Однако в данном случае мы обратились к содержанию суждения и по смыслу поменяли квантор все на квантор некоторые; а логика, как уже говорилось, отвлекается от содержания мышления и занимается только его формой, будучи формальной логикой. Поэтому обращение суждения: Все акулы являются рыбами можно выполнить формально, не обращаясь к его содержанию (смыслу). Для этого установим распределенность терминов в этом суждении с помощью круговой схемы. Термины суждения, то есть субъект (акулы) и предикат (рыбы) находятся в данном случае в отношении подчинения:
На схеме видно, что субъект распределен (полный круг), а предикат нераспределен (неполный круг). Вспомнив, что термин распределен, когда речь идет обо всех предметах, входящих в него и нераспределен, когда – не обо всех, мы автоматически мысленно ставим перед термином акулы квантор все, а перед термином рыбы квантор некоторые. Делая обращение указанного суждения, то есть, меняя местами его субъект и предикат и начиная новое суждение с термина рыбы, мы опять же автоматически снабжаем его квантором некоторые, не задумываясь о содержании исходного и нового суждений, и получаем безошибочный вариант: Некоторые рыбы являются акулами.
Обратим внимание на то, что в рассмотренном выше примере исходное суждение было вида А, а новое – вида I, то есть операция обращения привела к смене вида простого суждения. При этом, конечно же, поменялась его форма, но не поменялось содержание, ведь в суждениях: Все акулы являются рыбами и Некоторые рыбы являются акулами речь идет об одном и том же. Суждение вида А обращается или в само себя, или в суждение вида I. Суждение вида I обращается или в само себя, или в суждение вида А. Суждение вида Е всегда обращается в само себя, а суждение вида О не поддается обращению.
Второй способ преобразования простых суждений, называемый превращением(или обверсией), заключается в том, что у суждения меняется связка: положительная на отрицательную или наоборот. При этом предикат суждения заменяется противоречащим понятием. Например, то же самое суждение, которое мы рассматривали в качестве примера для обращения: Все акулы являются рыбами преобразуется путем превращения в суждение Все акулы не являются не рыбами. Это суждение может показаться странным, ведь обычно так не говорят, хотя на самом деле перед нами более короткая формулировка той мысли, что ни одна акула не может быть таким существом, которое не является рыбой, или что множество всех акул исключается из множества всех существ, которые не являются рыбами. Субъект (акулы) и предикат (не рыбы) суждения, получившегося в результате превращения, находятся в отношении несовместимости:
Приведенный пример превращения демонстрирует важную логическую закономерность, которая заключается в том, что любое утверждение равно двойному отрицанию (и наоборот). Как видим, исходное суждение вида А в результате превращения стало суждением вида Е. В отличие от обращения превращение не зависит от характера отношений между субъектом и предикатом простого суждения. Поэтому суждение вида А всегда превращается в суждение вида Е, а суждение вида Е всегда превращается в суждение вида А. Суждение вида I всегда превращается в суждение вида О, а суждение вида О всегда превращается в суждение вида I.
Третий способ преобразования простых суждений – противопоставление предикату– состоит в том, что сначала суждение подвергается превращению, а потом обращению. Например, чтобы преобразовать путем противопоставления предикату суждение: Все акулы являются рыбами надо сначала подвергнуть его превращению. Получится: Все акулы не являются не рыбами. Теперь надо совершить обращение с этим получившимся суждением, то есть поменять местами его субъект (акулы) и предикат (не рыбы). В данном случае, чтобы не ошибиться, вновь прибегнем к установлению распределенных терминов с помощью круговой схемы. Субъект и предикат в этом суждении находятся в отношении несовместимости:
На схеме видим, что и субъект, и предикат распределены (и тому, и другому термину соответствует полный круг), следовательно, мы должны сопроводить как субъект, так и предикат квантором все. После этого совершим обращение с суждением: Все акулы не являются не рыбами. Получится: Все не рыбы не являются акулами.
В заключение еще раз отметим, что частноотрицательные суждения О не поддаются обращению. Из этого следует, что частноутвердительные суждения I не поддаются операции противопоставления предикату, которая состоит из последовательно проведенных превращения и обращения. Частноутвердительное суждение I в результате превращения становится частноотрицательным суждением О, после чего его следует подвергнуть обращению, которому частноотрицательное суждение О не поддается.
