Способы представления вариационного ряда

Построим график полученной функции.

Рис. 7.4 График эмпирической функции

Числовые характеристики выборки

Вариационные ряды и графики эмпирических распределений дают наглядное представление о том, как варьирует признак в выборочной совокупности. Но они недостаточны для полной характеристики выборки, поскольку содержат много деталей, охватить которые невозможно без применения обобщающих числовых характеристик.

Числовые характеристики выборки дают количественное представление об эмпирических данных и позволяют сравнивать их между собой.

Характеристики положения

Чаще всего употребляются такие характеристики положения, как среднее арифметическое, медиана и мода.

Среднее арифметическое

Среднее арифметическое, или просто среднее, — одна из основных характеристик выборки.

Среднее арифметическое – такое значение признака, сумма отклонений от которого выборочных значений признака равна нулю (с учетом знака отклонения).

Среднее принято обозначать той же буквой, что и варианты выборки, с той лишь разницей, что над буквой ставится символ усреднения — черта. Например, если обозначить исследуемый признак через X, а его числовые значения — через x_i, то среднее арифметическое имеет обозначение .

Среднее арифметическое, как и другие числовые характеристики выборки, может вычисляться как по необработанным первичным данным, так и по результатам группировки этих данных.

Для несгруппированных данных среднее арифметическое определяется по следующей формуле:

где n — объем выборки;

Если данные сгруппированы, то

где n — объем выборки;

k — число интервалов группировки;

х_i — срединное значение i-ого интервала.

Среднее арифметическое – величина того же наименования, что и значения признаков.

Нахождение среднего арифметического непрерывного вариационного ряда осложняется, если крайние интервалы не замкнуты (то есть имеют вид «менее 10» или «более 60»). В этом случае считается, что ширина первого интервала равна ширине второго, а ширина последнего – ширине предпоследнего.

Среднее арифметическое, вычисленное по формуле называют также взвешенным средним, подчеркивая этим, что в формуле x_i, суммируются с коэффициентами (весами), равными частотам попадания в интервалы группировки.

Медиана

Медианой (Ме) называется такое значение признака X, когда ровно половина значений экспериментальных данных меньше ее, а вторая половина — больше.

Если данных немного (объем выборки невелик), медиана вычисляется очень просто. Для этого выборку ранжируют, т. е. располагают данные в порядке возрастания или убывания, и в ранжированной выборке, содержащей n членов, ранг R (порядковый номер) медианы определяется как

Пример 7.8. Имеется ранжированная выборка, содержащая нечетное число членов n = 9:

12, 14, 14, 18, 20, 22, 22, 26, 28.

Тогда ранг медианы:

и медиана совпадает с пятым членом ряда: Ме = 20.

Если выборка содержит четное число членов, то медиана не может быть определена столь однозначно.

Пример 7.9. Имеется ранжированная выборка, содержащая 10 членов:

6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24.

Ранг медианы оказывается равным:

Медианой в этом случае может быть любое число между 14 и 16 (5-м и 6-м членами ряда). Для определенности принято считать в качестве медианы среднее арифметическое этих значений, т. е.:

Если необходимо найти медиану для сгруппированных данных, то поступают следующим образом. Вначале находят интервал группировки, в котором содержится медиана, путем подсчета накопленных частот или накопленных относительных частот.

Медианным будет тот интервал, в котором накопленная частота впервые окажется больше или накопленная относительная частота — больше 0,5. Внутри медианного интервала медиана определяется по следующей формуле:

где — нижняя граница медианного интервала;

h_me — ширина медианного интервала;

— накопленная частота интервала, предшествующего медианному,

— частота медианного интервала.

Пример 7.10. Найти медиану для интервального ряда примера 6.3.

Объем выборки равен п = 50 + 32 + 26 + 11 + 5 = 124.

Найдем медианный интервал – интервал, в котором накопленная частота впервые окажется больше или накопленная относительная частота — больше 0,5.

Так как, накопительная частота второго интервала 50 + 32 = 82 > 62, то следовательно интервал (30; 40) будет медианным и = 30, h_me = 40 – 30 = 10, = 50, = 32.

Медиана обычно несколько отличается от среднего арифметического. Так бывает всегда, когда имеет место несимметричная форма эмпирического распределения.

Мода

Мода (Мо) представляет собой значение признака, встречающееся в выборке наиболее часто.

Ряд называется унимодальным, если в нем только одно модальное значение и полимодальным, если есть несколько значений признака, которые встречаются одинаково часто. Для полимодального ряда моду не вычисляют.

Для дискретного ряда мода находится по определению.

Интервал группировки с наибольшей частотой называется модальным.

Для определения моды в интервальном ряду используется следующая формула:

где — нижняя граница модального интервала;

h — ширина интервала группировки;

n_Mo — частота модального интервала;

n_Mo-1 — частота интервала, предшествующего модальному;

n_Mo+1 — частота интервала, следующего за модальным.

