Способы представления производственных функций

Способы представления производственных функций

Лекция 18. ПРОИЗВОДСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ

1. Способы представления производственных функций

2. Экономико-статистическое моделирование

3. Экономические характеристики производственных функций

При подготовке входной информации для экономико-математи­ческих задач могут быть успешно использованы производственные функции. В экономике сельского хозяйства это понятие объединяет все математически выраженные связи и зависимости результатов производства от затрат производственных факторов (урожайности культур – от доз внесения удобрений, удойности коров – от коли­чества потребляемых кормов и т. п.).

Определение производственных функций позволяет разрабаты­вать параметры экономико-математических задач и наиболее целесо­образно комбинировать различные производственные факторы для получения максимального количества сельскохозяйственной продук­ции при минимальных затратах труда и средств на ее производство. Кроме прогнозирования уровня результативного признака, произ­водственные функции могут быть использованы для определения экономических оптимумов, коэффициентов эффективности и взаимо­заменяемости факторов.

Производственные функции, как и функции математические, мо­гут быть представлены различными способами. Они могут задавать­ся в виде таблиц, содержащих ряды значений аргумента и соответст­вующих значений функции. Табличный способ наиболее удобен в том случае, когда изучаются зависимости по данным непосредственных наблюдений. Производственные функции могут представ­ляться графическим способом, одним из преимуществ которого является наглядность. По графику могут быть выявлены основ­ные свойства исследуемой функции. Но этот способ имеет существенный недостаток. Точность определяемых значений зависимой переменной у при данных значениях факториального признака х ограничена. Наиболее распростра­ненным является аналитический способ выражения производствен­ных функций. В этом случае производственная функция представ­ляет собой математическую модель многофакторного экономического процесса (или его отдельных сторон), которая в форме уравнения устанавливает связь между изучаемыми признаками. Это позволяет исчислить ожидаемое значение результата производства в зависи­мости от действующих на него факторов.

В отличие от экономико-математических моделей оптимального программирования, состоящих из ряда уравнений и неравенств, модель производственной функции в общем виде в большинстве слу­чаев описывается одним уравнением, в котором результат производ­ства представляется как функция п независимых величин-факторов:

Чтобы раскрыть неопределенность, скрывающуюся за этим ма­тематическим выражением, в процессе исследования находят кон­кретный вид алгебраического уравнения (уравнения регрессии), которое более или менее соответствовало бы исследуемым взаимо­связям.

Аналитический способ выражения производственных функций имеет существенные преимущества по сравнению с табличным и графическим. Он позволяет проанализировать влияние одного или нескольких факторов на производственный результат и опреде­лить с помощью приемов математического анализа различные коэф­фициенты, характеризующие изменения в процессе производства.

В связи с тем, что производственные функции представляют корреляционные связи, их обычно определяют путем обработки мас­совых данных методом корреляции.

Производственные функции раскрывают характер и степень влия­ния различных факторов на производственные результаты, поэтому для характеристики всего многообразия зависимостей в сельском хозяйстве нельзя использовать один вид уравнения. Имеется мно­жество уравнений, с помощью которых могут быть выражены про­изводственные функции в зависимости от существа исследуемого процесса и характера факторов, определяющих его результат (поч­ва, климат, виды сельскохозяйственных культур и животных, ха­рактер производственных ресурсов и т. д.). Какой именно вид урав­нения будет применен в каждом отдельном случае – зависит от ка­чественного анализа и математической аппроксимации.

Однако некоторые виды уравнений благодаря их логическому смыслу, стройности математических расчетов выделяются из мно­жества других и находят широкое применение в исследованиях. Эти виды уравнений принято называть производственными функциями даже в том случае, если они лишены конкретного экономического содержания.

Рассмотрим виды уравнений, которые чаще всего используются при определении производственных функций в сельском хозяйстве.

Самым простым видом уравнения является многочлен первой сте­пени, графически изображаемый прямой линией. В общем виде его выражают следующим образом:

или

где — зависимая переменная (результат производства);

х — независимая переменная (фактор производства);

а и b — параметры уравнения.

Уравнение прямой обычно применяют в тех случаях, когда с воз­растанием фактора х происходит пропорциональное увеличение или уменьшение результативного показателя. Это уравнение находит применение в исследованиях производственной функции, но чаще для ее описания используют уравнения криволинейных форм, ко­торые в большей степени соответствуют истинному характеру свя­зей и зависимостей в экономических процессах.

К производственным функциям, уравнения которых графически изображаются кривыми, относится, прежде всего, квадратическая функция параболического типа. Если есть основания ожидать, что величина результата производства у будет возрастать или убывать с увеличением фактора х и в границах его изменения возможен мак­симум или минимум величины у, то к уравнению прямой следует присоединить третий член b₂х 2 , в результате чего получится много­член второй степени или парабола второго порядка:

Так, определяя производственную функцию «урожайность — осадки», следует учитывать, что избыток влаги в почве может при­вести к снижению урожайности культур, поэтому необходимо вве­дение в уравнение третьего члена b₂х 2 .