Отношения между суждениями
Суждения, как и понятия, бывают сравнимыми и несравнимыми. Сравнимыесуждения имеют одинаковые субъекты и предикаты, но могут отличаться кванторами и связками, а несравнимыесуждения имеют различные субъекты и предикаты. Например, суждения: Все школьники изучают математику и Некоторые школьники не изучают математику являются сравнимыми: у них совпадают субъекты и предикаты, а кванторы и связки различаются. Суждения: Все школьники изучают математику и Некоторые спортсмены – это олимпийские чемпионы являются несравнимыми: субъекты и предикаты у них не совпадают. Сравнимые суждения также называются идентичными по материалу.Они бывают, как и понятия, совместимыми и несовместимыми и могут находиться в различных отношениях между собой. Совместимыминазываются суждения, которые могут быть одновременно истинными. Например, суждения: Некоторые люди – это спортсмены и Некоторые люди – это не спортсмены являются одновременно истинными и представляют собой совместимые суждения. Несовместимыминазываются суждения, которые не могут быть одновременно истинными: истинность одного из них обязательно означает ложность другого. Например, суждения: Все школьники изучают математику и Некоторые школьники не изучают математику не могут быть одновременно истинными и являются несовместимыми (истинность первого суждения с неизбежностью приводит к ложности второго).
Совместимые суждения могут находиться в следующих отношениях.
1. Равнозначность– это отношение между двумя суждениями, у которых и субъекты, и предикаты, и связки, и кванторы совпадают. Например, суждения: Москва является древним городом и Столица России является древним городом находятся в отношении равнозначности.
2. Подчинение– это отношение между двумя суждениями, у которых предикаты и связки совпадают, а субъекты находятся в отношении вида и рода. Например, суждения: Все растения являются живыми организмами и Все цветы (некоторые растения) являются живыми организмами находятся в отношении подчинения.
3. Частичное совпадение(или субконтрарность) – это отношение между двумя суждениями, у которых субъекты и предикаты совпадают, а связки различаются. Например, суждения: Некоторые грибы являются съедобными и Некоторые грибы не являются съедобными находятся в отношении частичного совпадения. Необходимо отметить, что в этом отношении находятся только частные суждения – частноутвердительные I и частноотрицательные О.
Несовместимые суждения могут находиться в следующих отношениях.
1. Противоположность(или контрарность) – это отношение между двумя суждениями, у которых субъекты и предикаты совпадают, а связки различаются. Например, суждения: Все люди являются правдивыми и Все люди не являются правдивыми находятся в отношении противоположности. В этом отношении могут быть только общие суждения – общеутвердительные А и общеотрицательные Е. Важным признаком противоположных суждений является то, что они не могут быть одновременно истинными, но могут быть одновременно ложными. Так, два приведенных выше в качестве примера противоположных суждения не могут быть одновременно истинными, но могут быть одновременно ложными: неправда, что все люди являются правдивыми, но также неправда, что все люди не являются правдивыми. Противоположные суждения могут быть одновременно ложными, потому что между ними, обозначающими какие-то крайние варианты, всегда есть третий, средний, промежуточный вариант. Если этот средний вариант будет истинным, то два крайних окажутся ложными. Между противоположными (крайними) суждениями: Все люди являются правдивыми и Все люди не являются правдивыми есть третий, средний вариант: Некоторые люди являются правдивыми, а некоторые не являются таковыми, который, будучи истинным суждением, обусловливает одновременную ложность двух вышеуказанных крайних, противоположных суждений.
2. Противоречие(или контрадикторность) – это отношение между двумя суждениями, у которых предикаты совпадают, связки являются различными, а субъекты отличаются своими объемами, то есть находятся в отношении подчинения (вида и рода). Например, суждения: Все люди являются правдивыми и Некоторые люди не являются правдивыми находятся в отношении противоречия. Важным признаком противоречащих суждений, в отличие от противоположных, является то, что между ними не может быть третьего, среднего, промежуточного варианта. В силу этого два противоречащих суждения не могут быть одновременно истинными и не могут быть одновременно ложными: истинность одного из них обязательно означает ложность другого, и наоборот – ложность одного обусловливает истинность другого. (К противоположным и противоречащим суждениям мы еще вернемся, когда речь пойдет о логических законах противоречия и исключенного третьего.)