Характеристики рассеяния

Средние значения не дают полной информации о варьирующем признаке. Нетрудно представить себе два эмпирических распределения, у которых средние одинаковы, но при этом у одного из них значения признака рассеяны в узком диапазоне вокруг среднего, а у другого – в широком. Поэтому наряду со средними значениями вычисляют и характеристики рассеяния выборки. Рассмотрим наиболее употребительные из них.

Размах вариации

Размах вариации – разность между максимальной и минимальной вариантами выборки:

.

Как видим, размах вычисляется очень просто, и в этом его главное и единственное достоинство. Информативность этого показателя невелика. Можно привести очень много распределений, сильно отличающихся по форме, но имеющих одинаковый размах. Размах вариации используется иногда в практических исследованиях при малых (не более 10) объемах выборки, Например, по размаху вариации легко оценить, насколько различаются лучший и худший результаты в группе спортсменов. При больших объемах выборки к его использованию надо откоситься с осторожностью.

Источник

14.Понятие вариационного ряда. Виды вариационных рядов. Правила построения и графического отображения.

Ряд распределения – перечневая таблица, содержащая полный перечень изучаемых единиц с указанием значений изучаемого признака у каждой единицы.

Для удобства проведения анализа единицы упорядочивают либо по возрастанию значений признака, либо по их убыванию. В этом случае ряд распределения называется ранжированием. Однако, если совокупность единиц велика по объему, то форма ряда распределения будет неудобной для проведения анализа. В этом случае единицы совокупности группируют и представляют в виде вариационного ряда. Вариационный ряд (группировка)- таблица, содержащая в подлежащем группы единиц с заданными значениями признака и с указанием в сказуемом числа единиц в каждой группировке(частот), либо числа единиц в % к итогу (частости).

Правила построения вариационного ряда: 1) в интервал нижняя граница включается, а верхняя не включается; 2) если в интервале указаны обе границы, то он называется закрытым.Если указана одна граница-интервал открытый. 3) величина интервала для конкретного вар. ряда является постоянной. 4) для вар. ряда характерно достаточно большое число групп. Наилучшим считается выделение от 4 до 12-15групп. 5)необходима хорошая заполненность каждой группы единицами совокупности, чтобы работал закон больших чисел. 6) распределение частот или частостей по группам должно носить моновершинный характер, т.е. наибольшая частота или частость должна наблюдаться в одной группе и плавно убывать к концам распределения.

Любой интервальный вар. ряд можно привести к виду, схожему с дискретным путем определении середины интервала. Тогда вар. ряду можно дать графическое отображение в виде полигона распределения.

Интервальный ряд распределения отображается в виде гистограммы распределения.S гистограммы = S полигона

15.Показатели размера вариации: порядок их расчета и анализа.

Размеры вариаций оцениваются с помощью абсолютных и относительных показателей вариации.

Абсолют. пок-ли оценивают вариацию в абсолют. выражении, т.е. дают её абсолют. размеры, поэтому они имеют ту же единицу измерения, что и сам варьирующий признак. В силу этой особенности они несравнимы по разным признакам.

К абсолют. пок-лям относятся:1. Размах вариации определяется как разница между max и min значениями признака.

2. Среднее линейное отклонение в своей формуле использует форму средней арифметической величины, причем для ряда распределения, т.е. для негруппированных данных – простую среднюю , а для группированного ряда – взвешенную среднюю .

3. Среднее квадратичное отклонение

Для негруппированных данных

Для группированных данных

Ср. линейное и ср. квадратичное отклонения показывают на какую абсолютную величину в среднем по совокупности индивидуальные значения признака x_i отличаются от ср. значения.

Предпочтение отдается ср. квадратич. отклонению, кот. явл. главнейшим пок-лем в статистике.

Ещё одним важным показателем вариации явл. показатель дисперсии (подкоренное выражение).

С целью сопоставимости вариации разных признаков используются относительные пок-ли вариации. В этих пок-лях сопоставляются пок-ли абсолютных размеров вариации со ср. величиной изучаемого варьирующего признака.

Относит. пок-ли вариации говорят о том сколько % от средней величины составляют характеристики абсолютных размеров вариации. Чем больше значение относительных пок-лей вариации, тем сильнее вариация значений признака, тем менее однородны совокупность единиц по данному признаку и тем нетипичнее и ненадежнее является ср. величина признака.

1. Относительный размах вариации

2. Относит. линейное отклонение

3. Коэффициент вариации

Самым важным из относ. пок-лей является коэф-т вариации. По его значению дается оценка степени вариации признака и делается вывод об однородности или неоднородности единиц, и типичности или нетипичности ср. значения признака.

Если , делается вывод о небольшой степени вариации. Говорят об однородности сов-ти единиц по данному признаку, а его ср. значение признается надежным и типичным.

Если , делается вывод о достаточной однородности сов-ти. Однако в этой сов-ти присутствуют единицы с аномальными значениями признака. Такую сов-ть можно привести к однородному виду если из нее изъять указанные единицы с аномальными значениями признака, оставшаяся будет однородной.

Если коэффициент вариации , говорят о завышенной вариации. Сов-ть считается неоднородной, а ср. значение признака не является типичным и надежным.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Источник