В экономических расчетах в сельском хозяйстве часто исполь­зуют параболу второго порядка, допускающую падающие и отри­цательные приращения результата производства:

При исследовании производственных функций часто приходится рассматривать пары величин, обратно пропорциональных друг дру­гу. Примером этого может быть зависимость между трудоемкостью и производительностью труда, нормой времени и нормой выработки, между себестоимостью и рентабельностью производства. Обратно пропорциональная зависимость в большинстве случаев предпола­гает уравнение гиперболы:

Эта зависимость основана на предположении, что часть расхо­дов — а — растет пропорционально выпуску продукции, а осталь­ная часть их — b — остается постоянной. Параметр а имеет конкрет­ный экономический смысл потому, что уравнение построено на осно­ве экономического анализа определенных производственных взаимо­связей.

Производственные функции могут быть выражены с помощью гиперболической формулы другого вида: , где n>1.

Эта функция основана на предположении, что издержки производ­ства могут распределяться на возрастающие пропорционально вы­пуску продукции и возрастающие более медленно.

В практике аграрных экономических расчетов широко исполь­зуются производственные функции степенного вида.

Степенная функция выражается следующим образом: где b — коэффициент регрессии.

Эта функция удобна тем, что путем логарифмирования она при­водится к линейной форме (относительно логарифмов х и у), которая решается проще, чем нелинейная. В то же время степенная функ­ция, являясь криволинейной, обладает большей гибкостью и тем самым дает возможность лучше аппроксимировать сложные экономи­ческие взаимосвязи.

За рубежом к этому типу относится широко распространенная функция Кобба — Дугласа:

а_i — показатель степени i-го аргумента;

а — коэффициент пропорциональности;

П – знак произведения.

С помощью функции Кобба – Дугласа можно, например, опре­делить численное значение дифференциальной ренты:

где i — факторы первой группы (качество почвы, осадки, темпера­тура, радиация, положение хозяйства), определяющие дифференциальную ренту I;

z_k — факторы второй группы, интенсифицирующие сельское хозяйство (агротехника, сорта, качество семян, удобрения, породы животных, концентрация, механизация, организа­ция труда, оплата труда и др.), определяющие дифферен­циальную ренту II;

а и β — показатели степени соответствующих аргументов х_i и z_k;

— величина, означающая степень влияния на доходность факторов первой группы.

Если при определении производственной функции необходимо изучать влияние нескольких факторов на результат производства, то используют уравнение регрессии с несколькими независимыми переменными. Это уравнение выражает множественную или много­факторную корреляционную зависимость. Оно записывается так:

,

где — результат производства; — факторы производства;

— коэффициенты регрессии, характеризующие влияние каждого фактора на исследуемый результат.

Графическим отображением этого уравнения является гиперпло­скость в n+1 -мерном пространстве. Свободный член уравнения характеризует начальную ординату плоскости регрессии в этом про­странстве. Его величина зависит от единиц измерения у и х. В от­личие от свободного члена, который может не иметь самостоятельного значения и конкретного экономического смысла, остальные парамет­ры (коэффициенты регрессии) всегда имеют определенный смысл. Они показывают, на сколько в среднем увеличилась бы независимая переменная у при изменении соответствующего фактора-аргумента х₁ на одну единицу, если бы влияние других факторов, включенных в уравнение регрессии, было элиминировано. Однако при изменении на единицу данного фактора изменяются и корреляционно связан­ные с ним факторы, не включенные в уравнение регрессии. Поэтому каждый коэффициент регрессии b_i показывает изменение у не толь­ко за счет соответствующего фактора х_i , но и за счет тех связанных с ним факторов, которые не включены в уравнение регрессии. Реше­ние многофакторных уравнений линейной регрессии производится с помощью метода наименьших квадратов.

В экономическом анализе применяют уравнения более сложного криволинейного типа, лучше описывающие многофакторные экономические взаимосвязи. Одним из таких уравнений является полином следующего вида:

то есть разложение функции в ряд Тейлора.

Этот полином является довольно удобной аналитической формой для изучения экономических связей и зависимостей. Будучи криво­линейным, он обладает достаточной гибкостью и в большинстве случаев уже при второй степени полинома хорошо описывает сложные зависимости. Однако применение его связано с трудностями вычис­ления аналитических показателей производственных функций. Кроме того, число степеней свободы уменьшается вследствие увели­чения числа параметров.

В экономике широко применяется степенная функция вида:

Эта функция, как и степенная функция с одной переменной, при­водится к линейному виду путем логарифмирования. Отметим еще, что при одинаковом числе факторов-аргументов степенная функция по сравнению с нелинейным полиномом имеет значительно меньшее число постоянных параметров, а, следовательно, и большее число степеней свободы при статистических оценках.

Источник

Производственные функции и их экономические характеристики

В землеустроительной науке экономико-статистической моде­лью называется функция, связывающая результативный и фак­торные показатели, выраженная в аналитическом, графическом, табличном или ином виде, построенная на основе массовых дан­ных и обладающая статистической достоверностью.

В связи с тем, что в экономике такие функции обычно описы­вают зависимость результатов производства от имеющихся фак­торов, они получили название производственных.