Рассмотренные отношения между простыми сравнимыми суждениями изображаются схематически с помощью логического квадрата, который был разработан еще средневековыми логиками.
Как видим, вершины квадрата обозначают четыре вида простых суждений, а его стороны и диагонали – отношения между ними. Так, суждения вида А и вида I, а также суждения вида Е и вида О находятся в отношении подчинения. Суждения вида А и вида Е находятся в отношении противоположности, а суждения вида I и вида О – частичного совпадения. Суждения вида А и вида О, а также суждения вида Е и вида I находятся в отношении противоречия. Неудивительно, что логический квадрат не изображает отношение равнозначности, потому что в этом отношении находятся одинаковые по виду суждения, то есть равнозначность – это отношение между суждениями А и А, I и I, E и Е, О и О. Чтобы установить отношение между двумя суждениями, достаточно определить, к какому виду относится каждое из них. Например, надо выяснить, в каком отношении находятся суждения: Все люди изучали логику и Некоторые люди не изучали логику. Видя, что первое суждение является общеутвердительным А, а второе частноотрицательным О, мы без труда устанавливаем отношение между ними с помощью логического квадрата – противоречие. Также суждения: Все люди изучали логику (А) и Некоторые люди изучали логику (I) находятся в отношении подчинения, а суждения: Все люди изучали логику (А) и Все люди не изучали логику (Е) находятся в отношении противоположности.
Как уже говорилось, важным свойством суждений, в отличие от понятий, является то, что они могут быть истинными или ложными. Что касается сравнимых суждений, о которых идет речь в данном параграфе, то истинностные значения каждого из них определенным образом связаны с истинностными значениями остальных. Так, если суждение вида А является истинным или ложным, то три других (I, E, О) сравнимых с ним суждения (то есть имеющих сходные с ним субъекты и предикаты) в зависимости от этого (то есть от истинности или ложности суждения вида А) тоже являются истинными или ложными. Например, если суждение вида А: Все тигры – это хищники является истинным, то суждение вида I: Некоторые тигры – это хищники также является истинным (если все тигры – хищники, то и часть из них, то есть некоторые тигры – это тоже хищники), суждение вида Е: Все тигры – это не хищники является ложным, и суждение вида О: Некоторые тигры – это не хищники также является ложным. Таким образом, в данном случае из истинности суждения вида А вытекает истинность суждения вида I и ложность суждений вида Е и вида О (разумеется, речь идет о сравнимых суждениях, то есть имеющих одинаковые субъекты и предикаты).
Далее представлены все случаи отношений между истинностными значениями простых сравнимых суждений.
1. Если суждение вида А является истинным, то суждение вида Iтакже является истинным, а суждения вида Е и О являются ложными.
2. Если суждение вида А является ложным, то суждение вида I является неопределенным по истинности (то есть может быть как истинным, так и ложным, в зависимости от того, о чем будет идти в нем речь), суждение вида Е является также неопределенным по истинности, а суждение вида О является истинным. (Далее будем применять сокращения, например, вместо выражения «суждение вида А» будем говорить «А», а вместо «является истинным» – просто «истинно»).
3. Если Е истинно, то А ложно, Iложно, О истинно.
4. Если Е ложно, то А неопределенно по истинности, I истинно, О неопределенно по истинности.
5. Если I истинно, то А неопределенно по истинности, Е ложно, О неопределенно по истинности.
6. Если I ложно, то А ложно, Еистинно, О истинно.
7. Если О истинно, то А ложно, Е неопределенно по истинности, I неопределенно по истинности.
8. Если О ложно, то А истинно, Е ложно, I истинно.
Используя рассмотренные правила, можно делать выводы об истинности простых сравнимых суждений с помощью логического квадрата (или, как часто говорят в логике, по логическому квадрату). Выше был приведен пример таких выводов на основе суждения вида А: Все тигры являются хищниками, где из его истинности вытекали определенные истинностные значения других суждений – I, Е, О. Рассмотрим еще один пример. Возьмем суждение вида Е: Все планеты не являются звездами и сделаем из его истинности выводы об истинностных значениях суждений А, I, О. Когда данное суждение вида Е истинно (см. правила выше), то суждение вида А: Все планеты являются звездами ложно, суждение вида I: Некоторые планеты являются звездами также ложно, а суждение вида О: Некоторые планеты не являются звездами истинно (если все планеты не являются звездами, то и часть планет, то есть некоторые планеты, – это тоже не звезды).
Виды сложных суждений
Сложным называется суждение, которое состоит из простых суждений, соединенных каким-либо союзом. В зависимости от этого союза выделяется, как правило, шесть видов сложных суждений.
Конъюнктивное суждение,или конъюнкция,– это сложное суждение с соединительным союзом «и», который обозначается в логике условным знаком Ù. С помощью этого знака конъюнктивное суждение, состоящее из двух простых суждений, можно представить в виде формулы аÙb (читается «а и b»), где а и b – это два каких-либо простых суждения. Например, сложное суждение: Сверкнула молния, и загремел гром является конъюнктивным, или конъюнкцией, (соединением) двух простых суждений: 1. Сверкнула молния. 2. Загремел гром. Конъюнкция может состоять не только из двух, но и из большего количества простых суждений. Например: Сверкнула молния, и загремел гром, и пошел дождь (аÙbÙс).
Дизъюнктивное суждение,или дизъюнкция,– это сложное суждение с разделительным союзом «или».Вспомним, что, говоря о логических операциях сложения и умножения понятий, мы отмечали неоднозначность этого союза (см. § 1.7), который может использоваться как в нестрогом (неисключающем) значении, так и в строгом (исключающем). Неудивительно поэтому, что дизъюнктивные суждения делятся на два вида.
Нестрогая дизъюнкция– это сложное суждение с разделительным союзом «или»в его неисключающем (нестрогом) значении, который обозначается условным знаком Ú. С помощью этого знака нестрогое дизъюнктивное суждение, состоящее из двух простых суждений можно представить в виде формулы aÚb (читается «а или b»), где аи b – это два каких-либо простых суждения. Например, сложное суждение: Он изучает английский или он изучает немецкий является нестрогим дизъюнктивным, или нестрогой дизъюнкцией, (разделением) двух простых суждений: 1. Он изучает английский. 2. Он изучает немецкий. Как видим, эти суждения друг друга не исключают, ведь возможно изучать и английский, и немецкий одновременно, в силу чего данная дизъюнкция является нестрогой.
Строгая дизъюнкция– это сложное суждение с разделительным союзом «или»в его исключающем (строгом) значении, который обозначается условным знаком Ú. С помощью этого знака строгое дизъюнктивное суждение, состоящее из двух простых суждений, можно представить в виде формулы aÚb (читается «или а, или b»), где аи b – это два каких-либо простых суждения. Например, сложное суждение: Он учится в 9 классе или он учится в 11 классе является строгим дизъюнктивным, или строгой дизъюнкцией, (разделением) двух простых суждений: 1. Он учится в 9 классе. 2. Он учится в 11 классе. Обратим внимание на то, что эти суждения друг друга исключают, ведь невозможно одновременно учиться и в 9, и в 11 классе (если он учится в 9 классе, то обязательно не учится в 11 классе, и наоборот), в силу чего данная дизъюнкция является строгой. Как нестрогая, так и строгая дизъюнкция могут состоять не только из двух, но и из большего числа простых суждений. Например: Он изучает английский или он изучает немецкий, или он изучает французский (aÚbÚc) или Он учится в 9 классе или он учится в 10 классе, или он учится в 11 классе (aÚbÚc).
Импликативное суждение,или импликация,– это сложное суждение с условным союзом «если. то», который обозначается условным знаком ®. С помощью этого знака импликативное суждение, состоящее из двух простых суждений, можно представить в виде формулы а®b (читается «если а, то b»), где аи b – это два каких-либо простых суждения. Например, сложное суждение: Если вещество является металлом, то оно электропроводно представляет собой импликативное суждение, или импликацию, (причинно-следственную связь) двух простых суждений: 1. Вещество является металлом. 2. Вещество электропроводно. Как видим, в данном случае эти два суждения связаны таким образом, что из первого вытекает второе (если вещество – металл, то оно обязательно электропроводно), однако из второго не вытекает первое (если вещество электропроводно, то это вовсе не означает, что оно является металлом). Первая часть импликации называется основанием,а вторая – следствием:из основания вытекает следствие, но из следствия не вытекает основание. Формулу импликации «а®b» можно прочитать так: «если а, то обязательно b, но если b, то не обязательно а».