Производственная функция – это математически выраженная зависимость результатов производства от производственных факторов.

С помощью производственных функций в землеустройстве можно производить следующие действия:

· анализировать состояние и использование земельных угодий;

· готовить исходную информацию для экономико-математичес­ких задач по оптимизации различных решений, входящих в про­екты землеустройства;

· определять уровень результативного признака на перспективу при планировании и прогнозировании использования земель в схемах и проектах землеустройства;

· устанавливать экономические оптимумы, коэффициенты эла­стичности, эффективности и взаимозаменяемости факторов, то есть рассчитывать экономические характеристики производ­ственных функций и использовать их при принятии решений.

Существует несколько способов представления производ­ственных функций: табличный, графический, аналитический, номографический.

Табличный способ чаще всего применяется при изучении зави­симостей, полученных в результате непосредственных наблюде­ний.

Графический способ более нагляден, однако точность определе­ния значений функции при заданных значениях фактора ограни­чена. Такой способ используется, когда важно не столько конк­ретное значение, сколько направление и характер изменения по­казателей.

Аналитический способ представления производственной функ­ции является основным: это – уравнение, показывающее поря­док вычисления результативного показателя при заданных фак­торах производства.

Номографический способ применяется для быстрого определе­ния значений производственных функций и реализации аналити­ческих форм связи между переменными, когда не требуется высо­кой точности результата.

Основные экономические характеристики производственных функций. Можно выделить три основных класса задач, в кото­рых целесообразно использовать производственные функции:

· задачи прогнозирования, в которых граничные условия либо во­обще не задаются в явном виде, либо играют чисто номинальную роль (определяют область допустимых значений аргументов фун­кции регрессии);

· оптимизационные задачи, в которых эти условия играют актив­ную роль факторов, формирующих облик оптимального решения;

· задачи экономического анализа состояния и использования зе­мель, изучения других процессов, существенных для землеуст­ройства.

С.Н. Волков выделяет четыре вида экономических характеристик производственных функций.

Дополнительный продукт фактора х (предельная про­изводительность) определяется частной производной:

, (7.1)

где y – показатель эффективности (производства).

При этом все остальные факторы считаются постоянными.

Если известен дополнительный продукт i-го фактора, то при малых приращениях Dх_i — новое значение показателя эффективно­сти может быть оценено по формуле: y(x_i + Dx_i) = y(x_i) + D_iDx (7.2).

Эта формула «предсказывает» линейное изменение показате­ля эффективности при изменении данного фактора, что в общем случае верно лишь при небольших значениях Dx_i.

Средняя производительность отражает средний темп изменения показателя эффективности при увеличении i-го фактора в диапазоне от нуля до заданного значения х_i.

(7.3).

Если под у понимать не показатель эффективности производ­ства, а производственные затраты на выпуск продукции, то рас­сматриваемое отношение _i, следует интерпретировать как себе­стоимость единицы продукции.

Коэффициент эластичности характеризует относительное изменение результата производства ни единицу относительного изменения i-го производственного фактора.

Численно он равен отношению дополнительного про­дукта данного фактора (предельной производительности) к сред­ней производительности:

Приближенно коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменяется результат производства при изме­нении i-го фактора на 1% при неизменной величине других фак­торов.

Предельная норма заменяемости может рассчитываться, когда число факторов более единицы. Здесь необходимо ввести новое понятие – изокванты производственной функции. В общем слу­чае она определяется как поверхность в К-мерном пространстве производственных факторов х₁. х_к, на которой показатель эф­фективности производства постоянен; таким образом, уравнение изокванты имеет вид:

Если число факторов равно двум (или когда при К>2 анали­зируются только два фактора i, j), то геометрически изокванта может быть изображена как линия на плоскости (рис. 1). Задавая различные значения константы в уравнении (7.5), можно полу­чить набор изоквант.

Читайте также: Ei — экспертная оценка i-й характеристики. Foreign Office – структура, функции….. I. Процессуальные характеристики мышления. I. Функции государства — это основные направления его деятельности, в которых выражаются сущность и социальное назначение государства в обществе. II. Физические характеристики участников коммуникации III. Вегетативные функции НС. III. О Германии. Политические и экономические принципы, которыми необходимо руководствоваться при обращении с Германией в начальный контрольный период III. Функции полномочного представителя III.2.1) Понятие преступления, его основные характеристики. Internet, его функции. Web-броузеры. Поиск информации в Internet.

Рис. 1. Изокванты: а – убывающие, б – возрастающие.

Помимо изоквант в практике экономического анализа ис­пользуют другие линии – изоклинали. Их используют только тогда, когда предельная норма заме­няемости является переменной величиной. В плоскости (x_i, x_j)изоклиналь определяется уравнением

(7.6)

при фиксированных x_m, m ¹ i, j.

Таким образом, изоклиналь – это геометрическое место точек в плоскости (х_i, x_j), в пределах которого норма заменяемости факторов х_i и x_j постоянна. Меняя константу в уравнении (7.6), можно получить набор изоклиналей.

Дата добавления: 2015-04-05 ; просмотров: 71 ; Нарушение авторских прав

Источник