Эквивалентное суждение,или эквиваленция,– это сложное суждение с союзом «если. то»не в его условном значении (как в случае с импликацией), а в тождественном (эквивалентном). В данном случае этот союз обозначается условным знаком , с помощью которого эквивалентное суждение, состоящее из двух простых суждений, можно представить в виде формулы а ,b (читается «если а, то b, и если b, то а»), где аи b – это два каких-либо простых суждения. Например, сложное суждение: Если число является четным, то оно делится без остатка на 2 представляет собой эквивалентное суждение, или эквиваленцию, (равенство, тождество) двух простых суждений: 1. Число является четным. 2. Число делится без остатка на 2. Нетрудно заметить, что в данном случае два суждения связаны так, что из первого вытекает второе, а из второго – первое: если число четное, то оно обязательно делится без остатка на 2, а если число делится без остатка на 2, то оно обязательно четное. Понятно, что в эквиваленции, в отличие от импликации, не может быть ни основания, ни следствия, так как две ее части являются равнозначными суждениями.
Отрицательное суждениеили отрицание– это сложное суждение с союзом «неверно, что. »,который обозначается условным знаком Ø. С помощью этого знака отрицательное суждение можно представить в виде формулы Øа (читается «неверно, что а»), где а– это какое-либо простое суждение. Здесь может возникнуть вопрос – где же вторая часть сложного суждения, которую мы обычно обозначали символом b? В записи Øа уже присутствуют два простых суждения: а– это какое-то утверждение, а знак Ø – это его отрицание, то есть перед нами как бы два простых суждения – одно утвердительное, другое отрицательное. Пример отрицательного суждения: Неверно, что все мухи являются птицами.
Итак, мы рассмотрели шесть видов сложных суждений: конъюнкцию, дизъюнкцию нестрогую и дизъюнкцию строгую, импликацию, эквиваленцию и отрицание.
Любое сложное суждение является истинным или ложным в зависимости от истинности или ложности входящих в него простых суждений. Ниже приведена таблица истинности всех видов сложных суждений в зависимости от всех возможных наборов истинностных значений двух входящих в них простых суждений (таких наборов всего четыре: 1) оба простых суждения истинные; 2) первое суждение истинное, а второе ложное; 3) первое суждение ложное, а второе истинное; 4) оба суждения ложные).
Как видим, конъюнкция (аÙb) истинна только тогда, когда истинны оба простых суждения, входящих в нее. Надо отметить, что конъюнкция, состоящая не из двух, а из большего количества простых суждений, также истинна только в том случае, когда истинны все входящие в нее суждения. Во всех остальных случаях она является ложной. Нестрогая дизъюнкция (aÚb), наоборот, истинна во всех случаях за исключением того, когда оба входящих в нее простых суждения ложны. Нестрогая дизъюнкция, состоящая не из двух, а из большего количества простых суждений, также ложна только тогда, когда ложны все входящие в нее простые суждения. Строгая дизъюнкция (aÚb) истинна только тогда, когда одно входящее в нее простое суждение истинно, а другое ложно. Строгая дизъюнкция, состоящая не из двух, а из большего количества простых суждений, истинна только в том случае, если истинно только одно из входящих в нее простых суждений, а все остальные ложны. Импликация (а®b) ложна только в одном случае – когда ее основание является истинным, а следствие ложным. Во всех остальных случаях она истинна. Эквиваленция (а ,b) истинна тогда, когда два составляющих ее простых суждения истинны или же когда они оба являются ложными. Если одна часть эквиваленции истинна, а другая ложна, то эквиваленция ложна. Проще всего определяется истинность отрицания: когда утверждение (а) истинно, его отрицание (Øа) ложно; когда утверждение (а) ложно, его отрицание (Øа) истинно.
Источник
